GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Transcripción

1 GEOMETRÍ NLÍTIC PLN / Ecuaciones de la ecta Un punto y un vecto Dos puntos Un punto y la pendiente,,,,,, Coodenadas del vecto diecto ECUCION VECTORIL (x, y) (p, p ) + τ (v, v ) ECUCION PRMETRIC x p + τ v y p + τv. Coodenadas del vecto diecto x p y p ECUCION CONTINU v v Coodenadas del vecto diecto Coodenadas del vecto diecto, ECUCION GENERL O IMPLICIT x + By + C 0 La pendiente la podeos saca a pati del vecto: tan Pendiente ECUCION EXPLICIT y x + n Pendiente Odenada en el oigen De aquí podeos saca fácilente un punto,,, sustituyendo un valo cualquiea de x: PUNTO PENDIENTE ( y p ) ( x p ) pati de dos puntos podeos saca el vecto:,

2 / Posición Relativa de dos Rectas C O L L E G I S N N T O N I O D E P D U SECNTES PRLELS COINCIDENTES Ecu. Geneal : x + B y + C 0 : x + B y + C 0 Resolviendo el sistea Sol. No Sol. Sol. Copaando B B C coeficientes B B C B B C C Ecu. Explicita : y x + n : y x + n Copaando pendientes y odenada en el oigen y n n y n n 3/ Distancias Distancia ente dos puntos, P (x,y ) y Q (x,y ) d(p,q) + (x x ) + (y y ) Se puede aplica diectaente esta fóula, o hace el cálculo en dos pasos:. Enconta un vecto a pati de los puntos.. Calcula el odulo (longitud) del vecto Distancia ente un punto P (p,p ) y una ecta, : x + By +C 0 Distancia ente dos ectas paalelas:. Hallaos un punto cualquiea de una de las ectas.. plicaos la foula de distancia de un punto a una ecta. d(p,) p + Bp + C + B 4/ Ángulo de dos Rectas Calculo del ángulo a pati de los vectoes de las ectas. : x+ By+ C 0 u u V ( B, ) y V ( B, ) s: x+ B y+ C 0 v v + BB cosα v v + B + B Rectas pependiculaes (foan un ángulo de 90 ) Dos ectas son pependiculaes si sus pendientes son invesas y opuestas: Dos ectas son pependiculaes si sus el poducto escala de sus vectoes es igual a ceo v v 0

3 5/ Puntos Siéticos C O L L E G I S N N T O N I O D E P D U Puntos siéticos especto oto punto. Calculo del punto edio de un segento: M P+ Q x+ x y+ y M, Puntos siéticos especto de una ecta. Calculo del punto Q, que siético a P especto de la ecta.. Calcula la ecuación geneal de la ecta s (ecta que pasa po P y es pependicula a ). Encuenta M, que es el punto de cote ente y s (esolve un sistea de dos ecuaciones con dos incógnitas) 3. Coo P y Q son siéticos especto a M, podeos aplica la fóula: M P+ Q Ejecicios Resueltos ) Indica, en cada caso, un punto, un vecto y la pendiente de las siguientes ectas: a) 3x y 5 0,,3 ; ; P (0, 5/) b) x y + 3, ; ; P (, 3) c) x 3 + 5t y t 5, ; ; P (3, ) ) Halla en todas las foas que conozcas la ecuación de la ecta que pasa po el punto P( 3, 5), y tiene coo vecto diecto V (, 4) Ecuación vectoial (x,y) ( 3,5) + t(, 4) Ecuación paaetica x 3+ t y 5 4t Ecuación continua x+ 3 y 5 4 Ecuación geneal 4 (x + 3) (y 5) 4x y 0 4x + y + 0 Ecuación explicita y 4x Ecuación punto pendiente y 5 4 (x + 3) 3

4 3) Halla en todas las foas que conozcas la ecuación de las ecta que pasa po los puntos P (, ) y Q ( 3,0) pati de los puntos calculo el vecto diecto: v ( 3+,0 ) (, ) (,) hoa tabajo con el vecto v (,)y uno de los puntos, po ejeplo, P (, ) Ecuación vectoial (x,y) (,) + t(,) Ecuación paaetica x + t y + t Ecuación continua x+ y Ecuación geneal x + y x y Ecuación explicita y x + 3 4) Halla en todas las foas que conozcas la ecuación de la ecta que pasa po el punto P (, 7) y tiene la pendiente igual a /3 Ecuaciónpunto pendiente (y 7) (x ) 3 Ecuación geneal 3 (y 7) (x ) 3y x 4 x 3y Ecuación explicita 3y x + 7 y x + 7 y x + 7 y x De la ecuación geneal puedo saca el vecto:, 3, Ecuación vectoial (x,y) (,7) + t(3,) x + 3t Ecuaciónpaaetica y 7+ t y 7 Ecuacióncontinua x 3 4

5 Ejecicios utoevaluación 5) Dados los vectoes u ( 8, 6) y v (, ) efeidos a la base canónica: a) Calcula su poducto escala. b) Halla sus ódulos c) Encuenta el valo del ángulo que foan d) Halla el valo de x paa que el vecto w ( 4, x ) sea otogonal al vecto v 6) Halla el ángulo que foan las ectas : x 3y + 0 y s : 3x y ) Sean y x + n, y ' x + n' las ecuaciones explicitas de dos ectas y y α el ángulo que ' foan. Podeos aplica la fóula tan α paa calcula el ángulo ente las dos ectas. + ' plícala paa halla el ángulo que foan las ectas de ecuaciones: y x + 3, y 3 x + 8) Dada la ecta : x y 0 y el punto P(,3 ) y halla: a) La ecuación geneal de la ecta t que pasando po P es pependicula a. b) Las coodenadas del punto M intesección de y t (poyección otogonal de P sobe ). c) Las coodenadas de P punto siético de P especto de la ecta, a pati de M 9) Halla el peíeto del tiángulo de vétices (-3, ), B(, 3) y C (6, 4) 0) Halla el valo de k paa que las ectas : x y + 0 y s : 6x + ky 8 0 a) Sean pependiculaes y halla su punto de cote b) Sean paalelas y halla la distancia ente abas ) Dado el tiángulo de vétices P ( 0,), Q(6,4), R(,7) e) Halla la longitud del lado PQ f) Halla la ecuación de la ecta sobe la que está dicho lado g) Halla la distancia del vétice R a esa ecta h) Calcula el áea o supeficie S del tiángulo ) Un baco se encuenta en el punto (0,) y lleva la diección y el sentido del vecto (4,). a) En qué instante se encontaá ás ceca de un fao situado en el punto (4,0)? b) Cuál es la distancia al fao en ese oento? Soluciones: 5) a) -4 b) 0, 5 c) 00º 8 7 d) x - 6) 30º 7) 63º6 8) a) t : x + y 4 0 b) M (3, ) c) P '(5, ) 9) ) a) k3 y P(,) b) k- y d(,s) 5 ) d(p,q)3 5 b) : x-y+0 c) d(r,)0/ 5 d) S5 u ) a) ( 60/7, 3/7) b) 8/ 7 5