PROBLEMAS CON FRACCIONES Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un a

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1 Sint Gspr College MISIONEROS DE LA PRECIOSA SANGRE Formndo Persons Íntegrs Deprtmento de Mtemátic RESUMEN PSU MATEMATICA GUÍA NÚMERO 9 ECUACIONES: () Un ecución es un iguldd condiciond en l que plicndo operciones decuds se logr despejr (islr) l incógnit. () Cundo un ecución contiene frcciones, puede escriirse en un form más sencill si se multiplicn mos miemros de l iguldd por el mínimo común múltiplo de todos los denomindores de l ecución. De est form se otiene un ecución que no conteng frcciones. (c) Pr resolver un prolem deemos seguir los siguientes psos: Pso : Leer con tención el prolem. Pso : Anotr los dtos del prolem. Pso : Distinguir cuál es l pregunt del prolem y representr ese dto desconocido por un literl (letr). Pso : Con los dtos del prolem escriir un ecución. Pso : Resolver l ecución. Pso 6: Compror si el resultdo está de cuerdo con los dtos. PROBLEMAS CON FRACCIONES Son prolems en que se pide clculr l prte de un todo, es decir, un frcción de un número. L frcción de un número x se clcul multiplicndo por x. PROBLEMAS DE DÍGITOS Pr este tipo de prolems deemos recordr que en el sistem deciml un número de l form x y z qued representdo por x z 0 0 PROBLEMAS DE EDADES En estos prolems conviene representr ls eddes de los personjes con letrs diferentes indicndo en un líne del tiempo o en un tl, sus eddes psds, presentes o futurs, según correspond: Edd psd Edd Actul Edd futur (hce ños) (dentro de c ños) x - x x + c y - y y + c B. ECUACIONES LINEALES: L distnci entre dos puntos (medid del segmento generdo por dichos puntos), A(x, y ) y B(x, y ), se determin medinte l expresión:

2 d AB = (x x ) + (y y ) Ddos los puntos A(x, y ) y B(x, y ), ls coordends del punto medio del segmento AB son PENDIENTE DE UNA RECTA Es l tngente trigonométric del ángulo de inclinción (ángulo que form l rect con el eje x, en sentido ntihorrio, desde el eje x hci l rect) RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA Se α el ángulo de inclinción y se m l pendiente de l rect L. Entonces: (α = 0º) si y sólo si (m = 0) (0º < α < 90º) si y sólo si (m > 0) L es prlel l eje x L tiene pendiente positiv (α = 90º), si y sólo si (m no está definid) (90º < α < 80º) si y sólo si (m < 0) L es prlel l eje y L tiene pendiente negtiv ECUACIÓN PUNTO Y PENDIENTE L ecución de l rect que ps por un punto (x, y ) y cuy pendiente es m es

3 CASO PARTICULAR: Si el punto ddo está sore el eje y, llmndo n su ordend, l ecución nterior se escrie: Ecución principl de l rect, n: coeficiente de posición ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS L ecución de l rect que ps por dos puntos P (x, y ) y P (x, y ) es ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Tod ecución linel de l form donde Ax + By + C = 0 son constntes reles y los números A y B no son mos nulos, represent l ecución generl de l rect. Si se despej y en función de x se otiene l ecución principl: A C A C y = x + donde m = y n = B B B B RECTAS PARALELAS Dos rects son prlels si y sólo si sus pendientes son igules. Sen L y L rects de pendientes m y m respectivmente (fig. ). Entonces: RECTAS PERPENDICULARES Dos rects son perpendiculres si y sólo si el producto de sus pendientes es -. Sen L y L rects de pendientes m y m respectivmente (fig. ). Entonces: SISTEMAS DE ECUACIONES

4 Dos ecuciones de primer grdo, que tienen ms ls misms dos incógnits, constituyen un sistem de ecuciones lineles. L form generl de un sistem de ecuciones de primer grdo es: Ax + By = C Dx + Ey = F donde A, B, C, D, E y F son números reles. Se denomin solución del sistem todo pr (x, y) que stisfg simultánemente ms ecuciones. OBSERVACIÓN: Cd ecución de un sistem de ecuciones, represent un líne rect en un sistem de ejes coordendos. MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS RESOLUCIÓN GRÁFICA: Pr resolver gráficmente un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits, se representn ms rects en un sistem de ejes coordendos, con lo cul surge un de ls siguientes posiiliddes. i) Ls rects se intersectn en un punto, cuys coordends (, ) es l solución del sistem (figur ). ii) Ls dos rects coinciden, dndo origen infinits soluciones (figur ). iii) Ls dos rects son prlels (no se intersectn), por lo tnto no hy solución (figur ). RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Pr resolver lgericmente un sistem de ecuciones lineles con dos incógnits existen vrios métodos; utilizremos sólo dos de ellos: sustitución y reducción. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se dee despejr un de ls vriles en un de ls ecuciones y luego reemplzrl en l otr ecución, generándose sí un ecución con un incógnit. MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deen igulr los coeficientes de un de ls incógnits, en ms ecuciones, multiplicndo mos miemros convenientemente, oteniéndose un sistem equivlente l ddo, y luego se sumn o restn ms ecuciones, resultndo sí un ecución con un incógnit. ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

5 Se el sistem: x + x + y = c y = c Entonces: * El sistem tiene solución únic si * El sistem tiene infinits soluciones si * El sistem no tiene solución si = = c c = c c EJEMPLO PSU-: L ecución de un rect es x my = 0. Si el punto (, 8) pertenece est rect, entonces el vlor de m es A) B) C) D) E) EJEMPLO PSU-: Un rect que contiene l punto P de coordends (, ) tiene pendiente, otr rect perpendiculr con ell contiene l punto P de coordends (8, ). Ams rects se cortn en el punto P cuy scis x vle A) B) C) D) E) x EJEMPLO PSU-: Cuál es el vlor de x en l ecución A) - B) C) D) E) =? EJEMPLO PSU-: En un supermercdo el precio de costo de un kilogrmo de pn es de $ 600 y lo venden en $ 80; ls conservs de mriscos tienen un costo de $ 800 y ls vende en $.060. Si l polític de signción de precios del supermercdo es linel, cuál es el precio de vent de un kilogrmo de rroz cuyo costo es de $ 00? A) $ 600 B) $ 80 C) $ 7

6 D) $ 7 E) $ 0 EJEMPLO PSU-: En l figur ls rects L y L son perpendiculres, entonces cuál de ls siguientes opciones represent l ecución de l rect L? A) y = x B) y = (x ) C) y = (x ) D) y = x E) y = (x ) EJEMPLO PSU-6: L relción entre ls temperturs Fhrenheit y Celsius es linel. Si se se que º F corresponde 0º C y º F corresponde 00º C, entonces cuál es l tempertur en grdos Celsius que corresponde º F proximdmente? A) º C B),7º C C),7º C D) º C E),9º C EJEMPLO PSU-7: L ecución ( k)x + y = 0 represent un rect perpendiculr l rect cuy ecución es 6x + y 9 = 0. Cuál es el vlor de k? A) 0 B) C) 8 7 D) E) 6 EJEMPLO PSU-8: Si = 9, x entonces x = A) 9 B) 9 C) 9 D) 8 E) 8

7 EJEMPLO PSU-9: Cuál de ls siguientes figurs represent l intersección de x + y = con y + x = 0? A) B) C) D) E) x my = 9 EJEMPLO PSU-0: En el sistem, nx + y = Qué vlores deen tener m y n pr que l solución del sistem se el pr (, )? m n A) B) C) D) E) Ninguno de los vlores nteriores EJEMPLO PSU-: En l figur, l ecución de L es y + x =, cuál(es) de ls siguientes firmciones es(son) verdder(s)? I) L // L II) L ecución de L es y = -x + III) Ams rects tienen igul inclinción respecto del eje x A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

8 EJEMPLO PSU-: L intersección de ls rects y = x e y = x es el punto: A) (,) B) (,) C) (,-) D) (0,) E) (,) EJEMPLO PSU-: Jun en 0 ños más tendrá el dole de l edd que tení hce ños. Qué edd tendrá Jun en un ño más? A) ños B) 0 ños C) 6 ños D) ños E) ños EJEMPLO PSU-: Un grupo de migos slen lmorzr un resturnte y desen reprtir l cuent en prtes igules. Si cd uno pone $.00 fltn $.00 pr pgr l cuent y si cd uno pone $ 6.00 sorn $ 00. Cuál es el vlor de l cuent? A) $ B) $.000 C) $.00 D) $ E) $ 9.00 EJEMPLO PSU-: L señor Mrt compró kilogrmos de zúcr y kilogrmos de hrin y pgó $ s. Si el kilogrmo de zúcr vle $ p, cuánto cuest el kilogrmo de hrin? A) B) C) D) E) $(s p) s p $ s + p $ s p $ $(s + p) x EJEMPLO PSU-6: Si =, entonces cuánto vle x? x

9 A) 7 B) 7 C) D) E) EJEMPLO PSU-7: Si (x + ) = (6 + x), entonces x es: A) 9 B) 6 C) 8 7 D) 0 E) Ninguno de los vlores nteriores EJEMPLO PSU-8: Cuál de ls siguientes rects del plno crtesino es representd por l ecución x =? A) L rect prlel l eje X que ps por el punto (0, ). B) L rect prlel l eje X que ps por el punto (, 0). C) L rect prlel l eje Y que ps por el punto (0, ). D) L rect prlel l eje Y que ps por el punto (, 0). E) L rect que ps por el origen y por el punto (, ). EJEMPLO PSU-9: Un pdre reprte.000 hectáres entre sus tres hijos. Al menor le d x hectáres, l del medio los de ls hectáres del menor y l myor l mitd de ls hectáres de su segundo hijo. El hijo myor reciió A).000 hectáres B).000 hectáres C)., hectáres D) hectáres E) hectáres EJEMPLO PSU-0: Pr qué vlor de k el sistem A) B) - 0 C) - x ky = no tiene solución? x + y = D) -

10 E) - x + EJEMPLO PSU-: Cuál es el vlor de x en l ecución =? A) -9 B) - C) - D) E) EJEMPLO PSU-: Cuál de ls siguientes ecuciones NO es equivlente l ecución 0,0x =,? 6 A) 0,0x = B) x =, 0 C) x = 00 D) x =, 00 E) 0 x =, EJEMPLO PSU-: Si + = 6 + =, entonces = A) B) 9 C) D) E) EJEMPLO PSU-: Dd l rect de ecución y = x y (,) es el punto medio del segmento que cort l rect en P y l eje x en Q. Ls coordends del punto P son: A), B), C) (,) D) (,) E) (,)

11 EJEMPLO PSU-: En un locl de flores se venden clveles por uniddes. Jun y Luis comprn en el locl rmo de clveles cd uno. El rmo de Jun tiene clveles y le costo $. Cuánto pgó Luis por su rmo si tiene clveles más que el de Jun? A) B) 6 C) D) E) EJEMPLO PSU-6: L señor Pilr costumr comprr tods ls semns kilogrmos de plátnos y kilogrmos de mnzns. Ciert semn gstó $.80. Como en l semn siguiente los plátnos hín suido $ 0 por kilogrmo y ls mnzns hín jdo $ 0 por kilogrmo, cmio su costumre y compró kilogrmos de plátnos y kilogrmos de mnzns y gstó $.90. Cuánto cost el kilogrmo es ciert semn? A) $0 B) $0 C) $00 D) $6 E) $9 EJEMPLO PSU-7: Al uicr los puntos A(-,-), B(,-) y C(,), en el sistem de ejes coordendos, se pude firmr que: I) AB BC II) AB es prlelo l eje X III) (0,) es un punto del trzo BC Es(son) correct(s): A) Solo II B) Solo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-8: Según el sistem A) 6 B) C) D) - E) - x + y = 7 + x y = 7, cuál es el vlor de y? EJEMPLO PSU-9: Dd l rect L, donde y son positivos, cuál(es) de ls siguientes firmciones es(son) verdder(s)?

12 I. L pendiente de l rect L es negtiv. II. El punto (, ) pertenece l rect. III. L rect L es perpendiculr l rect y = x. A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) Sólo I y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-0: Tres números enteros consecutivos sumn cero. Entonces es verddero que: I) El número myor y el menor sumn cero II) El cudrdo del menor es igul l cudrdo del myor III) L diferenci entre el myor y el menor es cero A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-: En l figur se muestr el gráfico de l rect de ecución y = px + q. Cuál es el vlor de q? A) B) C) 0 D) - E) - EJEMPLO PSU-: Si (x + ) =, entonces x es igul : A) - B) 0 C) D) E) 6 EJEMPLO PSU-: Si 6 x =, entonces x x es igul : A) -0 B) -0 C) -0 D) 0 E) 0 EJEMPLO PSU-: Se cort un tl de metros de lrgo en dos prtes, de modo que un de ells es 0 cm más lrg que l otr. Cuáles son ls longitudes de cd prte? A) 0 cm y 0 cm B) 0 cm y 0 cm C) 7 cm y cm

13 D) 00 cm y 00 cm E) Ningun de ls medids nteriores EJEMPLO PSU-: En l figur, cuál(es) de ls siguientes firmciones es(son) verdder(s)? I) L pendiente de AD y de BC no es un número rel II) L pendiente de DC es cero III) L pendiente de AB es positiv A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III