Departamento de Bachillerato Preparatoria UNAM Matemáticas V Plan 100 Ciclo 06 / 07 TAREA PARA EL SEGUNDO PERIODO SEMESTRAL

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1 Departamento de Bachillerato Preparatoria UNAM Matemáticas V Plan 100 Ciclo 06 / 07 TAREA PARA EL SEGUNDO PERIODO SEMESTRAL NOMBRE DEL ESTUDIANTE: Apellido paterno Apellido materno Nombre(s) GRUPO: No. DE CUENTA: FECHA DE ENTREGA: TOTAL DE PUNTOS: 100. CALIFICACIÓN: Arturo Falcón Hernández Antero M. Gutiérrez Talamantes Carlos Sánchez Maldonado METODOLOGÍA: Resuelve los siguientes ejercicios contesta las preguntas, anotando, dentro de los espacios de cada recuadro, la información que se pide. Los enunciados desarrollos deben ser escritos con tinta negra o azul. Puedes usar colores para efectos especiales solamente. NO DEBES USAR LÁPIZ. Recuerda anear una portada de presentación a tu trabajo. Si no satisfaces estas condiciones, puedes perder la evaluación de tu trabajo. Trata de ser limpio ordenado en la presentación del mismo. Gracias.

2 2 LUGAR GEOMÉTRICO Y LA LÍNEA RECTA PARTE I: Escribe, sobre las líneas, las definiciones de los conceptos que se indican. 1. Lugar geométrico: 2. Simetría respecto a una recta: 3. Simetría respecto a un punto: 4. Condición para que eista simetría respecto al eje X: 5. Condición para que eista simetría respecto al eje Y: 6. Condición para que eista simetría respecto al origen: 7. Línea recta:

3 8. Pendiente de una recta: 3 9. Ángulo de inclinación de una recta: 10. Valor del ángulo de inclinación si la pendiente es 0: 11. Valor del ángulo de inclinación si la pendiente es negativa: 12. Valor del ángulo de inclinación si la pendiente es indefinida: 13. Valor del ángulo de inclinación si la pendiente es positiva: 14. Abscisa al origen: 15. Ordenada al origen: 16. Condición de paralelismo:

4 17. Condición de perpendicularidad: Mediana de un triángulo: 19. Mediatriz de un triángulo: 20. Altura de un triángulo: 21. Bisectriz de un triángulo: 22. Circuncentro: 23. Baricentro:

5 24. Incentro: Ortocentro: PARTE II: Resuelve los siguientes ejercicios, escribiendo el procedimiento en los espacios enmarcando con tinta las respuestas. Determina las coordenadas de los puntos de intersección de cada curva con los ejes coordenados especifica los tipos de simetría que poseen (con respecto al eje, al eje, con respecto al origen) = 0: Intersecciones con el eje : Simetría con respecto al eje : Intersecciones con el eje : Simetría con respecto al eje : Simetría con respecto al origen:

6 27. 3 = 0. 6 Intersecciones con el eje : Simetría con respecto al eje : Intersecciones con el eje : Simetría con respecto al eje : Simetría con respecto al origen: PARTE III: TIPO DE REACTIVO: Opción Múltiple. INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente cada pregunta selecciona la respuesta correcta, colocando dentro del paréntesis la letra de la opción correspondiente. 28. Supongamos que P(a, b) Q(c, d) son dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano. ( ) Entonces, la pendiente de la recta que pasa por estos puntos está dada por: a) m = a b. b) m = a + b. c d c + d c) m = d + b. d) m = d b. c + a c a 29. Cuál es la fórmula de la ecuación simétrica de una recta diagonal? ( ) a) = m + b. b) a + b + c = 0. c) 1 = m( 1 ). d) + = 1. a b 30. Si una recta pasa por el punto A(1, -2) tiene pendiente m = 5, entonces su gráfica es: ( 4 ) A B a) B b) A

7 7 A B B A c) d) 31. El ángulo de inclinación α de la recta del ejercicio anterior es: ( ) a) α = b) α = c) α = d) α = La ecuación general de la recta del ejercicio 30 está dada por: ( ) a) = 0. b) = 0. c) = 0. d) = La pendiente m el ángulo de inclinación α de la recta que pasa por los puntos A(-3, 5) ( ) B(2, -2) son: a) m = - 7, α = b) m = no definida, α = 90. c) m = 0, α = 0. d) m = -7, α = La ecuación general de la recta del ejercicio anterior está dada por: ( ) a) 5 = 0. b) = 0. c) = 0. d) + 3 = Si dos rectas son paralelas, entonces se cumple una de las siguientes condiciones: ( ) a) Las pendientes son distintas. b) Las pendientes son recíprocas de signos contrarios. c) Las pendientes son iguales. d) Las pendientes son numéricamente iguales, pero de signos contrarios. 36. Si dos rectas son perpendiculares, entonces se cumple una de las siguientes ( ) condiciones: a) Las pendientes son numéricamente b) Las pendientes son iguales. iguales, pero de signos contrarios. c) Las pendientes son recíprocas de signos d) Las pendientes son distintas. contrarios. 37. Si dos rectas son coincidentes, entonces se cumple una de las siguientes condiciones: ( ) a) Las pendientes son iguales las b) Las pendientes las ordenadas al origen ordenadas al origen son diferentes. son iguales. c) Las pendientes son distintas las d) Las pendientes las ordenadas al origen ordenadas al origen son iguales. son recíprocas de signos contrarios. 38. La mediatriz de un segmento puede interpretarse de la siguiente manera: ( ) a) Es cualquier recta o segmento que pasa por el punto medio del segmento dado. b) Es cualquier recta o segmento que pasa por el punto medio del segmento dado, además, ambos son perpendiculares entre sí. c) Es cualquier recta o segmento que sea d) Es cualquier recta o segmento que perpendicular al segmento dado. intersecte al segmento dado en cualquiera de sus puntos. 39. La altura de un triángulo se define de la siguiente manera: ( ) a) Como el segmento que une al punto medio de un lado con el vértice opuesto. c) Como el segmento perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto. b) Como la recta que pasa por el punto medio de un lado es perpendicular a éste. d) Como la recta que pasa por un vértice del triángulo divide en dos ángulos congruentes al ángulo correspondiente.

8 8 40. La mediana de un triángulo se define de la siguiente manera: ( ) a) Como el segmento que une al punto medio b) Como la recta que pasa por un vértice del de un lado con el vértice opuesto. triángulo divide en dos ángulos congruentes al ángulo correspondiente. c) Como la recta que pasa por el punto medio d) Como el segmento perpendicular a un lado de un lado es perpendicular a éste. que pasa por el vértice opuesto. 41. La bisectriz de un ángulo puede interpretarse de la siguiente manera: ( ) a) Como la recta que divide al ángulo en tres b) Como la recta que divide al ángulo en dos ángulos congruentes. ángulos congruentes. c) Como la recta que divide al ángulo en dos d) Ninguna de las anteriores. ángulos no congruentes. 42. La ecuación general (implícita) de la recta cua intersección (abscisa al origen) es a ( ) = -2, cua intersección (ordenada al origen) es b = -5, está dada por: a) = 0. b) = 0. c) = 0. d) = La pendiente m, la ordenada al origen (intersección ) b el ángulo de inclinación α de ( ) la recta cua ecuación general es = 0, están dados, respectivamente, por: a) m = 3, b = 1, α = b) m = 2, b = 5, α = c) m = - 3, b = 5, α = d) m = - 2, b = -5, α = La gráfica de la recta del ejercicio anterior es la siguiente: ( ) a) b) c) d) 45. La ecuación general (implícita) de la recta con pendiente m = -3 e intersección ( ) (ordenada al origen) b = 4 está dada por: a) = 0. b) = 0. c) = 0. d) = El ángulo de inclinación α de la recta del ejercicio anterior es: ( ) a) α = b) α = c) α = d) α = La gráfica de la recta del ejercicio 45 es la siguiente: ( )

9 9 a) b) c) d) PARTE IV. TIPO DE REACTIVO: Relación de Columnas. INSTRUCCIONES: Relaciona las preguntas de la columna izquierda con las respuestas de la derecha, colocando en el paréntesis el número de la opción que creas sea la correcta. ( ) Es la relación que indica que dos rectas, con pendientes m 1 m 2, son paralelas entre sí. ( ) Si se conocen un punto la pendiente de una recta, entonces su ecuación general se puede obtener con la fórmula conocida con el nombre de: ( ) Representa la fórmula de la ecuación pendiente intersección de una recta diagonal. ( ) ( ) Es el nombre que recibe el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo. Representa la fórmula de la ecuación simétrica de una recta diagonal. ( ) Es el nombre que recibe el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo. ( ) Es el valor de la pendiente de una recta vertical, paralela al eje de las ordenadas. ( ) Es el valor del ángulo de inclinación de una recta horizontal, paralela al eje de las abscisas. ( ) Es la relación que indica que dos rectas, con pendientes m 1 m 2, son perpendiculares entre sí. ( ) Es la forma de obtener las coordenadas del punto de intersección entre dos rectas, cuando se conocen sus ecuaciones generales α = 0. Incentro. m 1 = m 2. m 1 + m 2 = 0. 1 = m( 1 ). m = 0. Ecuación punto pendiente. Ecuación pendiente - ordenada al origen. m = no definida o sin valor. 57. Resolviendo el sistema simultáneo formado por las ecuaciones de las dos rectas, empleando los métodos gráfico, igualación, sustitución, suma resta o regla de Cramer α= 90. Circuncentro. Ortocentro. 61. a + b + c = Baricentro. 63. Encontrando las coordenadas del centro del triángulo que forman las dos rectas con el eje de las abscisas. 64. m 1 = m. 2 a + b = 1. m 1 m 2 = -1. = m + b.

10 10 PARTE V. TIPO DE REACTIVO: Desarrollo de Problemas. INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente los siguientes enunciados, resuelve lo que se indica. 68. Calcula el ángulo de inclinación la ecuación general de la recta L 1 cua pendiente es m 1 = - que pasa por el punto P(2, 0). 2 5 Ángulo de Inclinación: Ecuación General: 69. Determina la pendiente, el ángulo de inclinación la ecuación general de la recta L 2 que pasa por los puntos A(0, 3) B(3, 4). Pendiente: Ángulo de Inclinación: Ecuación General 70. Considera las rectas L 1 L 2 de los ejercicios 1 2, resuelve lo siguiente: a) Traza sus gráficas en el mismo sistema de coordenadas. b) Calcula las coordenadas de su punto de intersección. Aplica cualquiera de los métodos conocidos: reducción, igualación, sustitución o regla de Cramer. a) Gráfica: b) Punto de Intersección:

11 Determina las ecuaciones generales de las rectas L 1 L 2 que pasan por el punto A(6, 4), que cumplen con las siguientes condiciones: a) L 1 es paralela a la recta L 3 : = 0. b) L 2 es perpendicular a la recta L 4 : 8 2 = 0. Valores de m b en L 3 : Valores de m b en L 4 : Ecuación general de L 1 : Ecuación general de L 2 : 72. Considera el segmento AB, siendo A(-4, 8), B(2, -4) resuelve lo siguiente: a) Halla el punto medio de AB. b) Calcula la pendiente de AB. c) Establece la ecuación general del segmento AB. d) Calcula la pendiente de la mediatriz de AB. e) Determina la ecuación general de la mediatriz del segmento AB. f) Traza la gráfica del segmento de la mediatriz en el mismo plano. a) Halla el punto medio de AB : b) Calcula la pendiente de AB : c) Establece la ecuación general de AB : d) Calcula la pendiente de la mediatriz de AB :

12 12 e) Determina la ecuación general de la mediatriz del segmento AB : f) Traza la gráfica del segmento de la mediatriz en el mismo plano:

13 13 SECCIONES CÓNICAS PARTE VI. TIPO DE REACTIVO: Respuesta Breve. INSTRUCCIONES: Escribe, sobre las líneas, las definiciones de los conceptos que se indican. 73. Definición de circunferencia: 74. Radio de una circunferencia: 75. Diámetro de una circunferencia: 76. Definición de elipse: 77. Eje maor: 78. Eje menor: 79. Eje focal:

14 80. Lado recto: Definición de hipérbola: 82. Eje transverso: 83. Eje conjugado: 84. Asíntotas de una hipérbola: 85. Definición de parábola: 86. Eje de simetría de una parábola:

15 87. Parámetro de una parábola: Directriz de una parábola: 89. Lado recto de una parábola: 90. Describe los tipos de cónicas que se pueden obtener a partir de su discriminante:

16 16 PARTE VII. TIPO DE REACTIVOS: Solución de Problemas. INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente los siguientes enunciados, resuelve lo que se indica. 91. Determina el perímetro, el área, la ecuación estándar, la ecuación general traza la gráfica de la circunferencia cuo centro es C(3, -2) cuo radio es r = 11. Perímetro: Fórmula: L = 2πr. Epresa la respuesta en términos de π Área: Fórmula: S = πr 2. Escribe la respuesta en términos de π Ecuación Estándar: Fórmula: ( h) 2 + ( k) 2 = r 2 Gráfica: Localiza el centro, el radio las coordenadas de los cuatro puntos cardinales Ecuación General: (Realiza el proceso por pasos, desarrollando los binomios de la ecuación estándar e igualando a 0)

17 Calcula el centro, el radio, el perímetro, el área, la ecuación estándar, la ecuación general traza la gráfica de la circunferencia cuo diámetro es PQ, donde P(-3, 3) Q(9, -2). Centro: (Escribe el procedimiento: El centro es punto medio de PQ ) Radio: (Escribe el procedimiento: El radio es la distancia CP o CQ) Perímetro: Fórmula: L = 2πr. Epresa la respuesta en términos de π Gráfica: Localiza el centro, el radio las coordenadas de P, Q de los cuatro puntos cardinales Área: Fórmula: S = πr 2. Escribe la respuesta en términos de π Ecuación Estándar: Fórmula: ( h) 2 + ( k) 2 = r 2 Ecuación General: (Realiza el proceso por pasos, desarrollando los binomios de la ecuación estándar e igualando a 0)

18 Halla el radio, el perímetro, el área, la ecuación estándar, la ecuación general traza la gráfica de la circunferencia cuo centro es C(-1, 4) que pasa por el punto A(3, 1). Radio: (Escribe el procedimiento: El radio es la distancia CA) Perímetro: Fórmula: L = 2πr. Epresa la respuesta en términos de π Gráfica: Localiza el centro, el radio, las coordenadas de A de los cuatro puntos cardinales Área: Fórmula: S = πr 2. Escribe la respuesta en términos de π Ecuación Estándar: Fórmula: ( h) 2 + ( k) 2 = r 2 Ecuación General: (Realiza el proceso por pasos, desarrollando los binomios de la ecuación estándar e igualando a 0)

19 Halla la ecuación estándar (aplica factorización complementación de cuadrados), el centro, el radio, el perímetro el área de la circunferenia cua ecuación general es = 0. Traza la gráfica correspondiente. Ecuación Estándar: Transforma la ecuación general en estándar, aplicando factorización complementación de cuadrados Centro: Las coordenadas te las proporciona la ecuación estándar Gráfica: Localiza el centro, el radio las coordenadas de los cuatro puntos cardinales Radio: Lo obtienes con el resultado de la ecuación estándar Perímetro: Fórmula: L = 2πr. Epresa la respuesta en términos de π Área: Fórmula: S = πr 2. Escribe la respuesta en términos de π

20 20 PARTE VIII. TIPO DE REACTIVO: Respuesta Breve. INSTRUCCIONES: Establece e identifica en ambos casos cuáles son las fórmulas que corresponden a los elementos principales de cada parábola (vértice, parámetro, eje de simetría, foco, directriz, lado recto, ecuación estándar apertura o concavidad de la parábola). 95. Parábola con Vértice en el Origen Vertical Horizontal Vértice: Foco: Parámetro Eje de Simetría Directriz Lado Recto Ecuación Estándar 96. Apertura o Concavidad Parábola con Vértice fuera del Origen Vertical Horizontal Vértice Foco Parámetro Eje de Simetría Directriz Lado Recto Ecuación Estándar Apertura o Concavidad

21 21 PARTE IX. TIPO DE REACTIVO: Desarrollo de Problemas. INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente los siguientes enunciados, resuelve lo que se indica. Halla los elementos faltantes de las parábolas cuos datos se proporcionan. Traza su gráfica. Anota los procedimientos en los espacios correspondientes. 97. La parábola cua ecuación general es: = 0. Identificación de la Parábola Usa el tipo de ecuación general compárala con el formulario. Justifica la respuesta: Ecuación Estándar Aplica el método de factorización complementación de cuadrados: Vértice Utiliza la ecuación estándar: Gráfica: Parámetro p Utiliza la ecuación estándar: Apertura o Concavidad Utiliza el parámetro: Foco Aplica la fórmula apropiada: Eje de Simetría Aplica la fórmula apropiada: Directriz Aplica la fórmula apropiada: Lado Recto Aplica la fórmula apropiada:

22 98. La parábola cua ecuación general es: = 0. Identificación de la Parábola Usa el tipo de ecuación general compárala con el formulario. Justifica la respuesta: 22 Ecuación Estándar Aplica el método de factorización complementación de cuadrados: Vértice Utiliza la ecuación estándar: Gráfica: Parámetro p Utiliza la ecuación estándar: Apertura o Concavidad Utiliza el parámetro: Foco Aplica la fórmula apropiada: Eje de Simetría Aplica la fórmula apropiada: Directriz Aplica la fórmula apropiada: Lado Recto Aplica la fórmula apropiada:

23 99. La parábola cuo vértice es V(0, 0) su foco es F(0, 6). Identificación de la Parábola Localiza al vértice al foco en la gráfica conclue qué tipo de parábola representa: 23 Parámetro p Calcula la distancia del vértice al foco: Eje de Simetría Aplica la fórmula apropiada: Apertura o Concavidad Utiliza el parámetro: Gráfica: Directriz Aplica la fórmula apropiada: Lado Recto Aplica la fórmula apropiada: Ecuación Estándar Sustitue el valor de p en la fórmula: Ecuación General Iguala a 0 la ecuación estándar:

24 La parábola con vértice: V(3, 1), lado recto = 8, concavidad a la izquierda. Identificación de la Parábola Utiliza la información de la concavidad: Parámetro p Aplica la fórmula del lado recto el tipo de concavidad: Eje de Simetría Aplica la fórmula apropiada: Gráfica: Foco Aplica la fórmula apropiada: Directriz Aplica la fórmula apropiada: Ecuación Estándar Sustitue los valores de h, k p en la fórmula apropiada: Ecuación General Desarrolla los binomios e iguala a 0 la ecuación estándar:

25 PARTE X. TIPO DE REACTIVO: Respuesta Breve. INSTRUCCIONES: Escribe en los recuadros las fórmulas o los criterios que se solicitan sobre los elementos de cada tipo de elipse. Establece e identifica en ambos casos cuáles son las fórmulas que corresponden a los elementos principales de cada elipse (centro, vértices maores, vértices menores, focos, ejes maor, menor focal, lados rectos, relación del triángulo, ecentricidad, ecuación estándar, ecuación general e identificación de la elipse). Centro Vértices Maores Vértices Menores Focos Eje Maor Eje Menor Eje Focal Lados Rectos Relación del Triángulo Ecentricidad Ecuación Estándar Ecuación General Identificación Elipse con Centro en el Origen Vertical Horizontal Elipse con Centro fuera del Origen Vertical Horizontal Centro Vértices Maores Vértices Menores Focos Eje Maor Eje Menor Eje Focal

26 26 Elipse con Centro fuera del Origen Vertical Horizontal Lados Rectos Relación del Triángulo Ecentricidad Ecuación Estándar Ecuación General Identificación PARTE XI. TIPO DE REACTIVO: Respuesta Breve. INSTRUCCIONES: Escribe en los recuadros las fórmulas o los criterios que se solicitan sobre los elementos de cada tipo de hipérbola Establece e identifica en ambos casos cuáles son las fórmulas que corresponden a los elementos principales de cada hipérbola (centro, vértices transversos, vértices conjugados, focos, ejes transverso, conjugado focal, lados rectos, relación del triángulo, ecentricidad, asíntotas, ecuación estándar, ecuación general e identificación de la hipérbola). Hipérbola con Centro en el Origen Vertical Horizontal Centro Vértices Transversos Vértices Conjugados Focos Eje Transverso Eje Conjugado Eje Focal Lados Rectos Relación del Triángulo Ecentricidad Asíntotas Ecuación Estándar Ecuación General Identificación

27 27 Hipérbola con Centro fuera del Origen Vertical Horizontal Centro Vértices Transversos Vértices Conjugados Focos Eje Transverso Eje Conjugado Eje Focal Lados Rectos Relación del Triángulo Ecentricidad Asíntotas Ecuación Estándar Ecuación General Identificación PARTE XII. TIPO DE REACTIVO: Solución de Problemas. INSTRUCCIONES: Escribe dentro de los espacios de las siguientes tablas, la información de los elementos de la elipse de la hipérbola cua ecuación se especifica La elipse cua ecuación general es = 0. Proceso de conversión de ecuación general a estándar:

28 28 Valores de h, k, a, b, c: h k a b c ELEMENTOS FÓRMULAS VALORES Identificación Centro Vértices Maores Vértices Menores Focos Eje Maor Eje Menor Eje Focal Lados Rectos Ecentricidad Ecuación Estándar Ecuación General GRÁFICA:

29 104. La hipérbola cua ecuación estándar es ( 1 ) ( + 2 )2 16 = 1. Proceso de conversión de ecuación estándar a general: Valores de h, k, a, b, c: h k a b c ELEMENTOS FÓRMULAS VALORES Identificación Centro Vértices Transversos Vértices Conjugados Focos Eje Transverso Eje Conjugado Eje Focal Lados Rectos Ecentricidad Asíntotas Ecuación Estándar Ecuación General

30 30 GRÁFICA: ELABORADO POR Antero M. Gutiérrez Talamantes Académico de Tiempo Completo Matemáticas Estadística Departamento de Tecnociencia

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