TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO Geometría lineal Recta y Plano

Transcripción

1 LA LINEA RECTA: DEFINICIÓN. TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Recibe el nombe de línea ecta el luga geomético de los puntos tales que, tomados dos puntos cualesquiea distintos P, ) P, ) el valo de la epesión: m esulta siempe constante. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA. Una ecta queda geométicamente deteminada, ente otas fomas, si se conocen las coodenadas, ) de un punto P que le petenece P ) la diección deteminada po un vecto a. Si P, ) es un punto de la ecta podemos escibi los siguientes vectoes efeidos al sistema coodenado catesiano otogonal. OP i j OP i j a a i a j ) P, ) P,) a j j O i a a i A Como el vecto P P es paalelo al vecto a podemos epesalo de la siguiente manea: PP λ a λ a i a j ) siendo λ un escala, denominado PARÁMETRO. Po lo tanto, teniendo en cuenta la figua anteio obtenemos LA ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA. utilizando las epesiones ): OP OP λa ) i j ) i j ) λ a i a j ) Página

2 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA eliminando paéntesis agupando: i j i j λai λa j i j de donde esultan las siguientes igualdades: λa ) i λa ) j ) λa λa que eciben el nombe de ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA. En estas ecuaciones el paámeto λ funciona como una vaiable auilia tal que, modificando su valo, podemos obtene la posición de distintos puntos sobe la ecta. Despejando el valo del paámeto en las epesiones anteioes se obtiene: a a 4) λ que se denomina ECUACIÓN CARTESIANA SIMÉTRICA DE LA RECTA Ejemplo: Halla la ecuación vectoial, ecuaciones paaméticas catesiana simética de la ecta, que pasa po el punto P,-) es paalela al vecto a 4 i j La ecuación vectoial de la ecta seá: OP OP λa eemplazando valoes esulta: i j i j i j ) λ 4i j ) 4λ) i λ) j obteniéndose, de la igualdad anteio, las ecuaciones paaméticas de la ecta: 4λ λ despejando el valo del paámeto se obtiene la ecuación catesiana simética de la ecta buscada: λ 4 λ puede no escibise Página

3 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA FORMA IMPLÍCITA O ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. Consideemos la ecuación catesiana simética de la ecta dada po la epesión 4) opeando esulta: a a a ) a ) a a a a 4) pasando todos los téminos al pime miembo se obtiene: si llamamos: a a a a a A a B a a C 5) obtenemos la epesión: A B C 6) que se denomina foma implícita o ecuación geneal de la ecta en el plano. Podemos obseva que se tata de una ecuación de dos vaiables e que se encuentan elevadas a la potencia uno. Posiciones paticulaes de una ecta. ) Ecuación de una ecta paalela al eje de las odenadas. Si en la epesión 6) hacemos esulta: de la cual se obtiene: A B A C C A 7) Podemos intepeta esta última ecuación como, ) S / C A Página

4 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA cua epesentación gáfica en el plano es la siguiente O C A Como se puede ve, hemos obtenido el conjunto de puntos del plano, tales que cualquiea sea el valo de la odenada, la abscisa es igual a una constante -C/A). Este conjunto de puntos esulta alineado paalelamente al eje de las odenadas O, de donde se deduce que la epesión 7) es la ECUACIÓN DE UNA RECTA PARALELA AL EJE DE LAS ORDENADAS. ) Foma eplícita de la Ecuación de la ecta. Si en la ecuación A B C es B esulta si llamamos: obtenemos: B A C A B C B A B m C B n m n 8) que ecibe el nombe de FORMA EXPLÍCITA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL PLANO. Si en la epesión 8) hacemos obtenemos: n donde n valo que toma la odenada cuando la abscisa vale ceo) ecibe el nombe de odenada en el oigen. Página 4

5 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Si es ahoa n, la ecta pasa po el oigen O,) del sistema de efeencia. En este caso, teniendo en cuenta las epesiones 8) 5) esulta paa m m A a B a a a Si denominamos con φ al ángulo que el eje de las abscisas foma con la ecta tomando como sentido positivo el sentido tigonomético o antihoaio esulta: a tgφ m a donde m se denomina PENDIENTE DE LA RECTA. Cuando la ecta es paalela al eje de abscisas, tg φ. Recodamos que la inclinación de una ecta es un ángulo φ) la pendiente de la misma es la tangente tigonomética de dicho ángulo m tg φ). La inclinación de una ecta vaía ente º 8º; peo debemos tene pesente que si la ecta es paalela al eje esulta φ ½ π 9º, la tg ½ π NO EXISTE; en consecuencia, en este caso paticula, no eiste valo paa la pendiente. Ejemplo: Dada la ecuación de la ecta halla su ecuación eplícita, su pendiente, su inclinación su odenada en el oigen. Repesenta gáficamente. Despejando el valo de la vaiable se obtiene la ecuación eplícita de la ecta: siendo: m tgφ φ actg φ o 6 n odenada en el oigen A,). Página 5

6 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA φ 6º ) Ecuación de la ecta paalela al eje de las abscisas. Si en la foma eplícita hacemos m esulta: n; cualquiea sea el valo asignado a la vaiable, es siempe igual a una constante n; es la llamada FUNCION CONSTANTE su gáfica es una ecta paalela al eje. O, n) n O CONDICION DE PARALELISMO ENTRE RECTAS. φ φ Página 6

7 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Dadas dos ectas paalelas de ecuaciones eplícitas m n m n po se paalelas, tienen igual inclinación, es deci: φ φ de donde esulta: tgφ tgφ m m que nos da la condición de paalelismo ente dos ectas. Actividad: Dadas las ectas: veifica que son paalelas. : 4 : 8 CONDICION DE PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS. Sean dos ectas pependiculaes, cuas ecuaciones eplícitas son: φ φ π / φ : m n : m n Página 7

8 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Sean φ φ las inclinaciones de dichas ectas; de acuedo a la figua esulta: π φ φ po lo tanto siendo: π sen φ π m tgφ tg φ π cos φ π π senφ cos cosφ sen m π π cosφ cos senφ sen teniendo en cuenta que sen π cos π la epesión anteio se educe a: cosφ m cot gφ senφ tgφ m que es la condición de pependiculaidad buscada: Ejemplo: Dadas las ectas: m o bien m m m veifica si son pependiculaes. Siendo m 5 m 5 esulta: m m 5 5 de donde se deduce que: m m en consecuencia las ectas son pependiculaes. Página 8

9 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS. φ φ φ A Tataemos de enconta una epesión que nos pemita calcula el ángulo que foman dos ectas al cotase en un punto. Sean dos ectas que se cotan en el punto A cuas pendientes sean espectivamente m m. De acuedo a la figua el ángulo que foman las ectas es: φ φ φ Resultando, de utiliza la epesión que pemite calcula la tangente de la difeencia de dos ángulos: tgφ tgφ tgφ tg φ φ ) tgφ tgφ Peo, siendo tgφ m tgφ m m m tgφ m m En ealidad, dos ectas se cotan según dos ángulos que son suplementaios. En estas condiciones, la tangente de φ puede se positiva o negativa, según se tate de un ángulo del pime o del segundo cuadante. Podemos conveni en considea únicamente los valoes positivos; en estas condiciones la epesión anteio se tansfoma en: tgφ m m m m Página 9

10 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Ejemplo: Halla el ángulo que foman al cotase las ectas de ecuación 8 de ecuación 4 Debemos halla las pendientes m m de las ectas espectivamente, paa lo cual debemos escibi sus ecuaciones en foma eplícita siendo: m m eemplazando valoes en la epesión tgφ m m m m / ) / / ) tg φ 7 / 7 4,75 φ actg, ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO. Nos poponemos enconta la ecuación de la ecta que pasa po el punto P, ) tiene pendiente m. Paa logalo podemos utiliza la epesión eplícita de la ecta: m n a) Teniendo en cuenta que la ecta debe pasa po el punto P, ), las coodenadas de este punto, deben satisface la ecuación de la ecta, es deci, se cumple que: m n b) si estamos miembo a miembo las epesiones a) b) eliminamos n, obteniendo: que es la ecuación buscada. m n m n m ) c) Página

11 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Ejemplo: Halla la ecuación de la ecta que pasa po el punto P,4) es paalela a la bisectiz del pime cuadante. Como la ecta debe pasa po el punto P,4) su epesión seá: ) 4 m peo, como esta ecta debe se paalela a la bisectiz del pime cuadante, su pendiente seá m a que: m tgφ tg45º Po lo tanto, la ecuación buscada esultaá: ) 4 4 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS. En este caso tenemos como dato las coodenadas de dos puntos P, ) P, ) debemos halla la ecuación de la ecta que pasa po ambos puntos. Si la ecta pasa po el punto P, ) debe veifica la ecuación: m ) a) si pasa además po el punto P, ) las coodenadas de dicho punto, deben satisface la ecuación de la ecta, es deci m ) b) de la cual se obtiene el valo de la pendiente m, cuando conocemos dos puntos que le petenecen, es deci: m c) Si eemplazamos el valo dado po la epesión c) paa m en la epesión a) se obtiene: ) Página

12 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA pasando - al pime miembo obtenemos la ecuación de la ecta que pasa po los puntos P, ) P, ) Ejemplo: P -,-4). Halla la ecuación de la ecta que pasa po los puntos P,) Siendo: 4 eemplazando valoes en la epesión anteio se obtiene: que es la ecuación buscada. 5 ) 7 ) Página

13 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA FORMA SEGMENTARIA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA. Sea la ecta, que no pasa po el oigen O,) del sistema coodenado, e intecepta a los ejes en los puntos Pp,) Q,q). Paa halla la ecuación segmentaia de la ecta, podemos pati de la ecuación de la ecta que pasa po dos puntos: siendo, en este caso paticula: con lo que esulta: efectuando opeaciones se obtiene: p q q q p p p pasando p al pime miembo de la ecuación obtenemos: l) p q que se denomina ECUACION SEGMENTARIA DE LA RECTA po se p q espectivamente la longitud de los segmentos bajo los cuales la ecta cota a los ejes de abscisas de odenadas. Ejemplo: Dada la ecuación de la ecta en la foma implícita 8 pasa a la foma segmentaia. Pasando el témino independiente al segundo miembo de la ecuación, se obtiene: 8 Página

14 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA dividiendo ambos miembos po -8, nos queda: compaando con la epesión I) esulta: / 8 p 8 / q 8 En estas condiciones, los puntos de intesección con los ejes coodenados e son espectivamente: P-8/, ) Q, 8) INTERSECCIÓN ENTRE RECTAS. Sea el poblema de esolve la intesección ente las ectas que confoman, desde el punto de vista algebaico el SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS ), ): A B C A B C ) ) Geométicamente equivale a detemina el punto de intesección de las dos ectas cuas ecuaciones analíticas están dadas po las epesiones ) ). Ejemplo: Resolve gafica analíticamente el sistema ) 4) Página 4

15 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA P -/, 5/ ) - - / Paa esolve este sistema analíticamente pocedemos de la siguiente manea: despejamos de la epesión ) obteniendo 5) eemplazamos su valo en la epesión 4) obteniendo ) / De esta manea, hemos hallado el valo de que eemplazado en la epesión 5) nos pemite halla el valo de :. /) 5 6) / Po lo tanto, el punto de intesección de las dos ectas, o sea, LA SOLUCION ANALITICA DEL SISTEMA PROPUESTO es el punto: 5 P, Siendo este punto, el ÚNICO PUNTO DEL PLANO que petenece a ambas ectas, lo cual implica que dicho punto es LA ÚNICA SOLUCION DEL SISTEMA DADO. Página 5

16 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Página 6 Paa veifica que el esultado obtenido es coecto, podemos eemplaza las coodenadas del punto en las ecuaciones dadas ) 4), compobando si obtenemos una igualdad numéica. En efecto, eemplazando valoes en la epesión ) se obtiene: Paa la segunda ecuación 4) esulta: 6 5 Luego, las coodenadas del punto 5, P satisfacen a las ecuaciones dadas. Sea ahoa el sistema: ) ) En este caso, obsevemos que la ecuación 8) se ha obtenido multiplicando todos los téminos de la ecuación 7) po el escala, esultando paa ambas ecuaciones, la misma epesentación gáfica, es deci la misma ecta. Como se puede ve, las soluciones del sistema son los infinitos puntos de la ecta. Paa esolve analíticamente el sistema dado pocedemos de la siguiente manea: despejamos de la epesión 7) el valo de la vaiable obteniendo: - -

17 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA 9) eemplazando este valo en la epesión 8) 4 ) ) 6 6) Como se puede ve, cualquie punto de la ecta es solución del sistema dado. Po lo tanto eisten infinitas soluciones. Sea po último el sistema: 4 ) ) cua epesentación gáfica es la siguiente: Como puede apeciase, las dos ectas son paalelas tienen la misma pendiente distinta odenada al oigen) en consecuencia NO EXISTE NINGÚN PUNTO DEL PLANO QUE SATISFAGA AL SISTEMA DADO. Página 7

18 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA TRABAJO PRACTICO. Ejecicio Nº : Escibi la ecuación de la ecta que pasa po el oigen O,) tiene una inclinación de : a) º. b) 45º. c) 9º. d) 5º. e) 5º. f) 7º. g) 5º. Repesenta gáficamente. Ejecicio Nº : Cuáles de las ecuaciones de cada item coesponden a la misma ecta? a) 4 b) c) d) e) f) 8 Ejecicio Nº : Calcula en ángulo que detemina las ectas al cotase epesenta gáficamente: a) b) 4 8 Página 8

19 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Ejecicio Nº 4: Enconta la ecuación de la ecta que: a) pasa po el punto A 5, -) es paalela a la ecta 4-6. b) pasa po el oigen O, ) es paalela a la ecta - -. c) pasa po el punto A -, ) es pependicula a la ecta -. d) pasa po el punto A, 5) es pependicula a la ecta - -. Repesenta gáficamente los casos planteados. Ejecicio Nº 5: Enconta la ecuación de la ecta mediatiz del segmento deteminado po los puntos: a) A -,) ; B, ). Repesenta gáficamente. b) A 5, -) ; B -, ). Repesenta gáficamente. Ejecicio Nº 6: a) Halla la ecuación de la ecta que pasa po los puntos A -,) ; B,-). b) Idem paa A 5,) ; B -4,5). Ejecicio Nº 7: a) Halla la ecuación vectoial, ecuaciones paaméticas catesianas siméticas de la ecta que pasa po el punto P,) es paalela al vecto v i j. Repesenta gáficamente. b) Idem anteio que pasa po P -,-) es paalela al vecto v i j. Repesenta gáficamente. Ejecicio Nº 8: Halla la ecuación de la ecta que pasa po la intesección de las ectas ; es pependicula a la ecta 4. Repesenta gáficamente. Página 9

20 LA ECUACION DEL PLANO. TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Ecuación vectoial catesiana del plano. Sea un plano π ; P, z ) un punto que le petenece n ni n j n k un vecto nomal a π. Un punto P de π peteneceá al plano si sólo si confoma con P un vecto pependicula a n ; ello implica que el poducto escala es nulo, o sea P P n epesión que indica la pependiculaidad ente los vectoes. Siendo: PP ) i ) j z z )k n ni n j n k esulta ) n ) n z z ) n en la que haciendo π z P i k P j n obtenemos: n A; n B; n C ) B ) C z z ) A que es la ecuación del plano que pasa po P,, z ) en la cual A, B C son las coodenadas del vecto nomal que confoma lo que se denomina SISTEMA DE NUMEROS DIRECTORES DEL PLANO. Desaollando la epesión anteio: A B ) A B Cz Cz que escibimos po se A B Cz cte D A B Cz D ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO. Página

21 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA FORMA SEGMENTARIA DE LA ECUACIÓN DEL PLANO. Patiendo de la epesión de la ecuación geneal opeando A B Cz D A B Cz D D D D D ; D A z D D B C D D D z con p ; q ; A B C p q epesión en la cual p,q son las longitudes de los segmentos bajo los cuales el plano cota espectivamente a los ejes coodenados de abscisas, odenadas cotas. TRAZAS SOBRE LOS PLANOS COORDENADOS. Son las ectas intesecciones del plano π con los planos coodenados. Paa halla su intesección con el plano obsevamos que en ella todos los puntos tienen nula la coodenada z z) ; ello significa que si en la ecuación geneal hacemos z nos queda A B D CUIDADO!: tiene el aspecto de la ecuación de una ecta en el espacio bidimensional peo como veemos, en el espacio tidimensional, la ecuación así epesada tiene un luga geomético distinto). En igo en el espacio tidimensional las tazas se obtienen como intesección ente π los planos coodenados cuas ecuaciones son z plano ); plano z); plano z); entonces las ecuaciones de las tazas son: A ) B Cz D z ) A B Cz D ) A B Cz D z ) π P i k P j ) ) n Página

22 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA POSICIONES PARTICULARES DEL PLANO. Sea la ecuación geneal del plano A B Cz D. Estudiamos las posiciones paticulaes que el plano adopta según que se anulen uno o más coeficientes de su ecuación: a) Si D la ecuación se tansfoma en A B Cz se satisface paa el oigen de coodenadas; esulta entonces se la ecuación del plano que pasa po el oigen de coodenadas. b) Si cualquiea de los coeficientes de las vaiables es nulo, po ejemplo C, obtenemos A B D esultando el vecto nomal n A, B,), es deci, con componentes solo en el plano ; se conclue que siendo n nomal al eje z n z, el plano debeá se paalelo a dicho eje. Actividad: Da las ecuaciones dibuja los planos paalelos a los otos ejes coodenados. c) Sean ahoa C B ; la ecuación del plano esulta A D en la n A,, es paalelo al eje el plano se ubica paalelo al plano z. ) z n Actividad: Escibi las ecuaciones dibuja los planos paalelos a los otos planos coodenados. Página

23 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA d) Si C B D queda A o bien ecuación del plano z. Actividad: Da las ecuaciones de los otos planos coodenados. ÁNGULO ENTRE PLANOS: n n π φ π φ Siendo los vectoes nomales a los planos, el ángulo ente los planos puede obtenese midiendo el ángulo ente los vectoes, Si n A, B, C ) n A, B C ), esulta: n n A A B B C C cosφ ) n n A A A B B CONDICIÓN DE PARALELISMO: Página B

24 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Si los planos son paalelos, sus vectoes nomales también lo seán; en consecuencia la condición de paalelismo ente planos esulta de la condición de paalelismo ente vectoes. Actividad: da la epesión que pemita veifica si dos planos son o no paalelos. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD: Si los planos son pependiculaes, φ 9º cos φ cos 9º, esultando igual a ceo el numeado de la epesión ). A A BB CC n n la condición de pependiculaidad, puede epesase como poducto escala nulo. TRABAJO PRÁCTICO. P es Ejecicio Nº : Halla la ecuación de un plano que pasa po,, ) pependicula al vecto v i j k. Ejecicio Nº : Halla la ecuación del plano paalelo al plano del ejecicio anteio que pasa po el oigen de coodenadas. Ejecicio Nº : Escibi la ecuación del plano que pasa po P,,) esulta: a) paalelo al plano. b) paalelo al eje z que pasa además po Q,,) Ejecicio Nº 4: Escibi la ecuación de un plano paalelo al eje que pasa po: a) P,,) P,,) b) P,,),,4) P Ejecicio Nº 5: Halla la ecuación del plano que es pependicula al segmento,, P,4,5 en su punto medio. P ), ) Ejecicio Nº 6: Halla el ángulo ente los planos: 5z 4 z Página 4