3 Aplicaciones de primer orden

Transcripción

1 CAPÍTULO 3 Aplicaciones de primer orden Traectorias ortogonales Si consideramos la familia de curvas C c; con c > 0; podemos decir que esta familia es el conjunto de las circunferencias de radio r p c con centro en el origen. Ésta es una familia de curvas de la forma F.; / ci donde F.; / C Una ecuación diferencial asociada a esta familia de curvas es 0 F F 1. canek.azc.uam.m / 9/ 010 1

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias En un punto arbitrario del plano.; /, la curva de la familia que pasa por ese punto tiene recta tangente con pendiente. Por ejemplo, por el punto.; 3/ pasa la circunferencia de radio p 13 su recta tangente en dicho punto tiene pendiente m ; 3/ Tangente con pendiente m 1 3. p 13 Ahora bien, se sabe que dos rectas que se intersecan son ortogonales (o perpendiculares) si sus pendientes satisfacen m 1 m 1 o bien m 1 1 m o bien m 1 m 1 Es decir, la pendiente de una recta es el negativo del inverso multiplicativo de la pendiente de la otra. Eisten curvas que pasan por el punto.; 3/ que tienen como pendiente de la tangente m 3. Por ejemplo, C pasa por el punto.; 3/ la pendiente de su tangente en ese punto es m 3 Recta tangente con pendiente m 3. 3 ecimos entonces que, en el punto.; 3/, las curvas C 13 & C son ortogonales puesto que sus tangentes son ortogonales. Cumplen que m 1 m 1. Ahora, si tomamos un punto arbitrario del plano.; / por donde pasa una circunferencia de radio r C cua tangente tiene pendiente m 1

3 Ecuaciones diferenciales ordinarias 3 3 p C.; / Tangente con pendiente m 1. podemos generar entonces una ecuación diferencial con la igualdad m 1 m 1. Esta E es d d (3.1) La anterior E tiene soluciones tales que, cuando una curva solución pasa por el punto.; /, su recta tangente es ortogonal a la tangente de la circunferencia que pasa por ese punto. Vamos a resolver la ecuación diferencial anterior (3.1) por separación de variables d d ) d d ) d d ) ) ln ln C C ) ln ln C ln C ) ln ln C ) ) C La solución general de esta ecuación diferencial representa a la familia de rectas que pasa por el origen. Como vemos, cada recta de la familia C interseca ortogonalmente a cada una de las circunferencias de la familia C c. Así, con el método indicado, hallamos una familia de curvas ( no una única curva) tal que cada uno de sus miembros es ortogonal a cada una de las curvas del la familia C c. Esto se ve en la siguiente figura Supongamos que tenemos dos familias de curvas (las cuales llamaremos C 1 C ), cuando cada curva de una familia C 1 es ortogonal a cada una de las curvas de otra familia C, se dice que C 1 C son familias ortogonales de curvas o bien que C 1 C son familias de traectorias ortogonales. Cómo encontrar la familia ortogonal a una familia dada? Si tenemos una familia de curvas de la forma F.; / c

4 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias Se calcula la ecuación diferencial asociada a dicha familia, es decir 0 F F Se afirma entonces que la ecuación diferencial asociada a la familia ortogonal es d d F F Resolvemos esta ecuación diferencial su solución general es la familia ortogonal a la familia dada. Ejemplo Obtener la familia ortogonal a la familia c H Esta familia es el conjunto de las parábolas con vértice en el origen. Para c > 0. Para c < 0. Calculamos la ecuación diferencial asociada a esta familia de curvas. Escribimos c como c donde F.; / F ) 4 3 F 1 Entonces la ecuación diferencial asociada a la familia de parábolas es 0 F F 3 1 Por lo tanto la ecuación diferencial asociada a la familia ortogonal es Resolvemos esta E por variables separables d d d d F F ) d d ) ) d d ) 1 C C ) ) C 1 C ) C C C 1I esta última ecuación es la familia ortogonal representa una familia de elipses con centro en el origen

5 Ecuaciones diferenciales ordinarias 3 5 Ejemplo 3.7. eterminar las traectorias ortogonales de la familia de curvas C 4c; con c constante. H Obtenemos la E asociada a esta familia C 4c ) C 4 c ) F.; / C 4 ) F 1 F 4 ; 4 Luego, la E asociada es 0 F F 4 Por lo tanto, la E asociada a las traectorias ortogonales es d d F F Como se observa, esta E es homogénea la resolvemos como tal ( ) d d ( ) Tenemos Al sustituir en la E dw d C w w w w ) dw d ( ) ( ) ) w ) d d dw d C w w w w w w C w 3 w3 w w ) ) w dw d d w w 3 ) dw w 3 ( w ) ) ln ln w C C 1 ln w C C ) w ) ln C 1 C ln w C w ( w 3 1 w ) dw )

6 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias Y debido a que w, se tiene que ( ln C ) C ln C ) ln C C ln ln C ) ) C ln C ) C ln C Por lo tanto, las traectorias ortogonales están dadas por la familia de curvas C ln C I donde C es constante. Ejemplo Calcular las traectorias ortogonales de la familia de curvas cos ce ; con c constante. H Obtenemos la E asociada a esta familia de curvas cos ce ) e cos c ) F.; / e cos ) F.cos /e e cos ; F e. sen / e sen Luego, la E asociada es 0 F F Por lo que, la E asociada a las traectorias ortogonales es e cos e sen cos sen d d sen cos ; que resolvemos por variables separables. d d sen cos ) cos d d ) sen Por lo tanto, las traectorias ortogonales están dadas por cos sen d d ) ) ln.sen / C C ) sen e CC e e C e C sen Ce ; con C constante. Ejercicios 3.7. Traectorias ortogonales. Soluciones en la página 7 Encontrar la familia de curvas ortogonales a cada una de las siguientes familias. 1. C.. Ce. 3. C. 4. C C C. 6. C a. 7. p. a/; p 0 es un número conocido. 8. a a C / a. /.

7 Ecuaciones diferenciales ordinarias 3 7 Ejercicios 3.7. Traectorias ortogonales. Página 6 1. C C.. C C. 3. C. 4. C ln C. 5. C C. 6. C C. 7. Ce 8. C. p. 9.. C / K. C / C / K.