numerador 15 como el denominador 18 tienen como divisor común este número:

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1 MATEMÁTICA MÓDULO Eje temático: álgebra y funciones 1. LENGUAJE ALGEBRAICO 1.1. Simplificación de fracciones algebraicas Si tenemos la fracción 15, la puedes simplificar por 3, ya que tanto el 18 numerador 15 como el denominador 18 tienen como divisor común este número: Esto que ocurre con las fracciones numéricas, también ocurre con las fracciones algebraicas, por ejemplo, si queremos simplificar la fracción: x x, debemos buscar previamente un divisor común del numerador y del x 4 denominador. Para ello debes factorizar previamente ambos términos: x x x(x ) x 4 (x )(x ) + El divisor común es (x-), si simplificamos por él, obtenemos la fracción reducida: x(x ) (x + )(x ) x x + Para poder simplificar hay que factorizar previamente, por lo tanto, debes dominar bien todos los casos de factorización; si no los dominas te recomendamos visitar el eje temático de Álgebra y funciones del módulo anterior (1 medio). 3 (x y ) Si queremos simplificar fracciones de la forma:, debemos ocupar las x y propiedades de potencias, que repasaremos a continuación:

2 1.. Potencias de base real y exponente entero Definición: 0 a 1 (a 0) 1 0) a -n 1 a (a 0) n a 1 a (a Propiedades: n m m+ n 1) a a a (multiplicación de potencias de igual base) n m m n ) a a a (división de potencias de igual base) n n n 3) a b (a b) (multiplicación de potencias de igual exponente) n a a 4) n b b n n n n 5) (a b) a b (potencia de un producto) n (división de potencias de igual exponente) n a a 6) (potencia de un cuociente) n b b m n m n 7) (a ) a (potencia de potencia) Ocupando estas propiedades podemos volver ahora al ejemplo que dejamos pendiente: Simplificar la fracción: 3 (x y ) x y En el numerador ocupamos las propiedades 5 y 7: (x y 3 ) 4x 4 y 6, por lo tanto la fracción se transforma en: 4 6 4x y 16x y 3 8 Ocupando ahora la propiedad y simplificando por 4, obtenemos: 4 6 4x y x x y 4y

3 1.3. Operatoria con fracciones algebraicas. Si queremos efectuar la operación debemos buscar previamente el 5 m.c.m. de los denominadores: m.c.m. (,5) 10; enseguida calculamos cuántas veces cabe en 10 y el resultado lo multiplicamos por el numerador 1, y lo mismo hacemos con el denominador 5: Si las fracciones son algebraicas se procede de la misma forma, pero debes factorizar previamente los denominadores para poder determinar el m.c.m. Ejemplo: x + y x y Para hallar el m.c.m. de los denominadores, debemos factorizarlos previamente: x + y (x + y) x -y (x + y)(x - y) El m.c.m. entre (x + y) y (x + y)(x - y) es la expresión algebraica menor que contenga todos estos factores, esta es: (x + y)(x - y) Ahora procedemos tal como lo hicimos en el ejemplo numérico: (x y) + 3 5x 5y x y x y (x y) (x y)(x y) (x y)(x y) (x y)(x y) Veamos ahora otro ejemplo: x + 5x + 6 x + 3 Factorizamos el denominador: x +5x+6(x+)(x+3) 3

4 El m.c.m entre (x+)(x+3) y (x+3) es (x+)(x+3), por lo tanto: x x 5x 6 x 3 (x )(x 3) x 3 (x )(x 3) x + 3 (x + )(x + 3) 1 (x + ) Si queremos multiplicar o dividir fracciones algebraicas, lo hacemos de la misma forma que cuando se operan fracciones numéricas: a c ac b d bd a c a d ad : b d b c bc Como se explicó anteriormente, para poder simplificar se debe factorizar previamente. Veamos un nuevo ejemplo: x 1 y x y En el numerador: x 1 el m.c.m. es y, si restamos obtenemos: y En el denominador factorizamos por : x y (x-y) x y x 1 y y Por lo tanto la fracción inicial queda: x y x 1 y y x y (x y) 4

5 Si efectuamos la división de fracciones, resulta: y x y y x 1, los binomios (y-x) e (y-x) no son iguales, pero si (x y) y (x y) ponemos y-x como (x-y) podemos simplificar: y x 1 (x y) y (x y) y (x y) 1 y Para el estudio de la operatoria con fracciones algebraicas se sugiere visitar el sitio: FUNCIONES.1. Aplicaciones de las funciones En una cuenta de electricidad figura el siguiente detalle: Arriendo de equipos: $ 581 Cargo fijo: $ 49 Energía base 50 KWH $ Total $ El arriendo de equipos y el cargo fijo suman $1.073 y la Energía base se cobra de acuerdo al consumo. Como según este ejemplo se gastaron 50 KWH (kilowatts-hora), cuyo valor es $15.000, se obtiene que cada KWH vale: : 50 $60. De lo anterior se deduce que, para calcular el valor de la cuenta, se debe sumar un cargo fijo de $1.073 más $60 por cada KWH de consumo. En términos generales la cuenta C(k) donde k es el número de KWH de consumo, está dada por la expresión: C(k) k Esta expresión depende del resultado de la cantidad k (de KWH de consumo), por lo que k es la variable independiente y C(k) es la variable dependiente. 5

6 En esta notación C(3) se indica el valor de la cuenta para k 3: C(3) Es decir, para un consumo de 3 KWH se tiene una cuenta de $1.53. Esta función la podemos graficar en un plano cartesiano, donde en el eje x (eje de las abscisas) ponemos la variable independiente y en el eje y (eje de las ordenadas) ponemos la variable dependiente. Para graficar la función del ejemplo, completemos primero una tabla de valores: k C(k) Si graficamos, obtenemos: Observa que todos los puntos están sobre una recta. Como veremos un poco más adelante, en todas las ecuaciones de la forma: y mx + n, sus gráficas son líneas rectas; en este ejemplo: m 60 y n Los puntos del ejemplo no cubren toda la recta puesto que la variable k toma solamente valores enteros. Si k pudiese tomar todos los valores reales, el gráfico sería una recta (es decir, un gráfico continuo). 6

7 En el Módulo 3 se estudiarán funciones cuadráticas y cúbicas, por lo que aquí nos referiremos a funciones cuyo gráfico es una línea recta y a funciones que son aplicaciones a situaciones concretas (como la del ejemplo). La función puede venir dada por su ecuación, por su gráfica, o bien planteada a través de una situación problemática. Veamos a continuación cada uno de estos casos: Ejemplo: Sea la función: f(x) 3x 3-4x x+1, entonces f(-) + f() f(-) 3. (-) 3 4. (-). (-) f() Por lo tanto f(-) + f() Ejemplo: Dada la gráfica de la función Hallar f(-) + f() + f(3) Según la gráfica, f(-) ; f() -1 y f(3) -1 Por lo tanto: f(-) + f() + f(3) Ejemplo: Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua aumenta 0 cm por cada hora que transcurre. Si inicialmente el agua que había en la piscina llegaba a una altura de 1, m, cuál es la ecuación de la función que determina la altura (h) del agua después de transcurridas t horas? 7

8 Por cada hora que transcurre la altura crece en 0, m, por lo tanto, la altura que aumenta el agua después de t horas es: 0,t. Así, la altura h después de t horas será: h(t) 1, + 0,t Puedes hallar ejercicios y aplicaciones de funciones en el sitio: eso/funciones/pfuncionafin/pfuncionafin.htm.. Fórmulas de Geometría Analítica A continuación veremos algunas fórmulas básicas de la geometría en el plano cartesiano. Sean los puntos A(x 1,y 1 ) y B(x,y ), entonces: 1. Distancia entre los puntos: AB (x x ) + (y y ) 1 1 x + x y + y. Punto medio del segmento AB : M, y y1 3. Pendiente del segmento AB : m x x Ecuación general de la recta: ax + by + c 0 5. Ecuación principal de la recta: y mx + n 6. Ecuación punto-pendiente: y - y 1 m(x - x 1 ) 7. Ecuación de la recta por dos puntos:.3. Función lineal y función lineal afín y y y y (x x ) x x1 Una función lineal es de la forma: y mx, y su gráfica es una línea recta que pasa por el origen. La pendiente de la recta se denomina m y su signo está relacionado con el ángulo que forma con el eje x (medido en sentido contrario a los punteros del reloj). 8

9 Interpretación de la pendiente (m): Si la pendiente es positiva, la recta forma un ángulo agudo con el eje x. Si la pendiente es negativa, la recta forma un ángulo obtuso con el eje x. Una función lineal afín es de la forma: y mx + n con n 0, y su gráfica es una línea recta que no pasa por el origen. Interpretación geométrica del coeficiente de posición (n) El coeficiente de posición se denomina n y su valor indica la intersección de la recta con el eje y. En toda ecuación de recta: y mx + n, la gráfica intercepta al eje y en el punto (0,n). Veamos a continuación algunos ejemplos de interpretación de m y n: 9

10 .4 Rectas paralelas y perpendiculares. Si tenemos las pendientes de dos rectas podemos determinar si son paralelas o perpendiculares, a través de las siguientes propiedades: Si dos rectas son paralelas entonces tienen igual pendiente. Si dos rectas son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es 1. 10

11 Ejemplo: Dadas las rectas: L 1 : 5x 3y 15 y L : 3x + 5y 1, determina si son paralelas o perpendiculares. Primero se debe convertir cada recta a su ecuación principal, despejando la variable y: 5 L 1 : 5x 3y 15 3y 5x 15 y x L : 3x + 5y 1 5y 3x + 1 y x La pendiente m corresponde al coeficiente de la variable x, por lo tanto: 5 3 m 1 y m 3 5 Si multiplicamos ambas pendientes obtenemos: m1 m Por lo tanto las rectas son perpendiculares. A continuación te presentaremos algunos ejemplos relativos a ecuaciones de rectas. Ejemplo: Cuál es el gráfico de la función 3x-y+60? Primero llevamos la ecuación a ecuación principal: 3 3x y y 3x + 6 y x + 3 de esta última ecuación concluimos que m 3/ y n 3, por lo tanto su gráfica aproximadamente es: 11

12 Ejemplo: Cuánto vale p si el punto (p-1,p+1) está sobre la recta 3x-y+10? Reemplazamos las coordenadas (x,y) del punto en las respectivas variables de la ecuación de la recta: x p - 1 ; y p + 1 3(p 1) (p + 1) p 4 0 p 1 Ejemplo: En qué punto la recta de ecuación: 3x y corta el eje x? El punto donde intercepte al eje x debe tener un valor de y igual a cero. Reemplazando y 0 en la ecuación de la recta, obtenemos: 3x x 3 Por lo tanto intercepta al eje x en el punto (-3,0). Se recomienda visitar los siguientes sitios para trabajar la función lineal y aspectos relativos a ella: En la siguiente dirección de Internet se puede trabajar con un graficador de funciones lineales y afines. Permite observar cómo se comporta el gráfico de la recta de ecuación: y mx+k, al modificar los valores de los parámetros m y k. neal_afin/caracteristicas_de_la_funcion_afin.htm Doce ejercicios de aplicación de la función lineal: Ocho ejercicios de ecuaciones de rectas: (no considerar el 9º que corresponde a sistemas de ecuaciones) Funciones%0Lineales.doc 1

13 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3.1. Interpretación gráfica Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma: ax + by c dx + ey f Cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta. Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas. Gráficamente, la situación es la siguiente: Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones (reducción, igualación, sustitución), pero acá veremos solamente un ejemplo en el cual utilizaremos el método de reducción. Ejemplo: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 3x y 5 x + y 8 13

14 Multiplicando la segunda ecuación por, obtenemos: 3x y 5 4x + y 16 Sumando ambas ecuaciones, para eliminar una de las variables, se obtiene: 7x 1 x 3 Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo en la segunda: y 16 y Por lo tanto la solución del sistema es el punto (3,). Para ejercitar con problemas que se resuelven utilizando sistemas de ecuaciones, consulta el sitio: SisEcuProblemas.html (59 ejercicios propuestos) 3.. Análisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones Al resolver el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas ax + by c dx + ey f podemos tener cualquiera de las siguientes situaciones: 1. Infinitas soluciones Esto sucede cuando las ecuaciones representan la misma recta. Lo anterior se produce cuando los coeficientes de x, de y y los términos libres son proporcionales: a b c d e f 14

15 . Sin solución El sistema de ecuaciones tiene los coeficientes de x y de y proporcionales entre sí, pero no proporcionales a los términos libres: a b c d e f 3. Solución única Esto acontece cuando los coeficientes de x y de y no son proporcionales: a d b e Es conveniente aclarar que la proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y equivale a que las pendientes de las rectas sean iguales, por lo tanto, es posible que: Si las tres razones son iguales, entonces son la misma recta, por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones. Si solamente las razones de los coeficientes de x y de y son iguales, entonces las rectas son paralelas no coincidentes y el sistema no tiene soluciones. Ejemplo: Hallar el valor de p de modo que el sistema no tenga soluciones: (p 1)x + y 3 (p + )x + 4y 1 Como no tiene soluciones, debe acontecer que: p 1 3 p Claramente, 3, por lo tanto el valor de p lo obtenemos de la proporción: 4 1 p 1. p

16 Multiplicando cruzado, obtenemos: 4p 4 p + 4 p 4 En la siguiente dirección puedes hallar un graficador que te permitirá relacionar un sistema de ecuaciones con su gráfica correspondiente: algebraica/sis-ecu.htm 16