Taller 1. Cálculo diferencial

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1 Taller. Cálculo diferencial. 06- Profesor Jaime Andrés Jaramillo González. ITM Repaso conceptos previos. Resolver las siguientes inecuaciones lineales: a) 3 < 4 b) < c) 3 < 9. Resolver las siguientes inecuaciones lineales y representar gráficamente su solución en la recta real: a) a + a b) c) Resolver las siguientes inecuaciones no lineales y representar gráficamente su solución: a) < 0 b) < 0 4 c) e) ( ) ( + ) 0 3 d) < 0 g) 9 0 Dominio y rango de una función 4. Determine el dominio de la función h) < f) ( 4) ( ) ( ) ( + 3) ( + ) 3 i) + > g ( ) + 3 f ( ) F ( ) e. f ( 9) ( 4 49)( )

2 g. h. i f ( ) j. k. l Determine el dominio y dibuje la gráfica de la función g ( ) G ( ) + 5 F ( ) Encuentre dominio y rango de la función g ( ) 4 G ( ) 9 F( ) Funciones seccionalmente definidas y por tramos 6. Determine el dominio y dibuje la gráfica de la función 5, si < 3 g ( ) +, si 3 3, si > 3, si < G ( ) 4, si 9, si 3 < 0 F ( ) + 3, si 0 < 6 5 3, si 4 6, si < < 4, si > e. 4, si < 4, si < <, si f., si < 3 +, si

3 Simetrías función par e impar 7. Determine si la función dada es par, impar, o no tiene simetría g( ) ( + 4) G( ) F( ) Función lineal La función lineal tiene como gráfica una línea recta, ésta tiene tres tipos de ecuación: Ecuación pendiente intersección: y m + b (tiene pendiente m e intersección con el eje y en (0,b) Ecuación punto-pendiente: y y0 m( 0 ) (tiene pendiente m y pasa por el punto (, y )) 0 0 Ecuación general: a + by c La pendiente de una recta, cuando se conoce que pasa por los puntos ( ), y calcularse mediante la fórmula m y. 8. Determine la ecuación general de la recta que: Tiene pendiente -/5 y pasa por (,) y y ( ) Contiene los puntos (-5,) y (-6,) m Dos rectas con pendientes m y m son paralelas si y son perpendiculares si m m. m 9. Determine la ecuación punto- pendiente de la recta que: Es paralela a y + 0 y pasa por (-,-) Es perpendicular a 3 4y y pasa por (-4,), y puede 0. Determine la ecuación pendiente-intersección de la recta que es paralela a + y y pasa por (-,5). Encuentre las ecuaciones generales de las rectas r y r, y elabore sus gráficas en un mismo sistema de referenci r AB; A(3, ); B(,4) ; r : r r ; P(4,3) r r AB; A( 4, ); (,3 ) ; r : r r ; P(0,4) r B

4 . Una empresa compró un equipo de computo por $ , el cual se deprecia linealmente hasta valer en 8 años $ Encuentre la función lineal V f (t) que relacione el valor V en pesos con el tiempo t en años. Eplicar por qué el dominio de la función es [0,8]. Determine el valor del equipo a los 4 ( f ( 4) ) y a los 8 ( f ( 8) ) años. Elabore la gráfica de V f (t), obtenga la pendiente de la recta que representa a la función V f (t) y eplique qué signific A los cuantos años el equipo costará la tercera parte de su valor original? 3. Un fabricante de queso produjo libras del de enero al 4 de marzo de 007. Suponiendo que durante todo el año mantuvo el mismo ritmo de producción. Escriba como función de las libras de queso que produce en días. Aproime a la libra más cercana la cantidad de libras producidas en todo El volumen de un gas a presión constante es directamente proporcional a la temperatura absolut A la temperatura de 75 ºK el gas ocupa 00 m 3, (a) Encuentre un modelo matemático que eprese el volumen como una función de la temperatura, (b) Cuál es volumen del gas a una temperatura de 40 K? (Nota: Las escalas de temperatura absoluta son Kelvin (ºK) y Rankine (ºR)) Función cuadrática 5. Encuentra los valores de k en las ecuaciones para que se satisfaga la condición que se indica: k+ 8 0, tiene raíces complejas 4 3+ k 0, tiene raíces cuya diferencia es 3 k + (3k 4)- 5 0, tiene una raíz ½ 6. El producto de un número de dos dígitos y el número obtenido al intercambiar sus dígitos es 736. Si la diferencia de los dos números es 9, encuentra los números. 7. Un hombre es 5 veces tan viejo como su hijo, y la suma de los cuadrados de sus edades es 06. Encuentre sus edades. 8. Un avión despega de un portaviones y vuela hacia el occidente durante horas a razón de 600km/h. Después regresa a 500km/h. Mientras tanto, el barco ha viajado hacia el occidente a 30km/h. A las cuántas horas se encontrarán? 9. Una lancha tarda hora más en viajar 4 km contra la corriente de un río que en el viaje de regreso. Si la lancha tiene una velocidad de 0km/h en aguas tranquilas, Cuál es la velocidad de la corriente?

5 0. El largo de un terreno rectangular es el doble que el ancho. Si el largo se aumenta en 40m y el al ancho en 6m, el área se duplic Encuentra las dimensiones del rectángulo.. Un prado rectangular de 50m de largo y 34m de ancho, tiene a su alrededor un camino (eterior) de ancho uniforme; si el área del camino es 864m, encuentra el ancho del camino.. Hallar un número de dos cifras que suman 6 y el producto del invertido con el número es La diferencia de los cubos de dos números enteros pares consecutivos es 488. Calcularlos. 4. Un rectángulo tiene un lado doble que el otro. Si al mayor se le aumenta en dos unidades y el menor se disminuye en unidades el rectángulo así obtenido tiene 4 m de área más que la mitad del primer rectángulo. Calcular las dimensiones. 5. En un bosque un depredador se alimenta de su presa, y para las primeras 5 semanas a partir del fin de la temporada de caza, la población de depredadores es una función f de, el número de presas en el bosque, la cual a su vez, es una función g de t, el número de semanas que han pasado desde el fin de la temporada de caz Si + 50 y g ( t) 4 t donde 0 t 5, haga lo siguiente: (a) Encuentre un modelo matemático que eprese la población de depredadores como una función del número de semanas a partir del fin de la temporada de caza, (b) Determine la población de depredadores semanas después del cierre de la temporada de caz Funciones trigonométricas 6. Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el etremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40º. A qué distancia del poste sujetaremos el cable? Cuál es la longitud del cable? 7. Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre bajo un ángulo de 60º. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80º. Halla la altura de la torre.

6 8. Clara y Mauricio quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a 00 metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspondiente al vértice en el que está Clara es de 5º y el ángulo del vértice en el que está Mauricio es de 40º. A qué distancia se encuentra Clara del castillo? A qué distancia está Mauricio? 9. Para medir la altura de una torre CD nos hemos situado en los puntos A y B, cuya distancia es de 50 m y hemos tomado las medidas que aparecen en la figur Calcula la altura de la torre. 30. Encuentre el valor eacto de la epresión, no use calculadora: i. sen tan ii. iii. 5π cos cos 4 iv. cos sen sen 3 cos 4 π 3. Verifique la identidad i. sensec tan senθ + cosθ ii. + cscθ + cosθ senθ cosθ tanθ + secθ iii. sec θ tanθ iv. secθ + tanθ + senθ tanθ secθ + v. + sec vi. + sen sen sen.sec tan sen csc 3. Resuelva la ecuación:

7 i. cos θ ii. ( cosθ + )( sen θ ) Resuelva la ecuación 0 θ < π : i. sen θ + cosθ ii. sec 5 3 tan 34. Resuelva la ecuación para 0 θ < π : i. sen cos sec ii. sen 35. Determine amplitud, periodo, frecuencia y rango de la función, y elabore su gráfico: g( t) cos5t f ( t) 4 + sen8t Inversa de una función 36. Determine si la función es o no inyectiva: 4 +, 0 > 37. Tenga en cuenta que no es indispensable que una función tenga inversa para hallar su rango, por ejemplo, para hallar el rango de y puede encontrar la inversa de y 9 + 7, 0 y determinar su dominio. Encuentre dominio y rango de la función. Si es posible encuentre su invers En caso contrario eplicar porque no es posible encontrar la inversa de la función. + 3 g ( ) 9 6 y 49 f ( ) (3 + ) / 3 Funciones eponenciales y logarítmicas

8 38. El crecimiento de cierto cultivo de bacterias puede epresarse mediante la función y t + 0.5e. Donde y es el peso del cultivo en gramos y t es el tiempo en horas. Determine: Cuál será el peso del cultivo para t0? Cuál será el peso del cultivo para t? Cuál será el peso del cultivo para t0? En qué momento el cultivo tendrá un peso de.5 gramos? 39. Suponga que en alguna ciudad la población se duplica cada 6 años. Si a principios de 93 su población era de habitantes Cuál era la población a finales de 957? Cuál era la población a finales de 983? Si continúa cumpliéndose este patrón de crecimiento, cuál será al finalizar 009? Cuál será en 05? e. Cuándo la población será de de habitantes? Combinación de funciones 40. Dadas, 3 g( ), h ( ) : Determine el dominio de ( f º g)( ). g Determine el dominio de f º ( ) h Transformaciones y traslaciones 4. La tabla muestra puntos de la gráfica y f () y f () Elabore una gráfica para y f (). Elabore una gráfica para y f ( + 3) 4

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