GUIA DE EJERCICIOS PARA MATEMATICAS 5

Transcripción

1 GUIA DE EJERCICIOS PARA MATEMATICAS 5 La presente guía representa una herramienta para el estudiante para que practique los temas dictados en matemáticas 5. Al final están las soluciones a los ejercicios que asi lo requiere para que verifiquen los resultados. Tenga presente que algunos ejercicios se escapan de la dificultad del curso sin embargo son importante para ampliar mas el conocimiento de los temas, dicho ejercicios podrían estar señalado y se dará una ayuda para resolverlos. Los temas que se aprecian en la guía son: 1. Funciones de varias variables gráficos y conjuntos. 2. Límites y continuidad. 3. Derivados parciales y diferenciabilidad. 4. Propiedades de la derivada. Regla de la cadena. 5. Gradiente, derivada direccional, plano tangente. 6. Derivadas segundas, derivación implícita. 7. Clasificación de puntos críticos. 8. Extremos condicionados, múltiples de LaGrange. 9. Curvas, longitud de arco, integrales de trayectoria. 10. Integrales dobles. 11. Integrales sobre regiones elementales. Cambio de orden de integración 12. Teorema de Green. 13. Integrales triples 14. Aplicaciones La guía consta con mas 700 ejercicios. EXISTEN UN ERROR EN LA IMPRESIÓN DEL DOCUMENTO DONDE SALE EL SIGNO DE INTERROGACION? DEBE IR UNA O. 1

2 GUIA DE EJERCICIOS DERIVADAS E INTEGRALES EN EL ESPACIO η INDICE. TEMA PAG DERIVADA 3 FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES 3 DERIVADAS PARCIAL 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD 6 DIFERENCIABILIDAD 11 DERIVADAS DIRECCIONALES Y GRADIENTES 13 LA REGLA DE LA CADENA 15 PLANOS TANGENTE 17 MAXIMOS Y MINIMOS, METODO DE LAGRANGE 19 INTEGRALES 22 INTEGRALES DOBLES E ITERADAS SOBRE RECTANGULOS 22 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES NO RECTANGULARES, COORDENAS POLARES 25 APLICACIONES DE LA INTEGRALES DOBLES, AREA DE UNA SUPERFICIE 29 INTEGRALES TRIPLES, COORDENAS CARTESIANAS, CILINDRICAS Y ESFERICAS 31 INTEGRALES DE LINEAS 35 TEOREMA DE GREEN 37 SOLUCIONES A ALGUNOS EJERCICIOS 39 2

3 DERIVADA FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES 1.- Bosqueje la grafica de f. a.-, 6 2 c.-, 16 4 b.-, 16 d.-, 3 e.-, 1 f.-,, ; 0 g.-,, 9 4 ; h.-,, 4 9 ; i.-,, ; Determine el dominio de y dibuje su grafica en. a.-, 16 4 b.-, 4 16 c.-, 16 e.-, d.-, f.-, ln 1 g.-, sin 3.- El potencial eléctrico en un punto,, del espacio tridimensional es,, volts, donde 8,, 16 4 Las superficies de nivel de V se llaman superficies equipotenciales. Describa estas superficies para 4,2,1 DERIVADAS PARCIAL 4.- Determine todas las primeras derivadas parciales según sea la cantidad de variables presentes. a.-, 4 b.-, cos 1 A continuación se te presenta superficies de nivel. Una superficie de nivel para una función de tres variables es la grafica del conjunto de puntos en el espacio 3 D cuyas coordenadas satisfacen la ecuación,, donde k es una constante. 3

4 c.-, 3 e.-, ln g.-,3 cos2 i.-, cos2tan k.- ; d.-, f.-,sin h.-, j.- cos ; l.- tan ; m.-,, sinh2 cosh 2 n.-,,4 sin5 cossin2cos 5.- Verifique en los siguientes ejercicios que se cumple la siguiente condición. a.-,2 c.-,3 cos e.-,2 3 g.-,sin i.-,cos b.-, d.-,tan f.-, ln h.-,4sinh3cosh j.-,3coshsin 6.- Calcule la pendiente de la tangente a la curva de intersección de la superficie dada con el plano especificado y el punto dado. a.- : :3 :3,2,2 b.- : :1 :1,2, c.- : :3 :2,3, d.- : :1 :1, 12,3 e.- : 9 :2 :1,2,2 4

5 La ecuación de onda y la ecuación del calor son dos de las ecuaciones más importantes en física c es una constante). Estas se llaman ecuaciones diferenciales parciales. Muestre que: a.- cos) cos) cosh () satisfacen la ecuación de onda. b.- sin() satisfacen la ecuación del calor. 8.- Determine la derivada parcial pedida. a.- (,)4 3 b.- (,)36 c.- (,) 56 c.- (,) d.- (,) e.- (,,) 3 2 f.- (,,) 4 9 g.- (,,,,) h.- (,,,,,) Determine las derivadas parciales de los siguientes ejercicios. ; 3. (,) ln(()).(,) () 10.- Determine las derivadas parciales que se le piden. a.- (,)2 5 3 ; b.- (,)3 5 2 ; c.- (,,)sin(); d.- (,)ln(()) ; 11.- Verifique que cumple con () 2 Estas ecuaciones son tema de matemáticas 7 muy importantes. Aprenderá a resolverlas por el método de la Transformada de Fourier o La serie de Fourier. SI otra vez series. 3 Este ejercicio hace referencia al Primer Teorema Fundamental del Calculo, aplíquelo para asi obtener la respuesta que se te pide. 5

6 12.- Demuestre que, satisface la ecuación de LaPlace la cual es: 0 a.-, ln c.-, tan b.-, tan d.-, sin cos 13.- Sea las siguientes funciones definidas a trozos calcule lo que se pide..,,0,0 0,0,0,0,0., 0,0,0 2.,,0,0 0,0,0.,,0,0 0,0,0 0,0 0,0 0, 0 0,0 0,0 0,0? 0,0 0,0?., tan tan 0 0,0 0,0? 0 0 LÍMITES Y CONTINUIDAD 14.- Determine el límite indicado o diga si no existe. a.- lim,, 3 c.- lim,, e.- lim,, b.- lim,, d.- lim,, f.- lim,, 6

7 15.- Describa el mayor conjunto S donde sea correcto decir que la función f es continua. a.-, b.-, ln 1 c.-, 0 d.-, 1 0 e.-, Sea, a b c Muestre que, 0 cuando, 0,0 a lo largo de cualquier recta Muestre que, cuando, 0,0 a lo largo de la parábola Qué conclusión da estos dos resultados? 17.- Sea 4, Si la función es continua en todo el plano, encuentre una fórmula para gx Cual de las siguientes funciones son continua en 0,0 y cuales son discontinuas. Leer referencia final de la página 4 a.-, b.-, c.-, d.-,. e.-, f.-, 4 En ocasiones, es más fácil analizar la continuidad de, pasando a coordenadas polares. Sea cos ; sin las sustituciones correspondientes al cambio polar. Tenga en cuenta que se asume todos los valores entre -1 y 1 en cada vecinda del origen. 7

8 19.- Sea, Si, 0 y 0,0 0. Muestre que 0,0 0,0 mediante lo siguientes pasos.,, a Muestre que 0, lim para todo y. b De manera análoga, muestre que, 0 para toda x. c d Muestre que 0,0,, lim 1 De manera análoga, muestre que 0, Muestre que la función definida no es continua en 0,0,0 a.-,, b.-,, 1,, 0,0,0 0,0,0 0,, 0,0,0 0,0, Determine el límite dado aplicando los teoremas de límites. a.- lim,, 3 2 ) c.- lim,, e.- lim,, b.- lim,, 5 2 d.- lim,,. 2 f.- lim,, 22.- Establezca el límite determinado una 0 para cualquier 0 tal que se cumpla la definición de límite. a.- lim,, c.- lim,, 3 2) 9 b.- lim,, d.- lim,, Demuestre que el límite a la función dado no existe. lim (,)(,) (,) a.- (,) b.- (,) ( ) c.- (,) 8

9 24.- Demuestre que el límite a la función dada existe. lim,,, a.-, b.-, c.-, d.-, 25.- Determine si el limite existe o no. a.- lim,, c.- lim,, b.- lim,, d.- lim,, 26.- Calcule el límite aplicando propiedades. a.- lim,, tan c.- lim,, b.- lim,, d.- lim,, Determine todos los puntos en los que la función es continua. a.-, c.-, b.-, ln d.-, cos e.-, g.-, i.-,, 0,0 0, 0,0, 0,0 0, 0,0 k.-, sec m.-, sin, 0,0 0, 0,0 f.-, h., j.-,, 0,0 0, 0,0, 0,0 0, 0,0 l.-, sin ln 0 n.-, 1 0 o.-, 9

10 28.- La función es discontinua en el origen debido a que 0,0 no existe. Determine si la discontinuidad es removible o esencial. Si la discontinuidad es removible, redefina 0,0 de modo que esta nueva función sea continua en el punto. a.-, d.-, b.-, e.-, c.-, 29.- Use las definiciones y teoremas de límites para probar que lim,,,,,, no existe. a.-,, b.-,, c.-,, d.-,, 30.- Utilice las definiciones y los teoremas de límites y continuidad para determinar todos los puntos en los que la función dada es continua. a.-,, b.-,, ln ) c.-,, d.-,,,, 0,0,0 0,, 0,0,0,,, 0,0,0 0,,, 0,0, Suponga que f y g son funciones de dos variables que satisfacen las condiciones siguientes. a),, ;,, para alguna n y para toda t. b 1,1 0 1,0 0 c 1,1. 1,0 1,0. 1,1 Demuestre que NO EXISTE. lim,,,, 10

11 DIFERENCIABILIDAD 32.- Determine el gradiente de la función dada. a.-, c.-, sin b.-, d.-,, e.-,, ln Determine el vector gradiente de la función dada en el punto indicado p. Luego determine la ecuación del plano tangente en p. a.-, 2,3 b.-, 3 2,2 c.-,cossinsin2 1, d.-, 2, Determine ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la superficie en el punto 2,1,9 cuya proyección sobre el plano xy es: a.- Paralela al eje x b.- Paralela al eje y c.- Paralela a la recta 35.- Determine ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la superficie en el punto 3,2,72 cuya proyección sobre el plano xy es: a.- Paralela al eje x b.- Paralela al eje y c.- Paralela a la recta 36.- Calcule la diferencial a c.- cossin e.- ln g.- tan b.- tan 2 d.- f.- h.- cos 11

12 37.- Demuestre que f es diferenciable en todos los puntos de su dominio. 5 a.-, c.-, tan b.-,sin cos d.-, ln 38.- Sea,,0,0 demuestre que 0,0 0,0 existen y que estas 0,0,0 derivadas parciales no son continuas en 0, Sea,,0,0 demuestre que las derivadas parciales con respecto a las 0,0,0 variables evaluadas en 0,0 existen pero f no es diferenciable en 0, Sea,,,,0,0,0 demuestre que 0,0,0, 0,0,0 0,0,0,,0,0,0 existen y que f no es diferenciable en 0,0, Aplicando el mismo esquema del ejercicio anterior pero con,,,, 0,0,0 0,, 0,0, Demuestre que la función puede ser diferenciable en un punto aunque no se continuamente diferenciable en ese punto., 1 sin, 0,0 0, 0,0 a b c d Determine 0,0 Calcule,, Demuestre que f es diferenciable en 0,0 utilizando la definición de función diferenciable establecida en clase y el resultado de los apartados anteriores. Demuestre que,, no son continuas en 0,0. 5 Determine las primeras derivadas parciales con respecto a las variables y si esta resultan ser continua en el dominio entonces la función es diferenciables en sus dominio (teorema) 12

13 43.-Sea Demuestre que f es diferenciable en 0,0,0.,,,,0,0,0 0,,0,0,0 DERIVADAS DIRECCIONALES Y GRADIENTES 44.- Determine la derivada direccional de f en el punto p en la dirección a. a.-, ln 1,4 b.-, 32 1,2 2 c.-, 1,1 3 d.-,, 1,1, Determine un vector unitario en la dirección en que f crece mas rápidamente en p. Cuál es la razón de cambio en esta dirección? a.-, b.-, sin 2, 1, 0 c.-,, 1,1,2 d.-,, 2,0, En qué dirección u ocurre que, decrece más rápidamente en p? a.-, 1 b.-,sin3 :1,2 :, 47.- Determine la derivada direccional de, cos en 0, en la dirección hacia el origen Calcule la derivada direccional de la función en la dirección del vector unitario U. 6 a.-,3 4 ; cos sin 6 AYUDA:,,.,,. Donde es el operador diferencial 13

14 b.-,,6 2 ; c.-, ; 49.- Calcule el gradiente de la función. a.-, c.-,, b.-, tan2 d.-,, 3 ln e.-,, sincos 50.- Calcule el valor de la derivada direccional en el punto para la función en la dirección de U. a.-, 2 ; cossin; 1,2 b.-,3 4 ; cos sin ;,2 c.-, ; 3 2,0 d.-,,cossin ; 2,0,3 e.-,,ln ; ; 1,3,2 f.-,,cos2cos3sinh4 ;,0, La densidad en cualquier punto de una placa rectangular situada en el plano xy es, kilogramos por metro cuadrado, donde: 1, 3 a Calcule la tasa de variación de la densidad en el punto 3,2 en la dirección del vector unitario cos sin b Determine la dirección y la intensidad de la máxima tasa de variación de la densidad en 3,2 LA REGLA DE LA CADENA 52.- Determine / mediante la regla de la cadena. Exprese su respuesta final en términos de t. a.- ; cos sin 14

15 b.- sin sin; 3 2 c.- ln ; tan sec d.- sin ; e.- ; Determine / mediante la regla de la cadena. Exprese su respuesta final en términos de t y s. a.- ; b.- lnln; c.- ; cos sin d.- ; 54.- Dada la función determine lo pedido. a.-, 2 1 ;, b.-, ;,, c.- cossin sincos ;,, 55.- Calcule la derivada parcial indicada en cada caso por medio de dos métodos a Utilice la regla de la cadena. b Realice la sustitución correspondiente para antes de derivar. a.- 34 ; 5 3 2; ; b.- ; coshcos; sinhsin; ; c.- ; cossin; ; ; 56.- Obtenga la derivada parcial indicada. a.- 32; ; b.- ; ; 15

16 c.- sin2 ; ; d.- tan ; ; ; e.- ; ; 57.- Obtenga mediante la sugerencia dada al final.7 a.- 8 c.- sincos1 b d.- cos sin 58.- Derive implícitamente a z z es función de x e y o utilice la sugerencia al final. 8 a b.- sin c.- cos35 d Sea cos 2; calcule 60.- Sea 9 4, cos, sin θ calcule 61.- Si,,, entonces las ecuaciones ; Se denominan ecuaciones de Cauchy Riemann. Demuestre que estas ecuaciones son satisfecha si 1 2 ln tan 7 Si f es una función diferenciable de la variable x tal que y=f(x) y f está definida implícitamente por la ecuación F(x,y)=0, y si F es diferenciable y,0 8,, ;,,,, 16

17 62.- Un kilomol de un gas real obedece la ecuación de Van der Walts: si P,V y T son respectivamente, las medidas de la presión, volumen y temperatura absoluta, entonces ) Donde R es la constante universal de los gases y a y b son constantes que depende del gas particular. Si es el coeficiente de la expasion del volumen y κ es el coeficiente de compresibilidad, entonces. Demuestre que 1 1 PLANOS TANGENTE 63.- Determine la ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto indicado. a ; 1,2, b.- 10; 1,3, 7 c.- 4; 2,1,1 d.- ; 2,2,2) e.- ; 1,0,1 f.- ; (1,4,3) 64.- Determine todos los puntos sobre la superficie 2 84 donde el plano tangente es horizontal Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que es tangente a la curva de intersección de las superficies Y En el punto (1,2,2). 9 (,,) (,,) Sugerencia: Esta recta es perpendicular a (1,2,2) (1,2,2) 17

18 66.- Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que es tangente a la curva de intersección de las superficies en 1,1, Una abeja sentada en el punto 1,2,1 sobre el elipsoide 2 6. En 0 comenzó a volar a lo largo de la recta normal, a una rapidez de 4. Cuando y donde toco el plano ? 68.- Obtenga una ecuación de la recta normal a la superficie en el punto dado. a ; 1,2,3 c.- cos ; 1,,0 b.- 6; 3,1,2 d.- sin3 ; 0,,1 e.- ; 1,1,2 g ,2,3 f.- 4 4,1,1 h.- 14 ; (8,27, Si las dos superficies se interceptan en una curva, determine ecuaciones de la recta tangente a la curva de intersección en el punto indicado; si las dos superficies son tangentes en el punto dado, demuéstrelo. a.- 8; 2 2,2,0 b ; 0 0,1,1 c.- 2cos 1sin 3,1,2 d.- sin2 2 ln 13 0,2,1 e ,2,11 f ,2, Utilice el gradiente para obtener una ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado. a ,2 b ,2 c ,2 d , Demuestre que las superficies y 36 son tangentes en el punto 3,6,2 18

19 72.- Se dice que dos superficies son perpendiculares en un punto de intersección si los vectores normales a las superficies en son ortogonales. Demuestre que en el punto 1,1,2 la superficie 2 4 es perpendicular a cada miembro de la familia de superficies MAXIMOS Y MINIMOS, METODO DE LAGRANGE 73.- Determine todos los puntos críticos. Indique si cada uno de estos puntos da un máximo local o un mínimo local o si es un punto silla. Ver referencia pie de página) 10 a.- (, c.-, e.-, b.-, 6 3 d.-, 6 f.-, g.-, cos cos cos ; 0, 0 h.-, 2 cos ; 74.- Encuentre el valor máximo global y el valor mínimo global de f en S e indique donde aparece cada uno. a.-, b.- (, 1, :01; 11,; 1 c.-, 6 8 7, : Encuentre los extremos relativos de la función de f y localice los puntos silla, si los tiene. a.-, 6 1 c.- (, e.-, g.-, 4 2 b.-, d.-, f.-, 4 4 h.-, Teorema; Suponga que, tiene segundas derivadas parciales continuas en una vecindad de, y que, 0. Sea,,,, Entonces: a.- 0, 0,,. b.- 0, 0,,. c.- 0,,, d.- 0,. 19

20 i.-, k.-, j.-, sin l.-, Obtenga los extremos absolutos de la función cuyo dominio es la región acotado y cerrada R del plano xy. a.- La función 226 R es la región triangular cuyos lados son el eje, el eje y la recta 5 b.-, 22; es la región acotada por la parábola 4 y el eje x. c.-, 3 R es la región limitada por la circunferencia 1 1. d.-,sinsin R es la región acotado por el cuadrado cuyos vértices son 0,0;,0;0,;, 77.- Obtenga tres números positivos cuyo producto sea 24 de manera que su suma sea lo más pequeña posible Encuentre el punto del plano 325 que este mas cerca al punto 1,2,3 y calcule la distancia mínima Obtenga los puntos de la curva de intersección del elipsoide y el plano 40 que estén más cerca del origen y calcule la distancia mínima Calcule el volumen del mayor paralelepípedo rectangular que pueda inscribirse en el elipsoide si las aristas deben ser paralelas a los ejes coordenados Determine el mínimo de, sujeta a la restricción, Determine el máximo de,4 4 sujeta a la restricción, Determine el mínimo de, 4 sujeta a la restricción, Determine el mínimo de,, sujeta a la restricción,, Determine el máximo de,,423 sujeta a la restricción,, Determine la mínima distancia entre el origen y el plano Determine la distancia mínima del origen a la recta de intersección de los dos planos 8 ;

21 88.- Utilice el método de multiplicadores de LaGrange para determinar los puntos críticos de la función sujeta a la restricción. a.-, b.-,, c.-,, : 40 :3240 : Utilice el método de multiplicadores de LaGrange para determinar los extremos absolutos de f sujeta a la restricción. También determine los puntos en los que ocurren los extremos. a.-, : 8 24 b.-,, : c.-,, : Calcule los valores máximos y mínimos absolutos de f en la región indicada. a.-, : 8 24 b.-,, : Utilizando LaGrange calcule el valor mínimo absoluto de f si,, con las dos restricciones

22 INTEGRALES INTEGRALES DOBLES E ITERADAS SOBRE RECTANGULOS 1.- Evalué,, donde f es la función dada, y, :1 4, , 0 1 a.-, 2 1 4, , 0 1 b.-, 1 1 3, , , 0 1 c.-, 3 1 3, , Suponga Suponga, además que, :02, 02 ;,:02, 01,:02,12, 3 ;, 5,2 Usando estas suposiciones evalué cada una de las siguientes: a.- 3,, c.-, b.- 2,5, d.- 2,3 3.- Calcule 6, donde, :01, Calcule 1, donde, :02, Evalué la integral iterada. a.- b.- 11 Sugerencia. La integral representa un sólido básico, dibuje y determine su área usando teoría fundamental. 22

23 c.- 9 e.- g.- / i.- sin 4 d.- f.- h.- / j.- sin 6.- Calcule el valor de la integral doble dada. a.- sin; 2; b.- cos;. c.- 9 ; 9 d.- ; ; Utilice integrales dobles para calcular el area de la región limitada por las curvas del plano xy. Dibuje la región. a.- c b d Exprese como una integral iterada la medida del volumen del solido limitado por el elipsoide Cambie el orden de integración y realice la integral indicada. a.- sin b Evalué cada una de las integrales iteradas. a.- d.- g.- b.- e.- h.- c.- f

24 11.- Evalué la integral iterada doble en R. a.- ;,:01,11 b.- ;,: 11, 02 c.- 1 ;,: 0 3, Bosqueje el sólido cuyo volumen es la integral iterada dada. a.- d.- 4 b.- 2 c Muestre que si,. entonces., Utilizando la propiedad anterior determine el valor de la integral Evalué 16.- Calcule el volumen del solido encerrado entre la superficie cos cos y el plano xy, donde, 17.- Evalué la integral iterada. a.- b.- c Evalué

25 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES NO RECTANGULARES, COORDENAS POLARES 19.- Evalué las integrales que se le presentan continuación. a.- b.- c.- ) d.- e.- f.- ) / g.- sec ) / h.- ) cos ) / i.- 6 cos / 20.- Evalué la integral doble dada cambiándola por una integral iterada. a.- : 1. b.- : (0,0); 0,4; 1,4 c.- 2: d.- ( ): 3 e.- : (0,0); 2,2); 0,2) f.- : Bosqueje el sólido dado. Luego determine el volumen mediante integración doble. a.- Tetraedro acotado por los planos de coordenadas y el plano 6 23 b.- Tetraedro acotado por los planos de coordenadas y el plano c.- La cuña acotada por los planos de coordenadas y los planos 5 y 24 0 d.- El sólido en el primer octante acotado por los planos de coordenadas y los planos y e.- El sólido en el primer octante acotado por la superficie 9 y los planos coordenados. f.- El sólido acotado por el cilindro parabólico 4 y los planos Observar que esta grafica se divide en dos partes. 25

26 g.- El sólido en el primer octante acotado por la superficie, el plano 1 0 h.- El sólido en el primer octante acotado por los cilindros circulares 16, 16 y los planos coordenados Cambie el orden de integración de las integrales iteradas. 13 a.-, b.-, c.-, d.-, e.- /, f.-, 23.- Evalué sin Donde S es la región acotada por, Evalué las integrales iteradas. / a.- sin / b.- c.- d.- sin 25.- Calcule el área de la región dada S calculando. Primero dibuje la región. a.- 4cos 2 b.- 4 sin c.- 66sin d.- 2 9cos 2 13 OJO, no basta con solo invertir los diferenciales de lugar, también debe cambiar el orden de integración, no se deje llevar y tan solo los cambie, debe DIBUJAR la figura para ver como se determina los NUEVOS límites de integración. ALGUNAS VECES ES PREFERIBLE CAMBIAR EL ORDEN DE INTEGRACION PARA QUE LA INTEGRAL SEA MAS SENCILLA DE RESOLVER. 14 Piense detalladamente este ejercicio. Recuerde que si no logra resolver la integral siempre puede invertir el orden de integración para así obtener una integral más sencilla. Deténgase a pensar cual orden es el más apropiado. 26

27 26.- Realice el cambio a coordenadas polares y evalué la integral. Bosqueje la región de integración. a.-, : 4 b.- 4, 4 0 c d.- sin e Calcule el volumen del sólido en el primer octante abajo del paraboloide y dentro del cilindro 9 usando coordenadas Use coordenadas polares para calcular el volumen del solido acotado por arriba por , abajo por 0 y lateralmente por Cambie a coordenadas rectangulares y luego evalué Sean sin sin sin Donde S es la región dentro del círculo 4 a.- Sin calcular, determine el signo de V b.- Evalué V c.- Evalué W. 27

28 Coordenadas polares Utilice integrales doble para calcular el área de la región indicada. a.- La región ubicada dentro del cardiode 21sin b.- Una hoja de la rosa cos 2 c.- La región ubicada dentro de la cardiode 1cos y fuera de la circunferencia de. d.-la región ubicada dentro de la circunferencia 1 y fuera de la lemniscata cos 2 e.- La región ubicada dentro del caracol 3cos y fuera de la circunferencia 5cos 32.- Obtenga el volumen del sólido. a.- El sólido limitado por el elipsoide 9 9 b.- El sólido cortado en la esfera 16 por el cilindro 4 cos c.- El sólido sobre el plano polar limitado por el cono 2 y el cilindro 1cos d.- El sólido limitado por el paraboloide 4, el cilindro 1 y el plano polar Evalué por medio de coordenadas polares la integral Donde R es la región del primer cuadrante limitada por la circunferencia 1 y los ejes coordenados Calcule el are de la porción de la superficie de la esfera 4 cortada por un manto del cono 35.- Determine el área de la porción de la superficie de la esfera 36 que se encuentra dentro de cilindro Calcule el área de la porción de la superficie de la esfera 4 que se encuentra dentro del paraboloide Calcule el área de la superficie cortada en el paraboloide hiperbolico 6 por el cilindro

29 APLICACIONES DE LA INTEGRALES DOBLES, AREA DE UNA SUPERFICIE 38.- Determine la masa m y el centro de masa, de la lamina acotada por las curvas dadas y con la densidad indicada. a.- 0, 4,0,3,,1 b.- 0,4 ;, c.- 0,sin, 0;, d.-,,0,2,;, e.-,0,0,1 ;,2 f.- 1cos;, 39.- Determine los momentos de inercia, para la lámina acotada por las curvas dadas y la densidad indicada. a.-, 9, 0;, b.-,4;, c.- El cuadrado con vértices 0,0;0,;,;,0 ;, d.- El triangulo con vértices 0,0;0,;,0;, 40.- Determine el radio de giro de la lámina del problema 39.c) con respecto al eje x Recuerde la lamina del problema (39.c) para la que encontramos. Calcule a) Masa b) c) donde L es una recta que pasa por, ) paralela al eje y Determine el área de la superficie indicada. En cada caso dibuje la región. a.- La parte del plano que esta arriba del rectángulo del plano xy con vértices 0,0;2,0;2,1;0,1 b.- La parte del plano acotada por los planos 0, c.- La parte de la superficie 4 directamente arriba del cuadrado en el plano xy con vértices 1,0;2,0;2,1;1,1 29

30 d.- La parte de la superficie 4 en el primer octante que está directamente arriba del círculo 9 en el plano. e.- La parte de la superficie 4 cortada por los planos 0,1,0,2 f.- La parte de la esfera dentro del cilindro elíptico, 0 g.- La parte del cilindro dentro de la esfera, h.- La superficie del solido dado por la intersección de los dos cilindros sólidos Una lamina tiene la forma de una región rectangular limitada por las rectas 3 y 2 y los ejes coordenados. La densidad superficial en cualquier punto es kilogramos por metro cuadrado Una lamina tiene la forma de la región del primer cuadrante limitada por la parábola y la recta 1 y eje y. La densidad superficial en cualquier punto es Una lámina tiene la forma de la región limitada por la curva, la recta 1 y los ejes coordenados. La densidad superficial varía como la distancia desde el eje x Una lámina tiene la forma de la región limitada por la curva y la recta. La densidad superficial varia como la distancia desde el eje y Calcule el momento de inercia de la lámina homogénea con respecto al eje indicado. a.- La lamina limitada por 43, 4 y eje x con respecto a la recta 4 b.- Una lámina tiene la forma de la región limitada por la parábola 44 y el eje x, con respecto al eje x. c.- Una lamina tiene la forma de la región acotada por un triangulo cuyos lados miden metros, metros y metros; con respecto al lado que mide metros Calcule el área de la superficie del primer octante cortada en el cono por el plano Obtenga el área de la porción de superficie del cilindro 4 que esta dentro del cilindro Proyecte sobre el plano yz para obtener la región de integración. 16 1sin tan 30

31 50.- Determine el área de la porción de superficie del cono que se encuentra dentro del cilindro Obtenga el área de la porción del plano que esta entre los planos 0 6 y dentro del hiperboloide INTEGRALES TRIPLES, COORDENAS CARTESIANAS, CILINDRICAS Y ESFERICAS 52.- Evalué las integrales iteradas. a.- b.- c.- d.- 6 / e.- 2 f.- sin g.- 3 h.- sin 53.- Bosqueje el sólido S. Luego escriba una integral iterada para,, a.-,,:01,03, b.-,,: 04 ;02,03 c.-,,: 0;04,0 d.-,,: 0 ;0 ;02 e.- S es la región del primer octante acotada por la superficie 9 y los planos de coordenadas. f.- S es la menor región acotada por el cilindro 20 y los planos 0,

32 54.- Use integrales iteradas para determinar las cantidades indicadas. a.- El volumen del sólido en el primer octante acotado por 2 48 b.- El volumen del sólido en el primer octante acotado por el cilindro elíptico 64 4 y el plano c.- El volumen del solido acotado por los cilindros y el plano 1 d.- El centro de masa del tetraedro acotado por los planos 1,0,0 0 si la densidad es proporcional a la suma de las coordenadas del punto. e.- El centro de masa del solido acotado por el cilindro 9 y los planos 0 4 si la densidad es proporcional al cuadrado de la distancia al origen. f.- El momento de inercia en torno del eje x del solido acotado por el cilindro 4 y los planos 0,0 0 si la densidad, Cambie el orden de integración, como se te indica. a.-,, ; b.-,, ; c.-,, ; d.-,, ; 56.- Una lata de refresco llena, de altura h, esta sobre el plano. Perfore un agujero en la base y observe la coordenada z del centro de masa cuando el refresco se derrama. Comenzando en, baja gradualmente a un mínimo luego sube a cuando la lata esta vacía. Muestre que es mínimo cuando coincide con la altura de la lata valdría la misma conclusión para una botella de refresco? 57.- Use coordenadas cilíndricas para determinar la cantidad indicada. a.- El volumen del solido acotado por el paraboloide y el plano z4 b.- El volumen del solido acotado por arriba por la esfera 9, abajo por el plano z0 y lateralmente por el cilindro 4 17 Tendrá que desarrollar su propia formula: rebanar, aproximar, integrar. 32

33 c.- El volumen del solido bajo la superficie, por arriba del plano y dentro del cilindro 2 d.- El centro de masa del solido homogéneo acotado por arriba por y abajo por e.- El centro de masa del solido homogéneo dentro de 4, fuera de 1 y abajo por 12 y arriba Determine la masa de un sólido dentro de una esfera de radio 2 y fuera de un cilindro circular de radio a cuyo eje es diámetro de la esfera si la densidad es proporcional al cuadrado de la distancia al centro de la esfera Utilice coordenadas esféricas pero resolver la integral ) 60.-Muestre que el jacobiano para el cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas tiene valor 61.- Muestre que el jacobiano para el cambio de coordenadas cartesianas a esféricas tiene valor sin 62.- Determine el volumen del elipsoide,, 1 haciendo el cambio de variable Determine también el momento de inercia de este solido en torno del eje z, suponiendo que tiene densidad constante k Evalué la integral iterada o la integral triple. a.- b.- c.- d.- e Use coordenadas esféricas para determinar lo que se pide. 33

34 f.- 0,0,0;1,1,0;1,0,0;1,0,1 g.- ; 236 ;0 ;0 ;0 h.- ; 1 ; 1 0 i.- 4 ; Calcule el volumen del solido del primer octante limitado inferiormente por el plano, superiormente por el plano y lateralmente por el cilindro y el plano Determine el volumen del solido del primer octante acotado por el cilindro 16 y el plano 2 y los tres planos coordenados Obtenga el volumen del solido del primer octante limitado por los cilindros 4 y 24 y los tres planos coordenados Calcule el volumen del solido acotado poro el cono elíptico y el plano Determine el volumen del solido ubicado sobre el paraboloide elíptico 3 y debajo del cilindro Calcule la masa del solido limitado por la superficie y los planos La densidad volumétrica en cualquier punto del solido es 3 kilogramos por metro cubico Evalué la integral iterado por coordenas cilíndricas y esféricas. / a.- c.- e.- / sin / b.- cos d.- sin / f.- / / sin sin 34

35 71.- Si S es el sólido del primer octante limitado por la esfera 16 y los planos coordenados evalué la integral Utilice los diferentes tipos de coordenadas Determine el volumen del solido limitado por el paraboloide 1 y el plano Calcule el volumen del solido limitado por el cilindro 2 el paraboloide 2 y el plano Determine el volumen del solido ubicado dentro de la esfera 4 y que se encuentra arriba del cono 75.- Obtenga el volumen del sólido que se encuentra dentro de la esfera 2 y arriba del paraboloide 76.- Evalué la integral iterada empleando coordenadas cilíndricas o coordenadas esféricas. a.- c.- b.- d.- INTEGRALES DE LINEAS 77.- Evalué cada integral de línea. a.- ; 3,,01 b.- ; c.- ;,, 01 1,2 1,1 d.- ; 4cos, 4sin, 3, 02 e.- ; 0,1 4,1 4,3 f.- ; 2, 3,21 g.- ;,01 h.- ;,,, 01 35

36 78.- Resuelva 232; 0,0,0 2,3, Sea, ;,. 10, calcule el trabajo realizado por el campo F sobre una particular al moverse en C Sea, ; 3ln, ln2, 15 calcule el trabajo realizado por el campo F sobre una particular al moverse en C Sea,,22 ; 0,0,0 1,1,1 calcule el trabajo realizado por el campo F sobre una particular al moverse en C Sea,, ;,,,02 calcule el trabajo realizado por el campo F sobre una particular al moverse en C Evalué la integral de línea sobre la curva C. a.- ; : ; 01 b ; :3 ; 1 c ; :sin2cos; 0 d.- ; :, 1,1 4,8 e.- ; : 4, 2,0. f.- 2; :3cos2sin; 0 g.- sincos; :,0,1 h ; : 1 1,2 3,38 i.- ; : 0,0 2,2 j.- ; : 2 0,0 2,2 36

37 k.- ; : 1,0,0 3,4,8 l.- ; :1 ; 02 TEOREMA DE GREEN 84.- Use el Teorema de Green para evaluar la integral de línea dada. Dibuje la región dada. a.- 2, donde C es la curva cerrada formada por y entre 0,0 4,2 b.-, donde C es la curva cerrada formada por 0, 2 y c.- 2 2, donde C es la curva cerrada formada por 0, 2 d.-, donde C es el triangulo con vértices (0,0),(2,0) y (0,1) e.- ( 4)(2 3), donde C es la elipse f.- ( 2)( sin()), donde C es el rectángulo con vértices (2,1) (6,1) (6,4) y (2,4) 85.- Determine el área de la región indicada S. Haga un bosquejo. 19 a.- S esta acotada por las curvas 4 2 b.- S esta acotada por las curvas 86.- Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea. a.- (), donde C es la curva cerrada determinada por el eje x, la recta 2 y la curva 4 19 Para determinar este tipo de área se aplica el teorema de Green y se obtiene la siguiente igualdad. () 37

38 b.-, donde C es la curva cerrada determinada por el eje x la recta 1 y la curva c.- parábola 2 donde C es la curva cerrada determinada por la recta 20 y la d.-, donde C es la curva cerrada determinada por el eje x y la parábola 4 e.- coscos, donde C es el rectángulo cuyos vértices son 0,0;,0;, ;0, f.-, donde C es la circunferencia 4 g.- sin cos, donde C es la curva Utilizando el teorema de Green determine el área que se le indica. a.- La región limitada por el cuadrilátero cuyos vértices son 0,0;4,0;3,2;1,1 b.- La región cuya frontera es la circunferencia c.- La región limitada por las graficas ; d.- La región acotada por la parábola 2 y la recta 8 38

39 SOLUCIONES A ALGUNOS EJERCICIOS. DERIVADAS PREGUNTA 2. a.- Elipse. 1. b.- Hipérbole c.- Elipse 1 d.- Elipse 4 1 e.- Plano excepto la recta. f.- Hipérbola dentro de 1 g.- Entre las rectas 1 ; 1 PREGUNTA 3. Son elipsoides de semiejes,, para 4,2,1, PREGUNTA 6. a.- 1 b.- d.- 3 e.- PREGUNTA 13. a.- 0,0 1 ; 0,0 1 b.- 0, 1 ; 0,0 1 c.- PREGUNTA 17. PREGUNTA a.- 0 b.- 29 c.- 4 d.- 0 e.- 0 f.- 0 PREGUNTA 22. a.- b.- PREGUNTA 25. c.- a.- Si existe, por definición de limite. d.- b.- Si existe por teorema de emparedado. 0 c.- No existe. d.- No existe PREGUNTA 26 a.- b.- " " c.- d.- 6 (demostrar continuidad) PREGUNTA 27. a.- menos b.- En el primer y cuarto cuadrante. c.- Menos en la elipse 4 16 c.- 0,0 0,0. d.- 1 e,f.- 0,0 d.- 0,0 0 ; 0,0 0 e.- 0,0 1 ; 0,0 1 PREGUNTA 14. g,h,i,n.- j.- Dentro 16 k.- 1 l.- Primero y Tercer cuadrante y 1 a.- 2 b.- c.- 1 d.- 1 e.- f.- 0 m.- 1 o.- Excepto en 0,0 39

40 PREGUNTA 28. a.- No existe, Esencial. b.- 0,0 0 c.- No existe, esencial. d.- 0,0 0 e.- 0,0 0 c PREGUNTA 37. a.b.c.d.- Sus Derivadas Parciales son Continuas en su Dominio. PREGUNTA 30. a.- Fuera de la esfera 1 b.- Dentro del elipsoide c.- PREGUNTA 31. Se tiene que: lim,, Y además. lim,, d.- 0,0,0,, 0 1,0 lim lim,, 0 1,0,, 1,1 lim lim,, 1,1 Los límites no son iguales por lo cual No existe. PREGUNTA 33. a b c PREGUNTA 34. a.- 2 b.- 2 c.- 1 PREGUNTA ,0 1,0 1,1 1,1 PREGUNTA 44. a b.- PREGUNTA 45. c.- a.- 12, 5 b.-, c.- 4,2, 1 d.- 1, 8,0 PREGUNTA 46. a.- 1,2 PREGUNTA 47. PREGUNTA 50 b.- 3,1 d sin 3 2 a.- 6 b.- 2 c d.- 2 e.- 3 f.- 3 PREGUNTA 51. a.- 3 b PREGUNTA 52. a.- sin cos1 3 sin cos b.- 3 sin2 3 cos3 2 cos2 2 sin3 a.- 2 c.- d.- 7 cos b.- 3 e

41 PREGUNTA 53. a ln b.- c.- 1 d.- 0 PREGUNTA 54. a.- 72 b.- 5 c.- 8 PREGUNTA 63. a b c d.- 2 e f.- PREGUNTA 64. PREGUNTA 65. PREGUNTA 66. PREGUNTA A los 3 segundos en 5,10,9 PREGUNAT 68. a.- b.- c , 1, d e f.- 4 g.- h.- PREGUNTA 69. a.- b.- Son tangentes en 0,1,1 c.- 3 d.- e f.- Son tangentes. PREGUNTA 70. a b c d PREGUNAT 73. a.- 1, 1 min local. b.- 0,0 Max local 3, 6Pto Silla. c.- 0,0 Pto Silla. d.- 0,0 Pto Silla. 2,2 Min local. e.- 1,2 min local. f.- 0,2 Max local. g.- No Hay h.- 0,0 min local. 41

42 PREGUNTA 74. a.- 0,0 min 3,4 Max global. b.- 0, 1min 1,0 max global. c.-, min global., Max global. PREGUNTA 75. a.- 0, pto silla 4, mínimo relativo b.- Nada PREGUNTA 80. PREGUNTA ,3 es mínimo junto con el conjunto de número que cumplan 3 PREGUNTA 82. Mínimos,, Máximos,, c.- 1,2Pto Silla. d.- 3, 4Pto Silla. e.-, 16 Pto Silla. f.-, Pto Silla, 4,2mínimo relativo. PREGUNTA 83. Pto Mínimo 3, 3 PREGUNTA 84. g.- 0, Pto Silla 0, Pto Silla. h.- 0,0Pto Silla 8,4Min Absoluto 2, 1min Rela i.- 1,1Min Re 1, 3 Silla 1,1Silla, 1, 3Max Re j.- Nada k.- 0,0Pto Silla l.- 0,0Pto Silla 6,6 min relativo. PREGUNTA 76. a.- 1,3 Max 5,0 min b.- 1,3 max 0,0min 1,1 silla. c.-, max 0,00,, min PREGUNTA 78. PREGUNTA , 5 7, , 1 17, 4 1 0, 17 17, 4 17 PREGUNTA 85. PREGUNTA 86. PREGUNTA , 18 7, ,1,1 a.- Punto críticos 0,0 0,2 b.-,, c.- 0,1,0 0, 1,0 PREGUNTA a.- Max Absoluto 4,1 Min Absoluto 4, 1 b.-,, Máximo,, Minimo PREGUNTA 90. a.- 0,0, y la frontera b.- Toda la frontera. 42

43 PREGUNTA 91 Mínimo 11 15, 16 15, 1 3 PREGUNTA 10 a.- b.- c.- d.- 2 e.- 2 f g.- 1 ln2 h.- PREGUNTA 11 a.- 0 b.- c.- INTEGRALES PREGUNTA 1 a.- 3 b.- 12 c.- 13 PREGUNTA 2 a.- 4 b.- 31 c.- 3 d.- 10 PREGUNTA 3 PREGUNTA 4 PREGUNTA PREGUNTA Linealidad de integración con respecto a (y) 2.- Linealidad de integración con respecto a (x). PREGUNTA 14 PREGUNTA ln2 1 2 a.- 12 b.- 8 c.- 98/3 d.- 2/3 e.- g.- h.- 5 i.- PREGUNTA 6 a.- b.- 2 c.- PREGUNTA 7 a.- b.- PREGUNTA 8 j.- 1 d.- c.- 72 d f.- PREGUNTA PREGUNTA 17 a.- b.- 0 c PREGUNTA18 Cambie el orden de integración y obtenga que 2 arctan 1 2 PREGUNTA 9 a.- 0 b PREGUNTA 19 a.- ¾ b.- c.- d.- e.- ln5 f.- 2 g.- 3 ln2 h.- 2 i

44 PREGUNTA 20 PREGUNTA 28 a.- 0 b.- 6 c.- d.- e.- ln5 f PREGUNTA 21 PREGUNTA 29 * a.- 6 b.- 24 c.- 20 d.- g.- 2 h.- PREGUNTA 22 a.-, b.- c.- / /,, e.- f.- 72 d.-,, / / e.-,, f.-, PREGUNTA 23 PREGUNTA 24 a.- b.- c.- PREGUNTA 25 a b.- c.- 54 PREGUNTA 26 b.- c.- 8 d.- PREGUNTA 27 1 cos8 d d cos e PREGUNTA a.- Negativo b.- 4 c.- 8 PREGUNTA 31 a.- 6 b.- c.- 8 d.- e PREGUNTA 32 a.- 4 b c.- d.- PREGUNTA 33 PREGUNTA 34 PREGUNTA 35 PREGUNTA 36 PREGUNTA PREGUNTA 38 CM Centro de Masa a.-30 2,1,8 b.- c.-, d.- 0,, 1 4 ln2 44

45 e.-, PREGUNTA 46 f , 0 PREGUNTA 39 a.- b c.- d.- PREGUNTA 40 PREGUNTA a.- b.- c.- PREGUNTA 42 a.- e.- b.- 14 c.- 2 ln f.- 4 d.- 4 g ln1 2 h.- 8 PREGUNTA 43 PREGUNTA 44 PREGUNTA PREGUNTA 47 a.- 16 b.-, 1 4 c.- ; PREGUNTA 48 PREGUNTA 49 PREGUNTA 50 PREGUNTA 51 PREGUNTA 52 a.- 40 b.- 55 c.- e.- f.- PREGUNTA ln1 2 5 g h.- d a.-,, b.-,, c.-,, d.-,, e.-,, f.-,,,

46 PREGUNTA 54 PREGUNTA 72 a.- b.- c.- 2 d.-,, e.- 0,0, PREGUNTA 73 f.- PREGUNTA 74 8 PREGUNTA 55 PREGUNTA 75 a.-,, b.-,, c.-,, d.- PREGUNTA 57,, a b.- 96 c.- d.- 4 PREGUNTA 63 a.- f.- b.- g.- 9 h.- PREGUNTA 64 PREGUNTA 65 c.- i.- d.- e.- 41 PREGUNTA 66 PREGUNTA 67 2 PREGUNTA PREGUNTA PREGUNTA 70. a.- b.- e.- f PREGUNTA 71 c d.- 16 PREGUNTA 76 a.- 18 b.- c d.- PREGUNTA 77 a b c d e.- 60 g.- 1 f.- h.- PREGUNTA PREGUNTA 79 PREGUNTA ,6 PREGUNTA 81 PREGUNTA 82 PREGUNTA 83 a.- 1 b.- f.- 3 c.- d.- g.- 1 h i.- k.- 2 l PREGUNTA 84 a.- b.- PREGUNTA 85 a.- PREGUNTA 86 c.- d.- b.- a.- 0 b.- 0 c.- 0 d.- 2 * e.- 50 * e.- 8 j.- e.- 0 f

47 PUNTOS FINALES. 1.- Matemáticas 5 corresponde a lo que sería el curso de matemáticas 1,2 pero en esta se estudias funciones de dos o más variables. 2.- En cuanto los limites, le recomiendo ver bien como acotar los límites por definición porque sucede que si son acotado muchos el límite no existe. sin ) 1) como primera aproximación podría acotar la función seno a 1, pero hay casos en que no se puede hacer, preste mucha atención a estos pequeños detalles. 3.- En cuanto a la integración, siempre dibuje las funciones para que tenga una idea de los límites de integración, y si va a utilizar métodos de coordenadas polares o cilíndricas tenga en mente de cambiar los diferenciales más el jacobiano que aparecen en este tipo de integración. 4.- Para finalizar el teorema de Green le será muy útil para desarrollar ejercicios a futuro matemáticas 6) por los momentos debe Ud. Verificar las hipótesis del teorema para luego proceder a aplicar sus resultados. SIRVASE DE AYUDA PARA PRATICAR MATEMATICAS 5. PRIMER PARCIAL Y SEGUNDO PARCIAL. CUALQUIER ERROR TIPOGRAFICO O DE REDACCION FAVOR AVISAR A magt_123@hotmail.com PARA SU CORRECCION, MENCIONE NUMERO DE PAGINA, EJERCICIO QUE DICE Y QUE DEBERIA DECIR. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA. J. Marsden y A. Tromba. Cálculo Vectorial. 4ta edición. Addison-Wesley. T. Apostol. Calculus. Volumen II. 2da edición. Editorial Reverté. Revise: PARA MAYOR INFORMACION. Purcell, Varbery, CALCULO Pearson, Prentice Hall, Octava edición, Capítulos 15 y 16. Leithold, El Cálculo, séptima edición capítulos 12 y 13. Actualizada Diciembre Creado por Miguel Guzmán 47