Dr. José Leonardo Sáenz Cetina Fecha de elaboración: Agosto de 2004 Fecha de última actualización: Julio de 2010

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1 MPROGRAMA DE ESTUDIO Teoría de Conjuntos Programa Educativo: Licenciatura en Matemáticas Área de Formación : Sustantiva Profesional Horas teóricas: 3 Horas prácticas: 2 Total de Horas: 5 Total de créditos: 8 Clave: F1141 Tipo : Asignatura Carácter de la Optativa asignatura Programa elaborado por: L.M. José Edilberto Rodríguez Cervera Dr. José Leonardo Sáenz Cetina Fecha de elaboración: Agosto de 2004 Fecha de última actualización: Julio de 2010 Seriación explícita Asignatura antecedente No Asignatura Subsecuente Seriación implícita Conocimientos previos: Sí Conocimiento de los métodos de demostración. Lenguaje de lógica matemática. La divisibilidad y sus propiedades. Manejo de funciones reales de variable real. F1141 Teoría de Conjuntos 1 / 7

2 Presentación George Ferdinand Ludwid Philipp Cantor ( ), suele ser considerado el iniciador de lo que hoy en día se conoce como Teoría de Conjuntos. Algunos de los matemáticos y filósofos que de igual manera contribuyeron al desarrollo de esta teoría son Julius Wilhelm Richard Dedekind ( ), Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo ( ), Bertrand Arthur William Russell( ). Actualmente las ideas de cardinalidad, productos cartesianos, las clases de equivalencia, el axioma de elección, entre otros, que forman parte de la curricula de un curso de teoría de conjuntos son ampliamente empleados en topología, probabilidad, teoría de la medida, entre otras áreas de desarrollo de la matemática. En este curso de Teoría de Conjuntos se estudiarán las operaciones entre conjuntos, relaciones de equivalencia, funciones, productos cartesianos. Dando énfasis a propiedades más generales a las estudiadas, en estos mismos temas por ejemplo en los cursos de cálculo diferencial y álgebra superior. Se analizará el concepto de cardinalidad y se introducirá al alumno al mundo de los números cardinales. De igual manera se estudiará el axioma de elección, que proporciona una herramienta fundamental para el estudio del análisis y la topología. Se analizarán algunas de las formas equivalentes de este axioma. Los temas abordados en esta asignatura prepararán al estudiante para su incursión en el análisis matemático y la topología, entre otras asignaturas subsecuentes. Objetivo General Comprender y aplicar los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos. Competencias que se desarrollaran en esta asignatura Habilidad para demostrar resultados ligados a los elementos de la teoría de Conjuntos (Conjuntos, funciones, etc). Habilidad para analizar relaciones desde el punto de vista de las relaciones de equivalencia, Clases de equivalencia, orden, funciones). Habilidad para determinar la cardinalidad de algunos conjuntos. Habilidad para operar con cardinales. Habilidad para aplicar el Teorema de Cantor- Schröder-Bernstein. Habilidad para aplicar el Axioma de Elección en la demostración de resultados de la teoría. Conocer el concepto de relación y su uso en la definición de funciones, espacio de clases de equivalencia, conjuntos parcial y totalmente ordenados. F1141 Teoría de Conjuntos 2 / 7

3 Conocer resultados sobre la cardinalidad de conjuntos infinitos. Conocer resultados básicos sobre la aritmética cardinal. Conocer la Hipótesis del Continuo. Conocer el Axioma de Elección y diversas formas equivalentes a él. Conocer algunas de las paradojas de la teoría de conjuntos. Competencias del perfil de egreso que apoya esta asignatura Capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas. Disciplina y hábitos de estudio que le permitan superarse constantemente para afrontar nuevos retos. Espíritu de innovación y actitud crítica en la búsqueda de mejores soluciones. Actitud positiva para colaborar en equipos interdisciplinarios. Honestidad, compromiso, responsabilidad y ética profesional. Escenario de aprendizaje Salón de clases, biblioteca, Centro de Cómputo, Hogar. Perfil sugerido del docente Sólida formación en los temas considerados en el curso. F1141 Teoría de Conjuntos 3 / 7

4 Contenido Temático Unidad No. 1 Elementos de la Teoría de Conjuntos Objetivo particular Conocer los objetos básicos de la teoría de conjuntos así como las operaciones entre ellos y sus interrelaciones. Hrs. estimadas 25 Temas 1.1. Álgebra de Conjuntos: Unión, Intersección y Complemento Producto Cartesiano de Familias de conjuntos Relaciones 1.4. Funciones 1.5. Conjuntos parcialmente ordenados Conjuntos totalmente ordenados. Resultados del aprendizaje Habilidad para demostrar resultados ligados a los elementos de la teoría de Conjuntos (Conjuntos, funciones, etc). Habilidad para analizar relaciones desde el punto de vista de las relaciones de equivalencia, Clases de equivalencia, orden, funciones). Conocer el concepto de relación y su uso en la definición de funciones, espacio de clases de equivalencia, conjuntos parcial y totalmente ordenados. Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos en cada uno de los conceptos. Trabajar con grupos pequeños en la solución de ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados de los temas estudiados, haciendo énfasis en el planteamiento y en las estrategias de solución a los mismos. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los Estrategias y criterios de evaluación Exámenes parciales escritos. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos. F1141 Teoría de Conjuntos 4 / 7

5 alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades. Unidad No. 2 Cardinalidad Objetivo particular Generalizar el concepto de número natural al de número cardinal, estableciendo propiedades aritméticas entre estos nuevos objetos. Hrs. estimadas 30 Temas 2.1. Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Numerables y No Numerables Equivalencia de Conjuntos La No Numerabilidad del Conjunto de los Números Reales Números Cardinales El Teorema de Cantor- Schröder- Bernstein El Teorema de Cantor Hipótesis del Resultados del aprendizaje Habilidad para determinar la cardinalidad de algunos conjuntos. Habilidad para operar con cardinales. Habilidad para aplicar el Teorema de Cantor- Schröder-Bernstein. Conocer resultados sobre la cardinalidad de conjuntos infinitos. Conocer resultados básicos sobre la aritmética cardinal. Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos en cada uno de los conceptos. Trabajar con grupos pequeños en la solución de ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados de los temas estudiados, haciendo énfasis en el planteamiento y en las estrategias de solución a los mismos. Estrategias y criterios de evaluación Exámenes parciales escritos. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos. F1141 Teoría de Conjuntos 5 / 7

6 Continuo Aritmética Cardinal. Conocer la Hipótesis del Continuo. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades. Unidad No. 3 El Axioma de Elección Objetivo particular Comprender y aplicar el Axioma de Elección y sus varias formas equivalentes. Hrs. estimadas 25 Temas 3.1. Axioma de Elección, Lema de Zorn y Teorema del Buen Orden Aplicaciones del Axioma de Elección Paradojas de la Teoría de Conjuntos. Resultados del aprendizaje Habilidad para aplicar el Axioma de Elección en la demostración de resultados de la teoría. Conocer el Axioma de Elección y diversas formas equivalentes a él. Conocer algunas de las paradojas de la teoría de conjuntos. Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos en cada uno de los conceptos. Trabajar con grupos pequeños en la solución de ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados de los temas estudiados, haciendo énfasis en el planteamiento y en las estrategias de Estrategias y criterios de evaluación Exámenes parciales escritos. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos. F1141 Teoría de Conjuntos 6 / 7

7 solución a los mismos. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades. Bibliografía básica 1. Halmos, P. R. (1998). Naive Set Theory. New York: Springer-Verlag. 2. Halmos, P. R. (1965). Teoría Intuitiva de los Conjuntos. México: C.E.C.S.A. 3. Hernández, Hernández, F. (1998). Teoría de Conjuntos: Aportaciones Matemáticas 13: Sociedad Matemática Mexicana. 4. Hrbacek, Karen., Jech Thomas. (1999). Introduction to set theory. third edition. Pure and Applied Mathematics: Marcell Dekker, Inc. 5. Konstantinovich, Nikolai., Shen, A., Vereshchagin, N. K. (2002). Basic Set Theory, Student Mathematical Library. Vol.17. USA: The American Mathematical Society. Bibliografía complementaria 1. Devlin, Keith. (1993). The Joy of sets. Fundamentals of contemporary set theory: New York: Springer-Verlag. 2. Kolmogorov, A. N., Fomin, S. V. (1999). Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. U.S.A: Dover Publications. 3. Lipschutz, S. (1998). Schaum's Outline of Set Theory and Related Topics. 2 nd ed. USA: The McGraw-Hill Companies, Inc. 4. Lipschutz, S. (1988). Teoría de Conjuntos y Temas Afines. México: McGraw-Hill. F1141 Teoría de Conjuntos 7 / 7

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