ANEXO I - Algunos elementos sobre tratamiento de incertezas experimentales, cifras significativas, tablas, gráficos y esquemas.

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1 ANEXO I - Alguos elemetos sobre tratamieto de icertezas eerimetales, cifras sigificativas, tablas, gráficos y esquemas. Medir imlica comarar ua catidad de ua magitud co otra catidad de la misma magitud fijada arbitrariamete como uidad. Por ejemlo, medir ua distacia sigifica establecer el úmero de veces que la catidad cosiderada uidad de logitud (metro, cetímetro, ulgada, etc.) está coteida e dicha distacia. Surge así u úmero adimesioado que recibe el ombre de medida de dicha catidad. El valor de la catidad es u úmero dimesioado o cocreto que se obtiee idicado a cotiuació de la medida (úmero adimesioado o abstracto) la uidad utilizada. valor de la catidad = medida uidad No eiste métodos i istrumetos que ermita medir si icerteza algua ua catidad de ua magitud física. Podemos medir, or ejemlo, la carga del electró co ua icerteza tato meor cuato mejor sea el método y el istrumetal que emleamos ara hacerlo, ero e igú caso odremos medir la verdadera carga del electró si icerteza. Más aú, si ua misma catidad es medida reetidas veces, utilizado el mismo istrumetal y el mismo método, a esar del cuidado que se oga al hacerlo, es osible que se obtega ua serie de úmeros que difiere levemete etre sí. Como cosecuecia de esto odemos decir que el valor verdadero de ua catidad o tiee setido físico. Queremos destacar que dar simlemete u úmero como medida de ua catidad, si recisar la icerteza de que está afectado, o tiee setido. Por lo tato, el resultado de ua medició costa de tres artes: la medida de la catidad, la uidad e que esa medida está eresada y la icerteza absoluta que la afecta. E u roceso de medició a lo sumo odemos asirar a determiar el valor reresetativo de la catidad e idicar los límites osibles de la icerteza de la misma. La icerteza defie u itervalo alrededor del valor reresetativo detro del cual, de acuerdo al método y al istrumetal utilizado, se ecuetra el valor de la catidad. Suogamos, ara ejemlificar, que medimos el eríodo de u édulo simle y obteemos el siguiete resultado: (,, ) T1 = 1 5± 0 1s Gráficamete odemos reresetar este resultado de la siguiete maera: El valor de la catidad se ecuetra comredido etre 1,4 1,5 s y 1,6 s, lo que imlica que cualquier úmero real icluido e este itervalo rereseta igualmete bie al eríodo del édulo. Si ahora se disoe de otras dos medicioes del eríodo del mismo édulo: ( 1, 5 0, 05) ; ( 1, 69 0, 05) T = ± s T = ± s y las graficamos juto co T1 utilizado la misma escala, T 1 1,5 s 1,48 s 1,58 s T 1,5 s Como los itervalos de idetermiació tiee utos comues cosideraremos que T1 y T rereseta medicioes de la misma catidad. E el caso de T,

2 T 1 T 1,5 s 1,69 s como los itervalos de idetermiació o tiee utos comues o se uede asegurar si T corresode o o a la medició del mismo eríodo. Tomaremos como criterio que dos medidas so iguales si los itervalos de idetermiació tiee más de u uto e comú. 1,64 s 1,74 s Las icertezas uede clasificarse de acuerdo a su orige e: a) Icertezas que tiee su orige e el istrumeto de medició. Etre ellas, la más comú es la llamada areciació del istrumeto, que corresode a la míima variació e la medida que el observador uede distiguir co ese istrumeto. Otro ejemlo es la icerteza asociada a la calibració del istrumeto. b) Icertezas que tiee orige e la iteracció etre el observador y el método de medició. Como u ejemlo odríamos citar el tiemo de reacció. c) Icertezas que tiee orige e el objeto a medir, or ejemlo e el hecho de que los objetos o está defiidos co ifiita recisió. Otra clasificació distigue etre: I) Icertezas sistemáticas: afecta las medidas e valores rácticamete iguales y del mismo sigo y uede y debe ser elimiadas. Se origia e: a) ua deficiete calibració del istrumeto de medició b) la utilizació de u istrumeto co error de cero c) el emleo de u istrumeto ato ero icoveiete ara la medició que se realiza d) la utilizació de ua teoría defectuosa II) Icertezas accidetales: afecta a las medidas e más o e meos co igual robabilidad, so resosables de las disersioes que se comrueba al medir varias veces ua misma catidad, co el mismo istrumeto y e las mismas codicioes. Está resetes e todas las medicioes y o es osibles elimiarlas. Puede origiarse e: a) areciació del observador al realizar la lectura del istrumeto de medició b) equeñas variacioes de las codicioes ambietales que afecta a la catidad que se mide o al istrumeto de medició c) factores descoocidos o coocidos de imosible cotrol La teoría de la medida utiliza medidas afectadas solamete or icertezas accidetales y determia el tratamieto matemático ara lograr el valor reresetativo, su límite osible de icerteza y la recisió de la medida. Para ello se rocede a reetir u úmero razoable de veces la medida de la catidad co el mismo istrumeto y e las mismas codicioes eerimetales. De esta maera las icertezas accidetales aarecerá distribuidas al azar udiédolas tratar estadísticamete. a) Valor reresetativo de ua catidad Medida la catidad como idicamos ateriormete y reteiedo sólo las medidas que merezca la misma fe cosideraremos como valor reresetativo de la catidad medida ( ) la media aritmética de los valores obteidos. Si los valores obteidos so 1,,, 4, etc. el valor reresetativo será = L+

3 Simbólicamete i= = 1 i b) Icertezas residuales o desviacioes Se llama así a la diferecia etre el valor reresetativo y cada uo de los valores obteidos. ε i = - i c) Icerteza absoluta del valor reresetativo Fijaremos como criterio cosiderar la icerteza residual de mayor valor absoluto, que desigaremos ε y lo afectaremos de doble sigo. El resultado se eresará = ± ε. La icerteza absoluta establece la aroimació del resultado y se eresa e las mismas uidades que el valor reresetativo. d) Icerteza relativa Es el cociete etre la icerteza absoluta y el valor reresetativo ε e = La icerteza relativa idica la recisió de la medida. Por tratarse de u cociete etre valores eresados e las mismas uidades la icerteza relativa resulta adimesioal. E muchos casos es más cómodo eresar la icerteza relativa e forma orcetual ara lo cual simlemete se multilica la icerteza relativa or 100 y de esa maera sabemos el orcetaje de esta icerteza co resecto al valor de la medició. Ejemlo: Suogamos que queremos determiar la masa de u cuero utilizado ua balaza cuya areciació es de 1g. Realizamos 10 medicioes sucesivas de la misma catidad obteiedo los siguietes resultados: Masa (g) Valor reresetativo (g) Icertezas residuales o desviacioes (g) Icerteza absoluta de la masa (g) 1 -, 10 0,8 10 0,8 1 1, 1 10,8 -,, 119 1,8 11-0, 119 1,8 11-0, 10 0,8 E la rimera columa teemos los valores corresodietes a las 10 medicioes. E la seguda columa idicamos el romedio de dichos valores que costituye el valor reresetativo de la catidad. E la tercer columa figura las desviacioes o icertezas residuales que se obtiee restado al valor reresetativo, el valor de cada medició. E la cuarta columa figura la icerteza absoluta que se obtiee cosiderado la máima desviació e valor absoluto y asigádole doble sigo. Se obtiee así la cota suerior e iferior de la icerteza que costituye el itervalo de idetermiació. La masa del cuero se eresará m = ( 10,8 ±, )g

4 Hasta ahora hemos idicado como asigar la icerteza absoluta a ua medició. La icerteza absoluta está eresada e las mismas uidades que hemos elegido ara el valor de la catidad medida y os roorcioa la aroimació alcazada e la medició, característica del istrumetal y el método eerimetal utilizado. E uestro ejemlo la icerteza relativa o recisió de la medida será,g e r = e r = 0, , 8g e % = 1,8 % Medició directa: se deomia así a la oeració de lectura de u istrumeto alicado a medir determiada catidad de ua magitud or ejemlo cuado se determia ua distacia utilizado ua cita métrica, la masa de u cuero co ua balaza, la itesidad de ua corriete co u amerímetro, etc. Para determiar el valor reresetativo y su icerteza deberá roceder como se idicó ateriormete. Si se realiza ua sola medició de ua magitud física, la icerteza ivolucrada se cooce como icerteza istrumetal. El criterio a seguir ara determiarla será cosiderar como base de la icerteza de la medició directa la míima divisió del istrumeto utilizado y las codicioes bajo las cuales se realizó la medició. Por ejemlo disoemos de ua cita métrica graduada e milímetros ara medir ua logitud. Suogamos que la logitud se ecuetra etre 8mm y 84mm. Si la logitud está acotada etre dos líeas fias el resultado de la medició sería l = (8 ± 1) mm Este criterio se basa e el hecho que, a lo sumo el istrumeto me ermite distiguir u milímetro, es decir o ve meos de su míima divisió. Si or ejemlo los límites del objeto a medir o estuviera bie determiados habría que aalizar si se cosidera ó mm como icerteza de la medició. Puede ocurrir e algú caso que al reetir varias veces la medició directa de ua magitud, se obtega siemre el mismo resultado. Por ejemlo, si se mide la logitud de u hilo y se obtiee los siguietes resultados: l 1 = (8,0 ± 0,1) y l = (7,9 ± 0,1), estos debe cosiderarse como iguales. E estos casos se asigará a la medida la icerteza istrumetal, udiedo tomarse como valor reresetativo cualquiera de los obteidos. Medició idirecta: o siemre es osible realizar la medició directa de la catidad deseada. E muchos casos se mide otras catidades e forma directa y luego mediate ua eresió matemática adecuada se calcula la catidad deseada. Ua medició idirecta ivolucra siemre al meos ua medició directa e el roceso de su obteció. Por ejemlo la medició idirecta del volume de ua esfera a artir de la medició directa de su diámetro o la suerficie de u triágulo a artir de la medició directa de la base y de la altura. El roblema es determiar e cuáto afecta a la medició idirecta las icertezas imlícitas e las medidas directas efectuadas. El rocedimieto que se sigue ara resoder a esta iquietud, es coocido como roagació de icertezas. Es osible demostrar que: a) La icerteza absoluta de ua suma o de ua resta se obtiee sumado las icertezas absolutas de las medidas utilizadas. Ej: si X = a + b εx = εa + εb si Y = a b εy = εa + εb b) La icerteza relativa de u roducto o de u cociete se obtiee sumado las icertezas relativas de las medidas utilizadas. X = a b ex = ea + eb a Y = b ey = ea + eb Ej: si * si c) Potecia y radicació: 4

5 La icerteza relativa de ua otecia se obtiee multilicado la icerteza relativa de la base or el eoete de la otecia. Ej: si X a = = ex ea La icerteza relativa de ua raíz se obtiee dividiedo la icerteza relativa de la catidad subradical or el ídice de la raíz. Ej: si 1 Y = a = ey ea Cifras sigificativas: Como dijimos ates, el resultado de ua medició costa de: la medida de la catidad, la uidad e que está eresada y su icerteza absoluta. E este curso de física eerimetal adotaremos la coveció de utilizar como máimo dos cifras sigificativas e la icerteza. Esto sigifica que, ua vez obteida la icerteza de ua catidad, sólo cosideraremos la rimer cifra distita de cero e el mismo y la cifra siguiete a ésta, redodeado y desreciado las demás. El valor medido se eresa etoces co la misma catidad de cifras decimales que haya coservado e la icerteza. Para ejemlificar, suogamos que medimos idirectamete el volume de u cilidro, obteiedo las siguietes icertezas ara las diferetes catidades medidas: CANTIDAD VALOR REPRESENTATIVO INCERTEZA ABSOLUTA RESULTADO Diámetro de la base 5,4 (med. directa) 0,11 d = ( 5, 40 ± 0, 11) Altura 10,1 (med. directa) 0,1 h = ( 10, 10 ± 0, 1) Suerficie de la base,901 0,9 (med. idirecta) (roagació) S = (, 90 ± 0, 9) Volume 1,9 1,170 (med. idirecta) (roagació) V = ( 1 ± 1) El rocedimieto de redodeo que habitualmete se utiliza cosiste e cosiderar a las cifras meores que 5 como u cero y desreciarlas, mietras que cifras mayores o iguales que 5 so cosideradas como 10, es decir, le suma uo a la cifra aterior. Ejemlo: 0,0514 se eresa 0,051; 0,155 se eresa 0,16; 0,00109 se eresa 0,0011; 0,998 se eresa 1,0. Observació: cuado deba utilizar el úmero π, cosiderar el valor que le sumiistra la calculadora cuya icerteza, or coteer ua catidad cosiderable de cifras decimales, uede desreciarse. 5

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