Unidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones

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1 Uidad : Las Ecuacioes Difereciales y Sus Solucioes. Itroducció. Tato e las ciecias como e las igeierías se desarrolla modelos matemáticos para compreder mejor los feómeos físicos. Geeralmete, estos modelos produce ua ecuació que cotiee alguas derivadas de ua fució icógita. Esta ecuació recibe el ombre de ecuació diferecial. Las ecuacioes difereciales o solo se utiliza e las ciecias e igeierías, sio e otros campos del coocimieto humao como: la medicia, la ecoomía, la ivestigació de operacioes y la psicología. Defiició. Ua ecuació que cotiee las derivadas de ua o más variables depedietes, co respecto a ua o más variables idepedietes, es ua ecuació diferecial (E.D).. Clasificació de las ecuacioes difereciales. Clasificació por el tipo. Si ua ecuació cotiee solo derivadas ordiarias de ua o varias variables depedietes co respecto a ua variable idepediete se dice que es ua ecuació ordiaria (E.O.D). Ua ecuació diferecial ordiaria puede ser escrita como: 3 y se, d y 7y 0 y 8 y ~ () dt Ua ecuació co derivadas parciales de ua o más variables depedietes de dos o más variables idepedietes se llama ecuació diferecial parcial (E.D.P). Por ejemplo, u u u u u u v y y t 0, y ~ () so ecuacioes difereciales parciales. Segú el orde. El orde de ua ecuació diferecial es el orde de la derivada de máimo orde que aparece e la ecuació diferecial. Ejemplo: d y 7y 0 es ua ecuació de segudo orde

2 Ua ecuació diferecial ordiaria de -ésimo orde de ua variable depediete, puede epresarse mediate la forma geeral F(, y, y',..., y ) 0 ~ (3) Dode F es ua fució de valores reales de, y, y ',..., y. variables: Por coveiecia práctica la ecuació (3) suele escribirse de la forma: f, y,,..., ~ (4) d y d y De acuerdo a la liealidad. Ua ecuació diferecial ordiaria de orde es lieal si F es lieal e, y, y ',..., E.D.O de orde es lieal cuado (3) es a ( ) y a ( ) y... a ( ) y ' a ( ) y g( ) 0 o bie 0 a ( ) y a ( ) y... a ( ) y' a ( ) y g( ) ~ (5) 0 y. Esto sigifica que ua Dos casos especiales de (5) so las E.D.O de primer orde y segudo orde: d y 0 0 a ( ) a ( ) y g( ) y a ( ) a ( ) a ( ) y g( ) ~ (6). Las dos propiedades características de ua E.D.O lieal so: La variable depediete y y todas sus derivadas so de primer grado, es decir, la potecia de cada térmio e que iterviee y es uo. a, a, a,..., Los coeficietes 0 idepediete. a depede solo de la variable Ua ecuació diferecial ordiaria o lieal es simplemete ua que o es lieal. Las siguietes ecuacioes so o lieales: 3 5 y 5y l, d y tah y y d y y 0 3

3 3. Las solucioes de las ecuacioes difereciales y los problemas de valores iiciales. Solució de ua ecuació diferecial ordiaria. Defiició. Cualquier fució, defiida e u itervalo I y co al meos derivadas cotiuas e I, que al sustituirse e ua E.D.O de -ésimo orde reduce la ecuació e ua idetidad, se cosidera solució de la ecuació e el itervalo. Itervalo de defiició. Es el itervalo dode la ecuació tiee su solució. Curva solució. La gráfica de ua solució de ua E.D.O se llama curva solució. Como es ua fució difereciable, es cotiua e su itervalo de defiició. Tipos de solucioes. Solució eplicita: Ua fució ( ) tal que al sustituirla e vez de y e la ecuació diferecial satisface la ecuació para toda e el itervalo I. Ejemplo. Compruebe que la fució dada es ua solució de la ecuació diferecial. Derivamos a y : y 5, y 5ta 5 5sec 5 Ahora sustituímos a y y su derivada e la ecuació diferecial : 5sec 5 (5 ta 5 ) 5 ~ ( a) 5sec 5 5 ta 5 5 ~ ( b) Sabemos que c : ta 5 sec 5 ~ ( ) Sustituyedo ( c) e ( b) teemos : 5sec 5 5(sec 5) 5 5sec 5 5sec

4 Solució implícita: Ua relació G(, y) 0 es ua solució implícita de ua ecuació diferecial e u itervalo I, siempre que eista al meos ua fució ( ) ecuació diferecial e I. que satisface tato la relació como la Ejemplo. Verifique que la relació dada es ua solució de la ecuació diferecial. y y, y l y Derivado la relació teemos que: ~ ( a) y Despejado a : y y se obtiee la ecuació dada y y Familias de solucioes. Ua solució ( ) alguas veces se deomia itegral de la ecuació, y su gráfica se llama curva itegral. Al resolver ua ecuació diferecial de primer orde F(, y, y') 0, por lo comú se obtiee ua solució que cotiee ua costate arbitraria o parámetro c. Ua solució que cotiee ua costate arbitraria represeta u cojuto G(, y) 0 de solucioes al que se le llama familia uiparamétrica de solucioes. Cuado se resuelva ua ecuació diferecial de -ésimo orde F(, y, y',..., y ) 0, se busca ua familia o paramétrica de solucioes G(, y, c, c, c3,..., c) 0. Esto sigifica que ua ecuació diferecial puede poseer u úmero ifiito de solucioes que correspode al úmero ilimitado de eleccioes para el (los) parámetro(s). Ua solució de ua ecuació que está libre de parámetro se llama solució particular. Ua ecuació diferecial posee ua solució que o es miembro de ua familia de solucioes de la ecuació, es decir, ua solució que o se puede obteer al especificar alguos de los parámetros de la Preparado por: Prof. Gil Sadro Gómez. 4

5 familia de solucioes. Esta clase de solució etra se llama solució sigular. Problemas de valores iiciales Defiició. Por u problema co valores iiciales para ua ecuació diferecial de orde d y f, y, y ',... y 0 Se etiede, hallar ua solució de la ecuació diferecial e u itervalo I que satisfaga 0 y( ) y, 0 0 ( 0) y, 0 0 e las codicioes iiciales d y y, dode I y y, y,..., y so costates dadas. Ejemplo 3. Ecuetre la solució al problema de valor iicial dado d y y c e c e ~ (), y 0, y(0), y '(0) Derivamos () respecto de : y ' c e c e ~ () y '' c e c e ~ (3) Sust. () y (3) e la ec. dif. para verificar si es la solució : c e c e c e c e Igualamos () y () a las codicioes iiciales : c e c e 0 0 c e c e 0 0 5

6 cc ~ (4) cc Re solvemos el sist. de ecuacioes (3) : c 3 y c, etoces : 3e ce y 4. Teorema. Eistecia y uicidad de la solució Dado el problema co valor iicial f (, y), y( 0) y0, supógase que f y f y R (, y) : a b, c y d so fucioes cotiuas e u rectágulo que cotiee al puto ( 0, y 0). Etoces el problema de valor iicial tiee ua úica solució ( ) e algú itervalo, dode Del teorema aterior podemos sacar las siguietes dos coclusioes:. Cuado ua ecuació satisface las hipótesis del teorema de eistecia y uicidad, teemos la seguridad que eiste ua solució al problema de valor iicial.. Si se satisface las hipótesis, eiste ua úica solució del problema co valor iicial. Esta uicidad os dice que si podemos determiar ua solució, etoces ésta es la úica solució para el problema co valor iicial. Preparado por: Prof. Gil Sadro Gómez. 6

7 Ejemplo 4. Determie si el teorema de eistecia y uicidad implica que el problema de valor iicial dado tiee ua solució úica. 3 3 y, y(0) 6. Despejamos a : 3 3 y, etoces teemos que: 3 3 f (, y) y f 3y y f Como podemos obser var f (, y) y so fucioes cotiuas e (0,6), por y ta to la EDO tiee ua úica solució e (0-,0 ), dode 5. Campo de direccioes y el método de las isoclias Ua técica útil para visualizar las solucioes de ua ecuació diferecial de primer orde cosiste e bosquejar el campo de direccioes de la ecuació. Para describir el método, ecesitamos ua observació geeral: ua ecuació de primer orde f (, y) especifica ua pediete e cada puto del plao y dode f está defiida. E otras palabras, proporcioa la direcció que debe teer ua solució de la ecuació e cada puto. Defiició. U bosquejo co pequeños segmetos de recta 3 trazados e diversos putos del plao y para mostrar la pediete de la curva solució e el puto correspodiete es u campo de direccioes de la ecuació diferecial. 3 Preparado por: Prof. Gil Sadro Gómez. 7

8 Ecuació diferecial de primer orde autóoma Defiició. Ua ecuació diferecial ordiaria e la que la variable idepediete o aparece de maera eplícita es autóoma. Si el símbolo deota la variable idepediete, etoces ua ecuació diferecial de primer orde autóoma se puede escribir como f ( y, y') 0 o e forma ormal como f( y) ~ () Se asume que la fució f e () y su derivada cotiuas de e algú itervalo I. f ' so fucioes Ejemplo 5. Diga si las siguietes ecuacioes so autóomas l sey y y y y. ta 4. cos y y y e Las ecuacioes y 3 so autóomas y las ecuacioes y 4 o. Putos críticos. Los ceros de la fució f e () so de vital importacia. Se dice que u úmero real c es u puto crítico de la ecuació diferecial autóoma () si es u cero de f, es decir, f( c) 0. U puto crítico tambié se llama puto de equilibrio o puto estacioario. Podemos observar que si que si sustituimos la fució costate y() c e (), etoces ambos lados de la ecuació so cero. Esto sigifica: Si c es u puto crítico de (), etoces y() costate de la ecuació diferecial autóoma. Ua solució y() y c es ua solució c de () se llama solució de equilibrio; los equilibrios so las úicas solucioes costates de (). 8

9 6. Método de Aproimació de Euler 4 El método de Euler (o método de la recta tagete) es u procedimieto que permite costruir aproimacioes a las solucioes de u problema co valor iicial, para ua ecuació diferecial ordiaria de primer orde y' f (, y), y( ) y ~ () 0 0 Para ser más preciso, supogamos que el problema co valor iicial () tiee ua úica solució ( ) e cierto itervalo co cetro 0. Sea h u úmero positivo fijo (llamado el tamaño del paso) y cosiderado los putos equidistates 0 h, 0,,,3,... La costrucció de los valores solució ( ) y que aproima los valores de la procede de la maera siguiete: E el puto ( 0, y 0), la pediete de la solució () está dada por f ( 0, y0). Por tato, la recta tagete a la curva solució e el puto iicial ( 0, y0) es y y ( ) f (, y ) Usamos esta recta tagete para aproimar ( ) y vemos que para el puto 0 h ( ) y y hf (, y ) Ahora partimos del puto (, y ) para costruir la recta co pediete dada por el campo de direccioes e el puto (, y ) ; es decir, co pediete igual a f (, y ). Si seguimos esta recta y y f y ( ) (, ) al pasar de aproimació ( ) y y hf (, y ). Al repetir el proceso, obteemos ( ) y y hf (, y ) 3 3 ( ) y y hf (, y ), etc a h, obteemos la 4 Preparado por: Prof. Gil Sadro Gómez. 9

10 5 Este secillo procedimieto es el método de Euler y se puede resumir mediate la fórmula recursiva h ~ () y y hf (, y ) ~ (3), 0,,,... Ejemplo 6. Use el método de Euler para aproimar la solució del problema co valor iicial dado, e los putos 0.,0.,0.3,0.4 y 0.5, utilice u tamaño de paso h 0.. y( y), y(0) 3 Pr imero idetificamos a f (, y) y luego aplicamos la fórmula de recurrecia : f y y y y y h (, ), 0 0, h y y hf (, y ) Para y y0 0. f ( 0, y0) 30. y0 y (3) 3 Para y y y y Para 0. ( ).7 0. (.7) (.7).5 y y y y Para ( ).50. (.5) (.5).387 y y y y Para ( 3) (.387) (.387).7 y y y y Para ( 4) (.95) (.95).47 y y y y ( 5) (.47) (.47) Preparado por: Prof. Gil Sadro Gómez. 0

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