SERIE # 2 CÁLCULO VECTORIAL

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1 SERIE # CÁLCULO VECTORIAL

2 SERIE 1) Calcular las coordenadas del punto P de la curva: en el que el vector P 1, 1, r t es paralelo a r t Página 1 t1 r t 1 t i ( t ) j e k ) Una partícula se mueve a lo largo de la trayectoria cuya ecuación vectorial es t t r t e t i e sent j, donde t es el tiempo Demostrar que el ángulo entre el vector ( cos ) ( ) de posición y el vector velocidad es constante y determinar el valor de dicho ángulo 4 3) Determinar una ecuación vectorial de la curva: x y C : 3 x y 9 Trazar la gráfica de C r (3) i (1) k y r (3) j (1) k, dibujo a criterio del profesor 4) Determinar si la curva de ecuación vectorial r ( t) ( sent) i (cos t) k está contenida en un plano La curva es plana 5) Sea C la curva de ecuaciones paramétricas Calcular: a) La curvatura de C b) La torsión de C x t y t z t 3 3,,

3 SERIE Página 4 4 t 4 t t 4 t ) Sea la curva dada por ( ) ( ) ( ) 3 r t t t i t t j t k a) Comprobar que dicha curva es plana b) Obtener la ecuación cartesiana del plano que contiene a dicha curva a) A criterio del profesor b) x y z 0 7) Sea C la curva c: r( t) ( t) i (1 t ) j (3 t t ) k Determinar si la curva es plana; en caso afirmativo, obtener la ecuación cartesiana del plano que la contiene La curva C es plana y está contenida en el plano z 3x y 7 8) Dada la curva C cuya ecuación vectorial es obtener las coordenadas del centro de la circunferencia de curvatura de C en el punto: 3 r t t t i t j t t 3 k 3 3 Obtener las coordenadas del centro de la circunferencia de curvatura de C en 8 el punto P 4,, C -,, 3 3 9) Calcular el radio de curvatura del tiro parabólico en el punto más alto La ecuación de la r( t) 4 6t i 6 8t 5t j posición de la partícula es:

4 SERIE Página ) Sea la curva C de ecuación vectorial 1 t 1 t 1 t r t e sent i e j e cost k a) Obtener la ecuación vectorial de C en términos de su longitud de arco s de modo que cuando s=1 se tiene que t=0 b) Calcular el vector tangente unitario a la curva C en el punto t= s s s a) r s senln si j cos ln sk b) (,, ) 11) La ecuación vectorial de una curva C, que se genera por la intersección de un cilindro t t parabólico y un plano, está dada por: r t i t j t k 3 a) Obtener las ecuaciones de las superficies citadas dr 1 b) Obtener el vector normal principal a rt cuando i j k dt 6 c) La ecuación del plano osculador para la condición anterior a) Ecuación del plano: 6x y 3z 1 Ecuación del cilindro: 1 b) 48 i 33 j 74 k c) 6x y 3z 1 y = z 1) Sea la curva C : r( s) sen s, 0, cos s de arco Determinar, para el punto P0,0, 1 que pertenece a la curva:, donde s es el parámetro longitud

5 SERIE Página 4 a) Los vectores T, N y B b) La curvatura y la torsión de la curva c) La ecuación cartesiana del plano osculador T 1,0,0, N(0,0,1), B(0, 1,0) a) b) k 1, 0 c) Plano osculador: y 0 13) Sea C la curva cuya ecuación vectorial es r t t i at t j t t 4 k a) Determinar el valor de la constante a de modo que C sea plana b) Calcular la curvatura de C en el punto donde t 1 a) a = 1 4 b) ) Sea C la curva cuya ecuación vectorial es: r t t i t j t k a) Calcular la curvatura y torsión de la curva C en el punto P,4,8 b) Determinar si la curva C es plana a) 74 3 ; b) La curva no es plana 15) Calcular la curvatura de la hélice circular r t acos t i a sent j bt k para a 0 a a +b

6 SERIE Página 5 16) La ecuación vectorial de una curva C está dada por: 4 r t t i t j t t k a) Obtener el vector normal b) Determinar si la curva es plana y en caso afirmativo obtener la ecuación del plano que la contiene a) t i t j t k 4t 1t6 b) Plano osculador x y z ) Demostrar que d d d s d s A criterio del profesor 18) Calcular la curvatura de la elipse de ecuación: x a y b ab a y b x ) Sea la curva C : y x x y z Determinar los vectores,, y curvatura y la torsión de la curva, para el punto 1, 1, P, así como la ,, ;,, ;,, 0 ; ;

7 SERIE Página 6 0) Sea la curva C representada por: x y C : x y 4 z Determinar, para el punto P( 0,0,4): a) Los vectores, y b) La curvatura y la torsión c) La ecuación cartesiana del plano oscular y la del plano rectificante 1,1,0 1,1,0 a) ; 0, 0, 1 ; b) = ; = 0 c) plano oscular: x = y ; plano rectificante: z = 4 1) Sea la curva C representada por: cos Determinar: a) El triedro móvil de vectores, r t t sen t i t j T N y B en el punto,1 P b) Si rt es una función vectorial de módulo constante c) La longitud de la curva entre los puntos A0, 1 y, 1 B a) T i, N j, B k dr b) r 0 r t no es módulo constante dt c) 4 u de longitud ) Sea la curva C: r ( r) er (6) ez en coordenadas cilíndricas circulares Determinar si la curva es plana; en caso afirmativo, determinar la ecuación del plano que la contiene C es plana y está contenida en el plano z 6

8 SERIE 3) Sea la curva C: r( s) sen s, 3,cos s Determinar, para el punto P 1,3,0 : Página 7, donde s es el parámetro longitud de arco a) Los vectores T, N y B b) La curvatura y la torsión c) La ecuación cartesiana del plano osculador d) Las coordenadas del centro de curvatura e) Unas ecuaciones cartesianas de la circunferencia de curvatura T 0,0,1, N 1,0,0, B 0,1,0 a) b) k 1, 0 c) Plano osculador: y 3 d) C 0,3,0 e) x ( y 3) z 1 x z 1 o y3 y3 r t t i 3t j k 4) La posición de una partícula en movimiento está dada por: 3 donde t es tiempo Obtener para el instante t = 05 segundos: a) El vector velocidad v de la partícula, b) El vector tangente unitario a la trayectoria de la partícula c) El vector aceleración tangencial a T de la partícula d) El vector aceleración normal a N de la partícula 3 a) v i j b) 3 T i j 5 c) 7 54 at i j d) an i j ) La trayectoria de una partícula esta dada por la expresión r t i t j t k donde t es el tiempo Calcular las componentes tangencial y normal de su aceleración en el punto donde t = 1

9 SERIE Página 8 a ; a , a 3999 T N 6) Una partícula se desplaza a lo largo de la curva: C : r t cos t sent i sent cos t j ; t 0 Determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración a 0; a T N 7) Una partícula se desplaza a lo largo de la curva C : x - y 1, con x 0 Calcular los vectores aceleración normal y aceleración tangencial en el punto P 1, 0 a 0, a ( 1,0) T N 8) Una partícula se desplaza a lo largo de una curva C: r() t te t t t e e donde t es el tiempo Calcular para el punto Pe, e, e : a) Los vectores aceleración normal y aceleración tangencial b) Los vectores T y N a) b) 8 e,4 e,4 e e, e, e at, an 3 3,1,1 1, 1, 1 T, N 6 3 i j k, 9) Una partícula se desplaza a lo largo de la curva C representada por r r ( t), donde t es el tiempo Si en el instante t t0 la rapidez es mínima, el módulo de la velocidad es igual a 1 y a (0,1,0), calcular la curvatura de la curva C en el punto para el cual t t 0

10 SERIE Página 9 SOLUCION k 1 r ( t) ( t) i ( t ) j (4) k, donde t es el 30) La trayectoria de una partícula está dada por tiempo Determinar las coordenadas del punto P en el cual las componentes normal y tangencial de la aceleración son iguales entre sí P 1 1,,4 4 31) Calcular el ángulo de intersección entre las superficies: x u S 1 : 5x y 3z 0 y S : y v uv z 4u v en el punto A 1,,1 90 3) Sean la parábola C y la superficie S definidas por las ecuaciones 1 i + C : r ( t) t t 1 t k S : r ( u, v) sec( u)cos( v) i tan( u) j+ sec( u) sen( v) k El punto de intersección de C con S es el vértice de la parábola Determinar el ángulo de intersección entre la curva C y la superficie S 90

11 SERIE Página 10 33) Calcular el ángulo de intersección entre la superficie S y la curva C, cuyas ecuaciones vectoriales son: S : r u, v u v i 5u v j v u k 1 C : r t 3 3t i 5 5t 10t j 4t 1 k en el punto donde v ) Obtener la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie cuya ecuación 3 vectorial es r ( u, v) ( v u ) i (3v u) j ( uv v) k, en el punto P( 1,,0) 35) Sea:, cos cos la superficie S r s t s i sent s t j t s sent k una ecuación vectorial de a) Identificar la superficie S b) Obtener una ecuación vectorial del plano tangente a S en el punto P 1,,0 a) Hiperboloide de un manto b) x y 36) La superficie S: ru, vsecu cosv i tanu j secu senv k y la recta i j k se intersecan en el punto P 1,1,1 L : r t 1 t 1 t t 1 ángulo que forman la recta L y la superficie S 90 Calcular el

12 SERIE Página 11 37) Dadas las superficies de ecuaciones vectoriales S : r s, t ( scos t) i ( s sent) j s k, S : r u, v (3cos u) i (3 senu) j v k 1 Obtener los vectores, y de la curva de intersección de S1 y S en el punto 3,0,9 j; i; k 38) Obtener la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie de ecuaciones x y z paramétricas S : en el punto (1, 3, 3) x y z 1 x 3y 3z ) Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie S cuya ecuación vectorial es r u, v cos u senvi senu senv j cos vk con 0 u y 0 v en el punto donde: u, v 4 x z 0 40) Calcular la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación vectorial r u, v u sen u cos v i u cos u cos v j u sen v k P 0,,0 en el punto x y 0 41) Sea la curva C que resulta de la intersección entre las superficies S : r s, t s t i 4st j s t k y S : r u, v u i v j k 1 a) Identificar las superficies b) A partir de las ecuaciones vectoriales de S 1 y S, determinar la ecuación cartesiana del plano normal a la curva C, en el punto P0,-4,

13 SERIE Página 1 a) S 1 : paraboloide hiperbólico; S : plano horizontal b) x 0 4) Obtener la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie representada por r u, v u v 1 i u 3v j u v k, en el punto para el cual u = y v=1 x y z ) Determinar la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie de ecuación r s, t s t i s t j 16 st k P,-,0 en el punto 4x 4y z 0 44) Demostrar que las superficies S : x y 3z 0 y 1 S : r (, ) (6cos sen,6 sen sen,6cos ) se intersecan en ángulo recto A criterio del profesor 45) Determinar la expresión en coordenadas cilíndricas del vector de posición de cualquier punto de la superficie: x y r r ( r) eˆ ( z) eˆ r z u y x 46) Sea la transformación T : v x y a) Determinar si el sistema de coordenadas (u,v) es ortogonal b) Obtener los factores de escala h u y h v

14 SERIE Página 13 c) Determinar si el campo vectorial, conservativo d) Obtener los vectores unitarios e u y e v e) Transformar el vector a a) Sí es ortogonal 1 1 h, b) u h v i j a la base e, e F u v uv eu uv ev es u v c) d) F es conservativo e u 1,1 1,1, ev e) a i j e u 47) Sea la transformación : u T x y v x y a) Determinar si el sistema de coordenadas (u,v) es ortogonal b) Obtener las ecuaciones para la transformación inversa c) Calcular los factores de escala h u y h v d) Obtener los vectores unitarios e u y e v a) No es ortogonal u v x 3 b) v u y 3 c) h u 5, hv 3 3

15 SERIE Página 14 d) e u (1, 1) (,1), ev 5 48) Sea el sistema de coordenadas curvilíneas ( u, v ), el cual está referido al sistema cartesiano ( x, y ) por medio de las relaciones: u 4x 3y v3x4y a) Verificar que el sistema (u,v) sea ortogonal b) Calcular los vectores unitarios eˆ y e ˆ c) Calcular los factores de escala h y h d) Calcular J xy, uv, a) A criterio del profesor b) eˆ ; ˆ u i j ev i j c) 1 1 hu, h v 5 5 d) xy, 1 J, uv 5 u u v v 49) Considere el sistema de coordenadas curvilíneas definido por las ecuaciones u 3x y v x 3y a) determinar si el sistema es ortogonal b) Calcular los vectores unitarios eu y e v c) Calcular los factores de escala x, y u, v d) Determinar los jacobianos de la transformación J y, J u v x, y a) Sí es ortogonal eˆ 1 3 ; ˆ 1 u i j ev i 3 j b)

16 SERIE Página 15 c) d) 1 1 hu, h v x, y 1 u, v J ; 10, J u v 10 x, y 50) Sea la transformación dada por u 1 1 x y, v x y xy, a) Obtener el jacobiano de la transformación J, uv b) Determinar las ecuaciones de la transformación inversa c) Dibujar en un plano UV la imagen de la región del plano XY limitada por las rectas x 0, x 1 y 0, y 1 xy, a) J 1, uv u v v u b) x ; y c) A criterio del profesor 51) Dadas las ecuaciones de transformación x y u v x y u v x, y u, v a) Calcular los jacobianos J y, J u v x, y b) Sea la región R del plano XY limitada por las rectas x 0, y x, y 1 Determinar la región R del plano UV en que se transforma R y representar gráficamente a R y R x, y 1 u, v a) J ;, J u v x, y b) A criterio del profesor

17 SERIE Página 16 u = x 5) Sea la transformación T: y sea la región R del plano XY limitada por las v y x curvas x=1, y = 1+ x y y x x a) Determinar si el sistema de coordenadas uv, es ortogonal b) Graficar la región R del plano XY c) Graficar la región R del plano UV, que es la región en la cual se transforma la región R bajo la transformación T xy, d) Calcular el jacobiano: J, uv e) Calcular el área de la región R a) A criterio del profesor b) A criterio del profesor c) A criterio del profesor xy, 1 d) J, uv 4 e) El área de la región R es 9 8 unidades 53) Dadas las ecuaciones de transformación x uv cos ; y uv sen; z u a) Obtener los factores de escala hu, hv, h b) Obtener los vectores unitarios eˆ u, eˆ v, e ˆ c) Determinar si el sistema curvilíneo es ortogonal x, y, z d) Obtener el jacobiano de la transformación J uv,, a) h h u v h uv u v ;

18 SERIE Página 17 b) eˆ u 1 u v v cos i vsen j u k ; eˆ v 1 u v u cos i u sen j v k ; eˆ sen i cos j c) A criterio del profesor x, y, z 3 3 d) J u v u v uv,, 54) Sea la transformación: 3 4 : T u x y v 4 x 3 y y sea R uv la región del plano UV limitada por las gráficas de u 0, u 10, v 1 y v 6 a) Determinar si el sistema de coordenadas uv, es ortogonal b) Trazar la gráfica de la región R xy, que es la imagen de la región R uv bajo la transformación T c) Calcular el Jacobiano de la transformación: d) Calcular el área de la región R xy xy, J uv, a) Sí es ortogonal xy, 1 c) J uv, 5 d) Área de R xy u 55) Sea la transformación ortogonal u = ax - y+ z v = 3x+by - z w= x - y+cz

19 SERIE a) Determinar los valores de las constantes a, b y c b) Determinar los factores de escala hu, hv, y h w c) Expresar a los vectores i, j y k referidos a la base ˆ, ˆ, ˆ a) a 16, b 5, c 14 e e e u v w Página 18 b) c) hu ; hv ; h w i eˆ ˆ ˆ u ev e w j 5 1 eˆ eˆ eˆ k 1 14 eˆ ˆ ˆ u ev ew u v w 56) Sea la transformación u x 5y 6 T : v 5x y a) Determinar si el sistema de coordenadas ( uv, ) es ortogonal b) Calcular los factores de escala hu y hv c) Obtener los vectores base ˆ y ˆ eu ev d) Calcular el área de la región limitada por la elipse de la ecuación ( x 5y 6) (5x y ) 100 (este inciso corresponde al tema 4) 57) Sea la transformación x u v w T : y u w z u v w

20 SERIE Página 19 e) Determinar si el sistema de coordenadas ( u, v, w) es ortogonal f) Calcular los factores de escala h u, h v y h w g) Obtener los vectores unitarios e u, e v y e w h) Expresar al conjunto de vectores i, j, k en términos de los vectores e u, e v y w e 3 58) Expresar el campo vectorial 3 coordenadas polares F r, ( r ) e ( r) e 3 ˆ ˆ F ( x, y )= x xy y i x y y x j en 59) Para el cono x y z 0 obtener una ecuación vectorial de la superficie en coordenadas cilíndricas así como su correspondiente diferencial de área d S 5 d d 60) Para las superficies cuyas ecuaciones en coordenadas esféricas son: S1 : 4 S : 3 Determinar : a) El ángulo que formar S1 y S b) Unas ecuaciones de la curva de intersección entre S1 y S a) 90 b) ; 3 4 otras son

21 SERIE Página 0 x y z ; x y z 9 otras son 3 9 z ; x y 61) Sea el sistema de coordenadas cilíndricas elípticas u,v,z, definido por x acosh ucos v, y asenh u sen v, z z Determinar si dicho sistema es ortogonal Sí es ortogonal 6) Sean los campos vectoriales: F x, y, z x yzi xy j x zk y Gx, y, z yi z j xk Obtener G F 3 3 G F z i y x y z j y x k 63) Sean los campos vectoriales F x, y, z z i x j y k,, G x y z yz i xz j xy k Verificar la validez de la expresión div F G G rot F F rot G A criterio del profesor 64) Sea el campo vectorial:,, divergencia y el rotacional de u en el punto P1, 1,3 u 18 ; u 8i 8 j u x y z x yz i xy z j xyz k Determinar la

22 SERIE Página 1 65) Si v w r, verificar que: 1 w rot v siendo w un vector constante A criterio del profesor 66) Dada la función vectorial u 6xy y sen xy z i 3x xy sen xy j xz k Determinar la divergencia y el rotacional de la función 4 u 6y y cos xy xsen xy 4x y cos xy xz u z z j 67) Determinar si el campo vectorial F x, y, z yz cos xy i xz cos xy j sen xy k es irrotacional F es irrotacional 68) Obtener la divergencia del rotacional del campo vectorial: y yz 3 u x z e i j x y z k x u 0 69) Dada la función vectorial 6 sen 3 sen Determinar la divergencia y el rotacional de la función u xy y xy z i x xy xy j xz k 4 u 6y y cos xy xsen xy 4x y cos xy x u 0

23 SERIE 70) Calcular todos los valores de las constantes y,, F x y z x z i z y j x y z sea solenoidal e irrotacional 1; 1 71) Sea el campo vectorial,, de modo que el campo: Página F x y z 1 3 x i y j z k, con x y z x, y, z 0,0,0 Utilizar coordenadas esféricas para determinar si el campo F es: a) Solenoidal b) Irrotacional a) F sí es solenoidal b) F sí es irrotacional ) Para el campo vectorial,, calcular: a) La divergencia de F b) El rotacional de F c) El laplaciano de F d) El gradiente de F a) F 0 c) F 0 R x y z y z y i z zx j x y y k b) F 6x 3y 3 z i 6 yz 6 xy j 6 xz 3y 3 z k 0 3 y 3 z 6 y z d) F 6 xz 0 3 z 3 x 6 xy 3 x 3 y 0 z f x, y,z = + Ln y +e x y 73) Sea la función: z

24 SERIE Página 3 a) Obtener f en función de las coordenadas cilíndricas r,, z b) Obtener f en coordenadas cilíndricas z z a) f r,, z ln r ln sen e r b) z ˆ cot ˆ 1 z f e ˆ 3 r e e e r r r r z 74) Determinar un vector normal a la superficie S: r 4cos en el punto,, P La superficie S está dada en coordenadas cilíndricas y el punto P está en coordenadas cartesianas El vector normal debe estar en términos de los vectores unitarios e r, e y e z n p( ) er ( ) e 75) Utilizar coordenadas cilíndricas circulares para determinar el gradiente de la función f x y z x y z (,, ) SOLUCION rer zez f r z 76) Utilizar coordenadas esféricas para calcular: ln r r donde r = xi+ y j+ z k r r 77) Dada la función 3 en coordenadas cilíndricas circulares z f x, y, z x y x y e, calcular el laplaciano de f

25 SERIE Página 4 z f 9r e 1 78) Sea la función f r, ln, dada en coordenadas polares Determinar si la r función f es armónica f es armónica 79) Determinar si la función en coordenadas esféricas Sí es armónica f (,, ) 4 es armónica 80) Determinar si la función 1 f (,, ), dada en coordenadas esféricas, es armónica SOLUCION Sí es armónica 81) Determinar si la función A criterio del profesor 8) Sea la función:,, f r, 4r sen r cos es armónica y f x y z z utilizar coordenadas esféricas para calcular f x f r,, tan cos eˆ sec cot eˆ tan sen eˆ r 83) Sea el campo vectorial F(,, ) ( ) e ( sen ) e en coordenadas esféricas Obtener el rotacional de F x F ( cot ) e ( sen) e () e

26 SERIE Página 5 cos sen 84) Sea el campo u eˆ eˆ 0eˆ 3 3 Determinar si el campo u es solenoidal El campo u no es solenoidal 85) Calcular, en coordenadas polares, el gradiente de la función: f r f 4cos eˆ 4sen eˆ r θ 86) Determinar si el campo vectorial representado por F r,, z z sen eˆ z sen cos eˆ r sen eˆ r θ es irrotacional, donde F está expresado en coordenadas cilíndricas circulares El campo F si es irrotacional z, 4r cos