Cálculo de Cantidad de Incertidumbre en Redes de Restricciones Temporales Posibilísticas

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1 Cálculo de Cantidad de Incertidumbre en Redes de Restricciones Temporales Posibilísticas José M. Juárez Universidad de Murcia Francisco Guil Universidad de Almeria Roque Marín Universidad de Murcia Resumen Las redes de restricciones temporales constituyen una herramienta muy útil para implementar técnicas de representación y razonamiento temporal en dominios donde la dimensión temporal juega un papel fundamental (p.e. diagnóstico en UCIs). En algunas aplicaciones, como la Minería de Datos Temporales, se requiere evaluar el grado de incertidumbre global en las relaciones representadas en la red. Este trabajo propone una técnica para cuantificar el grado de incertidumbre global de una red de restricciones temporales posibilísticas entre puntos (instantes). Las redes posibilísticas fueron propuestas por Hadjali, Dubois y Prade [4]. Nuestra técnica de cuantificación de incertidumbre se basa en las medidas de no-especificidad y disonancia, y se aplica a varias topologías de red. Palabras Clave: Teoría de la Posibilidad, Restricciones Temporales, Incertidumbre. 1 INTRODUCCIÓN Las ventajas de utilizar algebras temporales de puntos para representar la dimensión temporal en sistemas inteligentes son: la simplicidad de las relaciones entre sus elementos y la eficiencia computacional de sus algoritmos de propagación de restricciones. Se han propuesto modelos de redes de restricciones temporales entre puntos que permiten manejar la imprecisión y/o la incertidumbre(probabilísticos [8] y posibilísticos [4, 7]). Una de las ventajas de los modelos posibilísticos es la sencillez con la que se representa la ignorancia respecto a otras teorías (probabilidad)[2]. Toda red de restricciones binarias se compone de un conjunto de n variables y de un conjunto de relaciones definidas sobre parejas de variables. El conjunto de relaciones binarias explícitas establece implícitamente una relación algebraica global entre las n variables. Se suele decir que la red representa un conocimiento global explicitado sólo mediante piezas de conocimiento local. Si las relaciones binarias están sujetas a incertidumbre, la relación n-aria global implícita en la red también lo estará. Surge así el problema de cómo calcular la incertidumbre global del conocimiento representado en la red a partir de la incertidumbre local de las relaciones binarias. Por ejemplo, en [3] se propone un proceso de minería de datos temporales para la extracción de patrones temporales posibilísticos. Así, una aplicación inmediata de estas medidas sería establecer un umbral de aceptación de qué patrones extraidos (redes) son suficientemente ciertos para ser consideradas y cuales no. Proponemos una estrategia para establecer medidas incertidumbre global para el modelo de redes de restricciones temporales posibilísticas entre puntos propuesto por Dubois, Prade y Hadjal [4], partiendo de las medidas posibilísticas de incertidumbre de la noespecificidad y la disonancia [13, 1, 6], y aplicándolas a diversas topologías de red. Este trabajo se estructura del siguiente modo. En la Secciones 2 y 3 revisamos los conceptos fundamentales de la Teoría de la Posibilidad, medidas de incertidumbre y redes de restricciones temporales posibilísticas; en la Secciones 4 y 5 plantean una solución concreta para estas medidas y algunas posibles aplicaciones prácticas. Finalmente, la Sección 6 describe las conclusiones y trabajos futuros.

2 2 POSIBILIDAD Y MEDIDAS DE INCERTIDUMBRE La teoría de la posibilidad, descrita por Dubois y Prade [2], está enmarcada en la teoría de la incertidumbre a partir de información incompleta. Esta teoría propone un modelo no-aditivo para la creencia proponiendo las medidas de Posibilidad y Necesidad. Desde el punto de vista de la Teoría de la Evidencia de Dempster-Shafer [9] pueden definirse las medidas de posibilidad y la necesidad como casos particulares de las medidas de evidencia: P l y Bel. Esa situación ocurre, cuando el conjunto Ω es infinito y sucede que dada una asignación básica de probabilidad (abp) denominada m, el conjunto focal de elementos (F ) es anidado. Es decir, F = {A 1 A 2... A n = Ω}. A este cuerpo (m, F ) se le denomina consonante. Según definió Zadeh [15] la plausibilidad se le denomina medida de posibilidad (Π) y la credibilidad es la medida de necesidad (N). Así, la medida de posibilidad se define como una función: Π : 2 Ω [0, 1] (1) Asumiendo: 1)Π( ) = 0; 2)Π(Ω) = 1 ; 3) A, B Ω Π(A B) = max(π(a), Π(B)). Así mismo se establece Π({a}) = π(a). A π se le denomina distribución de probabilidad y se define así: A Ω Π(A) = max{π(x) x A} (2) 2.1 Medidas de incertidumbre A lo largo de los años se han establecido diferentes medidas de incertidumbre [12, 13]. Sin embargo, la mayoría de medidas probabilísticas y posibilísticas se fundamentan en dos medidas: entropía y cantidad de información de Hartley. La entropía de Shannon (H) es la medida de incertidumbre por antonomasia. Basada en la teoría de la probabilidad, fundamenta su medida en cuantificar la disonancia y la confusión [6]. La entropía se define como: H(p(x) x X) = p(x)log 2 (p(x)) La información de Hartley se basa en un conjunto finito X con n elementos, donde cada elemento representa una alternativa. Se define una secuencia como un conjunto de s selecciones, y por lo tanto existen n s posibles secuencias. I(n s ) = k(n)s =... = I(N) = log 2 (N) 2.2 No Especificidad. La no especificidad descrita, por Yager, puede interpretarse como el grado de precisión de un conjunto fuzzy [1]. Así, Yager propuso [13] la siguiente medida de especificidad: Sp : 2 X [0, 1] y Sp(F ) = F x dx Posteriormente, una interpretación posibilística (ver [1]), asumiendo que es posible describir una distribución de posibilidad ordenable: Sp(F ) = n π i π i+1 i=1 i Klir y Folger proponen una medida de incertidumbre denominada U-Uncertainty para generalizar la medida de Hartley a conjuntos borrosos [1, 6, 14]. La U- Uncertanty se define en el conjunto de distribuciones de posibilidad ordenada (R) como: U : R [0, ) donde U(π 1, π 2,.., π n ) =... = n i=1 (π i π i+1 )log i i siendo π n+1 = 0. Del cálculo de U, se puede generalizar como un conjunto de abps (M), y por lo tanto se puede definir la no especificidad como: V : M [0, ) siendo V (m) = A F m(a)lg 2 ( A ) (3) donde (F, m) define un cuerpo de evidencia, siendo F 2 X. En [6] se demuestra que la medida de Hartley extendida para conjuntos fuzzy cumple las mismas propiedades que la entropía de Shanon y considerando que la entropía y la información de Hartley sobre conjuntos difusos son medidas homólogas aunque miden aspectos diferentes de la incertidumbre. 2.3 Disonancia. La disonancia se produce cuando diferentes fragmentos de información entran en contradicción, incompatibilidad o inconsistencia. Desde el punto de vista de la Teoría de la Evidencia, podemos decir que la observación de un evento es disonante si existen conjuntos disjuntos de pertenencia, pero las evidencias apuntan a que pertenece a varios de ellos [6]. Una de las situaciones más comunes de disonancia proviene de considerar dos posibles fuentes de información. Sin embargo, tambien es posible que la misma fuente pueda producir información contradictoria. Sea pues dos cuerpos de evidencia de fuentes información diferentes: (F 1, m 1 ) y (F 2, m 2 )de un mismo universo X. Siendo m(a 1 ) 0, m 2 (A 2 ) 0 y A B =

3 Se define el Conflicto como: K : X X R donde K = A B m 1(A) m 2 (B) Y la Cantidad de Conflicto: con : m m [0, ] donde con(m 1, m 2 ) = log 2 (1 K) Una propuesta de Medida de Disonancia, para un único cuerpo de evidencia (F, m), es la propuesta por Yager en [14] denominada E e inspirada en la entropía de Shannon. Sea M el conjunto de todas las abps de 2 n elementos, la disonancia se define como: E : M [0, ) E(m) = A F m(a)log 2 P l(a) (4) 3 RED DE RESTRICCIONES TEMPORALES POSIBILÍSTICAS ENTRE PUNTOS En los trabajos de Hadjali, Dubois y Prade[4] se hace referencia a una red de relaciones binarias entre puntos temporales donde se representan las relaciones mediante valores de posibilidad asociados a los tipos de relaciones existentes. Existen 3 tipos de relaciones básicas entre 2 puntos temporales (antes de, a la vez que, después de)[10, 11]. Así, en [4] se describe las relaciones temporales entre puntos como un vector con tres valores de posibilidad (uno por cada tipo de relación posible). A esta red de restricciones la denominaremos P T CN (del inglés Possibilistic Temporal Constraint Network), que se define como: P T CN = (R, P ) (5) Donde P es el conjunto de puntos y R es el conjunto de relaciones entre puntos. Cada relación (r R) se define: r i,j =< π i<j, π i=j, π i>j >, siendo i, j P y donde π i<j,π i=j,π i<j describe el grado de posibilidad de la ocurrencia de la relación entre el punto i y el j. Además, este modelo propone para la inferencia de reglas a partir de relaciones temporales borrosas, un conjunto de operaciones basadas en un modelo similar para la teoría probabilística [8]. Estas operaciones son: inversión, composición, combinación y negación. inversión: dada la relación r ab la inversión permite producir la relación r ba. r ab = (π a<b, π a=b, π a>b ) entonces r ab = r ba = (π a>b, π a=b, π a<b ) composición: dada las relaciones r ab y r bc la composición obtiene la relación r ac = r ab r bc. combinación: dadas dos fuentes de información que definen una misma relación rab 1 y r2 ab, la operación de combinación permite resumir ambas en una única relación incierta r ab = rab 1 rab 2 negación: establece qué relaciones no son posibles: r ab. 4 INCERTIDUMBRE EN PTCN Aplicando las medidas descritas en la Sección 2, plantearemos cómo medir la incertidumbre total generada en una red P T CN a partir de las distribuciones de posibilidad asociadas a las relaciones. De este modo, la medida de incertidumbre de una red de restricciones posibilísticas depende fundamentalmente de (1) qué medida de incertidumbre concreta es más apropiada para medir la incertidumbre de una restricción de forma individual y (2) cómo cuantificar la incertidumbre total de la red. A la hora de cuantificar la incertidumbre total de una red P T CN surge la idea de la suma de la incertidumbre local. Pero sólo es posibles con medidas que cumplan la propiedad aditiva en distribuciones independientes. Con el fin de responder a ambas cuestiones, resulta clave analizar -en primer lugar- la idea de independencia. 4.1 Independencia posibilística. Para el concepto de independencia, existen en la teoría de la posibilidad diferentes enfoques como lógicas, independencia de variables o razonamiento por defecto [5]. Asumiremos la definición de independencia como la no-ganancia de Información. Expresado como I(X, Z, Y ), establece que conocido el valor de la variable Z, al conocer el valor de la variable Y no se gana información adicional sobre la variable X. Para una definición formal de la Independencia entre distribuciones de posibilidad, se requiere de un conjunto de definiciones. Se define la Medida de Posibilidad Marginal: Π x (A) = Π(A Y ) donde A XyX, Y Ω (6) Siendo π x (x) = Π x ({x}) = Π(x Y ) = max(π(x, y)) y Y, x Así, la Medida de Posibilidad Condicional Π d (A B) = definida sobre una distribución de posibilidad Π(A B) Π Y (B) que se define como π d (x y) = π(x,y) π Y (y) siendo π Y = max x X (π(x, y)) y Y. La no-ganancia de información, se formaliza estableciendo si el conjunto de valores de una variable es más informativo que los valores de otra variable. En términos posibilísticos Π(A) < Π(B), es decir si π(x) < π (x) x entonces decimos que π contiene más

4 información que π (o contenida). Por lo tanto, la independencia (para más detalles ver [5] ) se puede definir como: I(X, Y, Z) π d (x yz) π d (x z), (7) 4.2 Independencia de la red. x, y, z π(yz) > 0 (8) En el caso particular de las redes P T CN, la semántica temporal entre puntos permite un conjunto limitado de operaciones, donde cada distribución de posibilidad expresa la relación entre dos puntos de forma unívoca. Por otra parte, la propia semántica de este tipo de redes apunta que es posible establecer relaciones dependientes entre ellas según la topología particular. Así, definimos: P T CN = (P, R) independiente (9) r i, r j, r k R distintas, cumple I(r i, r j, r k ) (10) A continuación describiremos dos situaciones donde las redes posibilísticas son independientes o dependientes. El primer caso introduciremos, mediante un ejemplo, cómo determinar una red dependiente (no camino consistencia). En segundo lugar describiremos una topología particular (la más simple) donde demostraremos que sus relaciones son siempre independientes Topología de red dependiente. A partir de un ejemplo mostraremos cómo determinar en un P T CN la dependencia posibilística. Consideremos 3 puntos temporales p 1, p 2, p 3 P donde se establecen incialmente dos relaciones temporales r 1 = (π p1<p 2, π p1=p 2, π p1>p 2 ) y r 2 = (π p2 <p 3, π p2 =p 3, π p2 >p 3 ) sobre p1-p2 y p2-p3 respectivamente. Supongamos que, a continuación, consideraramos una nueva relación r 3 = (π p1<p 3, π p1=p 3, π p1>p 3 )entre p1-p3. Sería independiente r 3?(e.d. si no existe ganancia de información al incorporar r3 al entorno). Para poder responder a esta pregunta en primer lugar se debe buscar un dominio común para establecer cualquier alternativa, puesto que la distribución de posibilidad de la relación r 1 está definida para la relación entre los puntos p1-p2 (igualmente r 2 ) mientras que el dominio de r 3 es respecto a p1-p3. Para ello, el modelo de relación posibilística entre puntos establece un operador de composición, a partir del cual se puede describir una relación inferida r entre p1-p3 a partir de r 1 y r 2. Entonces, r = r 1 r 2, descrita por la distribución de posibilidad π = (π p 1 <p 1, π p 1 =p 3, π p 1 >p 3 ). Esta nueva relación se puede interpretar como la condicionalidad que existe entre los puntos p1 y p2 cuando están presentes las relaciones r 1 y r 2. Es decir, asumimos que en un estado inicial (antes de establecerse r 1 y r 2 ) sólo seria posible un estado de completa ignorancia, es decir, que la única relación posible entre p1 y p2 sería la trivial r = (1, 1, 1). La incorporación de una nueva relación r 3, definida por la distribución de posibilidad π 3 = (π p1<p 3, π p1=p 3, π p1>p 3 ), modifica el estado actual de la red puesto ya que tanto π 3 como π describen la relación existente entre los puntos p1 y p3. Para evitar esta dualidad y un potencial estado de inconsistencia, es necesario combinar ambas informaciones en una nueva relación temporal que denominaremos r. Para ello el modelo de relación posibilísticas entre puntos establece el operador de combinación. Por lo que la distribución de posibilidad π que define el punto r se define como π = π π 3. Esta nueva relación se puede interpretar como la condicionalidad que existe entre los puntos p1 y p2 cuando estan presentes las relaciones r 1, r 2 y r 3. Aplicando la definición de Independencia Posibilística (Formulas 7-8), diremos que el estado de la red relativo a la relación temporal entre p1 y p2, formado por las relaciones r 1 y r 2, es independiente de la aparición de la relación r 3, si la distribución de posibilidad asociado al estado original y al estado (tras la incorporacion de r 3 ) tienen Independencia Posibilística. Es decir, si π π, o lo que sería igual, si: π 1 π 2 (π 1 π 2 ) π 3 (11) Topología de red independiente. En el siguiente ejemplo describiremos otro tipo de configuración de redes temporales posibilísticas entre puntos. Describiremos cómo en esta ocasión las relaciones temporales entre los diferentes puntos (descritas mediante una distribución de posibilidad) son independientes unas de otras. Consideremos una red de relaciones temporales posibilísticas con un conjunto de puntos finitos P = {p 1,..., p n } y con un conjunto de relaciones finitas R = {r 1, r 2,..., r n 1 } donde cada relación r i describe la relación temporal entre p i y p i+1.

5 En esta situación preguntamos si dada una relación r j donde j [1, n 1], es independiente de r k k [1, n 1] k j. Es decir, dada una relación entre los puntos p j y p j+1 Existe un incremento de información añadiendo el resto de relaciones de la red respecto a la información ya dada por r j? Sea la distribución de posibilidad que define r j,π j = (π j<j+1, π j=j+1, π j>j+1 ). Esta distribución define el estado actual de la relación temporal entre los puntos p j y p j+1. Consideremos ahora la aparición de una nueva relación cualquiera r k k [1, n 1] k j, π k = (π k<k+1, π k=k+1, π k>k+1 ). Esta distribución define la relación temporal existente p k ( p j ) y de p k+1 ( p j+1 ). Es obvio que r j y r k están aplicadas sobre dominos distintos, no existiendo ningún operador del modelo (negación, inversión, combinación o composición) que permita inferir una nueva relación entre p j y p j+1 a partir de las relaciones r j y r k. Por consiguiente, la relación existente entre ambos puntos (r) no cambia al incorporar la relación r k respecto a la ya existente r j. Así, π d (r r j ) π d (r r j r k ) (de hecho es =), lo que implica que son independientes k [1, n 1] k j y por lo tanto no existe un incremento de información. 4.3 Cuantificar la incertidumbre total de PTCN Para medir la incertidumbre total de una P T CN un factor fundamental es la dependencia de las distribuciones de posibilidad asociada a sus restricciones. Tanto es así que esta característica de las topologías condiciona la forma en que se mide la incertidumbre total. Por ello, es necesario analizar esta condición en las redes P T CN y proponer diferentes estrategias diferentes para calcular la incertidumbre tanto en situaciones de dependencia o independencia Incertidumbre en PTCN independientes: No Especificidad Una de las ventajas de la restricción que supone obtener redes independientes es la facilidad para calcular la incertidumbre de la red. Esto es así ya que la mayoría de medidas de incertidumbre (entropía en teoría de la probabilidad, no especificidad en teoría de la posibilidad) cumplen la propiedad aditiva, es decir la que la cantidad total de incertidumbre es igual a la sumas parciales de incertidumbre, siempre y cuando sean independientes. Para las restricciones temporales posibilísticas entre puntos de las redes P T CN considereramos la medida no especificidad V (Sección 2.2) como medida de incertidumbre para distribuciones posibilísticas más sencilla de aplicar. Sea P T CN = (P, R) siendo r ij r ij R independientes, la medida de incertidumbre de la red se calcula como: U P T CN = V (r i,j ) (12) r ij R Incertidumbre en PTCN dependientes Las restricciones posibilísticas son dependientes cuando unas aportan información adicional a la información que implican otras. En este trabajo hemos considerado dos aproximaciones para el cálculo de incertidumbre en este tipo de redes según sea la información consistente o no. Desde el punto de vista del razonamiento temporal, las relaciones independientes pueden llegar a describir situaciones inconsistentes temporalmente. Por ejemplo, supongamos rab 1 =< 1, 0, 0 > y rab 2 =< 0, 0, 1 >. La restricción rab 1 indica que es absolutamente posible que ocurra < mientras que = o > es imposible, mientras que rab 2 indica que > es absolutamente posible y que < o = es imposible. Aun cuando la red sea inconsistente, podría ser necesario medir la incertidumbre. Entre las medidas de incertidumbre existentes en la literatura, es el cálculo de disonancias permite cuantificar la contradicción entre fuentes de información diferentes o la misma fuente. Así, podríamos aplicar esta técnica para calcular las diferentes disonancias presentes en la red. No obstante, la disonancia de la red no puede ser establecida como la suma de disonancias parciales (no es aditiva), teniendo que considerar aproximaciones como el máximo (cota superior) o el mínimo (cota inferior). T otdisonancia = max{e(m i )} m i (13) donde m i es la abp obtenida a partir de la distribución de posibilidad asociada a la relación r i R donde P T CN = (P, R) (para más detalles del paso de posibilidad a abp, ver [6]). Alternativamente y asumiendo una red de restricciones consistente, se podría realizar una minimización de la red (siempre y cuando sea posible definir este proceso de minimización para el modelo de red). La mimimización todas las posibles relaciones entre todos los puntos para redes de restricciones temporales entre puntos. Esta minimización inferirá, entre otras, las relaciones entre los pares de puntos contiguos, es decir

6 {r 1,2, r 2,3,..., r n 1,n } r i,i+1 R que configuraría una red de restricciones independientes. En este caso sería posible calcular la incertidumbre mediante la no especificidad. Sin embargo, esta medida es orientativa, puesto que el resultado aditivo obtenido es calculado sobre relaciones inferidas, pudiendo ser poco informativas. 5 POSIBLES APLICACIONES En [3] se propone un proceso de Minería de Datos Temporales(MDT) para la extracción de patrones. Estos patrones son sintetizados mediante redes P T CN para establecer patrones más descriptivos. Así, el uso de T otdisonancia (ver Fórmula 13) sería útil para evaluar qué patrones obtenidos deben ser considerados mediante un valor umbral de dicha medida. En Razonamiento Basado en Casos Temporal(RBCT), los casos son a menudo secuencias de eventos temporales. Es posible obtener redes P T CN, con la topología vista en Sección 4.2.2, que subsuman dos o mas secuencias de este tipo. Por lo que medidas en redes independientes (Sección 4.3.1) permitirían calcular la similitud entre casos. 6 CONCLUSIONES En este trabajo se propone una estrategia para el cálculo global de la cantidad de incertidumbre para el modelo propuesto por Hadjali, Dubois y Prade de P T CN s [4]. Este trabajo está basado en un análisis de las diferentes medidas incertidumbre para modelos posibílisticos y teoría de la evidencia [1, 6, 13]. En este artículo se establece la disyuntiva entre configuraciones de restricciones de P T CN s independientes y dependientes. Por ello en el primer caso, las propiedades de la medida de no especificidad permiten un cálculo más simple. En las P T CN con restricciones dependientes esto no es posible, por lo que se describe una segunda propuesta mediante el uso de la medida de disonancia. También se proponen algunas posibles aplicaciones prácticas de estas medidas (en MDT y RBCT), que quedan como vías futuras de desarrollo. Referencias [1] D. Dubois and H. Prade. Properties of measures of information in evidence and possibility theories. Fuzzy Sets and Systems, 24: , [2] D. Dubois and H. Prade. Possibility Theory: An approach to computerized uncertainty processing. Plenum Press, [3] F. Guil and R. Marin. Extracting uncertain temporal relations from mined frequent sequences. In TIME 06, accepted, [4] A. HadjAli, D. Dubois, and H. Prade. A possibility theory-based approach to the handling of uncertain relations between temporal points. In 11th International Symposium on Temporal Representation and Reasoning (TIME 2004). IEEE Society, page 3643, [5] J. F. Huete. Aprendizaje de Redes de Creencia Mediante Detecci de Independencia: Modelos No Probabilisticos. PhD thesis, Universidad de Granada, Universidad de Granada, Spain, [6] G. J. Klir and T. A. Folger. Fuzzy Sets, Uncertainty, and Information. Prentice-Hall, [7] R. Marín, M. A. Cárdenas, M. Balsa, and J. L. Sánchez. Obtaining solutions in fuzzy constraint networks. International Journal of Approximate Reasoning, 3-4: , [8] V. Ryabov and S. Puuronen. Probabilistic reasoning about uncertain relations between temporal points. In Proc.8th Int. Symposium on Temporal Representation and Reasoning TIME 2001, IEEE Computer Society, pages , [9] G. Shafer. A Mathematical Theory of Evidence. Princeton University Press, [10] Y. Shoham and McDermott. Problems in formal temporal reasoning. Artificial Intelligence, (36):49 61, [11] M. Vilain and H. Kautz. Constraint propagation algorithms for temporal reasoning. In Proceedings of the National Conference on Artificial Intelligence (AAAI-86), pages 6: , USA, [12] P. Walley. Measures of uncertainty in expert systems. Artificial Intelligence, 83:1 58, [13] R. R. Yager. Measuring tranquility and anexiety in decision-making: An application of fuzzy sets. International Journal in General Systems, 8: , [14] R. R. Yager. Entropy and specificity in a mathematical theory of evidence. International Journal, 9(4): , [15] L. Zadeh. Fuzzy sets as a basis for a thoery of possibility. Fuzzy Sets and Systems, 1:3 28, 1978.

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