IES La Serna Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Comunidad de Madrid. Año 08. Septiembre. Opción B. Ejercicio 1.

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1 IES La Serna Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Comunidad de Madrid. Año 08. Septiembre. Opción B. Ejercicio. ( puntos) Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que 000 euros, distribuidos entre acciones del tipo A y del tipo B. Las acciones del tipo A garantizan una ganancia del 0% anual, siendo obligatorio invertir en ellas un mínimo de 0000 euros y un máximo de 8000 euros. La acciones del tipo B garantizan una ganancia del % anual, siendo obligatorio invertir en ellas un mínimo de 000 euros. La cantidad invertida en acciones del tipo B no puede superar el triple de la cantidad invertida en acciones del tipo A. Cuál debe ser la distribución de la inversión para maximizar la ganancia anual? Determínese dicha ganancia máxima. Solución: Datos del problema Llamamos x a la cantidad de euros invertida en las acciones del tipo A. Llamamos y a la cantidad de euros invertida en las acciones del tipo B. Las restricciones que establecen las condiciones son: x y x 8000 y 000 y x La función objetivo es: f(x,y) 0,x 0,0y Hallamos gráficamente la región factible. Resolvemos el sistema de inecuaciones definido por las restricciones, para ello representamos las rectas: xy 000 x0000 x8000 y000 yx Hallamos los vértices de la región factible. Para ellos resolvemos los siguientes sistemas: x y A (0000, 000)

2 x y 0000 x B (0000,90000) x x y D (8000, 000) x x y C (0, 970) x y E (8000, 000) Calculamos los valores que toma la función objetivo en los vértices de la región factible. f A (0000,000) 0 f B (0000,90000) 700 f C (0,970) 78, f D (8000,000) 000 f E (8000,000) 90 La función objetivo toma el mayor valor en el punto D, luego concluimos que se deben convertir 8 euros en acciones del tipo A y 000 euros en acciones del tipo B. De esta forma la ganancia obtenida es de 000 euros anuales. Ejercicio. ( puntos) Se considera la función real de variable real definida por: f x x x ( ± a) Determínense las asíntotas de f. b) Calcúlense los máximos y mínimos relativos de f y determínense sus intervalos de crecimiento. c) Calcúlese la integral definida: ( x ) f ( dx Solución: Asíntotas verticales. Resolvemos x 0 x x ± x x Los valores x y x- anulan el denominador de la función, luego las asíntotas verticales serán las rectas de ecuación: x y x- Asíntotas horizontales. x Como el lím x ± x Asíntotas oblícuas. No tiene. la asíntota horizontal tiene por ecuación: y Derivamos la función f: x f '( 6 x Resolvemos f'( 0. 0 x 0 x 0 6

3 Calculamos la imagen de x0. f ( 0) Calculamos f''( y f (0). ' 6x 8 f '( f ''(0) 6 x x 8x 6 Como f (0) <0 la función tiene un máximo relativo en el punto A 0, Intervalos de crecimiento Como en x - y en x la función no está definida y en x 0 la función tiene un extremos relativo estudiaremos el crecimiento en los intervalos (-, -), (-, 0), (0, ) y (, ). x x Puesto que la función f '( la podemos escribir como f '( 6 ( x ) Vemos que el denominador siempre será positivo luego el signo de la primera derivada lo determina el signo del numerador. Por tanto deducimos que la función es creciente en (-, -) U (-, 0). Apartado c) ( x ) f ( dx x ( x ) f ( ( x ) x ( x ) f ( dx ( x ) x dx x x 0 Ejercicio ( puntos) Se supone que las señales que emite un determinado telégrafo son punto y raya y que el telégrafo envía un punto con probabilidad 7 y una raya con probabilidad 7. Los errores en la transmisión pueden hacer que cuando se envíe un punto se reciba una raya con probabilidad y que cuando se envíe una raya se reciba un punto con probabilidad. a) Si se recibe una raya, cuál es la probabilidad de que se hubiera enviado realmente una raya? b) Suponiendo que las señales se envían con independencia, cuál es la probabilidad de que si se recibe punto-punto se hubiera enviado raya-raya? Solución Nombraremos los sucesos de la siguiente manera: ep emitir punto er emitir raya rp recibir punto rr recibir raya Las probabilidades indicadas en el enunciado son: rr 7 7 Aplicamos el teorema de la suma o de la probabilidad total. rp

4 rr) rr rr 87 rr) Aplicamos el teorema de Bayes rr er rr) rr rr 8 67 er rr) 7 0, La probabilidad de haber enviado una raya sabiendo que se ha recibido una raya es aproximadamente de 0,78. La probabilidad que hay que calcular es er-er rp-rp)-. Como suponemos que los sucesos enviar raya y enviar punto son independientes la probabilidad pedida será er rp).er rp) er rp) rp rp rp 7 6 er er rp rp) 0,7 0, La probabilidad de haber enviado raya-raya habiéndose recibido punto-punto en el supuesto de que el envío de señales es independiente es aproximadamente de 0,8. 8 Ejercicio. ( puntos) La duración de la vida de una determinada especie de tortuga se supone que es una variable aleatoria, con distribución normal de desviación típica igual a 0 años. Se toma una muestra aleatoria simple de 0 tortugas y se obtienen las siguientes duraciones, en años: 6 ; 8 ; 9 ; 9 ; ; ; 8 ; ; ; a) Determínese un intervalo de confianza al 9% para la vida media de dicha especie de tortugas. b) Cuál debe ser el tamaño de la muestra observada para que el error de la estimación de la vida media no sea superior a años, con un nivel de confianza del 90%? Solución Calculamos la media de la muestra sumando los datos de duración de la muestra y dividiendo entre 0. Se obtiene una media de 7, años. Como α0,0 -α 0,9 se tiene que z ) α / z zα / 0, 99 z z z ) z z ) ( z z )) 0,9 α / z z α / ) α / 0,9 α / 0,97 z α /,96 α /

5 El intervalo de confianza es: 7,,96,7,,96 (,0;,69 ) Se tiene que µ (,0 ;,69 ) con una probabilidad del 9% Como α 0,90 se tiene que zα / z z α / ) 0,90 z α /,6 0 Tamaño de la muestra: n,6 n 0,8. El tamaño mínimo de la muestra será de tortugas.