Universidad de Manizales

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1 Universidad de Manizales INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL JULIAN GONZÁLEZ LÓPEZ ALVARO SALAS SALAS

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3 UNIVERSIDAD DE MANIZALES INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL JULIÁN GONZÁLEZ LÓPEZ Profesor Asociado Universidad de Manizales Departamento de Matemáticas Universidad de Caldas - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas ALVARO SALAS SALAS Profesor Auxiliar Universidad de Caldas - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas Manizales, Octubre de 2000

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5 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL TABLA DE CONTENIDO CAPÍTULO I. PROGRAMACIÓN LINEAL. INTRODUCCIÓN.. Modelos de programación lineal 3... Forma matricial del modelo de programación lineal Forma estándar de un modelo de programación lineal 4.2. Formulación de modelos de programación lineal 8 Ejercicios propuestos 20 CAPÍTULO II. MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON DOS VARIABLES DE DECISIÓN. INTRODUCCIÓN Método gráfico para el caso de dos variables de decisión Graficación de un sistema de desigualdades Isocuantas de la función objetivo 27 Ejercicios propuestos 32 5

6 UNIVERSIDAD DE MANIZALES CAPÍTULO III. MÉTODO SÍMPLEX. INTRODUCCIÓN Preparación para el método símplex Variables de holgura 3.2. Forma algebraica del método símplex Forma tabular del método símplex Método símplex usando la técnica M (método de penalización) 67 Ejercicios propuestos 7 HOJA DE RESPUESTAS 73 BIBLIOGRAFIA 76 6

7 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL PRESENTACIÓN La Investigación de Operaciones y en particular una de sus áreas la programación lineal ha tenido bastante difusión y aplicación en los últimos años. La necesidad de asignar en forma óptima, entre diversas actividades, recursos en general escasos como; dinero, mano de obra, energía, materia prima y muchos otros factores limitados; es importante para el profesional que en su ejercicio diario requiere tomar decisiones. La programación matemática dentro de la cual se encuentran los modelos de programación lineal difiere de los métodos de optimización clásica, ya que enfrenta problemas donde las limitaciones o restricciones se expresan como desigualdades, lo que le imprime mayor realismo a los modelos; en estos casos los métodos clásicos basados en el cálculo no funcionan. Este libro presenta de una manera sencilla, los conceptos básicos de la programación lineal y algunas de sus múltiples aplicaciones; va dirigido a estudiantes de las ciencias económicoadministrativas y solo requiere de parte del lector conocimientos básicos de álgebra matricial. En el capítulo I se exponen los modelos de programación lineal y la solución de problemas cuyo planteamiento conduce a este tipo de modelos. El capítulo II presenta la solución de modelos de programación lineal con dos variables de decisión a través del método gráfico. El capítulo III desarrolla el algoritmo simplex inicialmente en forma algebraica con lo cual se busca una mejor comprensión de éste por parte del estudiante y posteriormente en su forma tabular más eficiente desde el punto de vista computacional. El capítulo IV muestra la implementación del algoritmo simplex en la plataforma del paquete MATHEMATICA a través de un programa interactivo, el cual permite además analizar los casos especiales que se presentan en estos modelos tales como; modelos sin solución, con soluciones óptimas alternativas y no acotados, se proporcionan también los criterios para detectar en el desarrollo del algoritmo la presencia de éstas situaciones. Agradecemos a nuestros lectores sus sugerencias y comentarios a fin de mejorar este material en futuras ediciones. JULIAN GONZALEZ LOPEZ ALVARO SALAS SALAS Manizales, septiembre de

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9 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL CAPÍTULO I PROGRAMACIÓN LINEAL INTRODUCCIÓN Uno de los problemas fundamentales en la toma de decisiones es elegir dentro de un conjunto posible de alternativas (soluciones factibles de un problema de interés), la mejor decisión, o la óptima, según un criterio previamente definido. La optimización es una técnica que busca, con base en distintos modelos matemáticos, la asignación eficiente de recursos, siempre escasos, requeridos en diversas actividades productivas que compiten entre sí, con el propósito de satisfacer los objetivos deseados en el sector productivo, financiero, agrícola, entre otros, y que suelen ser la maximización o minimización de alguna cantidad tal como: costo, beneficio, tiempo, desperdicio, etc. Existen varios métodos de optimización; algunos clásicos utilizan el cálculo diferencial y funcionan bien en muchos casos; los no clásicos, cuyo desarrollo es más reciente, se basan en una serie de modelos llamados Modelos de Programación Matemática, como los modelos de programación lineal, modelos de programación entera, modelos de programación no lineal, etc. Los modelos de programación matemática relacionan una variable de interés Z que se desea optimizar en términos de un conjunto de variables x, x 2,, x n, denominadas variables de decisión, conformando una función objetivo que matemáticamente se expresa así: 9

10 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Z = f (x, x 2, x n ) La optimización de la variable Z normalmente está sujeta o condicionada a un conjunto de restricciones que son impuestas por el medio, o que reflejan limitaciones reales. Dichas restricciones se expresan en función de las variables de decisión a través de ecuaciones o inecuaciones según el tipo de limitación. Matemáticamente una restricción se expresa de la siguiente forma: g i (x, x 2,, x n ) = b i con i =, 2, 3,, n Por la naturaleza de las variables de decisión x, x 2, x n, puede ser necesario agregar restricciones adicionales; por ejemplo, que sean enteras, o que sean no negativas. Resumiendo, un modelo de programación matemática adopta la siguiente forma: Sujeta a: maximizar o minimizar. [ Z = f (x, x 2,, x n )] Función Objetivo g (x, x 2,, x n ) = b g 2 (x, x 2,, x n ) = b 2. Restricciones Principales.. g m (x, x 2,, x n ) = b m x 0, x 2 0,, x n 0 Restricciones de no Negatividad En este modelo de programación matemática los métodos clásicos de optimización basados en el cálculo diferencial no funcionan debido a la presencia de restricciones expresadas como 0

11 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL desigualdades, por lo cual es necesario desarrollar nuevos métodos para encontrar la solución óptima. Los métodos de optimización no clásicos utilizan técnicas iterativas (paso a paso) los que en la actualidad con ayuda de los ordenadores resultan relativamente fáciles de implementar, permitiendo la solución de problemas donde intervienen gran cantidad de variables y de restricciones... MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Un modelo de programación lineal es un modelo de programación matemática donde la función objetivo y las restricciones son lineales; es decir, tiene la forma: Sujeta a: max. o min. [ Z = c x + c 2 x 2 + c 3 x c n x n ] a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b a m x + a m2 x a mn x n = b m x 0, x 2 0 x n 0 Las restricciones de no negatividad no son estrictamente necesarias, sin embargo, en problemas de naturaleza económica o financiera, entre otros, suelen estar presentes.

12 UNIVERSIDAD DE MANIZALES En el modelo de programación lineal se tiene que: Z es la función objetivo o variable a optimizar, x, x 2,, x n son las variables de decisión y c, c 2,, c n, a, a 2,, a mn, b, b 2,, b m son los parámetros. Los parámetros se pueden interpretar según el contexto donde surja el modelo; de esta forma se tiene que: c, c 2,, c n, son beneficios unitarios, costos unitarios o precios unitarios, entre otros, a i j para i=, 2,, m ; j =, 2,, n son los coeficientes tecnológicos y b, b 2,, b m pueden representar recursos disponibles, o bien demandas, etc.... FORMA MATRICIAL DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL El modelo de programación lineal puede escribirse de una manera más compacta usando la notación matricial, así: C= c c 2... c n, A= a a 2...a n a 2 a 22...a 2n a m a m2...a mn, X= x x 2... x n, B= b b 2... b m 2

13 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL El modelo queda: max. o min. [ Z = C X ] Sujeta a AX = B X 0 con C = Matriz transpuesta de C..2. FORMA ESTÁNDAR DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL. Un modelo de programación lineal puede escribirse de tal forma que sus restricciones principales sean todas de igualdad, es decir, que formen un sistema lineal de ecuaciones. Lo anterior es necesario para su solución por el método Símplex. El modelo de programación lineal así expresado se conoce como Modelo de Programación Lineal en Forma Estándar. Para escribir una desigualdad como igualdad es necesario sumar o restar una variable adicional según sea del tipo menor o igual o mayor o igual, así: g i (x, x 2,, x n ) b i g i (x, x 2,, x n ) + X i = b i g k (x, x 2,, x n ) b k g k (x, x 2,, x n ) - X k = b k Las variables X i o X k se denominan Variables de holgura y excedente, deben ser no negativas y su significado o interpretación económica se hace en el contexto de un problema real. Un modelo de programación lineal está en forma estándar si cumple las siguientes condiciones: 3

14 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Ÿ Todas las restricciones, con excepción de las restricciones de no negatividad son igualdades. Ÿ Los elementos del lado derecho de cada igualdad son no negativos ( 0). Ÿ Todas las variables son no negativas ( 0). Ÿ Se tiene como objetivo maximizar o minimizar Z. Ejemplo.. Escriba el siguiente modelo de programación lineal en su forma estándar. min. [Z = x - 3x 2 ] sujeta a: -x + 2x 2 5 x + 3x 2 = 0 x, x 2 son irrestrictas en signo. Nota: Cuando se dice que una variable es irrestricta en signo, significa que ella puede tomar valores positivos, negativos o cero. Solución: Se debe obtener un modelo con todas las variables de decisión no negativas,por lo cual se definen x, x 2 en terminos de las variables x +, x -, x 2+, x 2 - no negativas. x = x + - x - con x + 0 y x - 0. x 2 = x x 2 - con x y x 2-0. Reemplazando x, x 2, el modelo queda: sujeta a: min. [ Z = x + - x - - 3x x 2 - ] x + x + 2x 2-2x x - x + 3x 2-3x 2 = 0 - x +, x -, x 2+, x 2 0 4

15 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL - Nota: Si al resolver este modelo se obtienen valores para x +, x entonces en el modelo + - original el valor de x será x = x - x La misma aclaración es válida para las demás variables. Llevando la primera restricción a igualdad sumándole una variable de holgura X 3 en el lado izquierdo, obtenemos la forma estándar: sujeta a: min. [Z = x - x - 3x 2 + 3x 2 ] x + x + 2x 2-2x 2 + X 3 = x - x + 3x 2-3x 2 = 0 x +, x -, x 2+, x 2-, X 3 0 Ejemplo.2. Obtenga la forma estándar del modelo de programación lineal: sujeta a: max. [Z = x - 2x 2 + x 3 ] x + x 2 + x 3-3 2x + x 2 - x 3 x + x 3 3 x, x 2 0, x 3 0 Solución: * Se define x 3 = - x 3 con lo que se obtiene x 3* 0 5

16 UNIVERSIDAD DE MANIZALES * Reemplazando x 3 y multiplicando por (-) la primera restricción se llega al modelo: max. [Z = x - 2x 2 -x 3* ] - x - x 2 + x 3* 3 2x + x 2 + x 3* x - x 3* 3 * x, x 2, x 3 0 Se agregan las variables de holgura X 4, X 5, X 6 para obtener la forma estándar: sujeta a: max. [Z = x - 2x 2 - x 3* ] * - x - x 2 +x 3 - X 4 = 3 * 2x + x 2 +x 3 - X 5 = * x - x 3 + X 6 = 3 x, x 2, x, X 3* 4, X 5, X FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Sin duda la formulación de un modelo matemático para una situación real o un fenómeno natural no es algo fácil. Sin embargo, existen algunas pautas que pueden orientar al alumno en este proceso. No existen fórmulas mágicas ni recetas, pero sí estrategias que ayudan a abordar los problemas. Un problema de optimización, a menudo formulado verbalmente, debe expresarse en términos matemáticos. Se recomienda la siguiente estrategia: 6

17 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Ÿ Con base en una lectura cuidadosa, comprender el problema e identificar las variables involucradas (variable a optimizar, variables de decisión) y el objetivo (maximizar o minimizar). Ÿ Separar la información necesaria de la información que no se requiere en la construcción del modelo. Si es necesario organice adecuadamente la información en cuadros o tablas. Ÿ Definir en forma apropiada las variables de decisión x, x 2,, x n y la función objetivo. Puede realizarse de varias formas, aunque una buena definición de las variables facilita la construcción del modelo, mientras que otras pueden complicar innecesariamente este proceso. Ÿ Construir la función objetivo en términos de las variables de decisión. No olvide considerar el análisis de dimensiones, el cual consiste en verificar que las unidades del lado izquierdo de una igualdad o desigualdad coincidan con las unidades del lado derecho. No tiene sentido, por ejemplo, una igualdad o desigualdad donde el lado izquierdo tiene unidades de tiempo y el lado derecho unidades de longitud. Ÿ Construir las restricciones en términos de las variables de decisión, de acuerdo con los aspectos mencionados en el numeral anterior. Cerciórese de que para usted es claro el significado de expresiones como: por lo menos, a lo sumo, como máximo, cuando mucho, al menos, como mínimo, entre otras. No olvide incluir todas las restricciones. Ÿ Exprese las restricciones implícitas o que aparecen disimuladas en el problema, pero que son claras por la naturaleza de las variables. Por ejemplo, las variables por su naturaleza pueden requerir que sean no negativas o enteras, o pueden carecer de restricciones. Sin ser exhaustivas, las anteriores recomendaciones, a pesar de que no garantizan éxito en la formulación de modelos, son de gran ayuda en el proceso. Recuerde que el factor principal es el ingenio y la creatividad en combinación con la experiencia. 7

18 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Veamos algunos ejemplos de formulación de modelos de programación lineal, en distintos campos. Ejemplo.3. Planeación de la Producción. Una planta industrial puede manufacturar 5 productos (A, B, C, D, E) en cualquier combinación. Cada producto requiere tiempo en 3 máquinas como se muestra en la tabla. Cada máquina está disponible 28 horas a la semana. Los productos son netamente competitivos y cualquier cantidad fabricada puede venderse a $5, $4, $5, $4, $4 la libra respectivamente. Los costos variables por hora de trabajo son $4 para las máquinas y 2, y $3 para la máquina 3. Los costos de material para cada línea de producto son $2 para A y C y $ para B, D, E por libra. Construya un modelo de programación lineal que permita determinar el nivel óptimo de producción (ver Cuadro Ejemplo.3) Solución: El nivel óptimo de producción es el número de unidades (libras) a producir de cada producto A, B, C, D, E, con el fin de obtener la mayor utilidad. Definición de variables. Variable a optimizar : Z :Utilidad en pesos. Variables de decisión: x, x 2, x 3, x 4, x 5 : Número de libras a producir de A, B,C,D y E, respectivamente. La información básica del sistema de producción se presenta en el siguente cuadro. 8

19 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Tiempo en minutos/libra MÁQUINA PRODUCTO 2 3 Precio Venta Costo Materia Prima $/Libra $/Libra A B C D E Cuadro Ejemplo.3 Construcción de la función objetivo: Para construir la función objetivo se requiere conocer la utilidad por libra de cada producto. Costos por libra de cada producto: Una libra de producto A requiere: Materia prima $ 2 2 Minutos en la máquina A a $ 4 da hora 2 60 $ horas 4 = $ 0.8 hora 8 Minutos en la máquina B a $ 4 da hora 8 60 $ horas 4 = $ 0.53 hora 9

20 UNIVERSIDAD DE MANIZALES 5 Minutos en la máquina C a $ 3 da hora 5 60 $ horas 3 = $ 0.25 hora Total Costo Libra producto A $ De igual forma obtenemos los costos por libra de los otros productos que aparecen en la tabla. La utilidad por libra de cada producto se obtiene restando del precio de venta por libra el costo por libra. Se propone al lector la verificación de las cifras en la siguiente tabla: PRODUCTO Precio Libra en $ Costo Libra en $ Utilidad Libra en $ A B C D E Por lo tanto la función de utilidad se construye sumando la utilidad total obtenida para x libras de A, x 2 libras de B, x 3 libras de C, x 4 libras de D, x 5 libras de E obteniéndose: Z =.47x +.433x x x 4 +.7x 5 Construcción de las restricciones: Cada máquina impone una restricción, pues la disponibilidad en horas a la semana está limitada a 28 horas o sea 7680 minutos. 20

21 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Totalizando el número de minutos que se ocupa la máquina en la producción de x libras de A, x 2 libras de B, x 3 libras de C, x 4 libras de D, x 5 libras de E, éste no debe sobrepasar el tiempo total disponible, es decir debe ser menor o a lo sumo igual a 7680 minutos. Máquina. 2 min min x libra A + 7 x2 libra B + 8 x3 + 0 x4 + 7 x libra A libra B La restricción queda: 2x + 7x 2 + 8x 3 + 0x 4 + 7x De igual forma se tiene restricción de tiempo para el uso de las máquinas 2 y 3 así: Máquina 2 8x + 9x 2 + 4x 3 + 0x Máquina 3 5x + 0x 2 + 7x 3 + 3x 4 + 2x Se deja como ejercicio la deducción de estas dos últimas restricciones. Como las variables de decisión son el número de libras a producir de cada producto, ésta debe ser una cantidad no negativa, es decir, 0 (cero) o positiva, por lo que son necesarias las restricciones de no negatividad sobre las variables de decisión. 2

22 UNIVERSIDAD DE MANIZALES El modelo de programación lineal finalmente queda: sujeta a: max [ Z =.47x +.433x x x 4 +.7x 5 ] 2x + 7x 2 + 8x 3 + 0x 4 + 7x x + 9x 2 + 4x x x + 0x 2 + 7x 3 + 3x 4 + 2x x, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Ejemplo.4. Planeación Financiera Un empresario tiene la opción de invertir su dinero en dos planes: el plan A le garantiza que cada peso invertido ganará 70 centavos dentro de un año, el plan B le ofrece que en 2 años su dinero se triplica, pero exige que las inversiones sean por periodos múltiplos de dos años. Construya un modelo de programación lineal para saber cuál será un plan de inversión para $ con el fin de obtener el máximo dinero posible en el año 3. Solución: Con un diagrama de tiempo se definen las variables en forma apropiada, las flechas hacia abajo son las inversiones y hacia arriba representan las rentas o ingresos. Plan A 22

23 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Plan B (Inversiones por períodos múltiplos de dos años) 3X 0B 3X B Años X0B X B Sea X i j : Cantidad de dinero a invertir en el plan j (j = A, B) en el año i ( i = 0,, 2 ) El objetivo es maximizar la suma de dinero disponible en el año 3. Sea Z suma de dinero a retirar en el año 3, es decir Z =.7X 2A + 3X B Las restricciones se relacionan con la cantidad de dinero disponible en cada período anual. En 0 hay disponible Por lo tanto, X 0A + X 0B En hay disponible.7x OA. Por lo tanto, X A + X B.7X OA En 2 hay disponible.7x A + 3X OB, luego X 2A.7X A + 3X 0B Además, X 0A, X A, X 2A, X 0B, X B 0, X 2B = 0 23

24 UNIVERSIDAD DE MANIZALES El modelo de programación lineal queda: Sujeta a: max [ Z =.7X 2A + 3X B ] X 0A + X 0B < X 0A - X A - X B 0.7X A - X 2A + 3X OB 0 X 0A, X A, X 2A, X 0B, X B 0 Ejemplo.5. Puntos de Equilibrio Múltiple La compañía ATI S.A. fabrica dos tipos de productos A y B. La firma ha contratado 800 unidades de A y desea saber cuál es el punto de equilibrio óptimo teniendo la siguiente información: Precio $/Unidad Costo $/Unidad Costos Fijos Producto A Producto B Solución: Sean X : Número de unidades del producto A vendidas y producidas. X 2 : Número de unidades del producto B vendidas y producidas Y : Ingresos por la venta del número de unidades producidas de A y B. C : Costo de producir X unidades de A y X 2 unidades de B. El equilibrio se logra cuando los ingresos son iguales a los costos. 24

25 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Como Y = 500X + 750X 2 $ (Ingresos) C = 300X + 340X $ (costos) Equilibrio Y - C = 0 Recta de Equilibrio: 200X + 40X 2 = Si dibujamos la recta de equilibrio tenemos: Para buscar el punto de equilibrio debe asumirse algún criterio. Caso : Si el criterio es maximizar los ingresos se tiene el siguiente modelo: Sujeta a: max [ Y = 500X + 750X 2 ] 200X + 40X 2 = (Equilibrio) X 800 (Demanda comprometida) X, X

26 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Caso 2: Si el criterio es minimizar costos se obtiene el modelo. sujeta a: min. [ C = 300X + 340X 2 ] 200X + 40X 2 = X 800 X, X 2 0 Ejemplo.6. Mezclas. Un vinatero desea mezclar vino de 5 años diferentes para fabricar tres tipos de vino mezclados. La oferta disponible en galones del año i (con i =, 2, 3, 4, 5) es de 800, 900, 500, 900 y 600 respectivamente. La mezcla A se considera especial por lo que no se producirán más de 200 galones (ver Tabla Ejemplo.6) Cuántos galones debe producir de cada mezcla para maximizar el beneficio? Elabore un modelo de programación lineal. Solución: Para definir las variables de decisión en este caso conviene usar doble subíndice. Sea X ij : Cantidad en galones del año i (i =, 2, 3, 4, 5) utilizados en la mezcla j ( j = A, B, C). Luego se tienen 5 variables de decisión a saber: X A X 2A X 3A X 4A X 5A X B X 2B X 3B X 4B X 5B X C X 2C X 3C X 4C X 5C 26

27 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL La siguiente tabla da los requerimientos y el beneficio por galón para cada tipo de vino mezclado. MEZCLA REQUISITO Beneficio por Galón en $ A Al menos el 60% debe provenir 4000 de los años y 2 y no más del 0% de los años 4 y 5. B Al menos el 50% debe provenir 3000 de los años, 2 y 3. C No más del 50% del año Tabla Ejemplo.6 Función Objetivo: Z (utilidad en $) Objetivo: Maximizar utilidad. Se tiene además que: 5 i= X ia ; Cantidad total de galones producidos de la mezcla A. 5 i= X ib ; Cantidad total de galones producidos de la mezcla B. 5 i= X ic ; Cantidad total de galones producidos de la mezcla C. 27

28 UNIVERSIDAD DE MANIZALES La función utilidad queda entonces: 5 Z = X ia X ib i= 5 i= 5 XiC i= Restricciones asociadas con la calidad del vino mezclado: Las restricciones determinan la calidad del la mezcla. Para el vino mezclado tipo A: Por lo menos el 60% de los años y 2; Se obtiene la restricción lineal: X 0.6 i= No más del 0% de los años 4 y 5: 5 A 5 i= + X X ia 2 A 0.6 X ia - X A - X 2A 0 X 4 A 5 i= + X X ia 5 A 0. Se obtiene la restricción lineal: 0. = i 5 X ia - X 4A - X 5A 0 28

29 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Para el vino mezclado tipo B: Al menos el 50% debe provenir de los años, 2, 3: X B + X 5 i= 2B X ib + X 3B 0.5 Se obtiene la restricción lineal : = i X ib - X B - X 2B - X 3B 0 Para el vino mezclado tipo C: No más del 50% del año 5. De donde resulta la restricción lineal: 5 X i= 5C X ic i= X ic - X 5C 0. Restricciones debido a la disponibilidad de recursos: Oferta de vino del año X A + X B + X C 800 Oferta de vino del año 2 X 2A + X 2B + X 2C 700 Oferta de vino del año 3 X 3A + X 3B + X 3C 500 Oferta de vino del año 4 X 4A + X 4B + X 4C 900 Oferta de vino del año 5 X 5A + X 5B + X 5C

30 UNIVERSIDAD DE MANIZALES De la mezcla A no se producirán más de 200 galones. X A + X 2A + X 3A + X 4A + X 5A 200 Restricciones de no negatividad: Todas las variables deben ser no negativas. X ij 0 para i =, 2, 3, 4, 5; j = A, B, C. Finalmente, el modelo de 5 variables con 0 restricciones queda: 5 max [Z = X ia X ib i= 5 i= 5 i= X ic ] sujeto a: ( i= 5 0. ( i= ( i= ( i= X ia ) - XA - X 2A 0 X ia ) - X4A - X 5A 0 X ib ) - XB - X 2B - X 3B 0 X ic ) - X5C 0 X A + X B + X C 800 X 2A + X 2B + X 2C

31 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL X 3A + X 3B + X 3C 500 X 4A + X 4B + X 4C 900 X 5A + X 5B + X 5C 600 X A + X 2A + X 3A + X 4A + X 5A 200 X ij 0 i =, 2, 3, 4, 5 j = A, B, C EJERCICIOS PROPUESTOS.. Un inversionista puede elegir entre los planes de inversión A o B disponibles al comienzo de cada uno de los próximos cinco años. Cada peso invertido en el plan A al iniciar un año le reditúa el 42% dos años más tarde, y el plan B le reditúa por cada peso invertido a principio de año 0.60 pesos tres años más tarde, cantidades que puede reinvertir. Además cuenta con los planes C y D disponibles una sola vez sin posibilidad de reinvertir. Cada peso invertido en C al comienzo del segundo año le produce $2 cuatro años más tarde. Cada peso invertido en D al final del tercer año, le produce $.70 dos años después. El inversionista comienza con $ y desea conocer cuál es el plan óptimo de inversión que le maximice la cantidad de dinero al final del quinto año. Construya un modelo de programación lineal y resuélvalo con el paquete que le recomiende su profesor..2. Un editor imprime un nuevo libro, para lo cual considera dos alternativas de empastado, en cartón duro o encolado. Un libro en cartón duro deja una utilidad de $4.000, mientras que en pasta blanda o encolado la utilidad es de tan sólo $900. Para empastar un libro en cartón duro se requieren 5 minutos y con pasta ordinaria 8 minutos. Se dispone de 70 horas para empastar y se estima que las ventas serán hasta 200 3

32 UNIVERSIDAD DE MANIZALES copias para el libro con pasta dura y 400 copias a lo sumo del libro encolado. Formule un modelo de programación lineal que permita saber el número de libros a empastar de cada clase..3. Un restaurante que presta servicio las 24 horas del día, requiere las siguientes meseras: Horas del día No. Mínimo de Meseras Cada mesera trabaja 8 horas consecutivas al día. Elabore un modelo de programación lineal que permita hallar el número óptimo (mínimo requerido) de meseras para cumplir los requisitos anteriores..4. Una tienda de animales ha determinado que cada Hamster debe recibir al día por lo menos 78 unidades de proteína, 0 unidades de carbohidratos y 6 unidades de grasa. Si la tienda vende los 4 tipos de alimentos mostrados. Qué mezcla de alimento satisface las necesidades nutricionales de los Hamster a un mínimo costo para la tienda? Elabore un modelo de programación lineal. Alimento Proteinas Carbohidratos Grasa Costo Unidad/Onza Unidad/Onza Unidad/Onza Centavo/Onza I II III IV

33 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL.5.Una persona hereda US$6.000 y desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planeado por cada amigo. En ambos casos la inversión significa dedicar un poco de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir en efectivo. Con el primer amigo tendría que invertir U$5.000 y 400 horas y la ganancia estimada (ignorando el valor del tiempo) sería U$ Las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son U$4.000 y 500 horas, con una ganancia de U$ Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirán entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad; la participación en las utilidades sería proporcional a esa fracción. Como el heredero está buscando un trabajo interesante para el verano (600 horas a lo sumo) ha decido participar en una o ambas propuestas, con la combinación que maximice la ganancia total estimada. Formule el modelo de programación lineal para este problema..6. Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable, lo cual creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llámense productos, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción. Tipo de máquina Disponibilidad Coeficiente de productividad Horas - Máquina/Semana Horas - Máquina/Unidad Prod. Prod.2 Prod.3 FRESADORA TORNO RECTIFICADORA

34 UNIVERSIDAD DE MANIZALES El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25 respectivamente para los productos, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. Formule un modelo de programación lineal para este problema..7. En el ejemplo.3, verificar los datos del cuadro para la utilidad por libra de cada producto y deducir las restricciones para las Máquinas 2 y 3. 34

35 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL CAPÍTULO II MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON DOS VARIABLES DE DECISIÓN INTRODUCCIÓN Cuando un modelo de programación lineal tiene dos variables de decisión, las restricciones determinan regiones del plano. El conjunto de m restricciones define por lo tanto una región del plano que contiene todos los puntos (x, x 2 ) que las satisfacen. Esta región del plano se denomina región de soluciones factibles, ya que cualquier punto de ella satisface las restricciones y por lo tanto es una solución del problema. De entre todas las soluciones factibles se trata de buscar la solución óptima, es decir, aquella que maximice o minimice la función objetivo. 2.. MÉTODO GRÁFICO PARA EL CASO DE DOS VARIABLES DE DECISIÓN Los pasos a seguir para resolver un modelo de programación lineal de dos variables de decisión usando el método gráfico son: Paso : Dibujar la región de soluciones factibles. Paso 2: Dibujar algunas isocuantas de la función objetivo, es decir curvas en el plano donde para cualquier punto sobre cada una de ellas la función objetivo tiene un valor constante. Las ecuaciones de estas curvas son de la forma Z = const. 35

36 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Paso 3: Ubicar el vértice de la región factible donde ocurre el máximo o el mínimo dependiendo de la dirección en que crecen o decrecen las isocuantas. Una isocuanta crece en la dirección en que la función objetivo aumenta su valor y decrece en la dirección en que la función objetivo disminuye su valor GRAFICACIÓN DE UN SISTEMA DE DESIGUALDADES Para determinar la región del plano que satisface una desigualdad de la forma ax + bx 2 + c 0 se procede de la siguiente manera: Ÿ Se dibuja en primer lugar la ecuación ignorando la desigualdad, es decir, graficamos ax + bx 2 + c = 0: c a La recta ax + bx 2 + c = 0 determina en el plano dos semiplanos denominados I y II. Los puntos sobre la recta satisfacen la igualdad ax + bx 2 + c = 0, los puntos fuera de la recta en los semiplanos I y II satisfacen las desigualdades (> ó < ). 36

37 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Ÿ Para determinar cuál de los dos semiplanos satisface la desigualdad ax + bx 2 + c < 0 se escoge un punto arbitrario del semiplano I o del II, y se reemplaza en la desigualdad. Por ejemplo, puede escogerse el origen (0, 0); si éste satisface la desigualdad, entonces todos los puntos del semiplano I que contiene a (0, 0) la satisfacen, en caso contrario la desigualdad la verifican los puntos de la región II. Ejemplo 2.. Gráficar la región del plano que satisface la desigualdad 2x + 3x 2 6 Solución: Se grafica la ecuación 2x + 3x 2 = 6 : X 2 I II II 2 X + 3 X 2 = 6 I X 37

38 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Tomamos (0, 0) como punto de prueba: 2(0) + 3(0) < 6 0 < 6 Verdadero Por lo tanto la región sombreada que contiene el punto de prueba, satisface la desigualdad y los puntos sobre la recta satisfacen la igualdad. Ejemplo 2.2. Dibujar la región del plano cuyos puntos satisfacen las restricciones. Solucion: 2x + x 2 = 4 ; 2x + x 2 4 x + x 2 x 0, x 2 0 Punto de prueba (0, 0); 0 4 Verdadero 38

39 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL x + x 2 = : Punto de prueba (0, 0): 0 Falso. x 0 y x 2 0, primer cuadrante: 39

40 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Por lo tanto, la región del plano que satisface las restricciones dadas es la intersección de las tres regiones anteriores: 40

41 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Para mayor claridad, la región se muestra en la gráfica siguiente: ISOCUANTAS DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Para un modelo de programación lineal con dos variables de decisión se tiene que la función objetivo es: Z = c x + c 2 x 2 Esta es la ecuación de un plano en el espacio tridimensional. Las isocuantas (curvas de nivel) se obtienen dando valores fijos a la variable Z obteniéndose una familia de rectas en el plano x - x 2. Si Z = k con k constante tenemos: c x + c 2 x 2 = k, distintos valores de k darán diferentes elementos de la familia de rectas. 4

42 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Ejemplo 2.3. Dibujar las Isocuantas de la función Z = 3x + 2x 2,cuando Z = 6, Z = 2, Z = 8 en el mismo plano. Solución: Si Z = 6 3x + 2x 2 = 6 Si Z = 2 3x + 2x 2 = 2 Si Z = 8 3x + 2x 2 = 8 Ejemplo 2.4. Resolver el modelo de programación lineal. max. [Z = 2x + x 2 ] Sujeto a: x 2 0 I 2x + 5x 2 0 II x + x 2 4 III 5x - 3x 2 20 IV x, x

43 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Solución: Dibujamos la región de soluciones factibles. Las restricciones de no negatividad indican que la región de soluciones factibles se encuentra en el primer cuadrante. En el mismo plano se dibujan dos isocuantas de Z = 2x + x 2 Si Z = 4 se tiene: 4 = 2x + x 2 Z = 6 se tiene: 6 = 2x + x 2 43

44 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Si visualmente se sigue la dirección en que crece Z se observa que el máximo valor de Z se obtiene en el vértice C. Las coordenadas del vértice C se obtienen resolviendo por la regla de Cramer, el sistema de ecuaciones correspondientes a las restricciones III y IV. Solucion del sistema de ecuaciones, para hallar las coordenadas del vertice C: x + x 2 = 4 5x - 3x 2 = 20 III IV 4 X = = 3 5 = 62 8 = X 2 = 5 20 = = 50 8 = Por lo tanto los valores óptimos de x y x 2 son: X = 3/4 y X 2 = 25/4 y el máximo valor de Z es, Z max =87/4. 44

45 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Ejemplo 2.5. Resolver el modelo de programación lineal. Sujeta a: min. [Z = 50x + 20x 2 ] 2x - x 2 0 I x + 4x 2 80 II x + x 2 40 III 4x + 3x IV x, x 2 0 Solución: Dibujamos la región de soluciones factibles y dos isocuantas. 45

46 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Isocuantas de Z = 50x + 20x 2 Si Z = = 50x + 20x 2 Z = = 50x + 20x 2 Se observa que el valor mínimo de Z se alcanza en el vértice A. Para obtener las coordenadas de A resolvemos el sistema: 2x - x 2 = 0 x + x 2 = 40 obteniendose como solución x = 40/3, x 2 = 80/3. Luego, el nivel óptimo se alcanza cuando, X = 40/3, X 2 = 80/3 y Z min = 200. EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO II 2.. Una pequeña firma maneja dos procesos para combinar cada uno de dos productos: fluido para marcha y fluido para encendedor. La firma está tomando la decisión de cuántas horas correrá cada proceso. Por una hora del proceso I se consumen 3 unidades de kerozeno y 9 de benceno para producir 5 unidades de fluido para marcha y 6 unidades de fluido para encendedor. Por una hora del proceso II se consumen 2 unidades de kerozeno y 6 de benceno para producir 9 y 24 unidades de los dos tipos de fluidos respectivamente. Debido a un programa federal de asignaciones, la máxima cantidad de kerozeno y benceno disponibles son 300 y 400 unidades respectivamente. Los compromisos de venta requieren que se produzcan al menos 600 unidades de fluido 46

47 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL para marcha y 225 de fluido para encendedor. Las utilidades por hora que reditúan los procesos I y II son 0 y 2 dólares por hora respectivamente. Formule un modelo de programación lineal para maximizar la utilidades y resuélvalo usando el método gráfico Resolver los siguientes modelos de programación lineal. a) max [ Z = 3x + 4x 2 ] sujeta a: -x + x 2 3 x + 2x 2 9 3x + 2x 2 3 x - x 2 x + x 2 x, x 2 0 b) min [Z = 9x + 9x 2 ] sujeta a: x + x 2 0 5x + x 2 8 x + 2x 2 2 x 2 8 x, x 2 0 c) min [ Z = 5x + 2x 2 ] sujeta a: 3x + 6x 2 8 5x + 4x x + 2x 2 6 7x + 6x 2 42 x, x

48 UNIVERSIDAD DE MANIZALES 2.3. Una dieta se diseña de forma que contenga al menos 6 gramos de V y 5 gramos de V 2 (V y V 2 son dos tipos de vitaminas). Estos requerimientos mínimos van a obtenerse a partir de dos tipos de alimentos: F que contiene gramo por libra de V y 2 gramos por libra de V 2, y de F 2 que contiene gramo por libra de V y 5 gramos por libra de V 2. Si el costo de F y F2 es de.20 y.80 pesos por libra, Qué cantidad de cada tipo de cada tipo de alimento deberá comprarse y consumirse para satisfacer los requerimientos mínimos de la dieta de la forma más económica? 2.4. Resolver el modelo del ejemplo Resolver los modelos del ejemplo Resolver el modelo del ejercicio propuesto Resolver el modelo del ejercicio propuesto Un propietario quiere pintar su casa y desea que sea suficiente con una pasada. Para satisfacer este requisito la pintura debe tener una viscosidad de por lo menos 200 unidades. Otro requerimiento para obtener un nivel deseado de brillo es que debe incluir como mínimo 4 gramos de un ingrediente químico Y por galón de pintura. Además, para asegurar cierta durabilidad, también deberá tener por lo menos 30 gramos de una sustancia Z por cada galón de pintura. Hay dos tipos de pintura (I y II) a su disposición. El tipo I cuesta 6 dólares y el tipo II 4 dólares por galón. Las especificaciones de cada una de ellas son: 48

49 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL PINTURA I (Por galón) PINTURA II (Por galón) Viscosidad (Unidades) Y (Gramos) 20 0 Z (Gramos) El propietario decide mezclar I y II a efecto de cumplir con las tres condiciones a un costo mínimo. Qué cantidad de I y II han de mezclarse? Cuál es el costo mínimo de la mezcla? 2.9. Una empresa local está planificando anunciar una venta especial de aniversario por radio y televisión durante una semana, y para ello se aprueba un presupuesto máximo de dólares. Se sabe que el costo por 30 segundos de anuncio en la radio comercial es de 800 dólares. Por otra parte, la televisión comercial cuesta dólares por anuncio. A causa de la fuerte demanda, solamente pueden realizarse 4 anuncios de televisión en la semana prevista. Sobre la base del grado estimado de audiencia y otros factores, se cree que un anuncio de televisión es 6 veces más efectivo que un anuncio de radio sobre los potenciales consumidores. Cómo distribuiría la empresa su publicidad para atraer el mayor número posible de consumidores potenciales? 49

50 UNIVERSIDAD DE MANIZALES 50

51 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Capítulo III MÉTODO SÍMPLEX INTRODUCCIÓN El método símplex es un procedimiento general para resolver problemas de programación lineal. Desarrollado por George Dantzig en 947, ha probado ser un método extraordinariamente eficiente que se usa en forma rutinaria para resolver problemas grandes en las computadoras de hoy en día. Excepto en el caso de problemas muy pequeños, su ejecución se hace siempre en una computadora y existe una amplia gama de complejos paquetes de software para ello. Este capítulo describe y ejemplifica la características principales del método símplex en su forma tanto algebraica como tabular. El método símplex es un algoritmo. Aun cuando el lector no haya oido este nombre, sin duda se ha encontrado con muchos algoritmo por ejemplo, el procedimiento familiar para hacer una división larga, es un algoritmo. También lo es el procedimiento para calcular la raíz cuadrada. De hecho, cualquier procedimiento iterativo de solución es un algoritmo. Entonces, un algoritmo es simplemente un proceso en el que se repite (se itera) un procedimiento sistemático una y otra vez hasta obtener el resultado deseado. Cada vez que se lleva a cabo el procedimiento sistemático se realiza una iteración. ( Puede el lector ver cuál es la iteración para el algoritmo de la división?). 5

52 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Este método se emplea para resolver el problema de programación lineal (forma estándar) (ver Capítulo I, Sección..2) TERMINOLOGIA PARA LAS SOLUCIONES DEL MODELO Es posible que para el lector el término solución signifique la respuesta final a un problema, pero en programación lineal la convención es bastante distinta. Mas aún, cualquier conjunto de valores específicos para las variables de decisión x, x 2,... x n se llama solución, sin importar si es una posibilidad deseable o ni siquiera permitida. Los diferentes tipos de soluciones se identifican usando un adjetivo apropiado. Una solución factible es aquella para la que todas las restricciones se satisfacen. La región factible es la colección de todas las soluciones factibles (puede suceder que esta región sea el conjunto vacío). Una solución óptima es una solución factible que lleva al valor más favorable de la función objetivo. El valor más favorable es el valor más grande o más pequeño, dependiendo si el objetivo es maximizar o minimizar, de modo que una solución óptima maximiza / minimiza la función objetivo sobre toda la región factible. En programación lineal, un problema puede tener más de una solución óptima, aunque en la práctica sólo hay una solución óptima. Otra posibilidad es que el problema carezca de soluciones óptimas. Esto ocurre sólo si: a) no tiene soluciones factibles o b) las restricciones no impiden que el valor de la función objetivo Z crezca indefinidamente en la dirección favorable (positiva o negativa). 52

53 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL 3.. PREPARACION PARA EL METODO SÍMPLEX Variables de holgura. El primer paso en el método simplicial es llevar el modelo de programación lineal a su forma estándar (ver Capítulo I, Sección..2), mediante la introducción de variables adicionales llamadas variables residuales o variables de holgura, con lo que se obtiene para las restricciones un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, de la forma: a x + a 2 x a s x s + x s+ = b a 2 x + a 2 x a 2s x s + + x s+2 = b a m x + a m2 x a ms x s + x s+m = b m x m 0, x 2 m 0,..., x s m 0, x s+ m 0,..., x s+m m 0 Aquí, x s+, x s+2,..., x s+m son las variables de holgura. El sistema de ecuaciones así obtenido puede escribirse en forma matricial como A x = b, con x 0, en donde: A = a a 2... a s a 2 a a 2s a m a m2... a ms , x = x x 2... x s+m, b = b b 2... b m 53

54 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Esta forma es mucho más conveniente para la manipulación algebraica y la identificación de las soluciones factibles en un vértice. Esta se llama forma aumentada del problema, ya que la forma original se ha aumentado con algunas variables adicionales necesarias (las variables de holgura) para aplicar el método símplex.. Una solución aumentada es una solución para las variables originales que se ha aumentado con los valores correspondientes de las variables de holgura. Una solución básica es una solución en un vértice aumentada. Ahora, una solución básica factible es una solución factible en un vértice aumentada. La única diferencia entre las soluciones básicas y las soluciones en un vértice (o entre soluciones básicas factibles y soluciones factibles en un vértice) es el que estén incluidos los valores de las variables de holgura. El siguiente ejemplo será utilizado para ilustrar el método símplex en su forma tanto algebraica como tabular para maximizar una función lineal en cinco variables. Lo llamaremos ejemplo prototipo. Si el problema consiste en minimizar una función Z = c x + c 2 x 2 + c 3 x c n x n, se maximiza la función Y= -Z, de modo que si Y* es el maximo de Y, entonces el minimo de Z de -Y*. 54

55 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL EJEMPLO 3.. En el Ejemplo.3 del Capítulo I sobre plan de producción se debe resolver el problema de maximizar la función Z =.47x +.433x x x 4 +.7x 5 sujeta a las restricciones 2x + 7x 2 + 8x 3 + 0x 4 + 7x x + 9x 2 + 4x x x + 0x 2 + 7x 3 + 3x 4 + 2x x, x 2, x 3, x 4, x 5 0 En nuestro caso, s = 5, m = 3. Introducimos tres variables de holgura x s = x6 x = x s+ 2 7 y s m n 8 +, x + = x = x para convertir las tres restricciones de desigualdad en un conjunto de tres ecuaciones lineales con ocho incógnitas junto con las restricciones de no negatividad: 2x + 7x 2 + 8x 3 + 0x 4 + 7x 5 + x 6 = x + 9x 2 + 4x x 5 + x 7 = x + 0x 2 + 7x 3 + 3x 4 + 2x 5 + x 8 = 7680 x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x

56 UNIVERSIDAD DE MANIZALES La forma matricial de este sistema es A x = b, x 0, en donde: 2 A = , x x x x x = x x x x , 7680 b = En este ejemplo el sistema de restricciones funcionales tiene cinco variables más (en total son ocho variables) que ecuaciones (de las cuales tenemos tres). Este hecho proporciona cinco grados de libertad o cinco variables libres para resolver el sistema, pues se pueden elegir cinco variables cualesquiera y asignarles cualquier valor arbitrario para resolver las tres ecuaciones en términos de las tres variables restantes (con esto se excluyen redundancias). El método símplex usa cero para este valor arbitrario. Las variables que por el momento se hacen igual a cero se llaman variables no básicas, todas las demás se llaman variables básicas. La solución que resulta es una solución básica. Si todas las variables básicas son no negativas, entonces se tiene una solución básica factible. En términos generales, el número de variables no básicas de una solución básica siempre es igual a los grados de libertad del sistema de ecuaciones y el número de variables básicas siempre es igual al número de restricciones funcionales. 56

57 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Dos soluciones básicas factibles son adyacentes si todas menos una de sus variables no básicas son las mismas (de manera que la misma aseveración se cumple para sus variables básicas). Entonces, transladarse de una solución básica factible a una adyacente significa cambiar el estado de una variable no básica a básica y viceversa para otra variable. Sea c + i 0, i =,2,...,m. Entonces s = n j= c j x j = c x + L + cs xs + 0 xs+ + L + 0 xn = c j x j = Z (3..2) s j= La relación entre las soluciones del problema original y el problema en su forma aumentada viene dada por el siguiente teorema. Teorema. Supongamos que x* = (x *, x 2*,..., x s*, x *, s+ x*,..., s+2 x* ) es una solución s+m maximal factible para las restricciones transformadas ( 3.. ) y la función objetivo ( 3..2 ), siendo el máximo valor Z. Entonces los primeros s elementos x * *, x 2*,..., x s de x representan una solución maximal factible al modelo de programación lineal en la que es el valor máximo. Además, cada solución factible x de ( 3.. ) y ( 3..2 ) se corresponde con una y sólo una solución factible del modelo; a saber, la solución que contiene los primeros s elementos de x y cada solución maximal factible Z x de 3.. ) ( y ( 3..2 ) se corresponde con una única solución maximal factible del modelo, o sea, la 57

58 UNIVERSIDAD DE MANIZALES solución que contiene los primeros s elementos de x. Según el teorema anterior, si podemos encontrar una solución que maximice ( 3..2 ) sujeta a las restricciones ( 3.. ), hemos resuelto el problema de la programación lineal. De esta manera, dada cualquier solución básica, la solución en el vértice correspondiente se obtiene con sólo quitar las variables de holgura. Al trabajar con el problema en forma de igualdades conviene tomar en cuenta y manipular la ecuación de la función objetivo al mismo tiempo que las nuevas ecuaciones de las restricciones. Antes de comenzar con el método símplex es necesario escribir el problema una vez más en una forma equivalente: Maximizar Z, sujeta a; (0) Z -.47x -.433x x x 4 -.7x 5 = 0 () 2x + 7x 2 + 8x 3 + 0x 4 + 7x 5 + x 6 = 7680 (2) 8x + 9x 2 + 4x x 5 + x 7 = 7680 (3) 5x + 0x 2 + 7x 3 + 3x 4 + 2x 5 + x 8 = 7680 x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 0 Es justo como si la ecuación (0) fuera una de las restricciones originales que, como ya se encuentra en forma de igualdad, no necesita variable de holgura. Con esta interpretación, las 58

59 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL soluciones básicas no cambian, excepto que Z puede verse como una variable básica adicional permanente FORMA ALGEBRAICA DEL METODO SÍMPLEX. Una vez adaptado el problema inicial a la forma descrita por ( 3.. ) y ( 3..2 ) debemos proceder a contestar las siguientes preguntas: Ÿ Paso inicial: Cómo se selecciona la solución factible en un vértice (la solución básica factible) inicial? Ÿ Paso iterativo: al buscar un traslado a una solución factible en un vértice adyacente (una solución básica factible adyacente). Cómo se selecciona la dirección del traslado? ( Qué variable no básica se selecciona para que se convierta en básica?) 2. A qué lugar se hizo el traslado? ( Cuál variable básica se convierte en no básica?) 3. Cómo se identifica la nueva solución? Ÿ Prueba de optimalidad: Cómo se determina que la solución factible en un vértice actual (solución básica factible) no tiene soluciones factibles en un vértice adyacentes (soluciones básicas factibles adyacentes) que sean mejores? 59

60 UNIVERSIDAD DE MANIZALES En la presente sección se responderán estas preguntas. Para propósitos didácticos, se mostrará el procedimiento en la solución del problema del ejemplo prototipo (ejemplo 3.). Ÿ Paso inicial. El método símplex puede comenzar en cualquier solución factible en un vértice (solución básica factible), de manera que se escoge una que sea conveniente. Antes de tomar en cuenta las variables de holgura, esta elección es el origen (con todas las variables originales iguales a cero), es decir ( 5 x, x 2, x 3, x4, x ) = ( 0, 0, 0, 0, 0 ) (la notación ( x, x2, x3, x4, x5 ) = ( a, a2, a3, a4, a5 ) significa que x = a, x 2 = a 2, etc). En consecuencia, después de introducir las variables de holgura, las variables originales son variables no básicas y las variables de holgura son las variables básicas de la solución básica factible inicial. Esta elección se muestra en el siguiente sistema de ecuaciones en el que las variables básicas se escribieron con mayúscula: 2x + 7x 2 + 8x 3 + 0x 4 + 7x 5 + X 6 = x + 9x 2 + 4x x 5 + X 7 = x + 0x 2 + 7x 3 + 3x 4 + 2x 5 + X 8 = 7680 Nótese que al escoger el origen el lado izquierdo de todas las restricciones funcionales en el problema original es igual a cero. por lo tanto, bajo las suposiciones actuales sobre la forma del modelo, incluyendo restricciones del tipo y lados derechos positivos, esta solución en un vértice es automáticamente factible 60