El alumno debe responder a una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima. OPCIÓN A

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1 Prueba de Acceso a la Universidad JUNIO Bachillerato de Ciencias Sociales El alumno debe responder a una de las dos opciones propuestas, A o B En cada pregunta se señala la puntuación máima OPCIÓN A Una perfumería desea liquidar frascos de perfume y 5 barras de labios que han quedado descatalogados en sus firmas, para ello lanza dos ofertas A y B La oferta A consiste en un lote de un frasco de perfume y una barra de labios que se vende a La oferta B consiste en un frasco de perfume y dos barras de labios que se vende a 4 No desea ofrecer menos de lotes de la oferta A ni menos de de la oferta B a) Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maimizar la ganancia? (,5 puntos) b) Cambiaría la respuesta al apartado a) si eliminamos el hecho de que desee ofrecer al menos lotes de la oferta B? ( punto) Se trata de un problema de programación lineal Organicemos los datos en forma de tabla para escribir cómodamente la función objetivo y las restricciones: LOES NÚMERO FRASCOS P BARRAS L VENA A B y y y 4y y + y y 5 + La función objetivo, que debe maimizarse, es f (, y) + 4y El conjunto de restricciones es: { ; y ; + y, + y 5 } f, y + 4y Dibujemos la región factible: - La inecuación tiene por solución el semiplano a la derecha de la recta - La inecuación y tiene por solución el semiplano que está por encima de la recta y - La recta y + pasa por los puntos (, ) y coordenadas es la solución de la inecuación + y - La recta y 5 + pasa por los puntos (, 7 ) y contiene al origen de coordenadas 5 B C REGIÓN FACIBLE A 5 + y + 4y D + y 5, El semiplano al que pertenece el origen de 9, por ejemplo El semiplano solución es el que y El nivel de la función objetivo: f, y + 4y es una recta que pasa por el origen de coordenadas (, ) y por el punto ( 4, ) Al trasladarla, paralelamente a sí misma, hacia la región factible, el último vértice que toca es A 5, 5 que es el que maimiza a la el función objetivo Por tanto, debe vender 5 lotes de cada oferta b) Desaparece una restricción: y La región factible es ahora abierta pero la solución no cambia pues el último vértice de la f, y al trasladarse misma que toca hacia la derecha sigue siendo el A

2 a) Derive las siguientes funciones f () ln +, g () + e b) Calcule d (,5 puntos), ( punto) a) - - f ' + + e e g ' + e + e ( + ) ( + ) b) Obtengamos una primitiva de la función: y entonces: d d d ln ln d ln ln Halle el dominio de definición, los máimos y mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f ln ( puntos) - Dominio de definición: > ( + )( ) > (,) Por tanto: D( f ) (,) - Máimos, mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento: f ' f > f <! Es creciente en (, ) y decreciente en, y como se trata de una función continua en su dominio, en tiene un máimo relativo 4 En el departamento tetil de unos grandes almacenes se encuentran mezcladas y a la venta camisetas de la marca A, 6 de la marca B y 4 de la marca C La probabilidad de que una camiseta tenga tara es, para la marca A;, para la marca B y, para la marca C Un comprador elige una camiseta al azar a) Calcule la probabilidad de que la camiseta tenga tara ( punto) b) Calcule la probabilidad de que la camiseta sea de la marca B ( punto) c) Sabiendo que la camiseta elegida tiene tara, cuál es la probabilidad de que sea de la marca B? ( punto) Sea A el suceso la camiseta elegida es de la marca A Su probabilidad es: p( A),5 Sea B el suceso la camiseta elegida es de la marca B cuya probabilidad es: 6 p (B), Sea C el suceso la camiseta elegida es de la marca C cuya probabilidad es: 4 p (C),

3 Prueba de Acceso a la Universidad JUNIO Bachillerato de Ciencias Sociales Sea el suceso la camiseta elegida tiene tara y su suceso contrario la camiseta elegida no tiene tara Organicemos las posibles situaciones mediante un diagrama de árbol:, a) Es una aplicación del teorema de la probabilidad total:,5, A B,99, p( ) p( A) p( / A) + p( B) p( / B) + p( C) p( / C) b) p( B),,5,+,, +,,,7,,98, C,97 c) Es una aplicación del teorema de Bayes: p B p / B,, p( B / ),5 p, 7 OPCIÓN B Considere las matrices A y B a) Calcule la matriz inversa de la matriz B I con I (,75 puntos) b) Calcule una matriz X tal que BX 4A X (,5 puntos) a) B I F F F F F F F + F F + F F ( B I ) b) BX 4A X BX X 4A B I X 4A X B I 4A Por lo tanto: X

4 Considere la matriz A a) Calcule el rango de la matriz A (,5 puntos) b) Aplicar el apartado a) para resolver el sistema lineal AX ( punto) a) F F F F F F F + F rg rg 7 rg rg rg A 7 6 b) Puesto que el rango de la matriz de los coeficientes es, el sistema homogéneo es compatible determinado y su única solución es la trivial: y z a) Calcule las derivadas de las funciones f ln b) Calcule ( ) e d (,5 puntos) +, g ( punto) + + a) - f () ln ln ln ( + ) f '() g () g '() b) Calculemos una primitiva de la función: e + e e d d e d + e d + Y por tanto: + e + e + e e d e 4 Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario de monóido de carbono, CO, en el aire en partes por millón (ppm) en una ciudad, está relacionado con la población p epresada en miles de habitantes por la p siguiente epresión C ( p ) + 7 La evolución del tamaño de población en esta ciudad en t años se estima que está dado por la relación p ( t), +,t en miles de habitantes Con qué rapidez estará variando la concentración de CO en esta ciudad dentro de años? ( puntos) El nivel medio diario de CO al cabo de t años es: de años, será C' ( ) enemos: (, +,t ) C(t) + 7 La velocidad de variación, al cabo 4

5 Prueba de Acceso a la Universidad JUNIO Bachillerato de Ciencias Sociales ( + ), t,,t,4 C' ( t) (, +,t ), t C',4 ppm (, +,t ), +,t La edad a la que obtienen el permiso de conducir los habitantes de una determinada población es una variable aleatoria que se puede aproimar por una distribución normal de media 4 años y desviación típica 4 años Se elige aleatoriamente una muestra de habitantes de dicha población Sea X la media muestral de la edad de obtención del permiso de conducir a) Cuáles son la media y la varianza de X? ( punto) b) Halle el intervalo de confianza al 9% para X ( puntos) a) Por el teorema central del límite, las medias muestrales se distribuyen según una normal de media µ µ 4 años X σ 4 y desviación típica σ,4 Es decir, la media de las muestras se distribuyen mediante una normal X n N ( 4 ;,4) La media es entonces de 4 años y como la varianza es el cuadrado de la desviación típica: var ( X ), 4,6 b) Obtengamos el valor crítico correspondiente a una probabilidad del 9%: α / α 9% α / α α α, 9 α,, 5, 95 Observando la tabla: z α,645 El intervalo de confianza es: σ σ µ z α, µ + z α n n Es decir: ( 4,645,4 ; 4 +,645, 4) (,4 ; 4,658) 5

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