Curso º ESO. UNIDAD 8: FUNCIONES Departamento de Matemáticas IES Fray Bartolomé de las Casas (Morón)

Transcripción

1 Curso 2º ESO UNIDAD 8: FUNCIONES Departamento de Matemáticas IES Fray Bartolomé de las Casas (Morón)

2 OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 1. Conocer qué es una función y cómo expresarla. 2. Reconocer las variables dependiente e independiente de una función. 3. Analizar el crecimiento y decrecimiento de una función. 4. Obtener los máximos y mínimos relativos de una función. 5. Obtener los puntos de corte de una gráfica de una función con los ejes de coordenadas. 6. Reconocer y representar funciones lineales, afines y constantes y funciones de proporcionalidad inversa. 7. Identificar la pendiente de una recta. 8. Utilizar las funciones para representar y resolver problemas de la vida cotidiana. Funciones: tablas, gráficas y expresiones algebraicas. Características básicas de una función: cortes con los ejes, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos. Funciones lineales, afines y constantes. Pendiente de una recta. Funciones de proporcionalidad inversa Representación de una función en sus distintas opciones. Interpretación de una gráfica. Posible identificación de una gráfica con una función. Cálculo de la imagen de un valor de la variable independiente. Obtención de las características básicas de una función. Representación de funciones lineales, afines y constantes y de proporcionalidad inversa. Obtención de la pendiente de una recta. Obtención de la ecuación de una función lineal, afín, constante o de proporcionalidad inversa. CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1. Representar e interpretar una función y sus distintos elementos. 2. Estudiar las características básicas de una función: puntos de corte, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos. 3. Identificar una función lineal, afín, constante o de proporcionalidad inversa. 4. Obtener la expresión algebraica, mediante tablas y gráfica, de una función lineal, afín, constante o de proporcionalidad inversa. 5. Hallar la pendiente de una recta y la ordenada en el origen. 6. Extraer toda la información de una gráfica que se corresponda a una situación real. 7. Expresar mediante una función una situación de la vida cotidiana INTRODUCCIÓN Lucía llega a casa de Tomás y lo encuentra escribiendo en un bloc. No me puedo creer que estés haciendo deberes-exclama. - Claro que no- replica él-. Estoy preparando una partida de barquitos. Quieres jugar? - Se me ocurre algo más divertido: voy a explicarte las coordenadas cartesianas. - Qué tiene que ver eso con los barquitos? - -Mucho. En esta cuadrícula- dice Lucía cogiendo el boli de Tomás y marcando un cuadradito- a cada casilla le corresponde una letra y un número. Por ejemplo, ésta es la casilla E3, porque está en la columna E y en la fila A B C D E F G H I J 2

3 COORDENADAS CARTESIANAS De la misma manera podemos decir que las coordenadas de los puntos dibujados son: El O (0,0) es el origen de coordenadas 1. Escribe las coordenadas de los puntos señalados: 2. Escribe las coordenadas de los puntos señalados: 3

4 3. Señala en la gráfica siguiente los puntos que se citan a continuación: A OBJETIVO 1 Y 2 Una función es una relación entre dos magnitudes de manera que a cada valor ( variable independiente, ) de la primera le corresponde un único valor de la segunda ( variable dependiente, ). Una función se puede expresar mediante: a) Una tabla de valores b) Una regla o enunciado c) Una expresión analítica La expresión analítica de una función es una expresión algebraica que relaciona la variable dependiente con la variable dependiente. Ejemplo 1: La siguiente tabla no corresponde una función, ya que el valor 3 de la variable independiente le corresponde dos valores distintos de la variable dependiente Ejemplo 2: Escribe la expresión algebraica de la función dada por el enunciado siguiente: A cada número le corresponde el resultado de sumar tres unidades al doble de su valor 4. Escribe la expresión algebraica de cada función dada por su enunciado: A cada número se le asigna el resultado de elevarlo al cuadrado y sumarle tres unidades: 4

5 A cada valor se le asigna el perímetro de un triángulo equilátero de lado A cada valor se le asigna el volumen del cubo de lado : A cada valor le corresponde el área del rectángulo de base y de altura tres unidades más que la base: Cálculo de la imagen de un valor de la variable independiente Ejemplo: 5. Completa, en cada caso, la tabla de valores de cada una de las siguientes funciones: a) c) b) d)

6 Cálculo del valor de la variable independiente, conociendo la imagen(variable dependiente) Ejemplo: a) 6. A partir de la expresión analítica de la función dada y conociendo un valor de, calcula el correspondiente valor de : b) c) d) a) 7. Representa los puntos, para los valores indicados, de las siguientes funciones: Punto b) Punto 6

7 c) Punto 8. Completa las siguientes tablas de valores correspondientes a las funciones representadas en las gráficas: a) b) c) 7

8 d) Nota: Datos de la parábola de color rojo. L a curva que une los infinitos puntos que se obtendrían al asignar a x todos los valores posibles constituye la gráfica de la función. 8

9 OBJETIVOS 3 Y 4 La siguiente gráfica representa el consumo en kw/h de energía eléctrica en una vivienda a lo largo del año Febrero Abril Junio Agosto Octubre Diciembre La gráfica tiene las siguientes características: Es creciente entre junio y agosto, y entre octubre y diciembre. Es decreciente entre febrero y junio, y entre agosto y octubre. En agosto tiene un máximo relativo, de valor 120 kw/h, donde pasa de creciente a decreciente. La función tiene dos mínimos relativo donde pasa de decreciente a creciente: en junio, de valor 80 kw/h, y en octubre, de 100 kw/h. 9. En la siguiente gráfica se muestra el número de personas que se encuentran a lo largo de un día en un museo desde la hora de apertura hasta la hora de cierre. Estudia el crecimiento de la función e indica en qué puntos hay máximos y mínimos Creciente: Decreciente: Máximos: Mínimos: 9

10 10. La siguiente tabla muestra el número de oyentes que tiene una determinada emisora de radio a lo largo de un año: Meses Nº de oyentes (en miles) Enero 100 Febrero 85 Marzo 50 Abril 45 Mayo 45 Junio 45 Julio 20 Agosto 15 Septiembre 25 Octubre 45 Noviembre 60 Diciembre 80 a) Traza en unos ejes de coordenadas un gráfico que refleje la información de la tabla. b) Observa la gráfica representada y contesta a las siguientes preguntas: b1) En qué mes el número de oyentes de la radio fue máximo? Y mínimo? 10

11 b2) Entre qué meses creció el número de oyentes? b3) En qué meses decreció? b4) Hubo algún periodo en el que el número de oyentes se mantuviera? c) Observa el gráfico y contesta a las siguientes preguntas: c1) En algún mes se superaron los oyentes? En cuáles? c2) Hubo algún mes con menos de oyentes? Cuál? d) Las emisoras reciben una ayuda pública si, como mínimo, seis meses al año tienen más de oyentes. Recibirá esta emisora la ayuda? 11

12 OBJETIVO 5 Cuando la gráfica de una función tiene puntos que están sobre los ejes, se dice que la función corta a los ejes de coordenadas. Los puntos de corte con el eje X son los puntos de la función cuya segunda coordenada es 0. Son puntos del tipo,. Los puntos de corte con el eje Y son los puntos de la función cuya primera coordenada es 0. Son puntos del tipo, Ejemplo1 : Puntos de corte con los ejes de las funciones dibujadas UNIDAD 8: Funciones Curso 1 Con el eje Y: 0,1 b) 4 5 Co el eje Y: 0,5 Con el eje X: 1,0, 5,0 Ejemplo 2: c) 2 3 Con el eje Y: 0,3 Con el eje X: 2,0 6,0 Averigua los puntos de corte de la función 2 4 con los ejes de coordenadas Con el eje X: Hacemos , Con el eje Y: Hacemos , Ejemplo 3: Averigua los puntos de corte de la función 4 con los ejes de coordenadas Con el eje X: Hacemos ,,, Con el eje Y: Hacemos , 12

13 11. Calcula los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones: a) b) c) d) e) 4 64 f) 5 13

14 OBJETIVO 6 Una función lineal es la expresión de una proporcionalidad directa entre dos magnitudes y tiene por expresión analítica por ejemplo 2. La representación de una gráfica de una función lineal es una recta que pasa por el origen de coordenadas. El coeficiente, recibe el nombre de pendiente de la recta, y mide la inclinación de dicha recta. 0 0 La función afín es una función que se describe con la expresión analítica: La gráfica de una función afín es una recta que corta al eje y en el punto, El coeficiente recibe el nombre de pendiente de la recta y mide la inclinación de la misma y es la ordenada en el origen. m>0 m<0 14

15 12. Construye una tabla de valores (basta con dos) y representa las siguientes funciones: a) 4 b) 2 1 c) 3 15

16 Una función constante es aquella en la que el valor de la variable dependiente es siempre el mismo, sea cual sea el valor de la variable independiente. La expresión de una función constante es del tipo: donde es la variable dependiente, y, un número conocido. Ejemplo: Una bicicleta circula durante 5 minutos a una velocidad constante de 4 /. Escribe la expresión de la función que indica la velocidad de ese vehículo en función del tiempo durante esos 5 min y dibuja si gráfica. Tiempo (min) Velocidad (Km/h) Su gráfica por tanto es una recta horizontal, de pendiente 0. Una función en la que la variable dependiente es inversamente proporcional a la variable independiente se denomina función de proporcionalidad inversa Su expresión algebraica es del tipo, donde es la variable independiente, que no puede valer 0, la variable dependiente, y es un número conocido distinto de 0, y que coincide con la constante de proporcionalidad inversa. Su gráfica es una curva denominada hipérbola, que no pasa por el origen de coordenadas y que no corta a los ejes. a) Para k>0, la hipérbola es decrecientes y ocupa el primer y tercer cuadrante. b) Para k<0, la hipérbola es crecientes y ocupan el segundo y cuarto cuadrante. 16

17 OBJETIVO UNIDAD 8: Funciones Curso 13. Representa gráficamente las siguientes funciones en un mismo sistema de ejes coordenados y comprueba que se trata de rectas paralelas: Las gráficas de las funciones afines o lineales con la misma pendiente son rectas paralelas. Dados dos puntos cualesquiera de la gráfica de una funciónn lineal o afín,,,,, la pendiente de la recta que pasa por esos dos puntos se calcula de la manera siguiente: 14. Dibuja las gráficas de las funciones afines que pasan por los puntos dados, y calcula en cada caso su pendiente: 3,1, 2,6 m 4, 2, 5, 6 m 17

18 OBJETIVO Representa gráficamente la función que relaciona el área de un triángulo de 4 cm de altura con la medida de su base: 16. TARIFAS Y TELÉFONOS Una compañía de teléfono cobra 0 15 por establecimiento de llamada y 0 06 por cada minuto a) Determina la expresión algebraica de esta función utilizando como variable C y t: C para el coste y t para los minutos de duración de las llamadas. Indica cuál es la variable dependiente y cuál, la independiente. b) Representa, mediante una tabla, el coste de las llamadas si la duración de las mismas es de 1, 3, 5, 10, 15, 20 y 30 minutos. 18

19 c) Representa gráficamente la función con los datos calculados en el apartado anterior. Emplea como unidad de tiempo el minuto y como unidad de coste el céntimo de euro. d) En el mercado aparece otra compañía de teléfonos cuya función de coste es la siguiente: , en la que C representa el coste y t, los minutos de duración de la llamada. Será más beneficioso para el consumidor cambiarse de compañía o seguir en la misma? Nota: Traza, sobre los ejes de coordenadas del apartado anterior, la gráfica correspondiente a esta nueva función para justificar la respuesta. 19

20 17. La siguiente tablaa relaciona el tiempo que tarda un grifo en llenar un bidón según sea su caudal: Caudal (L/min) 4 Tiempo (min) a) Completa la tabla. b) Dibuja la gráfica de la función tiempo-caudal. 16 a) Cuál es la capacidadd del bidón? DE LO DOMÉSTICO 18. Una familia de 5 miembros tiene un contrato con la compañía de agua en el que las condiciones establecidas son, por un lado, el pago de una cuota fija de 12 por el servicio y, por otro, el pago de 5 por consumido. a) Haz una tabla donde refleje lo que paga la familia si consume 1, 2, 3, 4 y 5. b) Escribe la expresión algebraica que relaciona los consumidos con el coste del agua. 20

21 c) Representa gráficamente la función. d) Cuál es la pendiente de la función? Qué nos indica su valor? e) Cuál es la ordenada en el origen? Cuál es su significado? 21

22 19. Todos los fines de semana al padre le toca realizar las tareas del hogar. Se sabe que para poder tener la tarde del sábado y del domingo libres debe dedicar e ellas 5 horas por la mañana cada uno de los dos días. Si el resto de la familia colabora, tardará menos horas? a) Haz una tabla donde se refleje el número de horas que se han de emplear para realizar las tareas del hogar, en función del número de miembros de la familiaa que colaboren. b) Escribe la expresión algebraica que relaciona el tiempo empleado y el número de personas que colaboran. c) Representa gráficamente la función. d) Son directamente proporcionales las dos magnitudes? 22

23 EVOLUCIÓN DEL IPC Este gráfico se utiliza para representar cómo va variando el Índice de Precios al Consumo a lo largo de los meses. Así podemos observar en qué meses aumentan los precios o disminuyen, cómo es la evolución a corto o largo plazo,... 23