6. FAST FOURIER TRANSFORM (FFT)

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1 6. FAS FOURIER RASFORM FF Las rasformadas Rápidas d Fourir so algoritmos spcializados qu prmit a u procsador digital acr l cálculo d la rasformada Discrta d Fourir d ua forma ficit, lo qu rspcta a carga computacioal y timpo d procsamito. S busca ralizar la rprstació d ua sñal origialmt adquirida l domiio dl timpo sri d timpo, como fució dl domiio d la frcucia. Dado qu l procso ivrso tambié s pud implmtar mdiat st algoritmo, s cocluy qu la FF prmit saltar d u domiio cualquira al otro. Por tratars d u algoritmo dsarrollado para u procsador digital, s db psar l caráctr discrto d las dos rprstacios, pus u sistma d cálculo artificial ti rcursos limitados d mmoria y capacidad d cómputo y dsd sta prspctiva o s pud psar procsar las scucias ifiitas datos propias dl timpo o d la frcucia cotiuos. 6.. REFERECIA EÓRICA S plata sta scció los lmtos cocptuals qu llva a dsarrollar la toría d la FF o trasformada rápida d Fourir SERIES DE FOURIER Ua fució priódica co priodo pud sr prsada como ua sri d Fourir, d la siguit mara a y t a cos f t b siπf t ] π 6-

2 sido itgrals f la frcucia fudamtal. Los coficits stá dfiidos por las a y tcosπ ft dt, dod,,, b y tsπ ft dt, dod,,, D la variabl complja s ti las idtidads jπft jπf t cosπft 6-4 jπft jπf t sπft j 6-5 rmplazado stos valors la cuació 6- y factorizado s ti a jπft jπft y t a jb a jb 6-6 S itroduc valors gativos d las cuacios 6- y 6-3 a a y tcos πf y tcosπf t dt t dt dod,,,3, b b y ts πf y ts πf t dt t dt dod,,,3,

3 D lo atrior s llga a a πft πft a 6-9 y jb πft πft jb 6- Rmplazado 6-9 y s llga a: a y t a jb α jπft jπ ft 6- corrspodit a la sri Fourir forma pocial, dod α a jb y ±, ±, ± 3,.... Al combiar 6-, 6-3, 6-7 y 6-8 obti jπf t α y t dt dod ±, ±, ± 3, corrspodit a la sri d Fourir forma d coficits compljos ; sta forma s la qu más s usa aálisis LA RASFORMADA DE FOURIER 6... Dfiició La rasformada d Fourir s ua d las rramitas pricipals d aálisis co qu s cuta oy los mdios d cicia y tcología. Su podr radica la posibilidad stablcr rlacios tr putos d vista muy difrts rlativos a u mismo problma. Así, al visualizar u fómo tato térmios d la fució asociada, como d su trasformada d Fourir, s ti frcutmt u procdimito d aálisis útil para rsolvr u problma dtrmiado.

4 Si trar dtalls, s plata aquí las rlacios o fórmulas qu prmit ir d u puto d vista al otro. Ua s cooc como la itgral d Fourir: jπft H f t dt 6-3 E ua forma similar s dfi la trasformada ivrsa d Fourir: jπft t H f df 6-4 dod las fucios t y Hf stá rlacioadas por las cuacios 6-3 y 6-4, llamádos las dos fucios u par trasformado d Fourir, idicado sa rlació por la otació t H f 6-5 S pud tr ua rprstació altrativa d las dos cuacios, acido El par trasformado quda tocs dfiido como: ω πf. jωt H ω a t dt 6-6 j t a H ω ω t dω 6-7 E stas dos cuacios s ti la codició d qu a a π, por lo qu alguos autors scog a y a π, otros a π y a, y otros a π y a π. Rspcto a stas cuacios sólo s mcioa d momto la codició d istcia d la itgral d Fourir dfiida mdiat la codició:

5 Codició. Si t s itgrabl, s dcir t dt < 6-8 Etocs su trasformada d Fourir ist y satisfac la trasformada ivrsa d la cuació 6-4. Esta codició s suficit pro o csaria para stablcr la istcia d la trasformada d Fourir. Si mbargo, s frcut cotrar los laboratorios y l trabajo d campo sñals d uso tdido como las siusoidals, qu o cumpl co la primra codició. Eist ua sguda codició qu stablc la istcia d la trasformada cotiua: Codició. Si t β t siπft α, dod f y α so costats arbitrarias, si β t < β t, y si t > λ >, la fució t t s absolutamt itgrabl d acurdo co la cuació 6-8. Etocs su trasformada d Fourir ist y satisfac la trasformada ivrsa d la cuació 6-4. Rspcto a sta codició s rcomida al lctor cosidrar las codicios d itgrabilidad d la fució t si at at. U tso tratamito d st tma s cutra Fast Fourir rasform ad its Applicatios, E. Ora Brigam] capítulo y. Sñals y Sistmas MEADE, M.L. y DILLÓ, C.R] capítulo Propidads E sta scció s ucia las propidads d la trasformada d Fourir, útils para su ficit majo y tdimito. Las dmostracios so simpls, pro s omit sta prstació por star fura dl foqu dl trabajo. S pud dducir ormalmt d las cuacios 6-3 y 6-4, o bi, s cutra la mayoría d ttos ddicados al

6 procsamito digital d sñals Fast Fourir rasform ad its Applicatios, E. Ora Brigam, Capítulo 3] LIEALIDAD Si t y yt ti rspctivamt trasformadas d Fourir f y Yf, tocs las suma d tyt ti trasformada d Fourir fyf. t y t f Y f 6-9 Esta propidad prmit stablcr la aplicabilidad d la trasformada d Fourir al aálisis d sistmas lials SIMERÍA Sido t y Hf u par trasformado d Fourir, tocs H t f ESCALAMIEO E IEMPO Y FRECUECIA Sido t y Hf u par trasformado d Fourir, y cosidrado como ua costat ral mayor qu cro, s ti t f H 6- dfiiédos l scalamito fucios impulso como δ at δ t 6- a E l caso dl scalamito frcucia s ti

7 t H f 6-3 s db rcordar qu l scalamito fucios impulso s dfi δ af δ f 6-4 a CORRIMIEO E IEMPO Y FRECUECIA t jπft t H f 6-5 y para l corrimito frcucia s ti j πft t H f f FUCIOES PARES E IMPARES Ua fució t qu satisfac la igualdad t -t, s domia fució par, y su trasformada d Fourir s ral y tambié s par v. t R f tcos ft π dt 6-7 D otra part, ua fució ot qu satisfac la igualdad - o-t ot, s domia fució impar, y su trasformada d Fourir s imagiaria y tambié s impar odd. o t ii o f j o t si ft π dt 6-8

8 DESCOMPOSICIÓ DE FORMAS DE ODA Ua fució t pud simpr sr dscompusta ua suma d ua fució par y otra impar t t t t t t t t t o 6-9 d las cuacios 6-7 y 6-8d Fourir d t s H f R f ji f H f H f 6-3 o dod HfRf y HofjIf. La dscomposició pud aumtar la vlocidad d cálculo d la FF FUCIOES DE IEMPO COMPLEJO Ua fució complja t s pud prsar como la suma d dos fucios t t j t r i 6-3 dod rt s la part ral y it s la part imagiaria. La trasformada d Fourir s, d acurdo co la cuació 6-3 H f R f t j t ] r i r tcosπft i t siπft ] dt j r t siπft i t cosπft ] ji f jπft dt dt 6-3

9 D sta forma R f tcos ft t siπft ]dt r π 6-33 i ji f j t si ft tcosπft ]dt r π 6-34 i La formula d ivrsió, basada la cuació 6-4, para l caso d fucios compljas, produc r i t R f cos ft I f siπft ]df π 6-35 t R f cos ft I f siπft ]df π 6-36 Para fializar sta scció, s ac u listado d las caractrísticas d los pars trasformados d Fourir d fucios d timpo compljo Domiio dl impo t Ral Imagiario Ral par. Imagiario impar Ral impar, imagiario par Ral y par Ral impar Imagiario y par Imagiario impar Compljo y par Compljo impar Domiio d la Frcucia Hf Part ral par part imagiaria impar Part ral impar part imagiaria par Ral Imagiario Ral y par Imagiario impar Imagiario y par Ral impar Compljo y par Compljo impar

10 6..3. RASFORMADA DISCREA DE FOURIER DF Eist aplicacios qu rquir dl cálculo d la trasformada d Fourir y cuta para llo co procsadors digitals d propósito gral o d procsamito d sñal. E vista d su caráctr discrto s csario psar u procdimito qu sa apropiado para l cálculo artificial. Hacido ua sri d cosidracios fudamtadas la rasformada cotiua d Fourir y sus propidads, s llga a u algoritmo cojuto d opracios qu s dsarrolla u procsador al qu s domia DF tambié s llga a la FF qu prmit stablcr ua vrsió discrta d la trasformada cotiua. S pud tr ua aproimació a st problma partido d la dfiició d ua trasformada discrta d logitud fiita, drivado lugo las propidads irts a sta dfiició. Est foqu, s si mbargo d caráctr tórico o muy crcao a la pricia d laboratorio y llva a coclusios qu o s rlacioa d forma vidt co la coocida trasformada d Fourir d timpo cotiuo y por lo tato o s adcuado para ua comparació o asimilació atural. Por tal motivo, s scog ua dducció d la DF qu part d la trasformada d timpo cotiuo y sus propidads, iiciado co u dsarrollo ituitivo d dico algoritmo y acido lugo u platamito formal mdiat cuacios Estudio Gráfico E sta scció s sigu l squma platado por E. Ora Brigam Fast Fourir rasform ad its Applicatios, E. Ora Brigam]. S part d ua fució ty su trasformada d Fourir Hf, timpo y frcucia cotiuos.

11 Figura 6-. S busca llgar a u squma adcuado para l cálculo o aproimació d la trasformada d Fourir mdiat u computador digital. El par trasformado rsultat d dico procso s domia trasformada d Fourir discrta DF y s busca qu sa ua bua aproimació d la trasformada d Fourir cotiua. E primr lugar s db acr u mustro timpo. Para llo s multiplica t por la fució d mustro co priodo, qu pud vrs co su rspctivo spctro Figura 6- La fució mustrada ˆ t y su spctro s v la siguit figura. Obsérvs qu la aparició d solapamito o fcto aliasig rsultat dl mustro d la sñal l timpo para l caso d u spctro d bada ilimitada, s dcir, H f para algú f > f c, dod fc s l compot d más alta frcucia d la trasformada d Fourir d la fució cotiua t. Dico fcto s pud dismiuir mustrado t a ua tasa mayor, o otras palabras, utilizado u priodo d mustro mor.

12 Figura 6-3 Dado qu ˆ t ti ifiitas mustras, l par trasformado d la figura atrior o rsulta covit para l cálculo mdiat computador. Por tal razó s ac u trucamito d ˆ t d tal forma qu sólo u dtrmiado úmro d mustras sa cosidrado. La fució rctagular co su spctro s v la siguit figura Figura 6-4 El producto d la scucia ifiita d fucios impulso qu rprsta la fució iicial t y la fució d trucamito s v a cotiuació, juto co su rspctivo spctro:

13 Figura 6-5 uvamt s ti ua modificació dl spctro origial Hf, sta vz rsultado d la covolució frcucia d la trasformada co aliasig Figura 6-3 co la trasformada d Fourir d la fució d trucamito. Si s busca miimizar st fcto, s db tr ua trasformada frcucia d la fució rctagular lo más parcida posibl a la fució impulso, s dcir, s db sacar o aumtar la duració d la vtaa. Por lo tato s covit scogr la mayor logitud posibl, para ua dtrmiada aplicació, d la fució d trucamito. El par trasformado qu s mustra la Figura 6-5 o s adcuado au para l cálculo u procsador digital, por cuato la trasformada frcucia s ua fució cotiua. Para l cálculo artificial sólo s posibl tr mustras discrtas d la fució frcucia, por lo qu s ac csario multiplicar la trasformada frcucia por ua fució d mustro frcucia, qu s mustra juto co su trasformada l timpo la Figura 6-6. E st caso s scog u priodo d mustro d.sido la duració d la fució d trucamito Vr Figura 6-4. Figura 6-6

14 Lugo dl mustro frcucia s llga a u par trasformado adcuado para l cálculo mdiat procsador Figura 6-7, l qu l domiio dl timpo y d la frcucia stá rprstados por valors discrtos. Obsérvs qu al mustrar l timpo s produjo ua fució priódica frcucia y aora al mustrar frcucia s obti ua fució priódica l timpo. Figura 6-7 S dstaca qu sta ultima trasformació la sñal l timpo tstá aproimada por valors al igual qu la trasformada la frcucia Hf. S llga a la coclusió d qu la DF s rquir modificar las fucios origials timpo y frcucia d tal forma qu s vulva fucios priódicas. mustras d timpo y valors d frcucia rprsta u priodo d las formas d oda domiio d timpo y frcucia, rspctivamt. Las mustras d timpo stá rlacioadas co las mustras d frcucia mdiat la trasformada cotiua d Fourir, lugo s a drivado d sta última ua rlació discrta Estudio órico E sta scció s rptirá l procdimito dl studio gráfico obsrvado tambié las rlacios matmáticas corrspodits a cada modificació. S busca llgar a la prsió para la trasformada discrta d Fourir DF. S cosidra ua fució dl timpo ty su trasformada d Fourir Hf, timpo y frcucia cotiuos.

15 Figura 6-8 Para obtr ua vrsió discrta dl par trasformado s csario mustrar primr térmio a t lo qu s cosigu multiplicádol por la fució d mustro l domiio dl timpo co priodo,, qu s mustra la Figura 6-9, qu pud vrs co su rspctiva trasformada: t t t t δ t δ t 6-37 Figura 6-9 El rsultado d t t y su trasformada s v la siguit figura. S obsrva uvmt la aparició d aliasig dpdit d la slcció d.

16 Figura 6- A cotiuació s raliza l trucamito d t t co la fució rctagular dfiida por, t, < t < caso cotrario 6-38 dod s la duració d la fució d trucamito, qu s v co su spctro la siguit figura Figura 6- S cosidra pulsos quidistats dtro dl itrvalo d trucamito, s dcir,. El procso d trucamito produc t t t t δ t t δ t 6-39

17 La sñal dl timpo t mustrada y trucada, juto co su rspctivo spctro s mustra la Figura 6-: Figura 6- Para trmiar l procso, s fctúa l mustro frcucia d la trasformada d Fourir d la cuació 6-39, co ua fució co itrvalo frcucia d mustro. E la Figura 6-3 s ti l producto d stas fucios l domiio d la frcucia, l cual s maifista l domiio dl timpo como la covolució d sus trasformadas, la fució t mustrada y trucada y la fució d timpo qu s dfi t r t t r δ 6-4 Figura 6-3 La rlació qu dfi la covolució s

18 ] r t t t r t t t t t δ δ δ δ δ 6-4 La cuació 6-4 s priódica co priodo y s pud rscribir r r t t ~ δ 6-4 qu l autor mcioado dscrib como ~ t, rfiriédos a ua aproimació d t. sido, ~ f f f H o δ α 6-43 dod,...,, co ~ ± ± dt t t j π α 6-44 Rmplazado co l valor d ~ t s ti t j r dt r t π δ α 6-45 dado qu la itgració s ac sobr u priodo, s ti

19 j t j t j dt t dt r t π π π δ δ α 6-46 Ya qu, la rlació atrior s pud scribir j π α 6-47 para llgar a la trasformada d Fourir d ~ t j H ~ π 6-48 al como s v la Figura g H ~ s priódica, co priodo. Para vr st co s ac la variabl w. S ti tocs ~ w j w H π 6-49 Aora sa w w H w H w j j w j j w j w j ~ ~ π π π π π π 6-5

20 jπ dado qu para tro. La importacia d sta rlació radica qu ist sólo valors distitos para los qu la trasformada d Fourir 6-48 s pud sr valuada. La cuació 6-48 s pud prsar como ~ dod H H ~ jπ 6-5 idica qu la trasformada discrta s ua aproimació a la trasformada d Fourir cotiua. Esta rlació s ormalmt scrita d la forma F f jπ, para 6-5 llgado así a la prsió quivalt l domiio discrto d timpo y frcucia. S ti st puto alguas obsrvacios importats: La trasformada discrta d Fourir, DF, pud tdrs como u caso particular d la más gral trasformada cotiua d Fourir. Si s asum qu mustras d la fució l timpo costituy u priodo d ua forma d oda priódica, su trasformada d Fourir stá dada por mustras, tal y como lo prsa la cuació rasformada Discrta Ivrsa d Fourir La trasformada discrta ivrsa d Fourir sta dada por la prsió f,,,...- jπ F, para,,, qu s pruba simplmt sustituydo la cuació 6-53 la 6-5. F F w w F F w w jπ w jπ w jπ jπ 6-54

21 Para llgar a st rsultado s db tr cuta las codicios d ortogoalidad: jπw jπ, w, caso cotrario 6-55 E l caso d la fórmula d ivrsió discrta tambié s ti priodicidad d mustras, qu rsulta d la aturalza priódica d jπ. Por tato, g stá dfiida para todos los tros,±,±,... y rstrigida por la idtidad g g w ], para r, ±, ±, S cocluy qu l par trasformado discrto d Fourir stá dado por f jπ F F f jπ 6-57 Dbido a los procsos csarios para llgar a la cuació 6-57 s ti qu tato la fució timpo como frcucia so priódicas g g w ], para w, ±, ±, w G G, para r, ±, ±, Propidads d la DF S ac u platamito d las propidads d la DF, como ua tsió d las propidads d la trasformada d Fourir. La dmostració s omit y s dja como iiciativa dl itrsado profudizar l tma. S rcomida st caso partir d la cuació 6-57 Estas propidads rsulta fudamtals la dfiició d la trasformada rápida d Fourir FF LIEALIDAD Si y y ti rspctivamt trasformada discrta d Fourir, tocs y Y SIMERÍA Si g y G so u par trasformado discrto d Fourir, tocs

22 g G CORRIMIEO E EL IEMPO Si sufr u corrimito i, tocs i j H i π CORRIMIEO E FRECUECIA Si H s somt a u corrimito i, su trasformada ivrsa s multiplicada por jπ i. i H i j π FUCIOES PARES E IMPARES Ua fució qu satisfac la igualdad -, s domia fució par, y su trasformada discrta d Fourir s ral y tambié s par cos R π 6-64 D otra part, ua fució ot qu satisfac la igualdad -o- o, s domia fució impar, y su trasformada discrta d Fourir s imagiaria y tambié s impar s o o o j ji π DESCOMPOSICIÓ DE FORMAS DE ODA Ua fució arbitraria pud simpr sr dscompusta ua suma d ua fució par y ua impar o 6-66

23 EOREMA DE COVOLUCIÓ E EL IEMPO La covolució discrta s dfi por la sumatoria i dod, y y so fucios priódicas co priodo. y i i 6-67 S ti qu i i i H 6-68 stablcido qu la covolució d dos fucios mustradas y priódicas co priodo l timpo s quivalt al producto d las trasformadas discrtas d Fourir d las dos fucios EOREMA DE COVOLUCIÓ E LA FRECUECIA S ti la covolució frcucia i Y 6-69 i H i El par trasformado corrspodit st caso s i H i 6-7 i EOREMA DE CORRELACIÓ La corrlació discrta s dfi z i i 6-7 i dod, y z so fucios priódicas co priodo. L torma d covolució discrta stá dfiido por l par trasformado

24 i i i * H DESARROLLO DEL ALGORIMO FF ormalmt los algoritmos d trasformadas rápidas d Fourir s itroduc como u procso ficit d cálculo l qu la suma d la DF s dscompo dos sumas, cada ua co la mitad dl úmro total d mustras. E st puto s plata l procso d Dcimació l impo, cosistt prsar la suma d DF como dos sumas sparadas las qu rspctivamt s procsa las mustras pars y las impars. dod 6-73 y s llga por lo tato a la suma d dos DFs d logitud La atrior dscomposició s la bas d los algoritmos d FF. A simpl vista o s prcib su potcial para simplificar l cálculo d la FF, y sta s la razó para platar a cotiuació u dsarrollo tórico más ituitivo qu prmita llgar a ua dfiició d la FF. El puto d partida s la cuació 6-5 d la DF jπ, para,,, El úmro d mustras qu s va a procsar s icorpora ua uva variabl j π 6-77 d tal surt qu quda prsada como: 6-78

25 Si s scog como caso particular 4, la cuació 6-78 s pud scribir: qu ti la forma matricial quivalt: y forma compacta: DESARROLLO PRELIMIAR Rcordado la aturalza priódica d, s vidt qu mod, por lo qu la cuació 6-77 s pud scribir: Basados la toría dl algoritmo d FF, plicada más tard, s factoriza la matriz cuadrada. El cambio las filas d la matriz s part dl procso qu s sta dscribido

26 S rcomida vrificar l producto d stas dos matrics cuadradas rspcto a 6-8, tido cuta admás l itrcambio d los rglos y tato l producto como la matríz. Al vctor co los ídics dsordados s l llamará Calculado parcialmt l producto d las matrics d la drca d 6-83, y guardado l rsultado l vctor itrmdio s ti: D las propidads d la pocial complja s pud gralizar, para mustras, qu: r r r r, para, para r r 6-86 Para 4 s ti m particular qu -, lugo l dsarrollo dl producto matricial d 6-85 quda: Para calcular o s db acr ua multiplicació complja y ua suma complja. Sólo ac falta ua suma para allar y 3 dado qu l producto qu aparc sus rspctivas cuacios fu calculado rspctivamt l dsarrollo d y.

27 Cotiuado co l cálculo d la cuació 6-83 y usado otro vctor itrmdio,, s ti: Los lmtos d so: La rducció l úmro d opracios s maifista uvamt. Para calcular y s csita ralizar ua suma complja y ua multiplicació complja. y 3 sólo rquir d ua suma complja. La importacia d las FF radica la dramática rducció qu itroduc cuato a úmro d productos y sumas carga computacioal csarios para calcular la trasformada discrta. Si bi l cálculo d mdiat la cuació 6-78 rquir 6 multiplicacios compljas y *- sumas compljas, l cálculo d, mdiat l procdimito dscrito la cuació 6-83 sólo ig cuatro multiplicacios compljas y oco sumas compljas. Etdido st rsultado a situacios dod χ s ti qu l úmro d multiplicacios rqurido co FF s d apas χ, mitras l d sumas s d χ, dbiédos sta ficicia a la factorizació itroducida ituitivamt 6-83, ya qu los cros istts rduc l úmro d productos y sumas csarias. ido cuta qu la mayor carga computacioal s la qu s ddica a las multiplicacios, s vidt la vtaja qu s ti co l mplo dl algoritmo FF. Fialmt s aclara l co dl cambio d filas itroducido por la factorizació las matrics d 6-83, cuyo rsultado s y o como s spraría. Est problma s

28 solucioa simplmt itrcambiado los argumtos d los lmtos, mdiat u scillo procdimito coocido como uscramblig., qu s db covrtir 3 a Dico procdimito visualiza mjor scribido los argumtos forma biaria:, qu s db covrtir a 6-9 d tal forma qu s ac u procso d ivrsió d los bits dl argumto d para llgar a. Esto s logra muy fácilmt mdiat u procsador digital d sñals. Para χ l algoritmo FF covirt o factoriza la matriz DF d χ matrics d, cada ua d las cuals rduc l úmro d opracios csarias. Est procso s muy complicado para caso los qu >4. Si mbargo, s pud utilizar l foqu ituitivo d sta scció para dsarrollar l algoritmo FF para tals casos REPRESEACIÓ GRÁFICA El procso d la scció atrior s pud rprstar mdiat u diagrama d flujo, similar al mostrado la siguit figura, qu ofrc ua dscripció más ilustrativa dl procso d la FF. Las columas d putos rprsta cada uo d los vctors d datos, sido d izquirda a drca, y, para l caso spcífico d 4. Es csario calcular χ arrglos para procsar χ datos, corrspodits a matrics factorizadas. El vctor rprsta los datos d trada, dod l argumto corrspodit a cada lmto rprsta l ord qu tra al DSP, lugo dl procso d covrsió

29 aalógico-digital. Los χ arrglos siguits, forma ya part d las tapas d cálculo d la FF ; a la izquirda d cada uo d los odos prsts u vctor dtrmiado, s ti dos lías d trada, qu rprsta las rutas d trasmisió dsd odos prtcits al arrglo atrior. Las rutas d trasmisió s carga d llvar l valor dl odo d orig multiplicado por u factor p rprstado por l color d la flca, dod p ti l valor corrspodit al código d colors para rsistors. Los valors así multiplicados qu tra u odo so sumados para dtrmiar la salida dl mismo ODOS DUALES SIMPLIFICACIOES DERIVADAS DE LOS ODOS Hasta l momto s a prcibido la rducció dl úmro d opracios dbida a la factorizació d las matrics. Si mbargo, para tdr más a fodo st procso ac falta studiar dtall los odos d cada arrglo itrmdio, atdido particularmt al argumto d cada odo y l arrglo al qu st prtc. Figura 6-4

30 Figura 6-5

31 Obsrvado cualquira d los arrglos rprstados las figuras atriors, s ti qu simpr ist dos odos qu compart las tradas dl arrglo atrior. Por jmplo y 9 so ambos fucios d y 9 y stos últimos sólo participa l cálculo d y 9. Los odos qu tga éstas caractrísticas s llama odos duals. Adicioalmt, al cosidrar u par odos duals prtcits al arrglo l-simo, su sparació s d l uidads, dod l corrspod justamt al ord o ídic dl arrglo l qu s cutra. S ota qu la distacia tr odos duals s fució tambié dl úmro d mustras qu s va a procsar. Estas propidads pud sr fácilmt dmostradas, jrcicio qu s rcomida al lctor. ido cuta la cuació 6-86y la distacia istt tr llos, los valors corrspodits a u par d odos duals, so: l l l l l p p l l l l 6-9 d dod s cocluy qu l cálculo dl lmto -ésimo, implica l cálculo dl lmto l -ésimo. Por tal razó, al ralizar la scucia d cálculo dl l-simo arrglo, sólo s db calcular los primros l odos, saltars los siguits l odos, calcular los próimos l y así sucsivamt. El procso s dti al llgar a u ídic suprior a -. La siguit imag dscrib st co, y lla las marcas idica los odos qu o rquir sr calculados, d acurdo co la atrior coclusió.

32 Figura 6-6

33 El cálculo d u par d odos duals s idpdit d otros odos, lo qu rsulta muy útil para implmtar l algoritmo u procsador digital, por cuato s posibl almacar ua dircció d mmoria, l valor corrspodit al lmto calculado para l arrglo siguit. Por jmplo, al calcular y 9 como fucios d y 9, s posibl almacar l spacio d mmoria ocupado por y y almacar 9 l d 9, sido csario úicamt l spacio d mmoria corrspodit al arrglo d datos d trada DEERMIACIÓ DE P. Como s pud obsrvar l diagrama d flujo qu dscrib la FF, cada odo ti dos tradas, ua d las cuals vi dirctamt d u odo d u arrglo atrior y otra s cutra multiplicada por u factor p. E dico factor, l úico lmto qu aú o s dfi, s l pot p y por llo s stablc u procdimito para cosguirlo. Al tr u úmro d mustras χ, l algoritmo para calcular p implica la maipulació d los bits qu dtrmia l valor dl ídic corrspodit a u lmto o mustra particular. El algoritmo cosist : Escribir l argumto o ídic forma biaria co χ bits. Escalizar o dsplazar st úmro χ-l posicios a la drca llado las posicios libradas a la izquirda co cros, dod l spcifica l arrglo a qu prtc l odo qu s studia. Ivrtir l ord d los bits rsultats dl paso atrior, llgado al valor d p rqurido. Como jmplo s raliza l cálculo d p para 35 para l caso 6 4. D stos datos s ti qu χ4, 5 y l3. E primr lugar s scrib forma biaria:. Aora s ac u scalamito d χ-l 4-3 bits a la drca y s rlla l spacio librado co u cro:. Fialmt s ac la ivrsió d los bits d : p, corrspodit

34 a u valor p4. S cocluy qu l factor p a la trada d 35 ti u pot p4, llgado a REORGAIZACIÓ USCRAMBLIG DE LA FF. Mdiat l procso dsarrollado asta l momto s llga a y o a, qu s l vctor qu coti la FF l ord apropiado. Para rorgaizar s raliza u procso aálogo al d la cuació 6-95 l qu s itrcambia la posició d dos lmtos d acurdo co u procso d bit rvrsig. S scrib l úmro forma biaria co χ bits y lugo s ivirt o s rota, obtido i. Est valor corrspod al lugar i d i dod db colocars l lmto d qu s sta procsado. Para vitar qu st itrcambio s ralic más d ua vz, llvado a rsultados rróos, s vrifica i<: si s cumpl sta codició s raliza l itrcambio; si o, sto sigifica qu los lmtos ivolucrados a sido itrcambiado ua opració atrior y o ac falta oprarlos otra vz FORMULACIÓ EÓRICA DEL ALGORIMO DE COOLEY- UCKEY uvamt s ti como puto d partida la cuació qu dfi la DF, cuació 6-78, para,,, A cotiuació, s ac ua rprstació d los valors y forma biaria, d tal forma qu quda rspctivamt prsados como: 6-94 dod,, y so variabls biarias qu pud tomar l valor d ó. Así, la cuació 6-93 s rscrib:

35 ,, 6-95 E gral ac falta χ sumatorias, ua para cada compot biaria dl argumto d, cuado s procsa χ mustras. El fudamto dl algoritmo d FF radica la simplificació qu s pud acr l cálculo d los pots d. Utilizado las propidads d los pots, dod ab a b, s pud tdr l rsultado d la cuació 6-95: 4 ] 6-96 El valor tr llavs s vulv igual a uo. E gral *costat, dada la dfiició d y las propidads d la pocial complja. La cuació 6-95 s pud scribir d la forma:,, 6-97 Para cotrar la rlació d st platamito co l qu s izo la scció 6.., s dsarrolla la sumatoria tr parétsis usado tambié st caso l vctor itrmdio, para almacar l rsultado:,, 6-98 Dado valors a las variabls, s ti:,,,,,,,,,,,, 6-99 qu pud scribirs como:

36 ,,,,,,,, 6- qu s igual a la cuació COSIDERACIOES PRÁCICAS PARA EL PROCESAMIEO DE LA FF CÁLCULO DE DOS SECUECIAS El procsamito mdiat FF d scucias d datos timpo ral s ua opració muy frcut aplicacios d igiría. o obstat l caráctr ral d los datos d trada l sistma, l caráctr compljo d los twiddl factors tra cosigo la csidad d implmtar algoritmos qu ralic u cálculo compljo. Esto pud parcr pricipio ua dsvtaja, pro s justamt sta caractrística la qu prmit aprovcar l mismo algoritmo para procsar dos scucias simultáamt o acr más ficit l cálculo d la DF d ua sola d llas. El fudamto matmático s l siguit: ] ] j ], para 6- d dod s posibl obtr la FF d cada ua d las scucias y : * ] ] ]], para * ] ] ]], j para Las atriors cuacios mustra qu s posibl, mdiat u simpl cálculo cotrar cualquira d las FF s d las fucios qu s icluyro la scucia complja ]. Ua dscripció d las matmáticas csarias sta implmtació s cutra CHURCHILL Variabl Complja, part d la multiplicació]. Dado qu l procsador

37 utilizado l prst trabajo d grado o ti soport para procsamito d datos compljos, s csario implmtar las opracios csarias aritmética ral. Las siguits cuacios mustra cómo s pud obtr las parts qu compo cada ua d las mustras a partir d ua sola scucia complja, d trasformada discrta d Fourir. r ] r ] r ]], para i ] i ] i ]], para r ] i ] i ]], para i ] r ] r ]], para El úmro d opracios csarias s pud rducir vista d la simtría cuato a compljos cojugados y tambié d la priodicidad qu caractriza stas scucias 6]. Dfiido -, s stablc l siguit cojuto d cuacios domiado cuacios por parts, las qu las trasformadas d cada scucia s rscrib d la siguit forma. r] r] i] 6-8 r] i] i] 6-9

38 ] ] ] i r r 6- ] ] ] i i r 6- ]] ] ] ]] ] ] i i i r r r 6- ]] ] ] ]] ] ] r r i i i r 6-3 ] ] ] ] i i r r 6-4 ] ] ] ] i i r r 6-5 Para l procsamito d las trasformadas ivrsas discrtas d Fourir, s part d las siguits prsios: para ], ] ] i r r 6-6

39 i ] i ] r ], para 6-7 Ua vz qu s cuta co u cojuto d cuacios qu dismiuy l úmro d cuacios y simplifica los cálculos dl algoritmo DF s procd a dfiir los pasos para ralizar la trasformada CÁLCULO DE UA SECUECIA DE LOGIUD S supo qu s] s ua scucia d valors rals d putos. S ac tocs u arrglo d datos qu prmita acr l cálculo d la DF d sta scucia, utilizado u algoritmo para procsar sólo mustras. El primr paso cosist dividir los putos d la scucia d logitud d tal forma qu s form dos scucias qu cumpla co lo siguit: ] s* ] ] s* ], co y s dfi ] como ua scucia complja d putos. ] ] j ], co PRÁCICA #7 RASFORMADA RÁPIDA DE FOURIER OBJEIVOS Gaar familiaridad co la implmtació d algoritmos FF. Rlacioar l cotto tórico co la implmtació dl algoritmo. Cosidrar difrts formas d implmtar difrts algoritmos d FF.

40 Gaar familiaridad co la lctura d código assmblr. Idtificar difrts rutias dtro dl código. r critrios para acr modificacios apropiadas. Ralizar procsamito digital, timpo o-ral, d u procsador d propósito gral. Mdiat l mplo d MALAB adquirir cocptos fudamtals d las trasformadas discrtas d Fourir y sus difrts posibilidads IMPLEMEACIÓ E MALAB Rutias d Aálisis Espctral MALAB. Dsd l prompt d MALAB, cotrar l dirctorio corrspodit y corrr: tutfouri.m. Sguir las istruccios implmtar los comados sugridos IMPLEMEACIÓ E EL DSK FF d 8 Putos Sguir l dsarrollo dl código fft8.asm y sus aos, dispoibls l arcivo fft8. la documtació dl código s da pautas d su fucioamito. Establcr ua rlació tr l código allí dscrito y l procso matmático d la Dscripció órica FF d 5 Putos Sguir los pasos d la scció atrior, pro co los arcivos fft56.asm y fft56.. Crar ua tabla cuyos valors sa sólo uos y cros, d tal forma qu s puda implmtar u filtro digital, mdiat multiplicació l domiio d la frcucia. Al vctor qu almaca st producto aplicarl uvamt l algoritmo para obtr ua scucia d salida l domiio dl timpo. Aplicar los procdimitos d citació y mdició d la rspusta mdiat l uso d la stació d timpo ral.

41 AREA Implmtació d FF s Procsadors d Propósito Gral 7]. Buscar rutias d programació d FF lguaj d alto ivl s rcomida C. Adaptar los algoritmos a las csidads d u problma spcífico. Grar jcutabls qu prmita la implmtació d difrts rutias rlacioadas co FF particular y DSP gral REFERECIAS ] BRIGHAM, Ora E.. fast Fourir trasform ad its applicatios. Eglwood Cliffs, w Jrsy : Prtic Hall, 988. ] MAYEDA, ataru. Digital sigal procssig. Eglwood Cliffs, w Jrsy : PR Prtic Hall, ] HSU, Hwi P.. Aalisis d Fourir. ilmigto, Dlawar : Addiso-sly Ibroamricaa, ] COOLEY, Jams., How t FF Gaid Accptac, IEEE Sigal Procssig Magazi, IEEE Ic., Jauary 99 5] CHURCHILL, Rul V. y BRO, Jams. Variabl complja y aplicacios. 5 d. Madrid : McGraw-Hill, 99. 6] MAUSIAK, Robrt. Implmtig Fast Fourir rasform Algoritms of Ral- Valud Squcs wit t MS3 DSP Family Applicatio Rport : SPRA9. E MS3 DSP Dsigr s otboo. as Istrumts, 997 7] EMBREE, Paul. C algoritms for ral-tim DSP. Eglwood Cliffs, w Jrsy : Prtic Hall, 995.

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