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1 17 POR TODOS LADOS Llena los espacios de color amarillo, con los números del 1 al 9, sin repetir ninguno, de tal manera que: la suma por cada lado del triángulo sea Sugerencia para resolverlo: En la columna azul están todas las combinaciones posibles de dígitos distintos (entre 1 y 9), cuya suma es 17. En la columna rosa se resaltan 3 combinaciones posibles que pueden acomodarse en el triángulo, empezando con la del primer renglón. En la columna verde se resaltan 3 combinaciones posibles que pueden acomodarse en el triángulo, empezando con la del segundo renglón. En las siguientes columnas se resalta que cuando mucho hay dos combinaciones posibles. Es decir, que no hay mas soluciones.

2 UNA SUMA ESPECIAL Llena los siguientes cuadros con los números del 1 al 9, sin repetir ninguno, de tal manera que: el tercer renglón sea la suma de los otros dos. + Representemos por a, b, c, d, e, f, g, h, i los distintos dígitos del 1 al 9, aunque no necesariamente en ese orden. En esta suma tenemos cuatro casos posibles: (1) c + f = i, b + e = h, a + d = f (2) c + e = i, b + e = 10 + h, (a + 1) + d = g (3) c + f = 10 + i, (b+1) + e = h, a + d = h (4) c + f = 10 + i, (b+1) + e = 10 + h, (a+1) + d = g Además sabemos que: (5) a + b + c + d + e + f + g + h + i = 45 Llamando: x = a + b + c, y = d + e + f, z = g + h + i Podemos escribir (5) como: (6) x + y = 45 - z

3 Los casos (1) y (4) se descartan, puesto que: Sumando en (1), tendríamos: (A + B + C) + (D + E + F) = (F + H + I), es decir: x + y = z, pero aplicando (6) quedaría: z = 45 - z (IMPOSIBLE) De manera similar podemos deducir de (4) y (6), que 2z = 27, lo cual significaría que z es fraccionario (IMPOSIBLE) Los casos (2) y (3) si son posibles, puesto que: Sumando en (2) y sustituyendo los valores de x, y, z, tendríamos: x + y + 1 = z + 10 Sustituyendo (6), nos queda: z =18 (POSIBLE) De manera similar podemos deducir de (3) y (6), que z = 18(POSIBLE) De aquí tenemos la conclusión de que: Las soluciones son todas aquellas, en donde los dígitos de la suma, suman 18.

4 UN OCTAGONO MAGICO Llena los círculos con los números de la siguiente lista: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sin repetir ninguno, de tal manera que: las sumas: vertical, horizontal y diagonal, sean iguales a 15 Da un clic en el botón Sugerencias para ver algunas sugerencias para resolverlo. Encontrarás como primera indicación Regresa Puntos y así podrás aplicar la Sugerencia 1 o la Sugerencia 2(que incluye a la Sugerencia 1). Planteamiento Algebraico: Representemos por w el valor en la casilla del centro y, por a, b,c, d, e, f, g, h los valores en el resto de las casillas, como lo indica la figura. (Estos corresponden a los números de la lista, aunque no necesariamente en ese orden)

5 En esta figura, similar a la del problema, tenemos lo siguiente: (1) a + b = 15 - w (2) c + d = 15 - w (3) e + f = 15 - w (4) g + h = 15 - w Es decir: a + b = c + d = e + f = g + h Entonces una solución la componen cuatro parejas de números distintos, tomados de la lista, cuya suma sea la misma. El restante número será igual a w, e irá al centro. Construyendo una tabla de sumas, por ejemplo, se pueden calcular las parejas: Por tanto el centro es 5. (1, 9), (2, 8), (3, 7) y (4, 6) Se puede demostrar que salvo rotaciones, esta es la única solución.

6 EL CUADRO MAGICO Llena los cuadros faltantes con los números de la siguiente serie: 1.2, 1.5, 1.8, 2.1, 2.4 y 2.7 sin repetir ninguno, de tal manera que: la suma en cualquier renglón, columna y diagonal, sea igual a Representemos por a, c, e, f, g, h los valores en las casillas faltantes. (Estos corresponden a los números 1.2, 1.5, 1.8, 2.1, 2.4 y 2.7, aunque no necesariamente en ese orden) En esta figura, similar a la del problema, tenemos lo siguiente: (1) a + c = 4.2 (2) a + e = 3.9 (3) a + g = 3.6 Restando (2) de (1) y (3) de (2) obtenemos: (4) c - e = 0.3 (5) e - g = 0.3 Es decir: g < e < c y son consecutivos en la lista de números. Podemos mostrar que los únicos valores son: pués como están en una diagonal deben sumar 4.5. Teniendo estos valores, los demás resultan fácilmente. g = 1.2, e = 1.5 y c = 1.8

7 UNA RESTA ESPECIAL Llena los siguientes cuadros con los números del 1 al 9, sin repetir ninguno, de tal manera que: el tercer renglón sea la resta de los otros dos Representemos por a, b, c, d, e, f, g, h, i los distintos dígitos del 1 al 9, aunque no necesariamente en ese orden. Decir que el primer renglón, menos el segundo sea igual al tercero, es equivalente a decir que: La suma del tercer renglón mas el segundo sea igual al primero. Entonces para resolver este problema te recomendamos ver las sugerencias dadas en el problema: Una Suma Especial De esas sugerencias podemos concluir que: Las soluciones son todas aquellas, en donde los dígitos del minuendo suman 18.

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