UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL PARANÁ

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1 UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL PARANA ANÁLISIS MATEMATICO I ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA TRABAJO PRACTICO INTEGRADOR Nº1 PARTE C UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL PARANÁ CURSO DE PROMOCIÓN ELECTROMECÁNICA CIVIL ELECTRÓNICA CÁTEDRAS: ANÁLISIS MATEMÁTICO I ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA TRABAJOS PRÁCTICOS DE INTEGRACIÓN 2010 INSTRUCCIONES DE PRESENTACIÓN 1- El trabajo práctico debe ser presentado en papel obra alisado con formato A4 de norma IRAM. Los márgenes deben ser: 2- Las hojas no estarán numeradas en forma correlativa. 3- Las hojas serán escritas a máquina o computadora en las dos caras. 4- Cada ejercicio se comenzará en una hoja aparte y se numerarán las hojas indicando ejercicio y página: Ejemplo: Ejercicio D -12/pág En cada ejercicio debe constar el enunciado con los datos y luego la resolución a continuación. Ejercicio D Solución:.. 6- Los gráficos deben realizarse en computadora. 7- Cada trabajo debe venir acompañado de un disquete que quedará para la cátedra (con los ejercicios corregidos). 8- Una vez presentado el trabajo, el mismo será evaluado verbalmente y en forma individual en un coloquio, con la presencia de todos los integrantes del grupo. 9- El trabajo práctico será presentado anillado con tapa transparente o en una carpeta con tapa transparente. 10- Los grupos tendrán 2 alumnos como mínimo y 3 alumnos como máximo Las condiciones de aprobación se deben ver en el Manual de Cátedra.

2 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL PARANÁ CÁTEDRAS ANÁLISIS MATEMÁTICO I ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA CURSO DE PROMOCIÓN 2010 TRABAJO PRÁCTICO INTEGRADOR I Profesores: Titular Ing. Celestino Benito Brutti Titular Ing. Felicia Dora Zuriaga J.T.P. Ing. Gabriela Martínez J.T.P. Ing. Maria A. Gemignani Alumnos: Grupo Nº: AÑO 2010

3 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL PARANÁ CÁTEDRAS ANÁLISIS MATEMÁTICO I ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA CURSO DE ELECTROMECANICA 2010 TRABAJO PRÁCTICO INTEGRADOR I Profesores: Titular Ing. Celestino Benito Brutti Titular Ing. Felicia Dora Zuriaga J.T.P. Ing. Maria A. Gemignani J.T.P. Ing. Magalí Soldini Alumnos: Grupo Nº: AÑO 2010

4 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL PARANÁ CÁTEDRAS ANÁLISIS MATEMÁTICO I ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA CURSO DE CIVIL 2010 TRABAJO PRÁCTICO INTEGRADOR I Profesores: Titular Ing. Celestino Benito Brutti Titular Ing. Felicia Dora Zuriaga Prof. Asociado Ing. Felicia Dora Zuriaga Prof. Asociado Ing. María Itatí Gandulfo J.T.P. Ing. Gabriela Martínez J.T.P. Prof. Roxana Ramirez Alumnos: Grupo Nº: AÑO 2010

5 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL PARANÁ CÁTEDRAS ANÁLISIS MATEMÁTICO I ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA CURSO DE ELECTRÓNICA 2010 TRABAJO PRÁCTICO INTEGRADOR I Profesores: Titular Ing. Celestino Benito Brutti Titular Ing. Felicia Dora Zuriaga Prof. Asociado Ing. María Itatí Gandulfo Prof. Asociado Ing. Mercedes Gaitán J.T.P. Ing. Magalí Soldini J.T.P. Ing. Gabriela Martínez J.T.P. Ing. Liliana Gimenez Alumnos: Grupo Nº: AÑO 2010

6 Ejercicio 1 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Facultad Regional Paraná Análisis Matemático I y Algebra y Geometría Analítica Trabajo Práctico Integrador Nº1 Parte C Año 2010 PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ESTUDIOS DE FUNCIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES a. Determinar la ecuación de la parábola cúbica cuya gráfica pasa por los tres puntos y es tangente al eje x en P 1 b. Graficar los puntos y la parábola cúbica. c. Aplicar el teorema de Rolle en el intervalo [x 1 ;x 2 ] y encontrar el valor de x=c que lo verifica. d. Calcular la ecuación de la recta tangente a y = f(x) en el punto P 2 y en el punto C[c;f(c)] e. Graficar conjuntamente la función y las dos rectas tangentes. Ejercicio 2 Dados los cuatro puntos: a. Determinar la ecuación de la parábola cúbica cuya gráfica pasa por los cuatro puntos. b. Determinar los ceros de la función racional entera. c. Graficar la parábola cúbica y los puntos. d. Aplicar el Teorema de Rolle en el intervalo [a;b] tal que f(a) = f(b) = 0 (siendo x=a y x=b los ceros de mayor valor) y determinar el valor de x = c que verifica el teorema. e. Determinar la ecuación de la recta tangente en Q(a; 0) y en Q 2 [c; f(c)] f. Graficar conjuntamente la función y las dos rectas tangentes. Ejercicio 3 Dado la función racional entera y = f 3 (x) a. Calcular los ceros de y = f 3 (x) b. Aplicar el teorema de Rolle y calcular el valor x = c que lo verifica en el intervalo definido por el cero de multiplicidad dos de y = f 3 (x) y el cero de signo contrario más próximo a él. c. Hallar la ecuación de la recta tangente a y = f 3 (x) en P 1 [c, f 3 (c)] d. Hallar la ecuación de la recta tangente a y = f 3 (x) en el cero simple seleccionado en el punto b. e. Graficar conjuntamente y = f 3 (x) y ambas rectas tangentes. Ejercicio 4 Dada la función y = f 4 (x) a. Aplicar el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial en el intervalo [a, b] y determinar el o los valores de x = c que lo verifican. b. Determinar la ecuación de la recta secante a y = f 4 (x) que pasa por los puntos P 1 [a; f 4 (a)] y P 2 [b, f 4 (b)] c. Determinar las ecuaciones de la o las rectas tangentes a y = f 4 (x) y que sean paralelas a la recta secante determinada en b. d. Graficar conjuntamente y = f 4 (x) y las rectas obtenidas en los puntos b y c. Ing. Celestino Benito Brutti Ing. Felicia Dora Zuriaga

7 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Facultad Regional Paraná Análisis Matemático I y Algebra y Geometría Analítica Trabajo Práctico Integrador Nº1 Parte C Año 2010 PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ESTUDIOS DE FUNCIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ejercicio 5 Dada la función y = f 5 (x) a. Graficar la función y =f 5 (x) b. Determinar si es continua en [a;b] y derivable (a;b) c. Si es posible aplicar el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial en el intervalo [a;b] y determinar el o los valores de x = c que lo verifican. d. Determinar la ecuación de la recta secante a y =f 5 (x) que pase por los puntos P 1 [a, f 5 (a)] y P 2 [b, f 5 (b)] e. Determinar la ecuación de la recta tangente a y =f 5 (x) en el punto Q[c, f 5 (c)] f. Graficar conjuntamente y = f 5 (x) y las rectas tangente y secante. Ejercicio 6 Dados los cinco puntos: a. Determinar la ecuación de la función racional entera y = P 4 (x) = a 0 x 4 + a 1 x 3 + a 2 x 2 + a 3 x + a 4 que pasa por los cinco puntos. b. Determinar los ceros de la función racional entera. c. Graficar la función racional entera y los puntos. d. Aplicar el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial (T. de Lagrange) en el intervalo [a;b] tal que a = x 3 y b = x 5 y determinar el valor de x = c que verifica el teorema. e. Determinar la ecuación de la recta tangente a y = P 4 (x) en el punto Q[c; P 4 (c)] f. Determinar la ecuación de la recta secante a y = P 4 (x) que pasa por los puntos P 3 y P 5 g. Graficar conjuntamente y = P 4 (x) y las rectas tangente y secante. Ejercicio 7 a. Dado el polinomio y = f(x) desarrollarlo en polinomio de Taylor en potencias de (x-a) y obtener y = P n (x) b. Graficar en el intervalo [a-2; a+2] el polinomio y = P n (x) e y = f(x) superpuestos en un solo gráfico, con colores distintos. Ejercicio 8 Dada la función y = f(x) a. Determinar la expresión de la derivada enésima. b. Desarrollar y = f(x) en polinomio de Taylor o Mc Laurin en x = a. c. Escribir la expresión del resto R n (x) que corresponde al desarrollo de la función y = f(x) d. Graficar conjuntamente y = f(x) y el polinomio de Taylor o Mc Laurin considerando solo los cuatro primeros términos del mismo. Ing. Celestino Benito Brutti Ing. Felicia Dora Zuriaga

8 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Facultad Regional Paraná Análisis Matemático I y Algebra y Geometría Analítica Trabajo Práctico Integrador Nº1 Parte C Año 2010 PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ESTUDIOS DE FUNCIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ejercicio 9 Realizar el estudio completo de la función. Para realizar el estudio completo se deben realizar los siguientes pasos: a. Intersección con los ejes coordenados. b. Determinar todos los valores de la variable para los cuales la función es discontinua, si hay saltos calcularlos y clasificar las discontinuidades. c. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. d. Determinar los máximos y mínimos relativos. e. Determinar los máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado que contenga como mínimo a los valores de x donde se dan los máximos y mínimos relativos. f. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad. g. Determinar los puntos de inflexión y hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en ellos. h. Determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. i. Realizar la representación gráfica. j. Determinar dominio y rango Ejercicio 10 Dada la función indicada, determinar: a. Intersección con los ejes coordenados. b. Todos los valores de la variable para los cuales la función es discontinua; si hay saltos, calcularlos y clasificar las discontinuidades (si hay un dominio definido en los datos, hacerlo en ese dominio; si no lo hay hacerlo para todo x R). c. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d. Máximos y mínimos relativos. e. Máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado de longitud = 10. Ejemplo: [-5,5] o [0,10]. f. Intervalos de concavidad y convexidad. g. Puntos de inflexión. h. Ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. i. Representación gráfica de la función y las asíntotas (mostrar detalles que puedan interesar para visualizar mejor la gráfica). j. Dominio y rango. Realizar el estudio aplicando software. Ejercicio 11 Problemas de optimización Ejercicio 12 Calcular los siguientes límites aplicando la regla de L Hospital Ejercicio 13 Problemas de sistemas de ecuaciones lineales. Ing. Celestino Benito Brutti Ing. Felicia Dora Zuriaga