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1 m A + ( ) G P m ( ) 0 + G P m R P + h R P h A B R P eniendo en cuenta que h R P /, la anteio expesión queda como: G A P 8 A 3 Sustituyendo datos numéicos, esulta: 6,67 0 N m kg, 0 3 kg A 06 m s 3,3 0 6 m 8. Un satélite atificial gia alededo de la iea a 3,6 0 7 m de su supeficie. Calcula: a) La elocidad del satélite. b) Su aceleación. c) El peíodo de otación del satélite alededo de la iea, expesado en días. Qué nombe eciben los satélites de este tipo? Datos: 6, m; 5, kg; G 6,67 0 N m kg. a) Si el satélite gia alededo de la iea, está sometido a una fueza centípeta, que es la fueza de atacción gaitatoia. Igualando sus espectias expesiones: m m G 8 siendo + h. G Sustituyendo datos, se obtiene el alo de la elocidad del satélite: 6,67 0 5, ,3 m s (6, ) 0 6 R P h + R P ; h R P G P 3 R P b) Aunque el módulo de su elocidad es constante, el satélite cambia su diección; luego, tiene aceleación nomal, a n, que ale: a n (3065,3) 8 a n 0, m s 4, h F c F g Unidad. Campo gaitatoio 53

2 c) Como se desplaza con elocidad constante (en módulo), tenemos: s π π π 4, m s día t 3065,3 m s Los satélites cuyo peíodo es día se denominan geosínconos. 9. Un satélite atificial de 350 kg se encuenta en una óbita cicula de km de adio alededo de la iea. Si km, detemina: a) El peso del satélite estando en esta óbita. b) Su peíodo de otación alededo de la iea. c) La enegía total del satélite en esta óbita. a) El peso del satélite, P, seá la fueza de atacción que ejece la iea sobe él; es deci: P G m siendo 5000 km + h. Como no tenemos datos de G y, podemos expesa el poducto G en función de datos conocidos. Paa ello, consideamos un punto de la supeficie de la iea, donde: G m m g 0 8 G g 0 Po tanto: Sustituyendo datos numéicos, esulta: g P m 0 m g 0 ( ) 6370 km P 350 kg 9,8 m/s ( 68,6 N 5000 km ) b) Al se el módulo de la elocidad constante, tenemos: h m 350 kg F c F g s π π 8 8 [] t La elocidad obital del satélite la calculamos igualando la fueza centípeta con la fueza de atacción gaitatoia: m G m G R 8 g 0 8 Sustituyendo datos numéicos, nos queda: 9,8 m s m 549 m s m g 0 54 Unidad. Campo gaitatoio

3 Finalmente, de acuedo con [], el peíodo seá: π m 8304 s (5 h 5 min 4 s) 549 m s c) La enegía total del satélite,, seá la suma de sus enegías cinética y potencial; es deci: eniendo en cuenta que: Resulta: E c + E p 8 m + ( ) G m Al sustitui datos numéicos se obtiene: g 0 ; G g 0 R g g g m m m 9,8 m s ( m) 350 kg 4, J Dos satélites, A y B, gian alededo de un planeta siguiendo óbitas ciculaes de adios 0 8 m y m, espectiamente. Calcula la elación ente sus elocidades (tangenciales) espectias. Cada satélite descibe una óbita cicula, luego está sometido a una fueza centípeta, que es la fueza de atacción gaitatoia. Es deci: m G P m 8 Po tanto: G P A Paa el satélite A: A G P A Paa el satélite B: P R P A A B B B B G P B La elación ente ambas elocidades esulta: A B G P ( 4 8 A ) 8 A B A m G 0 8 m P A B B B Unidad. Campo gaitatoio 55

4 . Un satélite se encuenta en óbita cicula alededo de la iea. Su masa es de kg, y su elocidad, de 4, km/s. Calcula: a) El adio de la óbita. b) Lo que tada en da diez ueltas a la iea. c) La enegía potencial gaitatoia del satélite. Datos: G 6,67 0 N m kg ; 5, kg; km. a) Si el satélite descibe una tayectoia cicula, está sometido a una fueza centípeta, que es la fueza de atacción gaitatoia. Po tanto, se cumpliá: m G m 8 G Despejando el adio de la óbita,, y sustituyendo datos numéicos, nos queda: G 8 6,67 0 N m kg 5, kg (4, 0 3 m s ),6 0 7 m 600 km h m 0000 kg F c F g h + b) El satélite se desplaza en su óbita con elocidad constante en módulo; luego: s s 8 t t Como cada óbita mide π, sustituyendo datos numéicos, esulta: t 0 π,6 0 7 m 400 m s - c) La enegía potencial gaitatoia del satélite seá: E p po lo que al sustitui datos numéicos nos queda: s 3 d h 54 min 55 s G m E p 6,67 0 N m kg 5, kg 0000 kg,6 0 7 m,76 0 J 56 Unidad. Campo gaitatoio

5 . Se considean dos satélites, uno en óbita cicula alededo de ate, y oto alededo de la iea: a) Cuál es la elación ente los adios de las óbitas si ambos tienen el mismo peíodo? b) Supongamos ahoa que los dos satélites están en óbitas del mismo adio, cada uno alededo de su planeta. Calcula la elación ente los momentos angulaes obitales coespondientes, si las masas de los satélites son iguales. Dato: elación ente las masas de los planetas: 0,. a) Si un cuepo descibe una tayectoia cicula es poque está sometido a una fueza centípeta, que en este caso es la fueza de atacción gaitatoia. Es deci: m m G 8 Con los datos que tenemos podemos escibi: Paa el satélite de ate: 4 π s π G 8 [] ; [] t 4 π G G [] [] π Del mismo modo, paa el satélite de la iea: 3 Paa obtene esta última expesión, hemos pocedido de la misma foma que en el caso del satélite de ate. eniendo en cuenta que 0,, la elación ente los adios de las óbitas esulta: ( ) 3 G 0, 4 π 3 0, 8 0, G 0,479 4 π Es deci, el adio de la óbita del satélite que gia alededo de ate es meno que el adio de la óbita del satélite que gia alededo de la iea; en conceto, 0,479 eces. b) A pati de la definición de momento angula, L 8, y teniendo en cuenta que las óbitas son ciculaes, podemos escibi que L 8 8 Ò (m 8 ) m ( 8 Ò 8 ) 8 L m sen 90 m ya que en una óbita cicula los ectoes 8 y 8 son pependiculaes. Luego, como, nos queda: Paa el satélite de ate: G 4 π G L m 8 L m G Unidad. Campo gaitatoio 57

6 Y paa el satélite de la iea: G L m 8 L m Eleando al cuadado L y L y teniendo en cuenta que 0,, esulta: Es deci: L m G 0, L m G L 8 ( ) L m G 0, 0, m G L L 0, 0,33 3. La elocidad de un satélite, de 500 kg de masa, en óbita alededo de la iea es de 7,70 km/s: a) Detemina el adio de la óbita. b) Si el satélite pasa a gia a una óbita supeio cuyo adio es el doble del de la anteio, cuál es la nuea elocidad obital? c) Qué enegía suplementaia hay que comunicale al satélite paa que cambie de óbita? Datos: G 6,67 0 N m kg ; iea 5, kg. a) Cualquie cuepo que obite alededo de la iea está sometido a una fueza centípeta. En este caso, es la fueza de atacción gaitatoia; luego: m G 8 G m h m 500 kg F c F g h + Despejando y sustituyendo datos numéicos, nos queda: G 6,67 0 N m kg 5, kg 8 6, m (7, m s ) 58 Unidad. Campo gaitatoio

7 b) Ahoa tenemos que, en la segunda óbita,, el adio es el doble, ; luego: En la pimea óbita: En la segunda óbita: G Po tanto: G / 8 G ( ) / Al sustitui datos numéicos, se obtiene: m s 5445 m s c) Como la enegía mecánica,, es la suma de las enegías potencial y cinética, seá: m + ( ) m Po tanto, la enegía suplementaia que hay que comunicale al satélite paa que cambia de óbita seá la difeencia de enegía mecánica ente las dos óbitas; es deci: D (. a óbita) (. a óbita) G D m G G + m m ( ) Peo ; luego: G m D ( ) ( ) Sustituyendo datos numéicos, nos queda: D G m G G m 6,67 0 N m kg 5, kg 500 kg 4 6, m 7,4 0 9 J 4. Un módulo luna de kg de masa está en óbita cicula a una altua de 000 km po encima de la supeficie de la Luna: a) Cuál es la elocidad y la enegía total del módulo en su óbita? b) Cuánto aiaá la enegía total si el módulo sube a una óbita cicula de km sobe la supeficie de la Luna? Datos: G 6,67 0 N m kg ; Luna 7,36 0 kg; R Luna 740 km. a) Si descibe un moimiento cicula, el módulo luna está sometido a una fueza centípeta que, en este caso, es la fueza de atacción gaitatoia. Po tanto: m G L m G G 8 L 8 L G G m G m 4 G m Unidad. Campo gaitatoio 59

8 eniendo en cuenta que 740 km km 3740 km, al sustitui datos, nos queda: 6,67 0 N m kg 7,36 0 kg 45,7 m s m h 000 km m 3000 kg R L L h + R L La enegía total seá la suma de la enegía cinética más la enegía potencial: Y como: E c + E p 8 m + ( ) G L m Resulta: G L G m L G L m G L m Sustituyendo datos numéicos, esulta: 6,67 0 N m kg 7,36 0 kg 3000 kg, J m b) Como la enegía mecánica ale: G L m Al pasa el módulo luna de una óbita de adio 000 km km 3740 km a ota de adio 740 km km 5740 km, la aiación de enegía seá: D ( ) ( ) 8 D ( ) G L m ( ) G L m G L m 60 Unidad. Campo gaitatoio

9 Sustituyendo datos numéicos, se obtiene: 6,67 0 D ( ) N m kg 7,36 0 kg 3000 kg 0 3 m D 6, J El signo positio nos indica que la enegía del módulo luna ha aumentado, hecho que ocue a medida que el cuepo se aleja del oigen del campo gaitatoio. 5. La Estación Espacial Intenacional (ISS) descibe una óbita pácticamente cicula alededo de la iea a una altua h 390 km sobe la supeficie teeste, siendo su masa m 45 toneladas: a) Calcula su peíodo de otación, en minutos, así como la elocidad con la que se desplaza. b) Qué enegía se necesitaía paa lleala desde su óbita actual a ota al doble de altua? Cuál seía el peíodo de otación en esta nuea óbita? Datos: G 6,67 0 N m kg ; 5, kg; km. a) La óbita cicula que descibe la ISS es debido a la existencia de una fueza centípeta, que, en este caso, es la fueza de atacción gaitatoia. Es deci: h 390 km m kg F c F g h + m G m G 8 G 8 6,67 0 N m kg 5, kg 768,4 m s ( ) 0 3 m El peíodo de otación,, es el tiempo que tada en da una uelta completa a la iea en esa óbita. Como el módulo de su elocidad es constante, seá: s π π 8 8 t π ( ) 0 3 m 768,4 m s 5530 s 9,7 min b) Si ahoa la altua sobe la supeficie de la iea es el doble, tendemos que: 6370 km km 750 km Unidad. Campo gaitatoio 6

10 Su elocidad seá: 6,67 0 N m kg 5, kg 7469 m s m y el peíodo: π m 605 s 7469 m s NOA: A este mismo alo podemos llega aplicando la tecea ley de Keple. La enegía mecánica es la suma de las enegías cinética y potencial. Se puede calcula a pati de la expesión: Po tanto, la enegía necesaia paa llea la ISS a la nuea óbita seía: D ( ) ( ) G m ( ) Sustituyendo datos numéicos ( 6760 km; 750 km): 6,67 0 D ( ) N m kg 5, kg kg 0 3 m D 6,68 0 J 6. Un satélite atificial de 500 kg de masa se muee alededo de un planeta, descibiendo una óbita cicula con un peíodo de 4,47 hoas y un adio de km. Calcula: a) La fueza gaitatoia que actúa sobe el satélite. b) La enegía cinética, la enegía potencial y la enegía total del satélite en su óbita. c) Si, po cualquie causa, el satélite duplica epentinamente su elocidad sin cambia la diección, se alejaá indefinidamente del planeta? a) Si el satélite descibe una óbita cicula, está sometido a una fueza centípeta, que, en este caso, es la fueza de atacción gaitatoia, F g, luego: F g m Po oto lado, el módulo de la elocidad del satélite es constante; entonces: Po tanto, nos quedaá: s π 4 π 8 8 t 4 π F g m G m 4 π m F g 4 π 500 kg m (4, s) 353,8 N 6 Unidad. Campo gaitatoio

11 b) La enegía cinética seá: 4 π π E c m m 8 E c m E c π 500 kg ( m) (4, s) 7,4 0 0 J y la enegía potencial: E p G P m Como no tenemos datos de G y de P (la masa del planeta) y sabemos que la elocidad obital es: Po tanto: E p m G P m E c m 8 m E c El alo de la enegía potencial es, entonces: 8 G P 8 E p E c E p 7,4 0 0 J 4,8 0 0 J La enegía total seá la suma de las enegías cinética y potencial, luego: 7,4 0 0 J + ( 4,8 0 0 J) 7,4 0 0 J NOA. Este esultado ya lo hemos isto en otos poblemas: la enegía total es la mitad del alo de la enegía potencial gaitatoia. c) Como acabamos de e, en la óbita cicula se cumple la siguiente elación ente las enegías cinética y potencial del satélite: E p E c Si el satélite duplica súbitamente su elocidad, la enegía potencial gaitatoia se mantiene inicialmente constante, E p 4 E p, pues solo depende de la distancia del satélite al cento del planeta, peo su nuea enegía cinética, E c 4, es cuato eces mayo que la inicial: E4 c 4 E c Po tanto, ahoa la enegía mecánica del satélite es positia: E4 m E4 p + E4 c E c + 4 E c E c > 0 En consecuencia, el satélite ya no está ligado a la gaedad del planeta, y como la diección del moimiento, inicialmente tangente a la tayectoia cicula de la óbita, no es una tayectoia de colisión con el planeta, el satélite se alejaá indefinidamente de él. Unidad. Campo gaitatoio 63

12 7. La masa de la Luna es de 7,35 0 kg, y la de la iea, de 5, kg. La distancia media de la iea a la Luna es de 3, m. Calcula: a) El peíodo de gio de la Luna alededo de la iea y su enegía cinética. b) A qué distancia de la iea se cancela la fueza neta ejecida po la Luna y la iea sobe un cuepo allí situado? Dato: G 6,67 0 N m kg. a) Si la Luna gia alededo de la iea, está sometida a una fueza centípeta que, en este caso, es la fueza de atacción gaitatoia. Es deci: m L L G m L G G 8 L 8 L L F c F g m L Sustituyendo datos numéicos, la elocidad de la Luna esulta: 6,67 0 N kg m 5, kg L 09, m s 3, m A pati del esultado obtenido y de la siguiente elación, obtenemos el peíodo de gio de la Luna alededo de la iea: π π π 3,84 0 L 8 8 m, s 7,4 días 09, m s Su enegía cinética es: L E c m 8 E c 7,35 0 kg (09, m s ) 3,8 0 8 J b) El siguiente esquema muesta la situación física descita po el enunciado: d d F F L L Donde F es la fueza de atacción que ejece la iea sobe el cuepo, y F L, la fueza de atacción que ejece la Luna sobe el cuepo. 64 Unidad. Campo gaitatoio

13 En un deteminado punto, situado a una distancia d de la iea, el módulo de F y F L seá igual; po tanto: Luego: Po tanto: G m d G L m 8 d ( d ( d ) ) L 5,98 0 d 8 9,0 ( 4 kg d 7,35 0 d ) kg d d 9,0 9,0 d 8 0,0 d 9,0 8 d 0,9 siendo la distancia que sepaa la iea de la Luna. Po tanto: d 0,9 3, m 3, m 8. Se llea un cuepo, mediante un cohete, hasta una altua de 630 km sobe el niel del ma: a) Cuál es la intensidad del campo gaitatoio teeste a esa altua? b) Con qué elocidad debeía lanzase este cuepo (colocado a esa altua) en una diección pependicula al adio de la iea de tal foma que descibiese una óbita cicula? c) Cuál seía el peíodo de eolución del cuepo alededo de la iea? Datos: G 6,67 0 N m kg ; 5, kg; 6, m. a) El módulo de la intensidad del campo gaitatoio ale: g G po lo que, al sustitui datos, nos queda: 5,98 0 g 6,67 0 N m kg 4 kg 8,4 N kg ( m) La expesión del ecto campo gaitatoio seá: g 8 8,4 u 8 N/kg h m F c F g h km 65 Unidad. Campo gaitatoio

14 b) Paa que desciba una óbita cicula en ese punto, debe igualase la fueza centípeta con la fueza de atacción gaitatoia (o el peso). Es deci: m m g 8 g 8 g Sustituyendo datos numéicos (teniendo en cuenta que 6, m), tenemos: 8,4 m s m 7548,5 m s c) Como el cuepo se muee en la óbita con elocidad constante (en módulo), tendemos que: s π π 8 t Sustituyendo datos numéicos, nos queda: 587 s h 37 min 7 s 9. Cada uno de los 4 satélites del sistema de posicionamiento GPS tiene una masa de 840 kg y se encuenta en una óbita cicula de km de adio. Detemina, paa uno de estos satélites: a) Su peíodo de otación alededo de la iea. b) Su peso y sus enegías cinética y potencial en su óbita. a) Si el satélite descibe una óbita cicula, está sometido a una fueza centípeta, que, en este caso, es la fueza de atacción gaitatoia. Es deci: m G m 8 Po oto lado, al desplazase con elocidad constante (módulo), podemos escibi: s π 8 8 t 8 Sustituyendo el alo de, nos queda: Sustituyendo datos numéicos, el peíodo de otación esulta: π m 7548,5 m s π G 4 π 3 G 4 π ( m) 3 6,67 0 N m kg 5, kg h + h s h m 840 kg F c F g 66 Unidad. Campo gaitatoio

15 b) El peso de cada satélite seá P m g, es deci: Luego: P F G m P 6,67 0 N m kg 5, kg 840 kg ( m) 474,6 N La enegía cinética de cada satélite aldá: E c m m 6,67 0 N m kg 5, kg E c 840 kg 6, J m Y su enegía potencial en esa óbita: 5, E p G m kg 840 kg 8 E p 6,67 0 N m kg m,6 0 0 J 30. Un satélite atificial de 300 kg gia alededo de la iea en una óbita cicula de R km: a) Calcula la elocidad del satélite en la óbita. b) Obtén la enegía total del satélite en la óbita. Datos: 6, m; g 0 9,80 m/s. G a) Si el satélite llea una tayectoia cicula, es poque está sometido a una fueza centípeta, que, en este caso, es la fueza de atacción gaitatoia. Po tanto: m G m 8 R R G R Como no tenemos datos de G y, en un punto de la supeficie de la iea se cumpliá que: Luego: m g 0 G m 8 G g 0 g 0 8 g R Sustituyendo datos numéicos, esulta: R 0 R 9,80 m s (6, m) 3306, m s m Unidad. Campo gaitatoio 67

16 b) La enegía del satélite en óbita seá la suma de sus enegías cinética y potencial: Es deci: E c + E p 8 m + ( ) G m R m g 0 m R peo como: g 0 R Resulta: g 0 m R Sustituyendo datos numéicos, se obtiene: 9,80 m s (6, m) 300 kg, J m 3. Un satélite atificial descibe una óbita elíptica con el cento de la iea en uno de los focos. Si se conocen las distancias máxima y mínima del satélite al cento de la iea (apogeo y peigeo), a y p, espectiamente, plantea azonadamente, sin esolelas, las ecuaciones necesaias paa detemina las elocidades obitales del satélite en esos puntos, a y p. p p a a En toda óbita descita po un cuepo dento de un campo gaitatoio, el momento angula y la enegía mecánica se mantienen constantes. Po tanto, paa el apogeo y el peigeo se cumpliá: L a L p 8 m a a m p p 8 a a p p [] G a p 8 m a m G m p m 8 p 8 a G G [] a a p p 68 Unidad. Campo gaitatoio

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