CURVAS TÉCNICAS Óvalo, ovoide, espiral y voluta. Trazado como aplicación de tangencias TEMA9. Objetivos y orientaciones metodológicas. 1.
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- Domingo Castellanos Cordero
- hace 7 años
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1 URS ÉNIS Óvlo, ovoide, espil y volut. zdo omo pliión de tngenis jetivos y oientiones metodológis E9 IUJ GEÉRI Se tt de un unidd temáti ot y senill. El lumno pendeá, l menos, un poedimiento de onstuión de d un de ls uvs. El diujo dee hese on peisión fin de onsegui un oeto enle ente los divesos os que fomn ls uvs, deteminndo los puntos de tngeni. Sin ument el tjo mnul, se indián lguns pliiones pátis tnto en ógnos de máquins omo en quitetu. El desollo de est unidd temáti puede hese en un lse.. Óvlo El óvlo es un uv ed fomd po os de iunfeeni y siméti espeto dos ejes pependiules. Su pliión páti más impotnte en diujo industil es el tzdo de pespetivs, y que puede sustitui un elipse de fom poximd.. onstuión de un óvlo ddo el eje myo (ig. ) Se divide en tes ptes igules, on lo ul se otienen los puntos y ; on ento en estos puntos se tzn ls iunfeenis de dios - y - y los puntos de inteseión y son los otos dos entos que pemiten omplet el óvlo. ig.. pliiones de ls uvs ténis. ig.. IUJ ÉNI I - hilleto 77
2 IUJ GEÉRI ig... onstuión de un óvlo ddo el eje meno (ig. ) Se onstuye l iunfeeni de diámeto y se tzn dos diámetos pependiules. Los puntos,, y son los entos de los os de iunfeeni que pemiten onstui el óvlo.. onstuión de un óvlo de uto entos onoiendo los ejes y G I E ime poedimiento (ig. ) Se diujn los ejes y pependiules y otándose en el punto medio ; se tomn en y dos segmentos igules = E; se une E on y l meditiz de E ot en H l polongión del eje meno; se hlln los simétios de y H espeto de y se tienen los puntos G e I. Los puntos, H, G e I son los entos de los os. H ig.. E Segundo poedimiento (ig. 5) Se sitún omo ntes los dos ejes y ; se tz l iunfeeni de diámeto y se llev el ldo del hexágono insito ; se une E on y on ; po se tz l plel E, l ul ot en G, y po G, l plel, que ot en y los dos ejes del óvlo; los puntos y y sus simétios y son los entos de los os de iunfeeni que pemiten onstui el óvlo. Existen ots onstuiones p he un óvlo on un myo númeo de entos. G 5. voide El ovoide es un uv ed fomd po os de iunfeeni y siméti espeto un solo eje. Se utiliz en quitetu y espoádimente pee en diujo industil. ig IUJ ÉNI I - hilleto
3 ( ( ( 6. onstuión de un ovoide ddo el eje myo (ig. 6) Se divide en seis ptes igules y soe l pependiul po l división se tomn uto ptes en los dos sentidos. Los puntos,, y que indi l figu son los entos del ovoide. 7. onstuión de un ovoide ddo el eje meno (ig. 7) on omo diámeto se tz l iunfeeni de l figu y el diámeto pependiul. Los puntos,, y son los entos de los os que fomn el ovoide. 5 6 ig. 6. IUJ GEÉRI 8. olut L volut es un uv fomd po os de iunfeenis tngentes ente sí, siendo los entos suesivos de estos os los véties de un polígono detemindo, p. ej., un tiángulo, un uddo, et. 9. onstuiones de l volut (ig. 8) Se supone un iunfeeni, p. ej., l de diámeto -5 y se onstuye el uddo ---, siendo el vétie el ento de l iunfeeni nteio. Los puntos,,,, 5, et., vn se los entos de los os de iunfeeni que fomn l volut. on ento en y dio - se tz el o, estndo en l polongión del segmento -; on ento en y dio - se tz el o ; on ento en, el o, y sí suesivmente. ig. 7. E 0 K L N -5 9 I J Q 5 ig H G 5 E onstuión de l espil de químedes (ig. 9) Se onside un segmento que es el pso de l espil. on ento en y dio se tz l iunfeeni de l figu, l ul se divide en un númeo de ptes igules, p. ej., 6 ptes. Se divide el pso en el mismo númeo de ptes igules; los puntos de l espil se otienen l otse ls iunfeenis onéntis on los dios que psn po los mismos puntos de división. ig. 9. Los puntos se unen on plntill de uvs. IUJ ÉNI I - hilleto 79
4 jetivos y oientiones metodológis URS ÓNIS Elipse, hipéol y páol. efiniión y tzdo E0 IUJ GEÉRI En est unidd temáti se dá un expliión de ls piniples popieddes de ests ónis: definiión omo lug geométio, ejes, diámetos onjugdos, véties, foos, simetís que pesentn, iunfeenis foles, dios vetoes, et. Se hán pátis soe l onstuión de ls uvs po puntos en divesos sos p que el lumno se ostume l empleo de ls plntills de uvs. El pofeso deidiá soe l posiilidd de edui el númeo de onstuiones que se pesentn o ien he su estudio on diujos mno lzd. l desollo de est unidd temáti se pueden dedi uto lses. ig.. pliiones de ls uvs ténis en quitetu. IUJ ÉNI I - hilleto 8
5 IUJ GEÉRI Reien el nome de ónis ls uvs que esultn de l inteseión de un supefiie óni po un plno.. uvs ónis L supefiie óni de evoluión está engendd po un et que gi lededo de ot l que ot. Est segund et es el eje de l supefiie y l et que gi es l genetiz. El punto de inteseión de ms es el vétie de l supefiie. L et s que gi lededo del eje e, l que ot en el punto, engend un supefiie de evoluión (ig. ). L elipse (ig. ) Si el plno sente es oliuo l eje de l supe- fiie óni, ot tods ls geneties y no ps po el vétie, l seión que podue es un uv ed que eie el nome de elipse. s e ig.. L hipéol (ig. 5) Si el plno sente es plelo l eje de l supefiie óni i o es plelo dos geneties, l seión es un uv iet on dos ms que se llm hipéol. En este so se onside l supefiie óni on dos ms. ig... lses de ónis L iunfeeni (ig. ) Si el plno sente l supefiie óni de evoluión es pependiul l eje de l mism y no ps po el vétie, l seión que se otiene es un iunfeeni. ig.. ig. 5. ig. 6. L páol (ig. 6) Si el plno sente es plelo un sol genetiz de l supefiie, l uv seá iet on un punto en el infinito; l seión que se podue es un páol. óni degened Si el plno sente ps po el vétie de l supefiie, l seión otenid es un óni degened y puede se un punto, un et o un p de ets que se otn según que el plno sente teng meno, igul o myo inlinión que ls geneties de l supefiie espeto un plno pependiul l eje. 8 IUJ ÉNI I - hilleto
6 . L elipse. efiniión, elementos y popieddes más impotntes (igs. 7 y 8) do el áte eminentemente gáfio de este estudio se indin solmente ls popieddes más impotntes de ls ónis. L elipse es un uv ed y pln uyos puntos onstituyen un lug geométio que tiene l popiedd de que l sum de distnis de d uno de sus puntos otos dos, fijos, y, llmdos foos, es onstnte e igul, siendo l longitud del eje myo de l elipse (ig. 7). L ELISE Si tenemos un diámeto de l elipse, el diámeto onjugdo on él es el lug geométio de los puntos medios de tods ls ueds plels l pimeo. Los ejes son dos diámetos onjugdos y los únios que son pependiules. En l iunfeeni tods ls pejs de diámetos onjugdos son pependiules (ig. ). t' t p ' IUJ GEÉRI ' ' f' f ig. 7. iene dos ejes pependiules que se otn en el punto medio, ento de l uv. El eje myo se llm eje el y se epesent po. El eje meno se epesent po. Los foos están en el eje el. L distni fol - se epesent po. Ente, y existe l elión = +. L elipse es siméti espeto de los dos ejes y, po tnto, espeto del ento. Ls ets que unen un punto de l uv on los foos se llmn dios vetoes y y po l definiión se veifi: + = ig. 8.. onstuión de l elipse po puntos pti de los ejes (ig. 9) Se onoen los ejes = y =. on ento en o y dio, se ot el eje myo en y, foos de l uv. N ' ' L iunfeeni pinipl p de l elipse es l que tiene po ento el de l elipse y dio. Se define omo el lug geométio de los pies de ls pependiules tzds po los foos d un de ls tngentes (ig. 8). Ls iunfeenis foles f y f de l elipse tienen po ento uno de los foos y dio. L elipse se puede defini tmién omo el lug geométio de los entos de iunfe- enis que psn po un foo y son tngentes l iunfeeni fol del oto foo. ig. 9. Se tom un punto N ulquie en el eje myo; on dio N y ento en se tz el o y on dio N y ento en se tz el o l; estos dos os se otn en el punto de l elipse. e est fom, l sum de ls distnis de y es igul = N + N =. Repitiendo est opeión y tomndo otos puntos en el eje myo ente y se vn deteminndo puntos de l uv, que se unen on plntill. IUJ ÉNI I - hilleto 85
7 IUJ GEÉRI 5. zdo de l elipse po hes poyetivos pti de los ejes y (ig. 0) Se onstuye el etángulo E y se dividen los segmentos y E en el mismo númeo de ptes igules, ino en l figu. Los yos,, y se otn espetivmente on los yos,, y en puntos de l elipse. E 7. zdo de l elipse po envolventes (ig. ) Est onstuión se fund en que l iunfeeni pinipl de diámeto y ento es el lug geométio de los pies de ls pependiules tzds po d foo ls tngentes. Ls envolventes son, pues, ls tngentes. o ejemplo, se tom un punto ulquie L de l iunfeeni pinipl, se une on y se tz l pependiul t po L L; l et t es tngente l elipse; epitiendo est opeión se tienen un seie de tngentes que vn envolviendo l uv. L R t ' ig zdo de l elipse po hes poyetivos pti de un pej de diámetos onjugdos y (ig. ) Se ope omo en l ig. 0. En este so, el etángulo se tnsfom en el omoide E fomdo po ls tngentes l elipse en los extemos de los diámetos onjugdos y que son plels ellos. ' E' ' ' ' ig.. 8. zdo de l elipse po puntos medinte l iunfeeni pinipl y l de diámeto (ig. ) Se tz un dio ulquie que ot en R y R ls dos iunfeenis; po R se tz l plel y po R, l plel, que se ot on l nteio en el punto R de l elipse. En l figu se epite est opeión numeoss vees. R' R'' R ' ig... ig.. 86 IUJ ÉNI I - hilleto
8 9. t onstuión de l elipse pti de un pej de diámetos onjugdos (ig. ) Se onoen los diámetos onjugdos y ; se tz l iunfeeni de diámeto ; l pependiul po ot en l iunfeeni. Los puntos de l elipse se otienen onstuyendo tiángulos semejntes l, tles omo el N, de ldos plelos los del tiángulo. ' ' ig.. N ' ' IUJ GEÉRI L HIÉRL 0. L hipéol. efiniión, elementos y popieddes más impotntes (ig. 5) L hipéol es un uv pln, iet, on dos ms; se define omo el lug geométio de los puntos uy difeeni de distnis otos dos fijos es onstnte e igul, siendo = l longitud del eje el. Los puntos fijos son los foos y. L hipéol, omo l elipse, se puede defini omo el lug geométio de los entos de iunfeenis que psn po un foo y son tngentes l iunfeeni fol del oto foo. iene dos ejes pependiules que se otn en el punto medio, ento de l uv. El eje se llm eje el y se epesent po ; el eje se epesent po y se llm imginio poque no tiene puntos omunes on l uv. Los foos están en el eje el. L distni fol - se epesent po. Ente, y existe l elión = +. Ls síntots de l hipéol son ls tngentes l uv en los puntos del infinito. Ests síntots son simétis espeto de los ejes y psn po el ento de l uv. iunfeenis foles L hipéol es siméti espeto de los dos ejes y, po lo tnto, espeto del ento. Ls ets que unen un punto de l uv on los dos foos se llmn dios vetoes y y po l definiión se veifi: = iunfeeni pinipl ' ' L iunfeeni pinipl de l hipéol es l que tiene po ento y dio. Se define omo el lug geométio de los pies de ls pependiules tzds po los foos d un de ls tngentes. Ls iunfeenis foles tienen po entos los foos y dio. ig. 5. IUJ ÉNI I - hilleto 87
9 IUJ GEÉRI ' N ig. 6. 5' ' ' ' ' 5 ' N S R Q '. onstuión de l hipéol po puntos pti de los ejes (ig. 6) Los dtos son = y =. Se tom un punto N en el eje el y on dios N y N y entos en y se tzn dos os que se otn en, punto de l hipéol; de est fom, = =. En l figu se otienen otos puntos de l uv tomndo los puntos, y del eje el.. onstuión de l hipéol po hes poyetivos (ig. 7) Se onoen = y = ; se hll un punto ulquie de l uv y se onstuye el etángulo N; se dividen los ldos y N en un númeo ulquie de ptes igules que se unen on los puntos y, espetivmente. Los puntos de inteseión de los yos homónimos u homólogos de estos dos hes son puntos de l hipéol. sí, - y - se otn en el punto de l uv; de l mism fom se onstuye l pte infeio de l uv. ' ' ' ig. 7. 5'. zdo de l hipéol po envolventes (ig. 8) ' R ' Se onoen los véties y y los foos y ; se onstuye l iunfeeni pinipl de ento y dio = =. l igul que en l elipse, st tom puntos en l iunfeeni pinipl, uniles on y tz ls oespondientes pependiules, que son tngentes l uv. En l figu sólo está tzd un m. Ls síntots y de l hipéol son tngentes ell en el infinito, son simétis espeto de los ejes y psn po el ento y po el vétie R y su simétio S del tiángulo uyos tetos son y y l hipotenus. S ' ig IUJ ÉNI I - hilleto
10 . L páol. efiniión, elementos y popieddes más impotntes (ig. 9) L páol es un uv pln, iet y de un m. Se define omo el lug geométio de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo, llmdo foo, y de un et fij d, llmd dietiz. iene un vétie y un eje de simetí que ps po y po el foo y es pependiul l dietiz. L tngente en el vétie l uv es plel l dietiz. L RÁL N d t v L p p IUJ GEÉRI El vétie, omo oto punto ulquie, equidist de l dietiz y del foo, es dei, = = p/. Los dios vetoes del punto son N y. Se llm pámeto p de l páol, l igul que en l elipse y en l hipéol, l longitud de l ued que es pependiul l eje en el foo. L dietiz d de l uv he de iunfeeni fol de l páol, en este so de dio infinito. Según esto, l dietiz es el lug geométio de los puntos simétios del foo espeto de d tngente. L tngente en el vétie, que es un et, he de iunfeeni pinipl y se define omo en ls uvs nteioes. El foo equidist del punto de tngeni de un tngente y del punto donde ést ot l eje de l uv. ig onstuión de l páol ddos el eje, el vétie y un punto de l uv (ig. 0) Se tzn l tngente en el vétie, N, y l plel N l eje; se dividen N y N en un númeo de ptes igules; el yo -5 y l plel po 5 l eje se otn en el punto de l uv; de l mism fom se hn otenido otos puntos de l uv N onstuión de l páol po puntos (ig. 9) Se onoen l dietiz d, el eje y el foo. El vétie es el punto medio del segmento. Se tz po un punto del eje l pependiul éste y on ento en y dio - = se ot dih pependiul, on lo ul se otienen el punto y su simétio, que son puntos de l uv; se tiene sí = = N, según l definiión de l uv; est opeión se epite p otene nuevos puntos, que se unen on plntill de uvs eje ig. 0. IUJ ÉNI I - hilleto 89
11 IUJ GEÉRI d N t v t eje 7. onstuión de l páol po envolventes (ig. ) Siendo que l tngente t v en el vétie es l iunfeeni pinipl de l uv, st, omo en l elipse, tom puntos de ell, tl omo el N, unilo on el foo y po N tz l pependiul N; est et t es tngente l uv. Repitiendo est opeión se otienen ets tngentes que envuelven l uv y que l vez l vn onstuyendo. ig.. IIES. Se d un elipse po su eje myo = 80 mm y su eje meno = 50 mm. Se pide: etemin un punto de l uv. iuj un udnte de l uv po puntos plindo su definiión. iuj oto udnte de l uv po medio de hes poyetivos. iuj oto udnte de l uv po medio de envolventes.. onstui l elipse po uto poedimientos difeentes siendo que sus dtos son: = 50 mm y = 0 mm.. onstui un udnte de elipse siendo los dtos de l uv = 0 mm y = 60 mm.. Un hipéol está definid po = 0 mm y = 50 mm. Se pide: etemin un punto ulquie de l uv. iuj l uv po tes poedimientos difeentes. iuj ls síntots. 5. iuj po hes poyetivos l hipéol uyos dtos son: = 0 mm y = 5 mm. 6. En un páol el foo está 5 mm del vétie. Se pide: Hll l dietiz. iuj l tngente en el vétie. z los dios vetoes de un punto de ell. tene un punto de l uv. 90 IUJ ÉNI I - hilleto
Escaleno: TEOREMAS FUNDAMENTALES O PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS
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