y de Doble Grado Ing. Informática/Matemáticas Escuela Politécnica Superior- U.A.M.

Transcripción

1 Crcutos Electróncos º de Grado en Ingenería Informátca y de Doble Grado Ing. Informátca/Matemátcas Escuela Poltécnca Superor- U.A.M.

2 TEMA : Teoría de redes lneales a) Elementos de crcutos b) Métodos smplfcados de análss c) Prncpo de superposcón d) Crcutos de dos termnales e) Impedanca y análss fasoral f) Máxma transferenca de señal en la nterconexón de crcutos

3 TEMA : Teoría de redes lneales. Magntudes y propedades Dferenca de potencal, tensón o "oltaje" Corrente Potenca esstenca Inductanca Capacdad Carga Tempo Undades (SI) olto () ampero (A) ato (W) ohmo (Ω) henro (H) farado (F) Culombo(C) Segundo(s) Múltplos y submúltplos a f p n µ m K M G T

4 TEMA : Teoría de redes lneales. a) Elementos de crcutos Tpos de elementos deales: Actos: pueden ceder energía al crcuto Tpo Nombre Símbolo -I Fuente de tensón ab ab Independentes I ab Fuente de corrente I I I I El alor de la corrente en una fuente de tensón depende del crcuto en el que se encuentre El alor de la tensón entre los termnales de una fuente de corrente depende del crcuto en el que se encuentre 4

5 TEMA : Teoría de redes lneales. a) Elementos de crcutos Tpo Nombre Símbolo -I Dependentes Fuente de tensón ab ab I ab α o ab βi Fuente de corrente I I γ o I δi ó I, tensón o corrente en algún punto del crcuto en el que se encuentran Los coefcentes α, β, γ y δ son constantes con las dmensones apropadas A dferenca de las ndependentes, tanto el alor de la tensón como el de la corrente en estas fuentes, depende del crcuto en el que se encuentren Ejemplo real: transformador 5

6 TEMA : Teoría de redes lneales. a) Elementos de crcutos Pasos: no pueden ceder energía al crcuto Tpo Nombre Símbolo -I esstenca ab I ab I Ley de Ohm! Impedancas Bobna d(t) a b L L dt Condensador dab(t) C dt Un cable es una resstenca de alor nulo ab 0;?: depende del crcuto Notacón: se suelen utlzar mnúsculas para las magntudes que dependen de t ecordemos cómo se obtenen eq, L eq, C eq,... cuando se tenen asocacones sere o paralelo de estos elementos 6

7 TEMA : Teoría de redes lneales. a) Elementos de crcutos Equalentes: asocacones en sere o paralelo de elementos de crcutos Asocacón en sere de elementos pasos: 7

8 TEMA : Teoría de redes lneales. a) Elementos de crcutos Asocacón en paralelo de elementos pasos: 8

9 TEMA : Teoría de redes lneales. a) Elementos de crcutos Asocacones en sere y paralelo? de fuentes de tensón: 9

10 TEMA : Teoría de redes lneales. a) Elementos de crcutos Asocacón en sere de fuentes de tensón: 0

11 TEMA : Teoría de redes lneales. a) Elementos de crcutos Asocacones en sere y? paralelo de fuentes de corrente:

12 TEMA : Teoría de redes lneales. a) Elementos de crcutos Asocacón en paralelo de fuentes de corrente:

13 TEMA : Teoría de redes lneales. a) Elementos de crcutos Otros elementos: las conexones (ramas, nodos, lazos cerrados y mallas) Nodo: punto donde se unen tres o más elementos ama: porcón de crcuto entre dos nodos que no pasa por un tercer nodo Lazo cerrado: recorrdo en un crcuto que parte y acaba en el msmo punto Malla: lazo cerrado que no contene otros lazos cerrados en su nteror Ejemplo: el crcuto de la fgura presenta - nodos - 3 ramas - 3 lazos cerrados - mallas m r n 3

14 TEMA : Teoría de redes lneales. a) Elementos de crcutos Cesón y consumo de energía Elemento Balance ab > 0, I a b > 0 consumo ab > 0 S I a b > 0 consumo ab > 0 S I a b < 0 cesón I a b I > 0 S ab > 0 consumo I a b I > 0 S ab < 0 cesón En general, para elementos actos y pasos: Defncones de potenca: S (t),(t) ctes., P I p(t) (t) (t); Las resstencas sempre consumen energía (t) (t)dt S hay aras fuentes en un crcuto, puede ocurrr que alguna consuma energía El crtero para fuentes dependentes es el msmo que para f. ndependentes Se puede demostrar que en bobnas y condensadores deales en crcutos con fuentes de señal (tensón o corrente) peródcas el consumo medo de energía es nulo P T T 0 4

15 TEMA : Teoría de redes lneales. a) Elementos de crcutos Elementos reales en crcutos reales Los elementos reales se separan en mayor o menor grado de los elementos deales estudados, lo que habrá que tener en cuenta en los montajes expermentales que se an a realzar en el laboratoro. Estas son algunas de las dferencas que nos podremos encontrar: Actos: Fuentes de tensón ndependentes: la tensón no es la msma para cualquer corrente. Habtualmente se les denomna fuentes de almentacón. Fuente de tensón deal Modelo de fte. de tensón real Fuente de almentacón I 5

16 TEMA : Teoría de redes lneales. a) Elementos de crcutos Pasos: Condensadores y bobnas: se comportan como s tueran una certa componente ressta asocada, llamada resstenca parásta. Por ejemplo, para las bobnas: 6

17 TEMA : Teoría de redes lneales. b) Métodos smplfcados de análss Análss de un crcuto determnacón de las correntes y tensones en el msmo Ejemplo de análss de crcutos: Se conocen A, I B, j y α, pero no I, I n IB Cómo deducr las magntudes desconocdas? Medante las leyes de Krchhoff Aplcando métodos smplfcados de análss 7

18 TEMA : Teoría de redes lneales. b) Métodos smplfcados de análss Leyes de Krchhoff: ) L.K.N.: en un nodo, ΣI k 0 (Conseracón de la carga) ) L.K.M.: en una malla, Σ k 0 (Potencal eléctrco, conserato) En el crcuto anteror, escogendo arbtraramente los sentdos de correntes y tensones y usando además la L. de Ohm: I I B I 0 A I αi I 0 I B 3I B αi I 0 Las L.K. nos proporconan un sstema de tantas ecuacones como ncógntas Se pueden plantear más ecuacones, pero son lnealmente dependentes Una buena eleccón: m ecuacones de malla (con L.K.M.) n- ecuacones de nodo (con L.K.N.) sendo m el nº de mallas y n el nº de nodos del crcuto. 8

19 TEMA : Teoría de redes lneales. b) Métodos smplfcados de análss Método de tensones de nodo: utlza la L.K.N. Se elge un nodo como orgen de tensones (0), y se etquetan los restantes Se asgnan correntes a todas las ramas del crcuto Medante la L.K.N. se plantean n- ecuacones de nodo (sendo n nº de nodos) Se expresan las ecs. en funcón de las tensones de nodo usando la L. Ohm S el sstema es ndetermnado (porque hay fuentes dependentes), se buscan relacones adconales en el propo crcuto y se resuele el sstema (obtencón de las tensones de nodo) Ejemplo: L.K.N.: I I B I 0; I ( A x )/ ( A x )/ I ( x αi )/ A X I B X α ( ) A X / 0 X,... Atencón!: A A debdo a la eleccón del orgen de tensón ( A 0) En cualquer otro caso, A A - A A No confundr la corrente por la fuente dependente de tensón, I, con I 9

20 TEMA : Teoría de redes lneales. b) Métodos smplfcados de análss Método de correntes de malla: utlza la L.K.M. Se asgna una corrente de malla a cada malla. Una rama pertenecente a dos mallas estará recorrda por dos correntes de malla Medante la L.K.M. se plantean m ecuacones de malla (sendo m nº de mallas) Se expresan las ecs. en funcón de las correntes de malla usando la L. Ohm S el sstema de ecuacones es ndetermnado, se buscan relacones adconales en el crcuto y se resuele el sstema (obtencón de las correntes de malla) Ejemplo: L.K.M.: A I x αi (I x I y ) 0 (I y I x ) αi I y 3 I B 0 I I x (ec. adconal) I y I B (ec. adconal) A I x ( α ) I B 0 Atencón!: I B ( 3 ) ( α)i x I B 0 No confundr las correntes de malla con las correntes de rama En este caso, se podrían haber etquetado drectamente las correntes de malla como I e I B tomando los sentdos apropados para las msmas Entre los termnales de una fuente de corrente hay una tensón desconocda 0

21 TEMA : Teoría de redes lneales. c) Prncpo de superposcón Pº de superposcón: En aquellos fenómenos físcos en los que causa y efecto están lnealmente relaconados, el efecto total de aras causas actuando smultáneamente es equalente a la suma de los efectos de cada causa actuando nddualmente. En crcutos electróncos: causas fuentes ndependentes efectos tensones y correntes que producen Anulacón de fuentes ndependentes: Cortocrcuto Crcuto aberto Este teorema puede usarse con cualquera de los métodos de análss anterores Es especalmente útl en algunos crcutos de c.a. Atencón!: Las fuentes dependentes no se deben anular, pues no son causas No oldar que la corrente por un cortocrcuto puede tomar cualquer alor, mentras que la corrente por un crcuto aberto es nula Las ecuacones de un crcuto parcal no son áldas para el o los otros, pues la topología de ambos crcutos es dferente

22 TEMA : Teoría de redes lneales. c) Prncpo de superposcón Ejemplo : Obtener AB utlzando el prncpo de superposcón AB AB AB, sendo AB : tensón debda a I AB : tensón debda a Anulando : Anulando I : esolendo ambos crcutos parcales medante los métodos de análss estudados, se puede obtener que: AB I /( ) AB /( ) AB (I ) /( )

23 TEMA : Teoría de redes lneales. c) Prncpo de superposcón Ejemplo : Obtener I B utlzando el prncpo de superposcón I B I B I B, sendo I B : corrente debda a I I B : corrente debda a Anulando : Anulando I : Y resolendo ambos crcutos parcales medante los métodos de análss estudados, se puede obtener que: I B I /( ) I B /( ) I B (I )/( ) 3

24 TEMA : Teoría de redes lneales. c) Prncpo de superposcón Ejemplo 3: Obtener I B utlzando el prncpo de superposcón I B I B I B, sendo I B : corrente debda a I I B : corrente debda a Anulando : Anulando I : Y resolendo ambos crcutos parcales medante los métodos de análss estudados, se puede obtener que: I B I (β ) I B I B I (β ) (β ) 4

25 TEMA : Teoría de redes lneales. d) Crcutos de dos termnales Qué ocurre s en una red o crcuto lneal conectamos entre dos puntos una resstenca adconal (o resstenca de carga) y hacemos arar su alor? Las correntes y tensones dentro de la red lneal ararán con el alor de Se establecerá una corrente I por la resstenca, y la caída de tensón entre sus termnales será funcón de ella A la relacón -I así obtenda se le denomna ecuacón característca del crcuto, y a su representacón gráfca, cura característca Ejemplo: ecuacón característca del crcuto de la fgura, dados los puntos A y B I L.K.N.: I I I 0; I / I 0 (I) I I Cura característca: 0 0 I I 5

26 TEMA : Teoría de redes lneales. d) Crcutos de dos termnales Atencón!: En crcutos con aras posbldades de eleccón de los termnales, se obtendrán dstntas ecuacones característcas (y dstntos crcutos equalentes) para cada par de termnales. En el ejemplo anteror es nmedato que: tomando los puntos A y B: (I) I I tomando los puntos C y B: (I) ( ) I ( ) I tomando los puntos C y A: (I) I I 6

27 TEMA : Teoría de redes lneales. d) Crcutos de dos termnales Obserar que la relacón obtenda es de la forma (I) A B I; este resultado es general para toda red lneal, por ser combnacón de elementos lneales La constante A ([A] ) corresponde a la stuacón en que I0 ( no conectada o de alor nfnto, o sea termnales en crcuto aberto ), y recbe el nombre de tensón de Théenn, Th La constante B ([B] Ω) recbe el nombre de resstenca equalente, eq (I) Th eq I Todo crcuto lneal se comporta de la msma manera que un crcuto formado por una fuente de tensón en sere con una resstenca (Teorema de Théenn) 7

28 TEMA : Teoría de redes lneales. d) Crcutos de dos termnales S se ntercamban las arables dependente e ndependente, la relacón es de la forma I() C D ; este resultado es tambén general para toda red lneal La constante C ([C] Amp) corresponde a la stuacón en que 0 (0, o sea termnales en cortocrcuto con un cable entre ellos ), y recbe el nombre de corrente de Norton, I n. Como C A/B, entonces I N Th / eq La constante D ([B] Ω) es D B - eq - I() I N eq - Todo crcuto lneal se comporta de la msma manera que un crcuto formado por una fuente de corrente en paralelo con una resstenca (Teorema de Norton) 8

29 TEMA : Teoría de redes lneales. d) Crcutos de dos termnales Los crcutos de Théenn y Norton son a su ez equalentes entre sí: (I) Th eq I I() I N eq - o: (I) eq I N eq I (I) Th eq I (I) eq I N eq I Th eq I N Aplcacón: propedad de transformacón de fuentes 9

30 TEMA : Teoría de redes lneales. d) Crcutos de dos termnales Ejemplo : transformacón de fuentes 30

31 TEMA : Teoría de redes lneales. d) Crcutos de dos termnales Ejemplo : (transformacón de fuentes) 3

32 TEMA : Teoría de redes lneales. d) Crcutos de dos termnales Obtencón de los crcutos equalentes de Théenn y Norton de una red lneal ) Identfcando térmnos una ez obtenda la ecuacón característca ) Imponendo en el crcuto las condcones de crcuto aberto (tensón Th ) y de cortocrcuto (para I N ), y utlzando la relacón entre ellas para obtener eq - S el crcuto no tene fuentes dependentes, se puede obtener eq anulando las fuentes ndependentes y calculando el equalente de la asocacón de resstencas sto desde esos dos puntos Ejemplos - En cualquer crcuto se puede obtener eq anulando las fuentes ndependentes, conectando una fuente de prueba externa (entre los termnales a y b) y hallando el cocente entre la tensón que aplca dcha fuente y la corrente que sumnstra 3

33 TEMA : Teoría de redes lneales. d) Crcutos de dos termnales Ejemplo : obtencón de los crcutos equalentes de Théenn y Norton de un dsor de tensón medante la ecuacón característca Conectamos una resstenca de carga entre los termnales de salda A y B, obtenendo parejas de alores ( o,i o ) para cada alor de dcha resstenca: Ecuacón característca: expresón de o en funcón I o 33

34 TEMA : Teoría de redes lneales. d) Crcutos de dos termnales Identfcando: Tensón equalente de Théenn: tensón en crcuto aberto (alor de o cuando I o 0): esstenca equalente: pendente de la recta (cambada de sgno): Y por equalenca de fuentes (equalenca de equalentes): Corrente equalente de Norton: corrente en cortocrcuto (alor de I o cuando o 0): 34

35 TEMA : Teoría de redes lneales. d) Crcutos de dos termnales Ejemplo : obtencón de los crcutos equalentes de Théenn y Norton de un dsor de corrente medante las defncones de sus parámetros Tensón equalente de Théenn: tensón en crcuto aberto Corrente equalente de Norton: corrente en cortocrcuto 35

36 TEMA : Teoría de redes lneales. d) Crcutos de dos termnales esstenca equalente: Al no haber nnguna fuente dependente, anulamos las ndependentes y obtenemos la resstenca equalente por asocacón de los elementos pasos que concde con el resultado esperado a partr de la equalenca de equalentes: 36

37 TEMA : Teoría de redes lneales. d) Crcutos de dos termnales Ejemplo 3: obtencón de los crcutos equalentes de Théenn y Norton de un crcuto con fuentes dependentes Conectamos una resstenca de carga entre los termnales de salda A y B, obtenendo parejas de alores ( o,i o ) para cada alor de dcha resstenca: Analzamos medante el método de tensones de nodo, para obtener la ecuacón característca del crcuto de dos termnales, o en funcón de I o : 37

38 TEMA : Teoría de redes lneales. d) Crcutos de dos termnales Dos ecuacones con tres ncógntas ( x, o e I o ); elmnamos x entre ambas y obtenemos, o en funcón de I o : la ecuacón característca buscada 38

39 TEMA : Teoría de redes lneales. d) Crcutos de dos termnales Ejemplo 4: crcutos equalentes de Théenn y Norton de la red lneal sta desde los puntos a y b ) Identfcando térmnos en su ecuacón característca: Para obtener (I) conectamos una resstenca de carga entre a y b; o L.K.N.: A I / o I 0; sobra I I A r o 0; I / A r / A / A A r / / o I 0 Fnalmente, (I) A o A A r o A A r o o I Th A o A A r o, eq A A r o o,i N A 39

40 TEMA : Teoría de redes lneales. d) Crcutos de dos termnales ) Imponendo condcones de salda en crcuto aberto y cortocrcuto: En crcuto aberto, Th o o A I o A / o A A r Th / Th A o A A r o En cortocrcuto, o 0 I o 0 I N A I A / eq I Th N o A A r o Atencón!: En la expresón (I) no pueden fgurar otras correntes o tensones que no sean alores nomnales de fuentes ndependentes, n tampoco la resstenca de carga 40

41 TEMA : Teoría de redes lneales. e) Impedanca y análss fasoral Números complejos (j undad magnara, j ): (eje magnaro) (j) b z φ a a c jb c (cosφ a φ arctg b b a a j senφ) jb (eje real) Fórmula de Euler: φ e j cosφ j senφ Hacendo uso de los operadores parte real y parte magnara : cosφ e{ e senφ Im{ e jφ jφ } } Entonces: z a j b c e jφ (formas cartesana y polar o módulo-argumento ) - Complejo conjugado de z: φ z * a j b c e j z z * z 4

42 TEMA : Teoría de redes lneales. e) Impedanca y análss fasoral Todas las redes lneales consderadas hasta aquí presentan la resstenca como únco elemento paso. S presentaran bobnas o condensadores, el sstema de ecuacones a plantear sería ntegro-dferencal, al no ser álda la ley de Ohm para estos dos elementos. (t) (t) (resstencas) d(t) (t) C dt d(t) (t) L dt (t) (t)dt C (bobnas) (condensadores) s d( t) ( t) ( t) L ( t) dt 0 dt C Sn embargo, cuando las fuentes ndependentes son snusodales, medante la formulacón fasoral, la ley de Ohm puede extenderse tambén a bobnas y condensadores. 4

43 TEMA : Teoría de redes lneales. e) Impedanca y análss fasoral Cuando la únca fuente ndependente es snusodal, la resolucón de las ecuacones del crcuto se puede trasladar al espaco complejo, de tal modo que las ecuacones ntegrodferencales se conerten en ecuacones algebracas, y se recuperan las relacones óhmcas entre correntes y tensones (complejas), y, sobre todo, podemos utlzar los métodos aplcables a sstemas lneales: superposcón, Thèenn y Norton. En el espaco complejo, y para funcones con dependenca temporal e jt 43

44 TEMA : Teoría de redes lneales. e) Impedanca y análss fasoral eamos qué forma adoptan las relacones - cuando se extende al espaco complejo la resolucón de algunos crcutos sencllos: Crcuto capacto de señal alterna (t) p d dc jϕ jt jt (t) C c(t) C jc c(t) jc p e e ι e, con ι jc dt dt Con una fuente snusodal de frecuenca, todas las señales del crcuto ar ían con la msma c (t) (t) c ν ι cos( t ϕ pe jc ) (t) ν e dependenca temporal jϕ p e jϕ c Z jc C jt, sendo ν p e jϕ :Impedanca del condensador p e jϕ De forma nersa, medante la ley de Ohm (compleja) ν ι Z, se podría obtener el fasor corrente: ν ι p C ZC π ϕ( ι) ϕ ϕ(zc) ϕ Y la arable temporal se puede obtener como (t) e { j ιe t } 44

45 TEMA : Teoría de redes lneales. e) Impedanca y análss fasoral Crcuto nducto de señal alterna (t) (t) p d L dt cos( t ϕ ν e ) jt c L jι e ν p ι ZL L ϕ( ι) ϕ ϕ(z L (t) ν e jt ) ϕ π jt ; ν ι (t) jl Z L c (t) ι e jt : Impedanca de la bobna Crcuto ressto de señal alterna (t) p (t) (t) cos( t ϕ ) ν ι c (t) ν e ν ι jt ; (t) (t) ι e : Impedanca de la resstenca c jt Se puede demostrar que la ley de Ohm generalzada es tambén álda para cualquer asocacón de elementos pasos: ν ι Z eq (pero por comoddad, usaremos e de forma habtual para desgnar los fasores tensón y corrente) 45

46 TEMA : Teoría de redes lneales. e) Impedanca y análss fasoral La obtencón de la mpedanca equalente de una asocacón sere o de una asocacón paralelo, se calcula de manera análoga a la de las respectas asocacones de resstencas: Ejemplo:Hallar el alor nomnal de dos elementos pasos tales que su mpedanca equalente sea Z eq (7 3j)Ω para la frecuenca de la red eléctrca Z eq Z Z - S los dos elementos están en sere, Z 7Ω ; Z 3jΩ /jc C /3; C /300π,06mF - S los dos elementos están en paralelo, 7 3j Z Z 58 Ω, Z 7 k 58 3j Z ; 7 3j eq j ( Z ) 3 Ω C 64,6µ F jc 58 k Z 46

47 Ejemplo:Deducr la expresón de la corrente que crcula por la sguente malla, sabendo que s (t) m cos(tφ) Puesto que la fuente ndependente es snusodal, utlzamos la formulacón fasoral para analzar el crcuto: TEMA : Teoría de redes lneales. e) Impedanca y análss fasoral mpedanca nducta) L, j (Z Z resstenca o mpedanca ressta) (, L L L φ φ φ j m s ) t j( m m s e } e e{ ) t cos( (t) sendo: luego: mpedanca capacta), C j (Z Z C C C 47 C L arctg j s s C L s C L s e C L C L j Z Z 0 Z Z φ j m s e C L arctg j j m e C L e φ

48 Fnalmente, la expresón temporal de la corrente: TEMA : Teoría de redes lneales. e) Impedanca y análss fasoral φ e e e C L e } e e{ (t) t j C L arctg j j m t j 48 φ φ C L arctg t cos C L (t) e C L e m C L arctg t j m

49 TEMA : Teoría de redes lneales. e) Impedanca y análss fasoral Leyes de Krchhoff en notacón fasoral: ) L.K.N.: en un nodo, Σ k (t) 0 (Conseracón de la carga) Σe{I k exp(j k t) exp(jϕ k )} eσ{i k exp(j k t) exp(jϕ k )} 0; esto se sgue erfcando s mponemos que ΣI k exp(j k t) exp(jϕ k ) 0; y s N ΣI k exp(jϕ k ) 0; fnalmente, defnendo los fasores corrente como k I k exp(jϕ k ) Σ k 0 ) L.K.M.: en una malla, Σ k (t) 0 (Potencal eléctrco, conserato) y medante el msmo proceso se obtene que s k k exp(jϕ k ) Σ k 0 Obseracón: Las leyes de Krchhoff en notacón fasoral sólo son áldas en crcutos con fuentes snusodales de la msma frecuenca 49

50 TEMA : Teoría de redes lneales. e) Impedanca y análss fasoral esolucón de crcutos de corrente alterna (c.a.) ) S hay elementos no resstos, se expresan las señales de las fuentes en forma fasoral ) Se aplcan los métodos de resolucón de crcutos consderando la ley de Ohm generalzada y las mpedancas de los elementos pasos 3) S el crcuto tene fuentes de dstntas frecuencas, smultáneamente se debe hacer uso del prncpo de superposcón 4) A partr de los resultados en notacón fasoral, se obtenen las expresones temporales Ejemplo: Obtener la expresón temporal de la tensón en la resstenca, sendo la fuente de tensón alterna (t) p cos(t) Fuentes con dstnta frecuenca ( 0, ) ( 0) Crcutos parcales ( 0) 50

51 Z e fasoral, en forma (t) Expresando I p C AB p j0 p AB TEMA : Teoría de redes lneales. e) Impedanca y análss fasoral ( ) { } ) t cos( (t) (t) ) ( e e ) ( e fasor C arctg sendo, e e C C j Z m AB AB AB ) t j( m AB t j j m p j C ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 5

52 TEMA : Teoría de redes lneales. e) Impedanca y análss fasoral Atencón!: La mpedanca de un elemento paso no ressto depende de la frecuenca de la fuente que actúa sobre él En el crcuto parcal que resulta al anular, se puede smplfcar el paralelo de las resstencas porque no se pde la corrente por nnguna de ellas Para pasar a la expresón temporal, basta con recuperar la funcón trgonométrca de partda, y añadr en el argumento la fase del fasor solucón Teoremas de Théenn y Norton en crcutos de corrente alterna (frecuenca únca) Todo crcuto lneal se comporta de la msma manera que un crcuto formado por una fuente de tensón en sere con una mpedanca Todo crcuto lneal se comporta de la msma manera que un crcuto formado por una fuente de corrente en paralelo con una mpedanca 5

53 TEMA : Teoría de redes lneales. e) Impedanca y análss fasoral Algunas defncones de uso frecuente en señales dependentes del tempo Dada una señal (t) peródca, con perodo T, se defnen: alor medo (o alor de contnua ): ~ T t0 T t0 (t)dt Para señales snusodales, ~ 0 alor efcaz (o alor rms ): Para señales snusodales, señal. ef ef rms p T, sendo p la ampltud o alor de pco de la Sgnfcado del alor efcaz: en el caso de que la señal sea una corrente (t), es el alor que tendría que tener una corrente contnua I ef para producr la msma dspacón de calor que (t) en un perodo. t0 T t 0 (t)dt 53

54 TEMA : Teoría de redes lneales. f) Máxma transferenca de señal en la nterconexón de crcutos Transferenca de señal a una carga Al conectar una resstenca de carga L entre dos puntos o termnales de una red lneal, se produce la transferenca de corrente, tensón y potenca de la red a la carga: I( L P( ) L ) I eq Th L L ; ( eq ( L L L ) ) eq Th L L Th ; S representamos estas dependencas frente a L, se obsera que: La transferenca de corrente es máxma s L 0 La transferenca de tensón es máxma s L P La transferenca de potenca es máxma s L eq 0 0 eq I En el caso de redes con mpedanca de Théenn no ressta la transferenca de potenca es máxma s Z L Z* eq L 54

55 TEMA : Teoría de redes lneales. f) Máxma transferenca de señal en la nterconexón de crcutos Transferenca de señal a un crcuto de cuatro termnales En ocasones, el receptor de la señal entregada por una red lneal de dos termnales no es una carga, sno otro crcuto ntermedo de cuatro termnales que a su ez se encarga de transferr la señal a la carga o ben a etapas posterores de un crcuto más complejo: En este caso, los crteros de transferenca máxma de señal a la red de cuatro termnales son los msmos, s se consdera que la carga que e la red de dos termnales es la resstenca de entrada de la segunda red. Cómo se calcula la resstenca de entrada de un crcuto?: I sendo e I la tensón y la corrente en el puerto de entrada de ese crcuto. S el crcuto tene elementos no resstos, entonces se habla de mpedanca de entrada. 55

56 TEMA : Teoría de redes lneales. f) Máxma transferenca de señal en la nterconexón de crcutos Ejemplo: Hallar la resstenca de entrada del crcuto p 3 p 3 p p p 3 B) ( ; B) ( I B) ( I I I ; B B I I I ; I 56

57 TEMA : Introduccón a los crcutos selectos en frecuenca a) Fltrado de señales alternas b) Tpos báscos de fltrado c) Funcón de transferenca d) epresentacón gráfca 57

58 TEMA : Introduccón a los crcutos selectos en frecuenca. a) Fltrado de señales alternas Fltrado paso de señales alternas S (t) p sen(πf t ϕ), es una fuente de señal alterna de frecuenca arable, y la red lneal contene algún elemento no ressto, ésta transmtrá las señales de tensón o corrente dstntamente según cuál sea f Para estudar cómo transfere las señales de tensón o corrente de dstntas frecuencas un crcuto de este tpo, se defnen las funcones gananca, que debdo al uso de fasores serán en general funcones complejas de la frecuenca: o o Gananca de tensón A (jf ), Gananca de corrente A (jf) jθ jθ (A A e, A A e ) yo Y en general, las funcones de transferenca H(jf) (yo, x, tensones o correntes) x El estudo matemátco de las funcones A (f) y A (f) permte conocer la relacón entre las ampltudes de las señales de salda y de entrada para cada frecuenca así como la funcón que realza el crcuto. El estudo matemátco de las funcones θ (f) y θ (f) permte conocer el desfase entre las señales de salda y de entrada para cada frecuenca. En ocasones, la mpedanca de carga puede tener alor nfnto ( o 0) 58

59 TEMA : Introduccón a los crcutos selectos en frecuenca. b) Tpos báscos de fltrado Tpos báscos de fltrado Cuando una red selecta en frecuencas transfere a su salda una ampltud extremadamente pequeña de la señal respecto a la ampltud de entrada para un certo rango de frecuencas, se dce que la red fltra la señal de entrada o que es un fltro. Dependendo de qué rango se trate, se dstnguen los sguentes tpos ( A A (f) o A (f) ): IAI IAI IAI IAI 0 f C f 0 0 f C f 0 f L f H f Paso bajo Paso alto Paso banda echaza banda (Crc. resonante) (de corte/notch) f L f f H Frecuencas de corte: f C, f L, f H Ancho de banda del fltro: f f máx f mín ( f f C, y f H f L ) Los crcutos práctcos suelen tener transcones suaes entre la regón de paso y la de rechazo se defne la frecuenca de corte f C como aquélla tal que A ffc A máx / En los crcutos pasos la gananca máxma es gual o menor que (salo excepcones) 59

60 TEMA : Introduccón a los crcutos selectos en frecuenca. c) Funcón de transferenca Ejemplo: Estudar el comportamento del módulo y la fase de la gananca de tensón de los crcutos capactos sguentes: a) b) o ZC A (jf) ; ( Z ) Z jπcf A A (f) máx (πcf) f 0; f f Además, A es sempre decrecente C A, C θ(f) arctg(πcf) C πc o A (jf) (Z ) Z f ; Además, A es sempre crecente Asíntotas y límtes de A : Asíntotas y límtes de A : A A (f) máx C /(πcf) A, C ; /(j πcf) θ(f) arctg πcf f f C πc f <<, πc Lím A ; f 0 A ; Lím A f f >> 0, πc A πcf f <<, A πcf ; πc Lím A 0; Lím A f 0 f f >>, πc A 60

61 TEMA : Introduccón a los crcutos selectos en frecuenca. d) epresentacón gráfca Gráfcamente, dando alores a y C: IA I,0 0.7 f, escala lneal f, escala logarítmca f, escala logarítmca, A db 0 logia I (b) IA I,0 0.7 (b) A db 0-3dB -0*log(f/f C ) 0*log(f/f C ) (b) 0,5 0,5 (a) -0 (a) (a) 0,0 0,0 0 f 3.8Hz C f (Hz) f C f (Hz) f C f (Hz) θ (º) (b) (a) f (Hz) θ (º) (b) (a) f (Hz) Dagramas de Bode del módulo y la fase: a) Fltro paso bajo b) Fltro paso alto Buenas aproxmacones rectlíneas 6

62 TEMA : Introduccón a los crcutos selectos en frecuenca. c) Funcón de transferenca Ejemplo: Estudar el comportamento del módulo y la fase de la gananca de tensón del crcuto sguente, sendo C µf, L mh y 0Ω: out (Z CIIZL ) A (jf) ( Z IIZ ) (Z IIZ ) f A A CL, (f) (f) CH A n máx m 4πC π Asíntotas de A : Límtes de A : C πcf πlf L f f 0 C, C ; π LC f << f, 0 A ; LC L A ; j πcf πlf θ(f) arctg πcf Lf π f f CH f πcf πlf CL πlf πc πl f ; ± f >> f, A... ( πcf) Lím A 0; Lím A 0 f 0 f 6 0 πcf

63 TEMA : Introduccón a los crcutos selectos en frecuenca. d) epresentacón gráfca Gráfcamente, dando alores a, L y C: IA I, ,5 f, escala lneal f, escala logarítmca f, escala logarítmca, A db 0 logia I f f Hz f CL 458Hz f CH 7373Hz f595hz IA I A db -3dB *log(πC f) 0*log(π(L/) f) 0 0*log 0,0 0.0 f CL f 0 f CH f (Hz) f (Hz) f (Hz) θ (º) x0 4 x0 5 f (Hz) θ (º) f Dagramas de Bode del módulo y la fase: Fltro paso banda (Buenas aproxmacones rectlíneas) f (Hz) 63

64 TEMA : Introduccón a los crcutos selectos en frecuenca. d) epresentacón gráfca Dagramas de Bode aproxmados: representacón rápda En un crcuto lneal, las relacones entre los fasores de cualquer par de arables eléctrcas (A, A, Z) se pueden expresar en la forma A, B, C k, D k : constantes complejas que pueden aler cero; : ceros; k : polos 64

65 TEMA : Introduccón a los crcutos selectos en frecuenca. d) epresentacón gráfca Dagramas de Bode aproxmados: representacón rápda Se consderan cnco tpos posbles de contrbucones en la funcón de transferenca: A A db Dagrama lneal ϕ Dagrama lneal k (real) 0 log k 0, π jf/f 0 log(f/f ) π/ jf/ f 0 log(f/f ) π/ (jf/f c ) 0 log (f / f c ) arctg(f/f c ) ( jf/ ) f p 0 log (f / f p ) arctg(f/f p ) 65

66 TEMA : Introduccón a los crcutos selectos en frecuenca. d) epresentacón gráfca A jf/ fa (jf ) jf/ f a ; A 0log f f a 0log f f a ; ϕ π arctg f f a 40 0*log(f/f a ) 80-0*log{sqrt [(f/f a ) ]} 0 Suma de contrbucones lneales 0dB/década 90 A db dB/década f log (Hz) ϕ ( ) arctg(f/f a ) Suma de contrbucones lneales f log (Hz) -45 o /década 66