OLIMPIADAS COSTARRICENSES DE MATEMÁTICAS

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1 OLIMPIADAS COSTARRICENSES DE MATEMÁTICAS UNA - UCR - TEC - UNED - MEP - MICITT Álgebra e iπ + φ φ 0 III Nivel I Eliminatoria Marzo 06

2 Índice. Presentación. Contenidos 3. Algunos consejos útiles 4. Problemas Resueltos 4 Expresiones algebraicas. Valor numérico. Polinomios. Fórmulas notables... 4 Factorización Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias. Racionalización Ecuaciones e inecuaciones de primer grado. Sistemas de ecuaciones lineales. Ecuaciones de segundo grado Ejercicios Propuestos 4 6. Soluciones de los Ejercicios Propuestos 7 7. Créditos 3

3 . Presentación Este material de apoyo tiene como objetivo ayudar a la preparación de los estudiantes de Tercer Nivel para la I Eliminatoria de las Olimpiadas Costarricenses de Matemáticas en el tema de Álgebra. Se incluyen los contenidos y problemas resueltos de ediciones anteriores. Finalmente, se incluye una sección de ejercicios propuestos.. Contenidos Los contenidos que se evalúan en el tema de Álgebra para el III nivel de la I Eliminatoria de las Olimpiadas Costarricenses de Matemáticas son los siguientes:. Expresiones algebraicas. Valor numérico de una expresión algebraica. Polinomios. Fórmulas notables (a + b), (a b), (a + b)(a b), (a + b)(a ab + b ) y (a b)(a + ab + b ).. Factorización: factor común, inspección, fórmula general, fórmulas notables. 3. Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias. Racionalización. 4. Ecuaciones e inecuaciones de primer grado. Sistemas de ecuaciones lineales. Ecuaciones de segundo grado. 3. Algunos consejos útiles En algunos problemas de valor numérico, es posible que no se conozca el valor particular de las variables. No obstante, es posible que despejando y factorizando se pueda obtener el valor numérico de la expresión; ver por ejemplo los problemas resueltos y. El Teorema del Factor establece que dado un polinomio P (x), si P (a) es un cero o raíz de P, entonces P (x) (x a)q(x) para algún polinomio Q(x) (es decir, (x a) es un factor de P ). Dados dos números reales a y b, si conocemos su suma a + b y y su producto ab, podemos calcular la suma de sus cuadrados a + b mediante la primer fórmula notable de la siguiente manera: (a + b) (a + b ) + ab; ver el problema 4. De igual manera se puede despejar el producto ab, o se pueden combinar las otras fórmulas notables para obtener diferentes expresiones; ver el problema resuelto 6.

4 En algunos casos, expresiones de la forma a+b c se pueden convertir en fórmulas notables; ver el problema resuelto 9. Por ejemplo, para que a+b c x +xy+y, se puede buscar dos números reales x, y tales que x + y a y xy b c. Para racionalizar sumas o restas de raíces cuadradas se utiliza la fórmula notable (a + b)(a b) a b ; ver el problema resuelto. De igual manera se puede utilizar la fórmula de cubos (a ± b)(a ab + b ) a 3 ± b 3 para racionalizar sumas o diferencias de raíces cúbicas. En una ecuación cuadrática ax + bx + c 0, a 0, donde b 4ac 0, las raíces x y x vienen dadas por la fórmula general x b + a, x b. a De este hecho se puede deducir que la suma de las raíces es y el producto x + x b a, x x b + a b a b 4a c a. b a b + a De esta manera, con sólo saber los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática, podemos deducir que la suma de las dos raíces es b/a y su producto c/a. Esto corresponde a un caso particular de las llamadas Fórmulas de Vieta. Con la notación del punto anterior, el trinomio ax + bx + c se puede factorizar como ax + bx + c a(x x )(x x ), siempre que 0. Recuerde que si < 0 el trinomio no tiene raíces reales, y si 0 el trinomio corresponde a un trinomio cuadrado perfecto (primera o segunda fórmula notable). 3

5 4. Problemas Resueltos Tema Expresiones algebraicas. Valor numérico de una expresión algebraica. Polinomios. Fórmulas notables (a + b), (a b), (a + b)(a b), (a + b)(a ab + b ) y (a b)(a + ab + b ).. Si x y, determine el valor numérico de ) y x y/ y y + ( x (a) 4 (b) 4 (c) 4 + (d) 4 (Pregunta 9, I Eliminatoria 05, III Nivel) Solución: Note que a pesar que no se conoce el valor de x o y, podemos calcular ) y x y/ y y + x y (x y ) / y y + ( x y + (x y ) x y y y + () y 4, donde usamos las propiedades de potencias a n a n y bm/n n b m, donde a, b R, a 0, y m, n N.. Sean x, y números reales distintos de cero tales que x + y (x y). Entonces, el valor numérico de la expresión x3 + x y y 3 es xy (a) 35 (c) 9 3 (b) 9 (d) 35 3 (Pregunta 4, I Eliminatoria 0, B Nivel) Solución: Primero, simplificando la condición x + y (x y) se obtiene que x + y (x y) x + y x y x 3y 4

6 Luego, sustituyendo la última igualdad en la expresión que queremos calcular, se concluye que x 3 + x y y 3 (3y)3 + (3y) y y 3 xy (3y)y 7y3 + 9y 3 y 3 3y 3 35y3 3y Considere el polinomio P (x) (x + a) (x + b) donde a y b son dos números reales distintos. Si k es un número real tal que P (k) + P ( a) 0, entonces el valor de k es (a) b (c) a b (b) b (d) a + b (Pregunta 0, I Eliminatoria 0, B Nivel) Solución: Primero, intercambiando la x por k, se tiene que P (k) (k + a) (k + b) k + ak + a ( k + bk + b ) k + ak + a k bk b ak + a bk b, donde se utilizó la primer fórmula notable en el primer paso. Del mismo modo, intercambiando ahora k por a, se obtiene P ( a) a( a) + a b( a) b a + a + ab b a + ab b. Finalmente, como por hipótesis P (k) + P ( a) 0, se debe cumplir que P (k) + P ( a) ( ak + a bk b ) + ( a + ab b ) ak bk b + ab 0. 5

7 De esta última ecuación se procede a despejar la variable k: ak bk b + ab 0 ak bk b ab k(a b) b ab k b ab a b b( b + a) k (a b) k b b(a b) (a b) Note que por hipótesis a b, lo que permite despejar el valor de k. Si a b, entonces no existe valor de k que satisfaga la condición P (k) + P ( a) Si la suma de dos números es y su producto es, entonces la suma de los cuadrados de dichos números corresponde a (a) (b) 4 (c) 8 (d) 0 (Pregunta, I Eliminatoria 05, II Nivel) Solución: Sean x, y los dos números. Ellos satisfacen que x + y y xy. Por lo tanto, utilizando la primer fórmula notable, se deduce que x + y (x + y) 4 x + xy + y 4 x + ( ) + y 4 x + y 8. Tema Factorización: factor común, inspección, fórmula general, fórmulas notables. 5. La suma de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 8cm y el área es de 9cm corresponde a 6

8 (a) 0 (b) 7 (c) 8 (d) 64 (Pregunta 0, I Eliminatoria 05, III Nivel) Solución: A pesar de ser un problema de geometría, la solución de este problema utiliza factorización con la primer fórmula notable. Para ello, sean a y b la medida de los catetos. Por el teorema de Pitágoras se cumple que a + b 8, pues la hipotenusa mide 8cm. Como el área es de 9cm, se tiene que y así ab 8. Entonces, a b 9, a + b 64 a + ab + b (a + b) 00 a + b 0. Recuerde que en general x x, x R, pero en este caso a + b > 0 por ser a y b las medidas de los catetos de un triángulo. Por lo tanto, la suma de los dos catetos es a + b Si x + y 6 y x 3 + y 3 07, entonces el valor de x + y es (a) 63 (b) 67 (c) 30 (d) 56 Solución: Mediante la factorización de la suma de cubos se puede escribir x 3 + y 3 (x + y)(x xy + y ) 07. Como x + y 6, sustituyendo se tiene que 6(x xy + y ) 07 x xy + y 67. Por otra parte, (x + y) 6 x + xy + y 56. Al restar las dos últimas ecuaciones se deduce que (x + xy + y ) (x xy + y ) xy 89 xy 63. 7

9 Por tanto, sustituyendo el valor de xy x xy + y 67 x 63 + y 67 x + y En la figura adjunta AB x, AC x y BC x +. Con certeza a b es (a) (b) (c) 4 (d) 5 A (Pregunta, I Eliminatoria 05, II Nivel) Solución: Con base en el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la altura h del triángulo ABC mostrada en el dibujo es igual a h (x + ) a (x ) b (x + ) (x ) a b [(x + ) + (x )][(x + ) (x )] (a + b)(a b) 4x (a + b)(a b), donde utilizamos la factorización de diferencias de cuadrados. Luego, dado que AB x a + b, se concluye que 4 a b. b C a B 8

10 8. Uno de los factores que se obtiene al factorizar el polinomio 9x 4 y 6 4x y 3 z +7z es (a) 3x y 3 + 5z (b) 3x y 3 + 4z (c) 3x y 3 + 7z (d) 3x y 3 z (Pregunta 3, I Eliminatoria 04, III Nivel) Solución: Para factorizar el polinomio, primero separamos el tercer término del polinomio como 7z 6z 9z. De esta manera, mediante la primer fórmula notable se obtiene 9x 4 y 6 4x y 3 z + 7z (9x 4 y 6 4x y 3 z + 6z ) 9z (3x y 3 4z) 9z (3x y 3 4z 3z)(3x y 3 4z + 3z) (3x y 3 7z)(3x y 3 z). Así, 3x y 3 z es uno de los factores del polinomio. 9. La expresión es equivalente a (a) 0 (b) (c) 4 (d) 4 (Pregunta 5, I Eliminatoria 04, II Nivel) Solución: Recuerde que a +ab+b (a+b). Considerando el número irracional 4 + 4, podemos reescribirlo como , y tomando a 4 y b en la fórmula notable, se deduce ( 4 ) ( 4 + ). Por lo tanto ( )

11 Tema 3 Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias. Racionalización. 0. Al efectuar (a) ( b ) b + se obtiene b b b (c) (b) b (d) b (Pregunta 3, I Eliminatoria 05, II Nivel) Solución: Se deduce que ( b ) b + b b b b b b (b + ) (b ) b (b ) b b b b b b. b + b b b + b x 8. La expresión es equivalente a x (a) (x + 4) ( + x ) ( ) (b) (x 4) ( x ) (c) (x ) x (d) (x + ) ( + x ) (Pregunta 6, I Eliminatoria 05, II Nivel) Solución: Multiplicando por el conjugado del denominador se tiene que x 8 x x 8 x + x + x (x 4)( + x ) (x ) (x )(x + )( + x ) x (x + )( + x ). 0

12 ( 4a ) b b a. Al efectuar ( 4a b 4 + b ) se obtiene como resultado a (a) (c) a b a + b (b) (d) a + b a b (Pregunta 3, I Eliminatoria 05, II Nivel) Solución: Realizando las operaciones con fracciones se deduce que ( 4a b b ) a ( 4a b 4 + b ) a 4a b 4 + b a 4a b b a 4a 4ab + b ab 4a b ab (a b) (a b)(a + b) a b a + b. Tema 4 Ecuaciones e inecuaciones de primer grado. Sistemas de ecuaciones lineales. Ecuaciones de segundo grado. 3. El cuadrado de la solución de la ecuación x corresponde a (a) (b) 4 (c) (d) 7 (Pregunta, I Eliminatoria 05, III Nivel)

13 Solución: x x ( 7x ) ( ) ( ) ( ) 7 7x x 4. Siendo m y n constantes reales, el valor que NO debe tomar el parámetro α para que el sistema de ecuaciones lineales { x 3y n tenga una única solución (x, y) es αx + 4y m (a) 3 8 (b) 8 3 (c) 3 8 (d) 8 3 (Pregunta 3, I Eliminatoria 05, III Nivel) Solución: De la primer ecuación se tiene que x n + 3y. Sustituyendo en la segunda ecuación se obtiene ( ) n + 3y α + 4y m αn + 3αy + 8y m m αn y 3α + 8. Luego, y R 3α + 8 0, por lo que α no puede tomar el valor 8 ( ) 3 4n + 3m m αn una única solución. Dicha solución es,. 3α + 8 3α + 8 si se quiere

14 5. La solución de la inecuación 5 (a) ] 8, ] (b) [ 8, [ 4 3x (Pregunta 9, I Eliminatoria 04, II Nivel) Solución: Tenemos que Por lo tanto x ] 8, ]. < 0 es: (c) ], 8] (d) ], 8[ 4 3x 5 < x < x < x > 4 3 x > La ecuación x x + m mx + m tiene dos soluciones reales distintas para cualquier valor de m que cumpla con la siguiente condición (a) m < 3 4 (b) m > 3 4 (c) m (d) m < (Pregunta 8, I Eliminatoria 03, III Nivel) Solución: Note que la ecuación se puede reescribir como x x( + m) + (m m ) 0. Para tener dos soluciones reales distintas debe cumplirse que el discriminante es positivo. Esto es b 4ac > 0 [ ( + m)] 4(m m ) > 0 + 4m + 4m 4m + 8m + 8 > 0 m + 9 > 0 m >

15 5. Ejercicios Propuestos. Si x >, la expresión es equivalente a (x )(x + ) (x + )(x 4 + ) + x 3 x + x (a) x (c) x 6 (b) x 4 (d) x 8 (Pregunta, I Eliminatoria 05, III Nivel). Al simplificar la expresión (4 + 7) ( + 7) se obtiene como resultado (a) (b) 4 (c) + 7 (d) (Pregunta 8, I Eliminatoria 05, III Nivel) 3. Si P (x) es un polinomio tal que 3 y 5 son dos de sus ceros, entonces, con certeza se puede asegurar que un factor del polinomio Q(x) P (x) + (x 9)(x + 5) es (a) x + 3 (b) x 5 (c) x 3 (d) x Sean a, b, x, y números reales tales que xy b y x + a. El valor de (x + y) y es (a) (a + b) (b) b(ab + ) (c) a + b (d) ab(b + ) (Pregunta 9, I Eliminatoria 04, III Nivel) 4

16 5 ( ) 5. El número (a) irracional (b) racional no entero es (c) entero no natural (d) natural (Pregunta 0, I Eliminatoria 04, III Nivel) 6. Si a y b son dos números reales positivos distintos tales que a b + b a 3 entonces el valor de a + b a b es (a) (b) 3 (Pregunta 7, I Eliminatoria 04, III Nivel) (c) (d) 5 7. Si x + y + z xy + xz + yz entonces la expresión x 8 + y 8 + z 8 7 (x + y + z) + x 9 + y 9 + z (x + y + z) + x 0 + y 0 + z (x + y + z) 0 es igual a (a) (b) (c) 3 (d) 4 (Pregunta 5, I Eliminatoria 04, III Nivel) 8. Al efectuar la división (a 98 ) [ a 7 (a 49 a 4 + ) ) ] Cuántos términos tiene el polinomio cociente? (a) 5 (b) 6 (c) 7 (d) 8 (Pregunta 4, I Eliminatoria 05, III Nivel) 5

17 9. La expresión (a) a + b (b) a b (c) a + b (d) a b a + b + a b b a a + b a b (Pregunta 0, I Eliminatoria 05, II Nivel) es equivalente a 0. Encuentre el resultado de la siguiente suma: (a) 7 (b) 8 (c) 9 (d) 0 (Pregunta 6, I Eliminatoria 008, B Nivel). Si a y b son números reales tales que ab, y si x, y, a, b satisfacen el sistema de ecuaciones x b + y a x b y a Entonces el valor de xy es (a) 3 (c) 3 (b) 3 (d) 3 (Pregunta, I Eliminatoria 03, III Nivel) 6

18 . Una solución de la ecuación a(x ) bx, con a, b R constantes diferentes de x+ cero, es (a) b a b a (b) b + b a a (c) b a + b b (d) b + a + b a (Pregunta 5, I Eliminatoria 03, C Nivel) 6. Soluciones de los Ejercicios Propuestos. Solución: (Pregunta, I Eliminatoria 05, III Nivel) Factorizando el denominador del último término, y multiplicando ambas raíces mediante la fórmula notable de diferencia de cuadrados, se tiene que (x )(x + ) (x + )(x 4 + ) + x 3 x + x (x )(x + ) (x + )(x 4 + ) + (x )(x + )(x + )(x 4 + ) + (x )(x + )(x 4 + ) + (x 4 )(x 4 + ) + x 8 + x 4 (x )(x + ). Solución: (Pregunta 8, I Eliminatoria 05, III Nivel) Racionalizando obtene- 7

19 mos: (4 + 7) 4 + 7( + 7) (4 + 7) ( + 7) ( + 7) ( + 7) ( + 7) ( + 7) ( + 7). 3. Solución: Como 3 y 5 son dos ceros del polinomio P (x), entonces P se puede escribir de la forma P (x) (x + 3)(x 5)R(x), para algún polinomio R(x). Por tanto, como Q(x) P (x) + (x 9)(x + 5), sustituyendo P (x) se tiene que Q(x) (x + 3)(x 5)R(x) + (x 9)(x + 5) y así (x + 3) es un factor de Q(x). (x + 3)(x 5)R(x) + (x + 3)(x 3)(x + 5) (x + 3) [(x 5)R(x) + (x 3)(x + 5)], 4. Solución (Pregunta 9, I Eliminatoria 04, III Nivel) Completando cuadrados, se tiene que a x + y x + xy + y xy ( x + ) y xy ( ) x + y xy xy (x + y) (xy) xy (x + y) b b. 8

20 Entonces (x + y) b ( a + b ) b(ab + ). 5. Solución (Pregunta 0, I Eliminatoria 04, III Nivel) Primero, note que ( + 5) + 5. De manera similar Por lo tanto, ( ) ( ) ( + 5) + ( 5 ) Por lo tanto el número es natural Solución (Pregunta 7, I Eliminatoria 04, III Nivel) La ecuación a b + b a 3 es equivalente a Entonces, Por lo tanto, a + b a b 5. a + b 3ab. ( ) a + b a b (a + b) (a b) a + b + ab a + b ab 3ab + ab 3ab ab 5ab ab Solución (Pregunta 5, I Eliminatoria 04, III Nivel) Si se multiplica la ecuación x + y + z xy + xz + yz por a cada lado, se obtiene (x y) + (y z) + (x z) 0. Como cada sumando es mayor o igual a cero, se debe cumplir que x y y z x z 0, 9

21 y así x y z. De esta manera x 8 + y 8 + z 8 7 (x + y + z) + x 9 + y 9 + z (x + y + z) + x 0 + y 0 + z (x + y + z) 0 x 8 + x 8 + x 8 7 (x + x + x) + x 9 + x 9 + x (x + x + x) + x 0 + x 0 + x (x + x + x) 0 3x 8 7 (3x) + 3x (3x) + 3x (3x) Solución: (Pregunta 4, I Eliminatoria 05, III Nivel) Primero, al simplificar la expresión se obtiene (a 98 ) [ a 7 (a 49 a 4 + ) ) ] (a49 )(a 49 + ) a 56 a 49 + a 7 (a49 )(a 49 + ) (a 49 + )(a 7 ) a49 a 7. Sustityuendo b a 7, se sigue que debemos efectuar la división b 7 b b6 + b 5 + b 4 + b 3 + b + b +. Por lo tanto a 49 a 7 a4 + a 35 + a 8 + a + a 4 + a

22 9. Solución: (Pregunta 0, I Eliminatoria 05, II Nivel) Racionalizando se obtiene a + b a + b + a b b a a b a + b a b + a b b a a + b a b a b a a a b + b a b b a b a a + a b b a b b a b a( a + b) b( a + b) a b (a b)( a + b) a + b. a b + a b b a a b 0. Solución: (Pregunta 6, I Eliminatoria 008, B Nivel) Cada término de la suma se puede racionalizar, para obtener n n + n + n + n + n + n n + n n + n (n + ) n + n +, para n 99. De esta manera, la suma inicial se convierte en ( + ) + ( + 3) + ( 3 + 4) + + ( ) Solución: (Pregunta, I Eliminatoria 03, III Nivel) Elevando al cuadrado cada ecuación se obtiene Restando ambas ecuaciones se obtiene x b + y a + xy ab x b + y a xy ab 4 4xy ab 3,

23 por lo que xy 3ab Solución: (Pregunta 5, I Eliminatoria 03, C Nivel) Note que la ecuación es equivalente a a(x )(x+) bx, x. Multiplicando y agrupando se obtiene la ecuación cuadrática ax bx a 0, cuyas soluciones vienen dadas por la fórmula general x b ± 4b + 4a a b ± b + a. a

24 7. Créditos Este documento es un material de apoyo sobre Álgebra para estudiantes que participan en el tercer nivel de la primera eliminatoria de las Olimpiada Costarricenses de Matemáticas. Autor Juan Gabriel Calvo. Editor Juan Gabriel Calvo. Revisor Leonardo Coto Mora Para referenciar este documento Olimpiadas Costarricenses de Matemáticas (06). Material de apoyo sobre Álgebra: III nivel, I Eliminatoria. San José, Costa Rica: autor. 3