Contenidos. Función cuadrática y = a x 2 + b x + c

Transcripción

1 Contenidos Ecuaciones de º grado- Función cuadrática Ecuaciones de º grado Ecuaciones que se relacionan con las de º grado Sistemas de ecuaciones. Resolución analítica y gráfica. Inecuaciones con una y dos incógnitas. Función cuadrática y a + + c Su representación gráfica es una paráola de eje paralelo al eje de ordenadas y que pasa por su vértice. Para su representación gráfica dees tener en cuenta que:. Si a > 0, sus ramas se aren hacia ordenadas positivas ( ver ejercicio ). Si a < 0, sus ramas se aren hacia ordenadas negativas ( ver ejercicio ) 3. Su vértice está situado en el punto de coordenadas ( v, y v), donde v otiene sustituyendo en la ecuación y v a ( v ) + v + c 4. Puntos de corte con los ejes a + + c Con eje de ordenadas: solución del sistema punto ( 0, c ) 0.. El valor y v se a Con eje de ascisas: solución del sistema a c de donde:, 4ac.Pudiendo ocurrir que: a -4ac > 0 Hay dos puntos de corte con eje de ascisas (ver ejercicio ) -4ac 0 Hay dos puntos de corte iguales, punto dole (ver ejercicio ) -4ac < 0 La gráfica NO CORTA al eje de ascisas (ver ejercicio 3) Otenidos los puntos anteriores, y si fuese necesario, puedes otener otros puntos con sólo dar valores a en la ecuación de la función o tamién por simetría con los puntos hallados..- Representa gráficamente la función y Corte con eje de ordenadas punto ( 0, 4 ) 0 --

2 Ecuaciones de º grado- Función cuadrática Corte con eje de ascisas , 6 ± ( ) , 3 + 3, Puntos : ( 3 3, 0 ) y ( 3 + 3, 0 ) Coordenadas del vértice: v 6 a vértice ( 3, 3 ) Representación gráfica. Se completa con los puntos y y v y - ^ + 6* + 4 Oservemos que deido a la simetría respecto de un eje que pasa por el vértice ( ascisa 3), para valores equidistantes de 3 se otiene el mismo valor de la ordenada..- Representa gráficamente la función y Corte con eje de ordenadas punto ( 0, 4 ) 0 Corte con eje de ascisas 0 4 ± ( 4) 4 + 4, ,, es una solución dole Puntos : (, 0 ) y (, 0 ) Coordenadas del vértice: v ( 4) a y v vértice (, 0 ) y ^

3 La Representación gráfica se completa con los puntos Ecuaciones de º grado- Función cuadrática y Representa gráficamente la función y Corte con eje de ordenadas punto ( 0, 3 ) 0 Corte con eje de ascisas 0 + 3, No eisten raíces reales por ser negativo el radicando. ( ) ± ( ) ± 0. Coordenadas del vértice: 30 v ( ) a y v.( ) -.( ) vértice (, 5 ) 4 La Representación gráfica se completa con los puntos y y^ y

4 ECUACIONES DE º GRADO INCOMPLETAS Ecuaciones de º grado incompletas Una ecuación de º grado completa tiene una epresión matemática de la forma a + + c 0 Si 0 ó c 0, se dice que la ecuación es incompleta. Tenemos dos modelos de ecuaciones incompletas, según que ó c sean cero. a) Modelo a + 0 Ejercicio: Resolver las ecuaciones que se indican: Sacamos a como factor común: 3.( 3 ) 0. Para que un producto de factores sea cero, es necesario que alguno de ellos sea cero. De aquí tenemos que: O ien 0 O ien 3 0 de donde Sacamos a como factor común: + 8.( + 8 ) 0. Para que un producto de factores sea cero, es necesario que alguno de ellos sea cero. De aquí tenemos que: O ien 0 O ien de donde 8 ) Modelo a + c 0 Ejercicio: Resolver las ecuaciones que se indican: Despejamos en la ecuación: 3 ± Despejamos en la ecuación: -8-4 ± 4. No tiene solución -4-

5 ECUACIONES BICUADRADAS: a c 0 Ecuaciones Bicuadradas Ecuaciones irracionales Se resuelven utilizando la misma epresión matemática que para las ecuaciones de segundo grado. La diferencia está en que otenemos los valores correspondientes a y a por lo que después tendremos que hallar ± y ± Ejercicio Resolver las ecuaciones siguientes a) , 4ac a 8 ± ( 8) ± ± Soluciones: - 3, + 3 ± Soluciones: - 3, + 3 Si necesitásemos factorizar la epresión dada tendríamos: ( + 3) ( 3 ) ( + 3 ) ( 3 ) ( + 3). ( 3 ) de donde ) , 4ac a 0 ± (0) ± ± Soluciones: -, + ± Soluciones: - 3, + 3 Si necesitásemos factorizar la epresión dada tendríamos: ( + ) ( ) ( + 3 ) ( 3 ) de donde c) , 3 5 4ac a 3 ± 3 4..( 4). 3 ± ± 4 No tiene soluciones reales de donde -5-

6 3 + 5 ± Soluciones: -, + Ecuaciones Bicuadradas Ecuaciones irracionales Si necesitásemos factorizar la epresión dada tendríamos: ( + 4) ( + ) ( - ) ECUACIONES IRRACIONALES En ellas la se encuentra ajo una raíz, en nuestro caso, cuadrada. Consideraremos únicamente dos modelos: a) f () g() Su resolución se efectúa elevando, amos miemros, al cuadrado y posteriormente resolviendo la ecuación resultante. ) f () + g () h() Se comienza colocando una de las raíces en cada miemro, por ejemplo, f () h() - g (). Acto seguido se elevan al cuadrado amos miemros, resultando otra ecuación irracional que pertenece al modelo descrito en a), procediendo tal y como hemos señalado en el citado apartado. Es necesario comproar la validez de las soluciones halladas porque, al elevar una ecuación al cuadrado, pueden introducirse soluciones etrañas que no satisfagan la ecuación dada. Ejercicio Resolver las ecuaciones siguientes a) (5 ) ( 0 ) Comproación: válida. ) aislamos, en un miemro, la raíz 4 0 ( 4) ( 0 ) , 4ac a 7 ± ( 7) ± 5 de donde: -6-

7 7 5. Comproación: NO VÁLIDA Comproación: VÁLIDA Ecuaciones Bicuadradas Ecuaciones irracionales c) Elevamos al cuadrado: ( 5 ) ( 4 - ) (-) simplificamos por 4 4 Elevando al cuadrado nuevamente ( 4 ) ( ) , 4ac a ± ( ) ± 64 de donde: Comproación: VÁLIDA. Comproación: NO VÁLIDA c) ; Separamos las raíces ; elevamos al cuadrado ( ) ( ) ( + 4 ) ; Elevando nuevamente al cuadrado 4 ( + 4 ) Resultando la ecuación Aplicando la regle de Ruffini La única solución entera es 5. Fácilmente se puede comproar que es solución de la ecuación dada. -7-

8 Sistemas de ecuaciones analítica y gráfica SISTEMAS DE ECUACIONES. RESOLUCIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA. Aquí aordaremos la resolución de sistemas de dos ecuaciones, de primero o segundo grado, con dos incógnitas y sistemas de primer grado con tres incógnitas. Según el ejercicio propuesto utilizaremos en la resolución, uno de los tres métodos ya conocidos: reducción, igualación y sustitución. Para un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas puedes saer si el sistema tiene o no solución si tienes en cuenta que: Si a a a + y c, antes de su resolución, a + y c el sistema tiene solución única. La resolución gráfica nos da dos rectas que se cortan en un punto cuyas coordenadas son la solución del sistema. Si a c. El sistema no tiene solución ( incompatile ). La resolución gráfica nos da dos a c rectas paralelas ( no coincidentes ). Si a c. El sistema tiene infinitas soluciones ( indeterminado ). La resolución gráfica nos da a c dos rectas paralelas superpuestas ( coincidentes ). Para la representación gráfica de a + y c, dees tener presente que se trata de una recta y por ello sólo serán necesarios dos puntos para otener su grafica. y.- Resuelva analítica y gráficamente el sistema: 3 + y a) Analíticamente Aplicaremos el método de sustitución, despejamos la incógnita y de la ª ecuación y sustituimos su valor en la primera ecuación y 3 3 ( 3 ) - de donde se deduce que 0. Para este valor de resulta que y 3. 0 y Punto ( 0, ) ) Gráficamente 0 y - y 3 0,0 5,0 0,0 5,0 0,0 -,5 - -0,5 0 0,5,5-5,0 3 + y ,0 -y- 3+y y 4-8-

9 Sistemas de ecuaciones analítica y gráfica.- Resuelva analítica y gráficamente el sistema: y 4 3 3y 8 Quitamos denominadores en la ª ecuación, multiplicando a los dos miemros por 6. Resulta el nuevo sistema: 3y 4 3y 8 a c 3 4 Comproamos que:. a c 3 8 El sistema no tiene solución ( incompatile). Gráficamente otendremos dos rectas paralelas no coincidentes. - 3y 4-3y 8 0 y y y4-3y Resuelva analítica y gráficamente el sistema: + y Se trata de un sistema formado por una ecuación lineal y otra de segundo grado a) Analíticamente Resolveremos por el método de igualación, despejando la incógnita y de amas ecuaciones e igualando los resultados otenidos Ecuación de º grado de la que otienes como soluciones y - 4. Para resulta que y -. Punto de corte (, -) Para -4 resulta que y -7. Punto de corte ( -4, -7) -9-

10 Sistemas de ecuaciones analítica y gráfica ) Gráficamente Para la resolución gráfica dees tener presente que: y 3 5 tiene como representación gráfica una recta por lo que sólo necesitarás dos puntos para su representación. y - es una función cuadrática por lo que para su representación deerás seguir el proceso marcado en las páginas y de este tema y3-5 y-^ Resuelva analítica y gráficamente el sistema: 3 Se trata de un sistema formado por una ecuación lineal y otra de segundo grado ) Analíticamente Resolveremos por el método de sustitución, llevando el valor de la incógnita y de la segunda ecuación a la primera. y 3 ( 3 ) Ecuación de º grado de la que otienes como soluciones - y 3. Para - resulta que y 4. Punto de corte ( -, 4 ) Para 3 resulta que y 0. Punto de corte ( 3, 0) ) Gráficamente Para la resolución gráfica dees tener presente que: y 3 5 tiene como representación gráfica una recta por lo que sólo necesitarás dos puntos para su representación. y - es una función cuadrática por lo que para su representación deerás seguir el proceso marcado en las páginas y de este tema y -+3 y^

11 Inecuaciones INECUACIONES I.- Con una incógnita y de primer grado.- Ejercicio Resuelve la siguiente inecuación Quitamos denominadores multiplicando a los dos miemros por 6. 3(3-) (+7) : intervalo (,4 ].- Ejercicio 5 p Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones 6 p 3 4 A diferencia de los sistemas de ecuaciones, en estos sistemas se resuelve cada inecuación por separado y se usca después la solución común. Inecuación 5 < < 7 < : intervalo ( 7, ) Inecuación 6 < < 0 < 5 : intervalo ( 4, ) común: intervalo ( 7, ) II.- Con una incógnita y de segundo grado.- Ejercicio Resuelve la siguiente inecuación +3 0 Comenzaremos uscando las soluciones de la ecuación de segundo grado asociada a esta inecuación: +3 0 Sus raíces son: y - 3. Estos valores dividen a la recta real en tres zonas (, 3 ] [, ) [, ) --