Clase I. Ejemplo donde equilibrios de Nash y de Nash perfecto en subjuegos no coinciden

Transcripción

1 Economía política Jorge M. Streb Clase Temas. Ejemplo donde equilibrios de Nash y de Nash perfecto en subjuegos no coinciden. Representación de un juego en forma normal y extensiva. Equivalencia de forma normal y extensiva V. nformación imperfecta e incompleta V. Ejemplos de diferencias información en problema de coordinación V. Equilibrio de Nash bayesiano perfecto esarrollo. Ejemplo donde equilibrios de Nash y de Nash perfecto en subjuegos no coinciden Esto no lo discutimos en clase, pero sirve para entender la especificidad del equilibrio perfecto en subjuegos. Si se resuelve por inducción hacia atrás el gráfico, el jugador 2 juega la estrategia en los dos subjuegos, y el jugador juega : esto lleva al equilibrio de Nash perfecto en subjuegos [, (,)]. El resultado del juego es (,) que lleva a pagos de (,). Gráfico. Juego con amenazas no creíbles Jugador 2, -2, 2, -2 3, 4

2 Si representamos a este juego en forma normal, el jugador puede elegir a A ={,}, y dado a, el jugador 2 puede elegir a 2 A 2 ={,}. Los pagos (u (a, a 2 ), u 2 (a, a 2 )) son (2,- 2) para (,(,.), (,) para (,(,.), (2,-2) para (,(., )y (3,4) para (,(., ). Cuadro. Juego con amenazas no creíbles Jugador,,,, 2,-2 2,-2,, 2,-2 3,4 2,-2 3,4 En este juego, hay tres equilibrios de Nash en estrategias puras: [, (,)], [, (,)], y [, (,)]. La idea de Selten de que en cada subjuego las estrategias sean un equilibrio de Nash hace que, fuera del sendero de equilibrio, se eliminen en otros subjuegos lo que podrían ser amenazas no creíbles (es decir, acciones que no serían ejecutadas si llegara el momento de efectivamente hacerlas). Precisamente, el equilibrio de Nash [, (,)] implica lo que Selten llama amenazas no creíbles fuera del sendero de equilibrio, a saber, que 2 juegue si se desvía a. El equilibrio de Nash [, (,)] tampoco es perfecto en subjuegos, aunque en este caso la jugada fuera de equilibrio no afecta al resultado.. Representación de un juego en forma normal y extensiva Estuvimos discutiendo dos formas de representación de juegos, la forma normal y la extensiva. Para los juegos de dos jugadores, la forma normal se puede ver como una generalización de una matriz de decisión bajo incertidumbre donde los cursos de acción determinan las filas, los estados de naturaleza las columnas y las celdas representan los pagos del decisor. La forma normal es una matriz de juegos donde las filas son los cursos de acción del primer jugador, las columnas son los cursos de acción del otro jugador y las celdas son pares ordenados que representan los pagos de los jugadores fila y columna (en ese orden). La 2

3 incertidumbre del jugador fila sobre los pagos pasa a ser endógena, ya que depende de la respuesta del otro jugador a sus acciones, y no exógena como en el caso donde las columnas son los diversos estados de la naturaleza. e forma similar, la forma extensiva se puede ver como una generalización de árbol de decisión para contemplar la interacción de dos (o más) jugadores. Mientras que para decisiones simultáneas es más simple mirar forma normal, para decisiones secuenciales la forma extensiva es más conveniente.. Equivalencia de las formas normal y extensiva Ahora vamos a ver en más detalle la equivalencia entre ambas formas de representar un juego tomando un ejemplo bien conocido: el dilema del prisionero. Luego miramos al juego de coordinación. A. ilema del prisionero: información imperfecta El dilema del prisionero es un juego con información imperfecta. Cuando decide, no sabe si 2 eligió o (esta incertidumbre de hecho se resuelve en el equilibrio Nash, ya que ahí las expectativas están determinadas por las estrategias de equilibrio que indican que confiesa). Cuadro 2. ilema del prisionero: información imperfecta Prisionero 2 Prisionero -,- -6,,-6-3,-3 A la forma normal con equilibrio Nash [, ] le corresponde la siguiente forma extensiva: 3

4 Gráfico 2. ilema del prisionero: información imperfecta Prisionero Prisionero 2 -, - -6, -, -6-3, -3 B. ilema del prisionero y la información perfecta Con información perfecta, el dilema del prisionero cambiaría, ya que el prisionero 2 sabe lo que hizo el prisionero antes de decidir. En los juegos de información perfecta, la resolución se puede hacer por inducción hacia atrás. Se resuelve cada subjuego, reemplazándolo por pagos equilibrio, y se sigue resolviendo secuencialmente. Acá vemos que esto nos lleva a pagos de (-3,-3) que corresponden al resultado (, ). 4

5 Gráfico 3. ilema del prisionero secuencial : información perfecta Prisionero Prisionero 2 Prisionero 2 -, - -6, -, -6-3, -3 A esta forma extensiva le corresponde el siguiente juego en forma normal: Cuadro 3. ilema del prisionero secuencial : información perfecta Prisionero 2,,,, Prisionero -,- -,- -6, -6,,-6-3,-3,-6-3,-3 El prisionero 2 tiene dos nodos de decisión, no uno. Por tanto, en la forma normal una estrategia para el prisionero 2 es un par de acciones ya que hay que especificar qué se va a hacer en cada uno de los dos nodos de decisión, es decir, el jugador 2 tiene que especificar las siguientes estrategias condicionales: qué va a hacer si no confiesa, qué va a hacer si confiesa. El equilibrio Nash es [, (, )], que lleva al resultado (, ) que encontramos por inducción hacia atrás. C. Otro ejemplo de información perfecta: desaparece problema coordinación 5

6 Un ejemplo de información imperfecta es con el juego de coordinación. Si hay información perfecta, el problema de coordinación desaparece. El problema de coordinación se puede representar como sigue cuando hay información perfecta: Gráfico 4. Coordinación con información perfecta Jugador,,,, En este caso, no hay problema de coordinación alguno: cuando se resuelve por inducción hay atrás, hay dos resultados posibles, que ambos elijan o, pero no aparece el equilibrio en estrategias mixtas. e hecho, el jugador va a estar dispuesto a jugar una estrategia mixta, por ejemplo elegir o con igual probabilidad, porque el otro jugador va a seguir su ejemplo, imitando la estrategia pura que resulta elegida (esto se conoce como equilibrio híbrido, porque un jugador juega estrategia mixta y el otro una estrategia pura). Si representamos esto en forma normal: Cuadro 4. Coordinación con información perfecta,,,,,,,,,,,, 6

7 Aparecen cuatro equilibrios de Nash en estrategias puras, aunque no todos son igualmente razonables, es decir, no todos son equilibrios de Nash perfecto en subjuegos. Si el jugador juega cualquier estrategia mixta, en cambio, el jugador 2 sólo quiere jugar la estrategia (,): es el equilibrio híbrido que se corresponde con discusión anterior. V. nformación imperfecta e incompleta La forma extensiva hace más fácil distinguir entre información perfecta e imperfecta. Pero el mismo esquema tambien sirve para representar la información incompleta. Ahora distinguimos entre ambas. efinición: información imperfecta es no saber acciones del otro. Esto está relacionado con riesgo moral. Por ejemplo, en el dilema del prisionero del cuadro y del gráfico, las decisiones son simultáneas, por lo que hay información imperfecta. Si el equilibrio Nash es en estrategias puras, la información imperfecta desaparece en equilibrio; si es en estrategias mixtas, permanece. efinición: información incompleta es no saber las preferencias (el tipo ) que tiene el otro. Esto está relacionado con selección adversa. Fue una idea de Harsanyi para incorporar incertidumbre sobre quién es el otro de una manera acotada, especificando tipos posibles y distribución probabilidad de diferentes tipos V. Ejemplos de diferencias de información en problema de coordinación Ahora vamos a tomar el juego de coordinación para ilustrar las combinaciones posibles. Se puede pensar otra variante más compleja del juego de coordinación, donde hay dos tipos de jugador : uno de tipo que tiene buenos resultados cuando juega, otro de tipo 2 que tiene buenos resultados cuando juega. Esto introduce el tema de información incompleta. Se puede representar información perfecta y completa, imperfecta y completa, perfecta e incompleta, e imperfecta e incompleta, como hacemos en los gráficos que siguen. No es nuestro propósito aquí discutir los equilibrios, ya que en particular todavía no discutimos nada de los equilibrios con información incompleta. 7

8 Gráfico 5. Coordinación con información perfecta y completa Naturaleza r -r Jugador tipo Jugador tipo 2 Gráfico 6. Coordinación con información imperfecta y completa Naturaleza r -r Jugador tipo Jugador tipo 2 8

9 Gráfico 7. Coordinación con información perfecta e incompleta Naturaleza r -r Jugador tipo Jugador tipo 2 p q -p -q Gráfico 8. Coordinación con información imperfecta e incompleta Naturaleza r -r Jugador tipo Jugador tipo 2 9

10 V. Equilibrio de Nash bayesiano perfecto A. Juego continuación Puede no haber un subjuego bien definido que empiece en un nodo unitario. Sin embargo, puede haber un juego continuación que empiece en un conjunto de decisión no unitario. Como ejemplo está el gráfico que sigue (que reproduce el gráfico 4..3 en Gibbons). Si uno considera los equilibrios Nash, hay dos, (,) y (,), mientras que los equilibrios perfectos en subjuegos también están dados por (,) y (,) ya que no hay subjuegos propiamente dichos. Gráfico 9. Juego sin subjuegos Jugador 3 M 2 2 A veces la distinción entre subjuego y juego continuación es medio artificial, como en este gráfico: si uno agrega en el gráfico que sigue la jugada no, antes de las jugadas y M, entonces sí hay un subjuego propiamente dicho. Si bien eso no cambia la información disponible al jugador 2 (que sabe, si le toca jugar, que no eligió, sino que eligió o M), sí tiene efectos sobre el equilibrio del juego: ahora se puede descartar el equilibrio Nash (,), ya que es una estrategia dominada para el jugador 2 en el nuevo subjuego.

11 Gráfico. Jugada que introduce subjuego sin cambiar información del juego Jugador ~ 3 M 2 2 Este ejemplo es muy específico. Por eso, ahora pasamos a ver otra manera de descartar el equilibrio Nash donde el jugador uno mueve. Esta idea tiene la virtud de generalizar la idea de perfección de los subjuegos a los juegos continuación, algo que es típíco de los juegos de señales. B. Requisitos de equilibrio de Nash bayesiano perfecto Los cuatro requisitos (R a R4) de equilibrio de Nash bayesiano perfecto, tomando la caracterización de Gibbons en su capítulo 4, son que: - R2: las estrategias deben ser óptimas dadas las expectativas; - R: las expectativas de los jugadores deben estar definidas en todos los conjuntos de información (probabilidades subjetivas sobre cada nodo decisión en conjunto de información), tanto sobre el sendero de equilibrio como fuera del sendero de equilibrio; - R3 y R4: sobre el sendero equilibrio, las expectativas están determinadas por la regla de Bayes y las estrategias de equilibrio, y fuera del sendero equilibrio se aplica el mismo requisito cuando es posible.

12 Un ejemplo es con el juego del gráfico 9: por R se pide que expectativas estén definidas también en los juegos continuación, no sólo en los subjuegos. esaparece el equilibrio (,) por esta razón, sin necesidad de introducir la jugada no discutida en el gráfico que hacía que hubiera un subjuego propiamente dicho. Por tanto, el equilibrio de Nash bayesiano perfecto es una generalización del equilibrio Nash perfecto en subjuegos, ya que es perfecto en juegos continuación. Gibbons resalta que en equilibrio (Nash) bayesiano perfecto las expectativas son elevadas al mismo nivel que las estrategias en la definición de equilibrio. e hecho esto es una característica del equilibrio Nash sobre el sendero de equilibrio, por la consistencia de expectativas que se agrega a racionalidad de los jugadores, donde las expectativas de todos los jugadores están dictadas por estrategias de equilibrio; lo nuevo son que estos requisitos se piden también, en lo posible, fuera de sendero de equilibrio. Gibbons resalta también la circularidad de la solución, ya que el juego no necesariamente se puede resolver de abajo hacia arriba, como cuando se usa inducción hacia atrás en los juegos de información perfecta: esto también es típico de equilibrio Nash, en tanto las estrategias de equilibrio son respuestas óptimas mutuas. Una manera sucinta de caracterizar al equilibrio Nash bayesiano perfecto es decir que es Nash, Nash, Nash: Nash en juego, Nash en subjuegos, Nash en juegos continuación. Referencias Gibbons, Robert (992), Game theory for applied economists, Princeton, NJ, Princeton University Press (en castellano: Un primer curso de teoría de juegos, Barcelona, Bosch). 2