Examen final de Cálculo Numérico. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Navales

Transcripción

1 Examen final de Cálculo Numérico. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Navales Curso de abril de 24. Número... Apellidos... Nombre... Problema 1. Tiempo para esta parte : 55 minutos Puntuación: 4. p Se considera una placa triangular D de vértices (, ), (1, ) y (, 1). Se trata de conocer la temperatura T (x, y) en su interior suponiendo que ésta verifica la ecuación de Laplace, y que en la frontera de la placa se tiene que x = T (x, y) = 1x y =1 x 1x 2 y = 1. Se pide estimarla con un esquema de diferencias finitas utilizando un operador centrado de tres puntos para las derivadas segundas en x e y, y tomando un espaciado en las dos direcciones igual a.25 (1.8p). 2. Queremos estimar la temperatura en la placa a lo largo de la recta y =.75 x utilizando un spline cúbico natural que se apoya en los nodos de la discretización del problema que están sobre esa recta. Se pide calcular las derivadas en los nodos de dicho spline cúbico natural(1.2p). 3. Utilizando este spline, estimar el valor de la temperatura en un punto que no pertenece a la discretización pero sí a la recta y =.75 x yquetienecomo coordenadas x = y =.375(1.p). Solución: 1. La ecuación de Laplace 2 T x + 2 T 2 y = 2 se discretiza del siguiente modo cuando tenemos una malla de igual paso en las dos direcciones, y utilzando operadores de tres puntos para las derivadas segundas: T i,j+1 + T i,j 1 + T i+1,j + T i 1,j 4T i,j = Siendo i el índice x del nodo y j el índice y. Si aplicamos esta ecuación a los tres nodos interiores, el (1, 1), (2, 1) y (1, 2), obtenemos el siguiente sistema lineal: T 11 T 21 T 12 =

2 Para obtener la segunda línea del sistema, hemos aplicado la ecuación discretizada al nodo (2, 1): T 2,2 + T 2, + T 3,1 + T 1,1 4T 2,1 = Pero de estos puntos, hay varios en el contorno, el T 2,2 cuya temperatura es 5, el T 3,1 cuya temperatura es 75, y el T 2, cuya temperatura es 25. Estos tres valores pasan a la derecha cambiados de signo para obtener la segunda línea. T 1,1 4T 2,1 = 15 El mismo procedimiento se repite para las otras dos líneas del sistema lineal. Resolviendo este sistema lineal con Matlab, llegamos a: T 11 T 21 T 12 = Este procedimiento se puede generalizar a cualquier número de nodos. figuras 1, 2 presentamos los resultados correspondientes a 18 nodos. En las Figura 1: Líneas de nivel de la función temperatura 2. Si tenemos un spline cúbico asociado a una partición equiespaciada Ω = {x,,x n }, las derivadas en los nodos verifican la relación (??????? hacer ref a teoría) s i +4s i+1 + s i+2 = 3 h (w i+2 w i ) siendo w i el valor de la función interpolada en el nodo i y h el intervalo entre nodos. Si aplicamos esta relación a los n 1 nodos donde esto es posible, nos faltan dos ecuaciones adicionales para fijar estas derivadas. Estas dos ecuaciones corresponden al hecho de que nuestro spline es natural, o sea su derivada segunda en el primer y último nodo son. Se trata de aplicar las dos ecuaciones (??? ref teoría), para tener las dos líneas adicionales del sistema lineal. En este caso en particular tenemos un spline natural 2

3 Figura 2: Superficie correspondiente a la función temperatura con 3 tramos y 4 nodos. El espaciado es h =.25 2=.3536, y el vector de valoresdelafunción temperatura en los nodos es w =(., , , 562.5) t El sistema lineal a resolver queda por tanto: s s 1 s 2 s 3 s s 1 s 2 s 3 = 3 h = 2(w 1 w ) w 2 w w 3 w 1 2(w 3 w 2 ) = El punto (.375,.375) está en el segundo tramo del spline, a mitad del mismo. Si asignamos la abscisa t =. al nodo(.,.75), el nodo (.25,.5) tendrá como abscisa t =.25 2=.3536, y el tercer nodo, el (.5,.25) tendrá comoabscisa t =2.25 2=.771. A medio camino entre estas dos está la abscisa del punto donde queremos estimar el valor de la temperatura t =.533. Para obtener el valor en este punto, lo más sencillo en este caso es utilizar diferencias divididas de Newton, imponiendo las derivadas como diferencias divididas de primer orden en los dos nodos, y así calcularlacúbica correspondiente al tramo en el que se encuentra el punto:

4 El tramo de spline buscado es por tanto: C(x) = (t.3536) (t.3536) (t.3536) 2 (t.771) C(.533) = Que es un valor razonable, a medio camino entre el valor en los dos nodos. Podemos extraer del ejemplo en el que hemos utilizando 18 nodos esa línea completa y compararla con su spline cúbico natural que se apoya en esos mismos cuatro nodos para comprobar cómo de buena es esta interpolación. En la figura 3 podemos observar que el ajuste es perfecto Temperatura abscisa a lo largo de la recta y=.75 x Figura 3: Temperatura a lo largo la recta y =.75 x 4

5 Examen final de Cálculo Numérico. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Navales Curso de abril de 24. Número... Apellidos... Nombre... Problema 2. Puntuación: 3.5 p Tiempo para esta parte : 45 minutos Se trata de encontrar una función de la forma f(x) =ax 2 + e bx + cos(cx) que interpole los puntos (1, ), (2, 3.622), (3, 8.125). Se pide: 1. Escribir el problema no lineal resultante. 2. Utilizando el método de Newton-Raphson (NR) y tomando como estimador inicial (a, b, c) =(.5,.5,.5), se pide dar un paso con dicho método. 3. Caso de que se quisiese resolver el sistema lineal correspondiente a la primera iteración del NR mediante Jacobi o Gauss-Seidel, razonar si habría convergencia para estos métodos y caso de serlo, para cuál de ellos se tendría una convergencia más rápida. Solución: 1. Si obligamos a que la función pase por esos puntos llegamos a este sistema no lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas. a + e b +cos(c) = a + e 2b +cos(2c) = a + e 3b +cos(3c) = Es un problema de interpolación no lineal. Para resolverlo debemos recurrir a técnicas de resolución de sistemas no lineales, y una de las más poderosas es el método de Newton-Raphson. Para utilizarlo, necesitamos poner nuestro problema en la forma F (a, b, c) =. F (a, b, c) = a + e b +cos(c) a + e 2b +cos(2c) a + e 3b +cos(3c) El proceso iterativo de NR pasa por evalúar el jacobiano de F y resolver en cada paso J F (x n ) x = F (x n ) x n+1 = x n + x 5

6 con x =(a, b, c) t. J F (a, b, c) = J F (a, b, c) = J F (.5,.5,.5) = 1 e b sin(c) 4 2e 2b 2sin(2c) 9 3e 3b 3sin(3c) cuya solución es x =(.734, 1.281,.817) t. Por tanto, a b c 1 = a b c = F (a, b, c) = Podemos utilizar estas líneas Matlab para realizar estos cálculos. a=.5; b=-.5; c=.5; J=[1 exp(b) -sin(c) 4 2*exp(2*b) -2*sin(2*c) 9 3*exp(3*b) -3*sin(3*c)]; F=[a+exp(b)+cos(c) *a+exp(2*b)+cos(2*c) *a+exp(3*b)+cos(3*c)-8.125]; delta=-j\f; a=a+delta(1) b=b+delta(2) c=c+delta(3) Podemos ver con un gráfico cómodeaproximadaesestaestimación de (a, b, c) frente a la inicial y con respecto a la nube de puntos a interpolar (ver figura 4). Para ello utilizamos estas líneas Matlab: t=1:1:3; ft=[ ]; x=.8:.1:3.2; a=.5; b=-.5; c=.5; f=a*x.^2+exp(b*x)+cos(c*x); a las que añadimos las siguientes después de haber calculado la primera iteración: f1=a*x.^2+exp(b*x)+cos(c*x); plot(x,f,t,ft, x,x,f1);

7 12 1 f f Figura 4: Curvas correspondientes al problema?? Podemos observar en la gráfica como la primera iteración mejora la estimación inicial de un modo sensible. Se deja como ejercicio realizar una iteración adicional, ysedejacomoejerciciotambién evaular el residuo del estimador inicial y de la primera iteración para valorar de este modo la convergencia. 3. Ahora se pretende resolver el sistema lineal que tiene como matriz a J F mediante un método iterativo. Lo primero que podemos observar es que esa matriz no tiene una estructura diagonalmente dominante. Esto nos debe poner en guardia. Tenemos que observar el espectro de la matriz de iteración para ver la convergencia. En el caso de Jacobi, la matriz de iteración correspondiente al primer paso del NR vale: B = M 1 N = D 1 (L + U) = cuyo radio espectral es ρ(b) = que es mayor que uno, y por lo tanto, no se da la convergencia. Si repetimos este proceso con Gauss-Seidel (GS), tenemos: B = M 1 N =(D L) 1 U = y cuyo radio espectral es ρ(b) =6.9656, que también es mayor que uno, y que indica que no habrá convergencia con este método iterativo. 7

8 Examen final de Cálculo Numérico. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Navales Curso de abril de 24. Número... Apellidos... Nombre... Problema 3. Tiempo para esta parte : 3 minutos Se considera la siguiente integral: I = F (θ)e irg(θ) dθ Puntuación: 2.5 p con F (θ) =1; R =1; G(θ) = cosh(θ) Al exponente RG(θ) se le suele llamar fase. La fase y la parte real del integrando tienen el siguiente aspecto (figuras?? y??): 1. Existe un método aproximado para evaluar integrales de este tipo 1 debido a Kelvin 2 3, el de la fase estacionaria. 2π I RG F e irg ±iπ/4 Se pide calcular la parte real de I mediante este método, sabiendo que el signo positivo o negativo en el exponente depende del signo de la segunda derivada de G en el único punto donde se anula su derivada, al cual se refiere el subíndice. 2. Evaluar de modo aproximado la parte real de I, tomando como límites de integración ±3, sustituyendo el integrando por su spline de grado uno S(θ) quelo interpola en la partición Ω del intervalo [ 3, 3] (1.7p) 4. Ω={ 3, 2.5, 2, 1.5, 1,.5,,.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3} 1 Es adecuado para estimar la integrales de funciones que presentan grandes oscilaciones. En la zona de estas oscilaciones, las áreas positivas se cancelan con las negativas, y sólo cuando estas oscilaciones cesan, hay contribución neta a la integral. Estas oscilaciones cesan cuando hay extremos relativos de la función fase, o sea, puntos en los que la fase se comporta como estacionaria 2 Kelvin desarrollo este método para justificar el aspecto de las olas que deja un barco (figura 7), aunque luego se ha venido aplicando a diferentes problemas de superposición de ondas. La idea es que la altura de ola en cada punto es el resultado de superponer muchas olas, pero sólo contribuyen de modo neto unas pocas. 3 Se considera a Lord Kelvin ( ) como uno de los grandes de la Historia de la Física. Hizo contribuciones fundamentales en termodinámica, sobre todo en la segunda ley, la de la disipación de la energía. A él se debe la escala de temperaturas absolutas al descubrir que el movimiento molecular se detiene a 273 Celsius. También tuvo mucha fama en la época por ser muy buen físico aplicado yaél se debe la primera línea de telégrafo entre Europa y América hacia Aunque nacido en Belfast, en Irlanda, pasó casi toda su vida en Glasgow, Escocia, dando clase en su universidad. Tenía muy buena relación con otros científicos importantes de la época como Stokes, Joule o Maxwell. Fue un científico-ingeniero muy reconocido; de hecho, consiguió la categoría de Lord y está enterrado al lado de Newton en la abadía de Westminster. 4 Aunque esta aproximación a la integral impropia es muy grosera (por sus límites y por el espaciado entre tramos del spline), el valor sale del mismo orden que el del apartado 1 8

9 Figura 5: fase. Figura 6: Parte real de la función a integrar. Figura 7: Tren de olas de Kelvin 9

10 Solución: 1. Sustituyendo los valores, tenemos que: I = e i cosh(θ) dθ = Sólo nos interesa la parte real: real(i) = (cos(cosh(θ)) + i sin(cosh(θ))) dθ cos(cosh(θ))dθ El coseno hiperbólico sólo tiene un punto de derivada nula (punto estacionario), el correspondiente a θ =. En ese punto, G = G () = 1, G = G() = 1, F = F () = 1. Por tanto, 2π I ei(1+π/4) real(i) 2π cos(1 + π/4) = En realidad, integrar ese spline es como utilizar la regla compuesta del trapecio. Construir un spline de grado 1 consiste en calcular un polinomio de interpolación a trozos de grado uno y clase, o sea, interpolar mediante rectas el valor de la función en los nodos. Integrar este spline después es lo mismo que aplicar la regla compuesta del trapecio a la función en esa partición del intervalo de integración. La integral a evaluar es: 3 I 1 = cos(cosh(θ))dθ 3 Si evaluamos el integrando f en la partición mediante unas sencillas órdenes Matlab: theta=-3:.5:3; f=cos(cosh(theta)); plot(theta,f, -o ); podremos visualizar la función a integrar (figura 8). Integrar este polinomio a trozos consiste en evaluar el sumatorio: I1 = 11 3+(k+1).5 k= 11 k= 3+k.5 f(θ)dθ [ f( 3+k.5) + 1 ] 2 f( 3+(k +1).5) =.228 (1) El orden es el mismo que el obtenido por el método de la fase estacionaria el cual tiene un error del orden del inverso de R. Hacer este sumatorio con Matlab pasa por ejecutar la siguiente orden:.5*(sum(f)-f(1)/2-f(13)/2) 1

11 Figura 8: Spline correspondiente al apartado 2 del problema?? 11