IN Organización Industrial Repaso curso Estrategia y Teoría de Juegos

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1 IN Organización Industrial Repaso curso Estrategia y Teoría de Juegos Ramiro de Elejalde (Slides de Ronald Fischer) CEA, Universidad de Chile de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

2 Contenidos esta parte del curso 1 Repaso teoría de juegos Equilibrio de Bayes-Nash (ENB) Equilibrio Débilmente Perfecto de Bayes-Nash (EPBN) de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

3 Problemas del equilibrio de Nash Multiplicidad de equilibrios. No todos los equilibrios igualmente razonables: amenazas no creíbles. A menudo consideración dinámica es importante. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

4 Problemas del equilibrio de Nash Multiplicidad de equilibrios. No todos los equilibrios igualmente razonables: amenazas no creíbles. A menudo consideración dinámica es importante. Ejemplo (Entrada de competencia) Monopolio enfrenta potencial entrante, amenaza con guerra de precios si entra. E E NE M A 20, 20 50, 0 G 10, 10 50, 0 de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

5 Forma extensiva Para estudiar el problema dinámico: 1 Jugadores i 1... n. 2 Árbol del juego: Nodos y ramas (acciones). 3 Conjuntos de información: de cada jugador. 4 Estrategias s i S i de cada jugador. 5 Pagos u i (s) a los jugadores. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

6 Forma extensiva Para estudiar el problema dinámico: 1 Jugadores i 1... n. 2 Árbol del juego: Nodos y ramas (acciones). 3 Conjuntos de información: de cada jugador. 4 Estrategias s i S i de cada jugador. 5 Pagos u i (s) a los jugadores. L [ ] 10 [ ] [ R 2 2 i d i d ] Figura: Juego de la moneda con información. [ ] de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

7 Forma extensiva Para estudiar el problema dinámico: 1 Jugadores i 1... n. 2 Árbol del juego: Nodos y ramas (acciones). 3 Conjuntos de información: de cada jugador. 4 Estrategias s i S i de cada jugador. 5 Pagos u i (s) a los jugadores. S 1 = (L, R), S 2 = ((i, d), (i, i), (d, i), (d, d)) L [ ] 10 [ ] [ R 2 2 i d i d ] Figura: Juego de la moneda con información. [ ] de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

8 Forma extensiva Para estudiar el problema dinámico: 1 Jugadores i 1... n. 2 Árbol del juego: Nodos y ramas (acciones). 3 Conjuntos de información: de cada jugador. 4 Estrategias s i S i de cada jugador. 5 Pagos u i (s) a los jugadores. L ] [ ] 10 [ ] 10 [ ] 10 [ ] i d i d R 2 2 Figura: Juego de la moneda sin información. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

9 Subjuego Definición Un subjuego del juego es el subconjunto de nodos y acciones de un juego que: 1 Se origina en un conjunto de información singleton. 2 Comprende todas las ramas y nodos subsiguientes a partir de ese nodo. 3 No rompe ningún conjunto de información. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

10 Subjuego Definición Un subjuego del juego es el subconjunto de nodos y acciones de un juego que: 1 Se origina en un conjunto de información singleton. 2 Comprende todas las ramas y nodos subsiguientes a partir de ese nodo. 3 No rompe ningún conjunto de información. L [ ] 10 [ ] [ R 2 2 i d i d ] Figura: Juego de la moneda con información. [ ] de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

11 Subjuego Definición Un subjuego del juego es el subconjunto de nodos y acciones de un juego que: 1 Se origina en un conjunto de información singleton. 2 Comprende todas las ramas y nodos subsiguientes a partir de ese nodo. 3 No rompe ningún conjunto de información. L ] [ ] 10 [ ] 10 [ ] 10 [ ] i d i d R 2 2 Figura: Juego de la moneda sin información. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

12 Subjuego Definición Un subjuego del juego es el subconjunto de nodos y acciones de un juego que: 1 Se origina en un conjunto de información singleton. 2 Comprende todas las ramas y nodos subsiguientes a partir de ese nodo. 3 No rompe ningún conjunto de información de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

13 Equilibrio perfecto en el subjuego Entrada de competencia en forma extensiva. e E NE G m A [ ] 0 50 [ ] 10 [ ] de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

14 Equilibrio perfecto en el subjuego Entrada de competencia en forma extensiva. E e NE Definición Un equilibrio es perfecto en el subjuego (EPS) si en cada subjuego, el equilibrio en el subjuego es Nash. G m A [ ] 0 50 [ ] 10 [ ] de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

15 Equilibrio perfecto en el subjuego Entrada de competencia en forma extensiva. G m E A [ ] 10 [ ] e NE [ ] 0 50 Definición Un equilibrio es perfecto en el subjuego (EPS) si en cada subjuego, el equilibrio en el subjuego es Nash. Siempre existe Único, en juegos con información perfecta. En juegos de información perfecta, se usa el método de inducción hacia atrás de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

16 Entrada de competencia y EPS e E NE G m A [ 0 50 ] [ ] [ ] de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

20 Entrada de competencia y EPS e [ E ] NE [ 0 50 ] El juego reducido: de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

21 Entrada de competencia y EPS e [ E ] NE [ 0 50 ] El juego reducido: El EPS es (E, A). de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

22 Aplicación: caso Codelco-Anglo En 2008 con Enami casi quebrada, CODELCO adquiere opción de compra por hasta un 49 % de Anglo Sur a un precio de una fórmula. Ir a Historia Los Bronces de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

23 Aplicación: caso Codelco-Anglo En 2008 con Enami casi quebrada, CODELCO adquiere opción de compra por hasta un 49 % de Anglo Sur a un precio de una fórmula. Ir a Historia Los Bronces En octubre de 2011, Codelco y Mitsui acuerdan crédito de US$ 6.750MM para comprar 49 % de los Bronces. Codelco le vendería un 24.5 % para pagar crédito. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

24 Aplicación: caso Codelco-Anglo En 2008 con Enami casi quebrada, CODELCO adquiere opción de compra por hasta un 49 % de Anglo Sur a un precio de una fórmula. Ir a Historia Los Bronces En octubre de 2011, Codelco y Mitsui acuerdan crédito de US$ 6.750MM para comprar 49 % de los Bronces. Codelco le vendería un 24.5 % para pagar crédito. Valor real de los Bronces es muy superior al de la fórmula, y Codelco podría recibir más de US$ netos. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

25 Aplicación: caso Codelco-Anglo En 2008 con Enami casi quebrada, CODELCO adquiere opción de compra por hasta un 49 % de Anglo Sur a un precio de una fórmula. Ir a Historia Los Bronces En octubre de 2011, Codelco y Mitsui acuerdan crédito de US$ 6.750MM para comprar 49 % de los Bronces. Codelco le vendería un 24.5 % para pagar crédito. Valor real de los Bronces es muy superior al de la fórmula, y Codelco podría recibir más de US$ netos. Anglo se niega, vende un 24.5 % a Mitsubishi, ofreciendo el resto a Codelco, que recibiría más de US$ MM netos. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

26 Aplicación: caso Codelco-Anglo En 2008 con Enami casi quebrada, CODELCO adquiere opción de compra por hasta un 49 % de Anglo Sur a un precio de una fórmula. Ir a Historia Los Bronces En octubre de 2011, Codelco y Mitsui acuerdan crédito de US$ 6.750MM para comprar 49 % de los Bronces. Codelco le vendería un 24.5 % para pagar crédito. Valor real de los Bronces es muy superior al de la fórmula, y Codelco podría recibir más de US$ netos. Anglo se niega, vende un 24.5 % a Mitsubishi, ofreciendo el resto a Codelco, que recibiría más de US$ MM netos. Anglo acusa luego a Codelco de violar contrato opción es nula. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

27 Aplicación: caso Codelco-Anglo En 2008 con Enami casi quebrada, CODELCO adquiere opción de compra por hasta un 49 % de Anglo Sur a un precio de una fórmula. Ir a Historia Los Bronces En octubre de 2011, Codelco y Mitsui acuerdan crédito de US$ 6.750MM para comprar 49 % de los Bronces. Codelco le vendería un 24.5 % para pagar crédito. Valor real de los Bronces es muy superior al de la fórmula, y Codelco podría recibir más de US$ netos. Anglo se niega, vende un 24.5 % a Mitsubishi, ofreciendo el resto a Codelco, que recibiría más de US$ MM netos. Anglo acusa luego a Codelco de violar contrato opción es nula. Diferencia entre las interpretaciones es de US$ MM. Que va a pasar? de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

28 Juego del ultimátum x Estrategias de 1: x [0, 1] Estrategias de 2: elegir x tal que elige Si, si x x (ó f(x) : [0, 1] {Si, No}). 2 Si No [ 100 x x ] [ 0 0 ] de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

29 Juego del ultimátum [ 100 x x Si x No ] [ 0 0 ] Estrategias de 1: x [0, 1] Estrategias de 2: elegir x tal que elige Si, si x x (ó f(x) : [0, 1] {Si, No}). Eq de Nash: x [0, 100], {x; Si, si oferta x } es un equilibrio (o sea x = x ). Cuál es el único EPS? {0; Si, si oferta 0} de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

30 Juego del ultimátum con dos etapas x 1/(1 + r): costo de esperar. 2 Si No [ ] 100 x x r y 1 Si No [ y r y ] [ ] 0 0 de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

31 Juego del ultimátum con dos etapas x 2 Cuál es el EPS? Si No [ ] 100 x x r y 1 Si No [ y r y ] [ ] 0 0 de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

32 Juego del ultimátum con dos etapas x Si 2 No Cuánto dura el juego? [ ] 100 x x r y 1 Si No [ y r y ] [ ] 0 0 de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

33 Juego del ultimátum con dos etapas x 2 Si [ ] 100 x x No 2 Cómo se generaliza al caso de n períodos? r y 1 Si No [ y r y ] [ ] 0 0 de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

34 Juego del ultimátum con dos etapas x 2 Si No [ ] 100 x x r y Si δ = 1/(1 + r), Si 1 No x = δ, y = δ 1 + δ [ y r y ] [ ] 0 0 de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

35 Problemas del modelo y sus aplicaciones 1 Solución instantánea. 2 No hay quiebre de negociación. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

36 Problemas del modelo y sus aplicaciones 1 Solución instantánea. 2 No hay quiebre de negociación. 1 Tal vez hay incertidumbre que requiere tiempo para despejarse Se puede incorporar como un factor. 2 Tal vez la incertidumbre, antes de despejarse, implica posiciones incompatibles? Son motivos para no llegar a acuerdos rápidamente. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

37 Aplicación al caso Codelco Anglo Hay presiones sobre las partes: Del público en Codelco De los accionistas en Anglo Aún demasiada incertidumbre judicial. Dado que es caro tardar y que es costosa la incertidumbre. Lo más probable es un acuerdo en algunos meses. Es probable que Codelco se queda con lo que tiene (US$ MM) más una fracción del resto: US$ MM. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

38 Información imperfecta y EPS: Entrada de Competencia II e NE [ ] 0 2 E e m G A m G A G A [ ] [ ][ ] [ ] Muestre que hay tres equilibrios, pero solo uno es EPS. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

39 Problemas del EPS: el juego del cienpiés 1 S 2 S 1 S 2 S 1 S 2 S P P P P P P [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

46 Problemas del EPS: el juego del cienpiés 1 S 2 S 1 S 2 S 1 S 2 S P P P P P P [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] El único EPS tiene resultado (1, 1). La inducción hacia atrás tiene resultados contraintuitivos. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

47 Información imperfecta Definición Un juego es de información imperfecta cuando algunos CI tienen más de un nodo. Problema: EPS pierde fuerza en ese caso. Definición Un juego es de información incompleta si los jugadores no conocen todo el juego (los pagos a los demás, por ejemplo). Problema: Juego no está bien definido la transformación de Harsany. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

48 Equilibrio de Bayes-Nash (ENB) Transformación de Harsany y Eq. de Nash Bayes Introduce un nuevo jugador: Naturaleza. Cada jugador tiene tipos θ i correspondiendo a los distintos valores de sus pagos. Naturaleza elige un tipo de cada jugador. Las estrategias de i dependen de su tipo: s i (θ i ). En el ENB cada jugador maximiza la utilidad esperada dado las estrategias (que dependen de los tipos) de los demás. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

49 Equilibrio de Bayes-Nash (ENB) Juegos de Información Incompleta Definición (Juegos de Información Incompleta o juegos Bayesianos) Por lo menos un jugador tiene incertidumbre sobre los pagos de los otros jugadores. Ejemplos: Subastas, licitaciones, competencia en precios con incertidumbre en costos, etc. 1 Jugadores racionales i 1,..., n. 2 Tipos (para cada jugador). θ i Θ i. 3 Distribución de tipos es conocimiento común. p(θ 1,..., θ n ). 4 Acciones a i A i de cada jugador. 5 Pagos u i (a 1,..., a i,..., a n ; θ i ) a cada jugador. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

50 Equilibrio de Bayes-Nash (ENB) Definiciones Definición (Estrategias) Una estrategia para el jugador i define una acción para cada tipo θ i del jugador i: s i (θ i ) : Θ i A i. Definición (Creencias) Cada jugador i utiliza las regla de Bayes para formar creencias sobre los tipos de los otros jugadores dado el tipo del jugador i: p i (θ i θ i ) = p(θ i, θ i ) θ i p(θ i, θ i ). de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

51 Equilibrio de Bayes-Nash (ENB) Definiciones Definición (Equilibrio de Bayes-Nash) En un juego Bayesiano, las estrategias (s 1 (.),..., s n(.)) forman un equilibrio de Bayes-Nash si para cada jugador i y para cada tipo de i θ i, la estrategia de i s i (θ i) resuelve: Max u i (s a i 1(θ 1 ),..., a i,..., s n(θ n ))p i (θ i θ i ) θ i de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

52 Equilibrio de Bayes-Nash (ENB) CAPÍTULO 2. TEORÍA DE JUEGOS 27 Ejemplo: Entrada de competencia N p 1 Alto Bajo (1 p 1 ) 1 1 Construye No Construye Construye No Construye Entra Entra Entra Entra No No No No (0,-1) (2,0) (2,1) (3,0) (1.5,-1) (3.5,0) (2,1) (3,0) BN = {s 1 (c H ), s 1 (c L ), s 2 } Figura 2.14: La transformación de Harsany Ejemplo 19 Nótese que en el juego del ejemplo anterior (figura 2.14), cuando los costos = {NC, C, NE} para p del jugador 1 son altos, es preferible no construir 1 [0, 1/2] {NC, NC, E} para p (es una estrategia dominante). Sea x la 1 [0, 1] probabilidad de construir cuando los costos son bajos. Entonces la estrategia óptima del jugador de Elejalde 2 es(slides y = 1 (entrar) de R. Fischer) si x < 1/[2(1 Estrategia p 1 )], y = y0 Teoría (no entrar) de Juegos si x > 1/[2(1 p22 1 )], dee marzo y [0,1] de / 26

53 Equilibrio Débilmente Perfecto de Bayes-Nash (EPBN) Información imperfecta y EPS: Entrada de Competencia II [ 0 2 ] NE e E1 m E2 G A G A [ ] [ ][ ] [ ] m Una modificación trivial de entrada de competencia II. Al tener solo un subárbol, EPS no discrimina entre equilibrios de Nash. Cuáles son? de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

54 Equilibrio Débilmente Perfecto de Bayes-Nash (EPBN) Equilibrio Debilmente Perfecto de Bayes-Nash (EPBN) Definición Un sistema de creencias (µ) son las probabilidades que asigna un jugador a estar en un nodo particular de uno de sus conjuntos de información. Un jugador i al que le toca jugar en uno de sus conjuntos de información H i H i no singleton, cree que tiene una cierta probabilidad a que su ubicación real es uno nodo particular de H i. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

55 Equilibrio Débilmente Perfecto de Bayes-Nash (EPBN) Equilibrio Debilmente Perfecto de Bayes-Nash (EPBN) Definición El Equilibrio Debilmente Perfecto de Bayes-Nash (EPBN) consta de una combinación de estrategias σ y un sistema de creencias µ tal que: 1 La combinación de estrategias σ es secuencialmente racional, es decir en cada conjunto de información H i, cuando le toca jugar al jugador i maximiza su utilidad esperada, dado µ y las estrategias que siguen los demás jugadores 2 Las creencias µ son consistentes, es decir dada una combinación de estrategias σ, la probabilidad condicional de alcanzar el nodo x en el conjunto de información H i es (por la regla de Bayes): Pr(x H i, σ) = Pr(x σ) Pr x H i (x σ) de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

56 Equilibrio Débilmente Perfecto de Bayes-Nash (EPBN) Entrada de competencia III: Inversión como defensa [ E e m m [ ] 30 [ ] 50 G A 0 0 G A ] [ ] I NE m NI E e NE [ ] 10 [ ] El monopolista puede invertir para prevenir la entrada. En el EPS no hay entrada e inversión ineficiente. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

57 Equilibrio Débilmente Perfecto de Bayes-Nash (EPBN) Entrada de competencia III: Inversión como defensa m I NI e e E NE E NE m m [ ] 30 [ ] 50 G A 0 0 G A [ ] [ ] [ ] 10 [ ] de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

58 Equilibrio Débilmente Perfecto de Bayes-Nash (EPBN) Entrada de competencia III: Inversión como defensa m I NI e e E NE E NE m m [ ] 30 [ ] 50 G A 0 0 G A [ ] [ ] [ ] 10 [ ] de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

59 Equilibrio Débilmente Perfecto de Bayes-Nash (EPBN) Entrada de competencia III: Inversión como defensa [ E e m m [ ] 30 [ ] 50 G A 0 0 G A ] [ ] I NE m NI E e NE [ ] 10 [ ] El juego con inversión no observable: Ahora s 1 = (I, G, A) no es mejor respuesta a s 2 = E. El equilibrio sin inversión y con entrada ahora es EPS. A veces es mejor saber menos. de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

60 Equilibrio Débilmente Perfecto de Bayes-Nash (EPBN) PÍTULO 2. TEORÍA DE JUEGOS 28 Ejemplo: Entrada de competencia NE e (0,2) E1 E2 m m G A G A (-1,-1) (3,-2) (γ,-1) (2,1) EP NB = {(σ NE, σ E1, σ E2 ) = (0, 2/3, 1/3) Figura 2.15: Entrada de competencia y EPBN (γ > 1) σ G = 1/(γ + 2), µ 1 = 2 3 } Sea σ G la probabilidad que m usa G luego de entrada. Sea µ 1 la probabilidad que m le gna a E1 si observa entrada y sean σ 0, σ 1 y σ 2 las probabilidades con que el entrante de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26

61 Equilibrio Débilmente Perfecto de Bayes-Nash (EPBN) Historia Los Bronces Historia División Los Bronces Volver Descubrimiento del mineral Los Bronces. Compañía Minera Disputada de Las Condes inicia la explotación industrial del yacimiento. Minera y Metalúrgica Peñarroya adquiere Disputada de Las Condes. Empresa Nacional de Minería (ENAMI) compra Disputada de Las Condes. Exxon Minerals adquiere la mayoría accionaria de Disputada de Las Condes Anglo American Chile adquiere Disputada de las Condes, con lo que el yacimiento pasa a ser parte de sus operaciones.. Puesta en marcha de la nueva planta concentradora San Francisco, con una capacidad de producción de toneladas por día, luego de que en 1978 fuese destruida por una avalancha. Desarrollo de 3 importantes procesos de expansión, que implicaron llegar a una capacidad de explotación de toneladas por día. Inicio del Proyecto Desarrollo Los Bronces, el que permitirá aumentar su producción a un promedio de toneladas de cobre fino a contar de de Elejalde (Slides de R. Fischer) Estrategia y Teoría de Juegos 22 de marzo de / 26