1. NÚMEROS RACIONALES

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1 IES Jun Grcí Vldemor Deprtmento de Mtemátics 4º ESO Mtemátics B. NÚMEROS RACIONALES Desde l prición de ls socieddes humns los números desempeñn un ppel fundmentl pr ordenr y contr los elementos de un conjunto. Así surgen en primer lugr los números nturles. Al conjunto formdo por los elementos { 0...} se le denomin conjunto de los NÚMEROS NATURALES y se represent por Ν. Ν = {0...} Los números nturles resultn insuficientes pr indicr cierts situciones de l vid cotidin como ls temperturs bjo cero ls lturs de los pisos y sótnos que recorre un scensor los puntos positivos y negtivos en un prtido etc. Cundo los números nturles no bstn pr dr respuest mtemátic lgunos problems surgen los números negtivos ( 4...) que junto con los nturles formn el conjunto de los NÚMEROS ENTEROS representdo por Ζ. Ζ = { } Los números enteros sirven pr contr u ordenr elementos pero no son buenos pr epresr medids. Pr medir (relcionr dos mgnitudes del mismo tipo) suele ser necesrio frccionr l unidd: l mitd cutro tercers prtes siete milésims Ests medids se epresn medinte frcciones : Un frcción n m es el cociente indicdo de dos números enteros siendo el divisor distinto de cero ( n 0). ( m = numerdor n = denomindor) Dicho cociente puede ser un número entero 7 = 8 + ; = = = 4... o un número frccionrio Tods ls frcciones equivlentes un frcción dd determinn un mismo número que se llm número rcionl = = =... = = = =... = = = Al conjunto formdo por los números enteros y los números frccionrios se le denomin conjunto de los NÚMEROS RACIONALES y se represent por Q. Q = : b Ζ b 0 b

2 IES Jun Grcí Vldemor Deprtmento de Mtemátics 4º ESO Mtemátics B.. EXPRESIÓN FRACCIONARIA Y DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL A) PASO DE LA EXPRESIÓN FRACCIONARIA A LA DECIMAL Si se tom l epresión frccionri de un número rcionl y dividimos el numerdor entre el denomindor se obtiene su epresión deciml. L epresión deciml de culquier número rcionl es ect periódic pur o periódic mit = =... Observción = 8... Prte enter = Prte deciml = Prte enter = Periodo = Prte enter = Anteperiodo = 8 Periodo = Deciml ecto Deciml periódico puro Deciml periódico mito Sin dividir se puede sber qué tipo de epresión deciml tiene un frcción irreducible. Si el denomindor contiene sólo los fctores ò (o mbos) es ect. Si el denomindor no contiene los fctores ni es periódic pur. Si el denomindor contiene los fctores ò y demás hy otros es periódic mit. B) PASO DE LA EXPRESIÓN DECIMAL A LA FRACCIONARIA. L frcción genertriz de un número deciml es l frcción irreducible tl que l dividir el numerdor entre el denomindor el resultdo es ese número deciml. DECIMAL EXACTO Pr epresr en form de frcción un número deciml ecto seguimos estos psos. ) Llmmos N l número deciml N = 4 8 ) Multiplicmos mbos miembros por l unidd seguid de tntos ceros como cifrs decimles hy. ) Despejmos N obteniendo l frcción En l práctic: buscd y simplificmos si es necesrio pr obtener l frcción genertriz 00 N = N = N = = = 0 número entero formdo por l prte enter y l prte deciml N = unidd seguid de tntos ceros como cifrs decimles hy

3 IES Jun Grcí Vldemor Deprtmento de Mtemátics 4º ESO Mtemátics B PERIÓIDICO PURO Pr epresr en form de frcción un número deciml periódico puro seguimos estos psos: ) Llmmos N l número deciml N = 6 ) Multiplicmos mbos miembros por l unidd seguid de tntos ceros como cifrs tiene el periodo. ) Restmos este resultdo el primer número. 4) Despejmos N obteniendo l frcción En l práctic: buscd y simplificmos si es necesrio pr obtener l frcción genertriz. N = 00 N = N = 6 00N = 6 N = 6 99 N = N = = = número entero formdo por ls cifrs de l prte enter y el periodo tntos nueves como cifrs tiene el periodo prte enter PERIÓIDICO MIXTO Pr epresr en form de frcción un número deciml periódico mito seguimos estos psos: ) Llmmos N l número deciml N = 4 ) Multiplicmos mbos miembros por l unidd seguid de tntos ceros como cifrs tiene el nteperiodo. ) Multiplicmos mbos miembros por l unidd seguid de tntos ceros como cifrs tiene el periodo 4) A este resultdo le restmos el obtenido en el pso ) ) Despejmos N obteniendo l frcción buscd y simplificmos si es necesrio pr obtener l frcción genertriz. 0 N = 0 4 0N = N = N = 4 000N = 4 0N = N = N = = =

4 IES Jun Grcí Vldemor Deprtmento de Mtemátics 4º ESO Mtemátics B En l práctic: número entero formdo por ls cifrs de l prte enter el nteperido y el periodo número formdo por ls cifrs de l prte enter y el nteperiodo N = tntos nueves como cifrs tiene el periodo y tntos ceros como cifrs tiene el nteperiodo NUMEROS NÚMEROS NATURALES ( Ν) NÚMEROS ENTEROS ( Ζ) RACIONALES ( Q) ENTEROS NEGATIVOS NÚMEROS FRACCIONARIOS (Decimles ectos y periódicos) JERARQUÍA DE OPERACIONES ) Préntesis y corchetes ) Potencis y ríces (de izquierd derech) ) Multiplicciones y divisiones (de izquierd derech) 4) Sums y rests (de izquierd derech). NÚMEROS IRRACIONALES Los números rcionles no cubren tods ls necesiddes de medid o de operciones. Eisten números decimles que no se pueden epresr como cociente de dos números enteros es decir como un frcción; se denominn números irrcionles. Los NÚMEROS IRRACIONALES son quellos que no se pueden epresr como cociente de dos números enteros. Su epresión deciml no es ni ect ni periódic. Se representn por Ι. Los números irrcionles fueron preciendo en el cmpo mtemático de cuerdo con ls necesiddes de cd momento; los más conocidos y l vez los más representtivos son : π Φ e. ) = Es uno de los primeros números irrcionles surgidos y descubierto por los pitgóricos l plicr el Teorem de Pitágors un cudrdo de ldo igul l unidd pr el cálculo de l digonl. 4

5 IES Jun Grcí Vldemor Deprtmento de Mtemátics 4º ESO Mtemátics B b) π = Otro número irrcionl importnte no relciondo con ls ríces cudrds es el número π ; se define longitud de l circunferenci como l rzón entre l longitud de l circunferenci y su diámetro: π =. diámetro + c) Φ = = El número de oro o número áureo representdo por l letr grieg Φ en honor l escultor griego Fidis fue el primer número irrcionl que se conoce como tl. Tmbién fue descubierto por los pitgóricos l estudir l relción entre l digonl de un pentágono regulr y el ldo tomndo este como unidd. d) El número prece l hllr l ltur de un triángulo equilátero tomndo como unidd el ldo. El vlor de l ltur es h = = h e) El número e bse de los logritmos neperinos introducidos por Neper es un número irrcionl muy utilizdo en Mtemátics. Se define como el vlor l que tiende l sucesión n n + cundo n se v hciendo muy grnde n lim +. n n Su vlor es e =

6 IES Jun Grcí Vldemor Deprtmento de Mtemátics 4º ESO Mtemátics B. APROXIMACIONES Y ERRORES.. APROXIMACIONES Un proimción o vlor proimdo de un número es otro número próimo l primero l cul represent y sustituye. L proimción de un número puede hcerse por defecto si el vlor proimdo es menor que el número o por eceso si el vlor proimdo es myor que el número. Eisten dos forms de proimr números: TRUNCAMIENTO: se eliminn ls cifrs prtir de un orden considerdo. REDONDEO: se eliminn ls cifrs prtir de un orden considerdo y se ument en un unidd l últim cifr si l siguiente es myor o igul que. El truncmiento es siempre un proimción por defecto y el redondeo es por defecto si l primer cifr que se suprime es menor que y por eceso si es myor o igul que. Ejemplos ) Aproim por truncmiento y por redondeo π = hst ls centésims y ls diezmilésims. Truncmiento ls centésims = 4 Redondeo ls centésims = 4 Truncmiento ls diezmilésims = 4 Redondeo ls diezmilésims = 46 ) Indic ls sucesivs proimciones por defecto y por eceso hst l milésim de: =708 y π = Defecto Eceso Error menor que: π Defecto Eceso Error menor que: Unidd 9 0 Unidd 7 8 Décim Décim 7 74 Centésim Centésim 7 7 Milésim Milésim El número de CIFRAS SIGNIFICATIVAS de un número proimdo es el número de cifrs que tiene dicho número sin contr los ceros que pued tener l izquierd y que son necesrios pr epresr su form deciml. Los ceros del finl de un número no son cifrs significtivs si sólo se hn utilizd pr poder epresr l cntidd en l unidd desed (900 m en lugr de 9 cientos de metro). 6

7 IES Jun Grcí Vldemor Deprtmento de Mtemátics 4º ESO Mtemátics B Ejemplos ) Redondeo de π = con tres cifrs significtivs π = 4 ) Redondeo de = con dos cifrs significtivs = ) El precio de un empres es de Epres dicho precio con dos cifrs significtivs ò 6 millones de. Al sumr o restr números proimdos el resultdo debe epresrse con el mismo número de cifrs decimles que el dto que menos teng. En productos y cocientes con números proimdos el resultdo debe epresrse con tnts cifrs significtivs como teng el fctor con menos cifrs significtivs... ERRORES Al trbjr con números proimdos se comete un error que debemos tener en cuent l evlur los resultdos obtenidos. El ERROR ABSOLUTO E es l diferenci en vlor bsoluto entre el vlor ecto y l proimción. E = V ecto V proimdo El ERROR RELATIVO E r es el cociente del error bsoluto y el vlor ecto. E E r = V ecto El error reltivo proporcion l mgnitud del error cometido l comprrlo con el vlor ecto y suele epresrse en tnto por ciento (multiplicándolo por 00). En este cso recibe el nombre de ERROR PORCENTUAL o PORCENTAJE DE ERROR. Ejemplo Obtén el error bsoluto y reltivo l considerr: ) m como l longitud de un terreno que mide relmente 9 m. b) 60 m como l distnci comprendid entre dos postes que están situdos 99 m. ) E = 9 = 0 09 m b) E = = 0 09 m E r = % E r = = 000 0% 7

8 IES Jun Grcí Vldemor Deprtmento de Mtemátics 4º ESO Mtemátics B Observ que el error bsoluto es el mismo en mbos csos pero el error reltivo es considerblemente myor en el primer cso y por tnto l proimción es menos precis. Al proimr números rcionles o irrcionles eiste un diferenci fundmentl: de ls proimciones de un número rcionl siempre puede clculrse ectmente el error bsoluto mientrs que de ls proimciones de un número irrcionl no. Sin embrgo en los dos csos el resultdo se puede epresr con un mrgen de error o cot de error. Se llm cot de error o mrgen de error l error máimo posible de un proimción. Cundo proimmos un número (y se por defecto o por eceso) el mrgen de error es menor o igul que un unidd del orden de l últim cifr que se conserv. Si l proimción es por redondeo el mrgen de error es menor o igul que medi unidd del orden de l últim cifr que se conserv. Cundo se trbj con un proimción y no se conoce su error bsoluto se tom el máimo correspondiente l redondeo es decir l mitd de l unidd deciml de l últim cifr escrit. Si el número que queremos proimr es entero se tom como máimo error bsoluto l mitd de l unidd de l últim cifr no nul escrit. Ejemplo + ) Aproim por defecto y por eceso Φ = = con y 4 cifrs significtivs. Indic un cot de error en cd cso. Defecto Eceso Error menor que: (un unidd) ( un décim) (un centésim) ( un milésim) ) Redonde π 987 π = ls centésims e indic un cot de error. Cot de error = 000 es decir error

9 IES Jun Grcí Vldemor Deprtmento de Mtemátics 4º ESO Mtemátics B 4. NÚMEROS REALES Los números rcionles (Q) junto con los irrcionles ( Ι ) constituyen el conjunto de los NÚMEROS REALES (R). 6 Nturles ( Ν) Enteros ( Ζ) Enteros negtivos 4 Rcionles (Q) Números reles (R) Decimles ectos 07 ) Frccionrios Periódicos puros 6 Decimles periódicos ) Periódicos mitos 09 Irrcionles ( I ):Decimles no ectos y no periódicos π Φ R Q I N Z N Z Q R = Q I Q e I son disjuntos ( no tiene elementos en común) OPERACIONES CON NÚMEROS REALES (RACIONAL) ± (RACIONAL) = RACIONAL (RACIONAL) ± (IRRACIONAL) = IRRACIONAL (IRRACIONAL) ± (IRRACIONAL) =? (RACIONAL) (RACIONAL) = RACIONAL (RACIONAL) (IRRACIONAL) = IRRACIONAL (IRRACIONAL) (IRRACIONAL) =? (RACIONAL) : (RACIONAL) = RACIONAL (RACIONAL) : (IRRACIONAL) = IRRACIONAL (IRRACIONAL) : (IRRACIONAL) =? 9

10 IES Jun Grcí Vldemor Deprtmento de Mtemátics 4º ESO Mtemátics B 4.. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES Los números reles se representn como puntos de un rect llmd RECTA REAL. A cd punto le corresponde un número rel y vicevers. Pr representr un número entero llevmos l unidd l derech del 0 si es positivo o l izquierd si es negtivo tnts veces como indic su vlor bsoluto. Pr representr un número frccionrio elegimos entre qué dos uniddes se encuentr y por medio del Teorem De Tles dividimos el segmento correspondiente en tnts prtes como indic el denomindor y el punto que ocup l división que indic el numerdor corresponde dicho número. EJEMPLO Represent 4 y L myorí de los números irrcionles no pueden representrse en l rect rel de un mner ect tl y como se hce con los números rcionles. Se representn de form proimd truncndo o redondendo su vlor. Sin embrgo ls ríces cudrds se pueden representr de form ect con yud del Teorem de Pitágors. EJEMPLO Represent en l rect rel 0 0

11 IES Jun Grcí Vldemor Deprtmento de Mtemátics 4º ESO Mtemátics B º) 0 = + Construimos un triángulo rectángulo de ctetos y. Aplicndo el Teorem de Pitágors tenemos que l hipotenus de ese triángulo mide 0. º) Con yud de un compás llevmos 0 sobre l rect rel.. INTERVALOS SEMIRRECTAS Y ENTORNOS... INTERVALOS Y SEMIRRECTAS. Pr designr lgunos trmos de l rect rel eiste un nomencltur que debes conocer: NOMBRE SÍMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓN Intervlo { R / b} ( b) bierto Números comprendidos entre y b { R / b} Intervlo [ b] Números comprendidos entre y b cerrdo mbos incluidos Intervlo [ b) { R / b} semibierto (o semicerrdo) ( b] { R / b} ( + ) { R / > } Números myores que [ + ) { R / } Semirrects Números myores o igules que { R / } ( ) Números menores que ( ] { R / } Números menores o igules que

12 IES Jun Grcí Vldemor Deprtmento de Mtemátics 4º ESO Mtemátics B Cundo queremos nombrr un conjunto de puntos formdo por dos o más intervlos se utiliz el signo (unión) entre ellos. Por ejemplo [ 4) ( + ) Ejemplos ) Números myores que b) { R / } c) { R / 7} ) Números myores que = ( + ). d) Números menores que e) Números myores o igules que ecluyendo el 8 b) { R / } = [) c) { R / 7} = [7] d) Números menores que = ( ) e) Números myores que ecluyendo el 8 = [8) (8 + ).. ENTORNOS. Entorno bierto de centro y rdio r E ( r) = ( r + r) Entorno cerrdo de centro y rdio r E [ r] = [ r + r] 6. VALOR ABSOLUTO ) = = ò =

13 IES Jun Grcí Vldemor Deprtmento de Mtemátics 4º ESO Mtemátics B ) ) ( > ) ] [ 4) ) ( ) ( + > > > > ) ) [ ] ( + Ejemplos Represent en l rect rel los intervlos en los que se cumple: ) b) c) > ) ) [ ] ( + b) ) ( > c) ) [7 ] ( ) ( + +