Clasificación de los números.

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1 Clasificación de los números. Alguna vez te has preguntado cómo sería la vida sin números? Trata de imaginar un día sin números. No importa el día, trata de imaginar pasar las primeras horas sin números. No habría reloj despertador, ni tiempo, ni fecha. No habría celulares, ni televisión y radio. Ni mercado de valores, ni cuentas bancarias y mucho menos dinero. Aunque no nos demos cuenta y a veces no lo queremos aceptar, los números son imprescindibles en nuestra vida. Los números se presentan en prácticamente todas nuestras conversaciones. Cuando nos preguntan qué fecha es hoy, qué hora es, cuántos años tenemos, nuestra fecha de nacimiento, o simplemente cuánto pesamos. Las respuestas de todas estas preguntas y muchas otras son números. Desde el comienzo de los tiempos, diferentes civilizaciones han utilizado varios símbolos para representar los números. Pero los símbolos que utilizamos hoy día, se pueden trazar como originados en la India aunque fueron los árabes los que los introdujeron a Europa. A nuestro sistema numérico lo llamamos indo-arábigo y se basa en diez dígitos desde el cero hasta el nueve. Con estos diez dígitos podemos representar todos los números que utilizamos para contar desde el 1 al número más grande que puedas pensar y más. A este conjunto se le conoce como los números naturales. Naturales (N). Son los números que se utilizan para contar. N = {1,2,3,4,5,6, }

2 Al poner un signo negativo delante de cada número natural obtenemos los opuestos de los números naturales que llamamos números negativos. Si le añadimos el cero a estos dos conjuntos obtenemos los números enteros simbolizados por la letra Z. Enteros (Z). Unión de los positivos, los negativos y el cero. Z = { 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, } Para representar gráficamente los números enteros, dibujamos una recta, y señalamos un punto, al que denominamos 0. Ubicamos los números positivos a la derecha del cero, usando una escala que establece la misma distancia de un número entero al siguiente. Entonces ubicamos los números negativos a la izquierda del cero, de igual forma. Hemos localizado hasta el momento sólo números enteros en una recta numérica pero también hay números entre medio de cada uno de estos enteros consecutivos. Muchos de estos números pueden ser representados como el cociente de dos enteros como 1 y 3 (a los que comúnmente llamamos fracciones) 2 4 y también podemos representar enteros como razones, es decir, puedes escribir cualquier número entero sobre 1. Cuando hablamos de razones podemos recordar que existe un orden de todas las razones posibles entre dos enteros positivos al que llamamos el conjunto cantor en honor al matemático Cantor, quién lo diseño. Georg Cantor

3 En el podemos observar que existen dos razones posibles que podemos crear con dos enteros. Ejemplo con los enteros 1 y 2 tenemos 1 y 2. También podemos encontrar razones equivalentes por ejemplo y 6 y 9, 1 y 2, 7 y 1 y 2, etc Estos números forman el conjunto de los números racionales, simbolizados por la letra Q. Racionales (Q). Conjunto de todos los números de la forma a, tales que a (el numerador) y b (el b denominador) son números enteros y b (denominador) no puede ser 0. Los números racionales son los números que se pueden expresar como una fracción. Sabemos que cada fracción puede ser expresada como un decimal, por lo tanto, significa esto que podemos expresar cualquier número racional como un decimal y existe uno y exclusivamente un valor decimal para cada número racional. Un número racional, cuando es expresado como un decimal, es finito o periódico. Un decimal finito: por ejemplo, 1 2 = 0.5. Un decimal infinito periódico: por ejemplo, 1 = = Los tres puntos seguidos significan que este número racional se repite infinitamente. Este decimal periódico infinito también puede ser representado por medio de una barra encima de los dígitos que se repiten. A esta barra se le conoce como barra de notación. No todos los decimales periódicos tienen un solo dígito repetitivo como Otro ejemplo de decimal periódico es el equivalente a la fracción 3 = en donde tiene 6 dígitos repetitivos. 7 Debemos preguntarnos lo siguiente, Si cada número racional puede ser expresado como un decimal único significa esto que todos los decimales son racionales? Si tomamos un número racional como 0. 3 y lo expandimos y luego cambiamos algunas cifras como podemos observar que aunque es infinito no es periódico por lo tanto no es racional. A este conjunto se les llama números irracionales. Irracionales (I). es un número que no es racional; es decir, un número que no puede ser expresado como una fracción de dos enteros.

4 Existe un número infinito de números irracionales. Estos son decimales infinitos no periódicos, es decir que el decimal sigue infinitamente sin repetirse. Las raíces cuadradas no perfectas como son decimales infinitos no periódicos también son irracionales. El número irracional más conocido es pi (π), que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. π = Otros números irracionales son: El número e que aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos e = El número áureo,φ, utilizado por artistas de todas las épocas (Fridas, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí, ) en las proporciones de sus obras. φ = Al unir los números racionales e irracionales forman el conjunto de números conocidos como los números reales. Reales (R). Es la unión de los números racionales y los números irracionales. Hasta el momento todos los conjuntos discutidos los has utilizado desde los primeros años en la escuela hasta el presente. Sin embargo, existen problemas para cuya resolución los números reales no son suficientes. Un ejemplo de ello es la solución a la ecuación cuadrática x 2 = 1. El resultado de esta ecuación es una raíz negativa. Las raíces cuadradas de números negativos no están definidas en el conjunto de los números reales. No existe ningún número real que multiplicado por si mismo dé como resultado un número negativo. Es necesario ampliar el conjunto de los números reales con los números imaginarios o complejos. Primero tendremos que definir lo que es unidad imaginaria. Utilizando la unidad imaginaria i podemos definir la raíz cuadrada de cualquier número real negativo. Se define la unidad imaginaria i como el número i = 1. Imaginarios ( i ). Ejemplos: 3i, 5 Simplemente aceptando que existe i podemos resolver muchos problemas donde necesitamos la raíz cuadrada de un número negativo. Mientras tengamos esa pequeña "i" para recordarnos que hay que multiplicar por 1 no tendremos problemas con seguir calculando para llegar a la solución.

5 De hecho hubo un tiempo en que se pensó que los números imaginarios eran imposibles, y por eso se llamaban "imaginarios" (a modo de broma). Pero después hubo gente que investigó más y descubrió que son útiles e importantes porque rellenan un hueco en las matemáticas... pero el nombre de "imaginario" se mantuvo. Un ejemplo en el que son útiles es: La CA o AC (corriente alterna) (es la forma en la cual llega la energía eléctrica a los hogares y también señales de audio y radio) cambia de positivo a negativo siguiendo una onda sinusoidal. Si combinas dos corrientes alternas puede que no coincidan bien, y puede ser muy difícil calcular la nueva corriente. Pero usar números reales e imaginarios juntos hace mucho más fáciles los cálculos. Y el resultado puede ser corriente "imaginaria". Complejos (C). Define un número complejo la expresión a + bi donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria. El número a se llama la parte real y bi, es la parte imaginaria del número complejo. Si a = 0, se dice que el número es imaginario puro ( i ). Si b = 0, el número es real. Así, todos los números reales son números complejos. Podemos observar que estos conjuntos están muy relacionados unos con otros. Para poder ver con claridad esta relación vamos a resumirlo en el siguiente diagrama de Venn.

6 Completa la siguiente tabla para resumir los conjuntos de números discutidos. Conjunto de Números Naturales Símbolo Descripción Ejemplos Enteros Racionales Irracionales Reales Imaginarios puros Complejos

7 Determina si las siguientes premisas son ciertas o falsas. Si son falsas explica porque lo son. 1. Los números positivos pueden representar ganancias. 2. Un número real no puede pertenecer al conjunto de los racionales y al de los irracionales a la misma vez. 3. Existen números enteros entre 0 y Los únicos números racionales son las fracciones. 5. Todo número entero es un número racional. 6. Los números imaginarios tienen una parte real y otra imaginaria. 7. Si un número es natural, también es entero, racional, real y complejo pero no puede ser irracional e imaginario. 8. Todo número complejo es real. 9. En un número complejo si b = 0, el número se conoce como imaginario puro. 10. Algunos números naturales son enteros. Escribe una X que indique a qué conjunto(s) pertenecen los siguientes números: N Z Q I R i C π 2 + 3i 7 8 4i

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