MATEMÁTICAS III. RESTRICCIONES DE IGUALDAD

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1 MATEMÁTICAS III. PROBLEMAS Y CUESTIONES TEMA 4: RESTRICCIONES DE IGUALDAD OPTIMIZACIÓN CON Problema 1: Una empresa calcula que puede alcanzar unos beneficios anuales (en miles de euros) dados por la función: B(x, y) =4xy +16y x 2 5y 2 10 miles de euros donde x es la cantidad invertida en investigación (en miles de euros) e y es la cantidad invertida en promoción (en miles de euros). (a) Hallar las cantidades que la empresa ha de destinar a investigación y promoción para obtener el máximo beneficio. (b) Si la empresa tiene un total de 9.000C= para gastar en investigación y promoción, cómo debe asignarse este dinero para generar el máximo beneficio posible? (c) Si la empresa decide aumentar el presupuesto de gasto en investigación y distribución en 9.500C=,calcule laformaenquelos500c= adicionales afectarán el máximo beneficio obtenido. Problema 2: Un joven, para impresionar a una chica de su agrado, se siente obligado a jugar en un casino todo el dinero del que dispone, que son 600 euros, y quiere gastarlo todo para poner de manifiesto su desprendimiento. Para demostrar su soltura en el ambiente, decide repartir el dinero en tres juegos distintos: ruleta, dados y blackjack. La función que mide sus ganancias en euros es: donde: G (x 1,x 2,x 3 )=2x 1 x 2 x 2 1 2x 2 2 x 2 3 x 1 cantidad gastada en ruleta x 2 cantidad gastada en los dados x 3 cantidad gastada al blackjack (a) Encontrar la asignación óptima de su dinero en los tres juegos citados, con el fin de demostrar a su amiga lo afortunado que es en el juego. Comprobar si la solución encontrada es un óptimo global.

2 (b) Si la chica desea añadir 50 euros a los 600 eurosqueeljovenvaajugar cuál será aproximadamente la variación de su máxima ganancia? mejorará la pareja, económicamente hablando, o hará mejor la chica en guardar su dinero? (NOTA: Pueden pagar sus deudas mediante bienes personales o pagarés) Cuestión 1: La producción de turrón que fabrica una empresa depende de la cantidad x de almendras y la cantidad y de azúcar que se utilizan según la expresión P (x, y) =x 2 y. Los precios de la almendra y del azúcar son, respectivamente, 20 y 10 euros el kilo. La empresa dispone de 600 euros, que quiere gastar en su totalidad, para la compra de almendras y azúcar. Entonces se verifica que la producción máxima se alcanza si se utilizan 20 Kg de almendras y 20 Kg de azúcar. (a) Verdadero, pues el programa a resolver es: queesequivalentea: max x 2 y 20x +10y =600 x 0,y 0 max x 2 (60 2x) x 0 cuyo máximo se alcanza para x =20. (b) Falso, la producción se maximiza si se utilizan 0 Kg de almendras y 60 Kg de azúcar como se obtiene al resolver el programa: max x 2 (60 2x) x 0 (c) Falso, pues el programa que ha de resolverse es: max 20x +10y x 2 y =600 x 0,y 0 y x =20, y =20no satisface la restricción x 2 y =600. 2

3 Cuestión 2: El programa: min f (x, y) =(x 2) 2 + y 2 s.a. x y 2=0 (P ) tiene un mínimo global en x =(2, 0). (a)falso,pueselprograma(p ) no verifica el teorema de Weierstrass, ya que B no es acotado. Por tanto (P ) no tiene mínimo global. (b) Verdadero, pues x =(2, 0) verifica las condiciones de Lagrange para λ =0 y el determinante del Hessiano del Lagrangiano es HL (0, 2, 0) < 0 ysusigno coincide con el de ( 1) m < 0 por lo que x =(2, 0) es un mínimo local de (P ). Además, como el programa es convexo, también es un mínimo global. (c) Verdadero. Por el método de sustitución, a partir de la restricción se tiene x = y +2y sustituyendo en la función f (x, y) resulta f (x, y) =f (y +2,y)=2y 2 que tiene un mínimo global en y =0,luego x =(2, 0) es un mínimo global de (P ). Cuestión 3: Consideremos el programa: max f ( x) s.a. g ( x) =0 (I) donde f y g son funciones con derivadas parciales continuas en R n, siendo g ( x) 6= 0 para todo x R n. Sea x un máximo local de (I) que cumple las condiciones de Lagrange con multiplicador asociado λ =0. Entonces se verifica que el punto x también es máximo local del programa sin restricciones: max f ( x) x R n (II) (a) Verdadero, ya que si x es un punto estacionario del programa (I) con λ =0,entonces f ( x )+λ g ( x )= 0, de donde se concluye que x es un punto crítico de (II) y, por tanto, máximo local de (II). (b) Verdadero, ya que el conjunto factible del programa (I) está contenido en el conjunto factible del programa (II), queesr n, por lo que toda solución óptima de (I) también es solución óptima de (II). 3

4 (c) Falso. El punto x puede no ser un punto crítico de f, porloqueenese caso x no sería máximo local del programa (II). (d)falso,puessif y g son las funciones f (x, y) =1+y 2 x 2, g (x, y) =y, el punto (0, 0) es un máximo local de (I), pero es punto de silla de (II). Cuestión 4: Se verifica que el punto (1, 1, 1) es un mínimo local del programa: min x 2 + y 2 4xy 2z s.a. x 2 + y 2 + z 2 (P ) =3 (a) Verdadero, ya que (1, 1, 1) verifica las condiciones de primer orden de Lagrange con multiplicador λ =1y, como además, el hessiano de la Lagrangiana es HL (1, 1, 1, 1) = sus menores principales de orden tres y cuatro son D 3 < 0 y D 4 < 0 ysu signo coincide con el signo de ( 1) m,puesm =1,envirtuddelascondicionesde segundo orden podemos afirmar que es un mínimo local. (b) Falso, pues en el punto (1, 1, 1) no se verifican las condiciones de Lagrange, ya que no se satisfacen las condiciones de regularidad. (c) Verdadero, pues al ser el punto (1, 1, 1) un punto estacionario con multiplicador λ =1, se concluye que es un mínimo local. Cuestión 5: Consideremos el programa: max f (x, y, z) s.a. x y =0 y z =0 (P ) donde f es una función con derivadas parciales primeras y segundas continuas en R 3. Supongamos que el programa (P ) alcanzasumáximoglobalenelpunto x =(1,α,β), en el que se cumplen las condiciones de primer y segundo orden de Lagrange con multiplicadores asociados λ 1 =3y λ 2 =1. Entoncesseverifica 4

5 que α = β =1y que la variación del valor máximo de f, f MAX,aumenta aproximadamente en 1.5 unidades si la primera restricción pasa a ser x y =0.5. (a) Falso, ya que de la nformación del enunciado no es posible deducir los valores de α y β. (b) Falso. El valor máximo de la función f disminuye al cambiar la primera restricción por x y =0.5. (c) Verdadero. Como x ha de ser una solución factible, entonces 1 α =0y α β =0.Además: f MAX =1.5 OBSERVACIONES: Tanto el problema 2 como todas las cuestiones son material de exámenes de las convocatorias de 2007 y Responda a las cuestiones test razonando. 5