Ecuaciones en Diferencias Recíprocas y Semirrecíprocas

Transcripción

1 Ecuacioes e Diferecias Recíprocas y Gustavo Adolfo Juárez; Silvia Iés Navarro Facultad de Ciecias Exactas y Naturales, Uiversidad Nacioal de Catamarca. juarez.catamarca@gmail.com Recepció: 20/05/2014 Aceptado para publicació: 30/06/2014 Resume Mediate este trabajo se pretede presetar a u tipo particular de ecuacioes e diferecias que se las deomia aquí, recíprocas y semirrecíprocas, como resultados de otras tatas. Así pues cosiderado que las ecuacioes e diferecias lieales co coeficietes costates tiee asociadas para su resolució a las ecuacioes características, y que estas so algebraicas, etoces si las mismas respode a la clasificació citada de recíprocas o semirrecíprocas, las deomiamos de la misma maera a las ecuacioes e diferecias asociadas a ellas. Su defiició, ejemplos y comportamieto so el objeto del trabajo. Palabras Clave: Ecuacioes e diferecias; Ecuacioes Recíprocas; Ecuacioes semirrecíprocas. 19

2 Differece equatios reciprocal ad semi reciprocal Abstract This paper is iteded to itroduce a type of particular differece equatios referred to them here, reciprocal ad semireciprocal, as a result of may others. So where as the with costat coefficiets liear differece equatio shave associated for its resolutio to the characteristic equatios, ad that these are algebraic, if they respod to the above classificatio of reciprocal or semireciprocal, we call them the same way to differece equatios i associated with them. Its defiitio, examples, ad behavior are the subject of the work. Keywords: Differece Equatios; Reciprocal Equatios; Semireciprocal Equatios. 1. Itroducció El presete trabajo tiee por objeto presetar u caso particular de Ecuacioes; para ello partimos por u lado de rescatar dos tipos de ecuacioes algebraicas, las recíprocas y las semirrecíprocas y por otro, cosiderar las ecuacioes e recurrecias o e diferecias lieales, y de ellas obteer este uevo tipo de ecuacioes que puede aparecer e ciertos casos de modelizació matemática de sucesos discretos. Sus defiicioes, comportamieto y simulacioes e problemas co valores iiciales discretos so cosiderados para su aálisis. 20

3 2. Ecuacioes Recíprocas Cosideramos aquí u particular tipo de ecuacioes algebraicas deomiadas recíprocas; es decir aquellas ecuacioes de coeficietes reales que o se modifica al sustituir por 1/. Formalmete expresamos su defiició ([1], [2], [3], [7]): Defiició 2.1. Ua ecuació poliómica 0 de grado, co atural, se dice recíproca sii se coserva ivariate al reemplazar la variable por. Ejemplo 2.1. Ua ecuació recíproca de segudo grado es Geeralmete usaremos la expresió e forma reducida, es decir co el coeficiete del térmio mayor igual a uo, es decir como u poliomio móico o ormado. Ejemplo 2.2. Ua ecuació recíproca de tercer grado es Para verificar los ejemplos 2.1. y 2.2. basta co efectuar el reemplazo de la variable por su recíproca y observar que se obtiee la misma expresió de orige, e cada caso. 21

4 Mecioaremos alguas de las más importates propiedades a fi de poder familiarizaros co las mismas. Propiedad 2.1. Si la ecuació e cosideració es 0 La ecuació obteida al sustituir por 1/ y elimiar deomiadores resulta 1 0 Si estas dos ecuacioes so iguales, debe teerse,,,,,,. De la última igualdad resulta 1, o bie que 1; y e cosecuecia, existe dos tipos de ecuacioes recíprocas. Tipo 1.. Etoces se tiee,, es decir, los coeficietes de los térmios equidistates de los extremos so iguales. Por esta razó, las ecuacioes recíprocas del Tipo 1 se cooce tambié como ecuacioes simétricas. Tipo 2.. Etoces se tiee, ; y los coeficietes de los térmios equidistates de los extremos so opuestos. Las 22

5 ecuacioes recíprocas del Tipo 2 recibe, por esa circustacia el ombre de ecuacioes hemisimétricas. Ejemplo 2.3. Las ecuacioes recíprocas de los ejemplos 2.1. y 2.2. so del Tipo 1, es decir so simétricas. Ejemplo 2.4. So ejemplos de ecuacioes recíprocas de Tipo 2, o sea hemisimétrica, las siguietes: y De la defiició de ecuació hemisimétrica se desprede que el térmio cetral es ulo, esto puede verse cuado el grado del poliomio es par. Ejemplo 2.5. Como ecuació recíproca hemisimétrica de grado par, teemos la siguiete: dode se observa la ausecia del térmio cetral. Propiedad 2.2. Las ecuacioes recíprocas o admite la raíz 0. 23

6 Propiedad 2.3. Sea 0 ua ecuació recíproca de grado, a) Si 0 es de Tipo 1 y de grado impar, admite ua raíz 1 y es divisible por 1. Si es el cociete, etoces 0 es ua ecuació recíproca de Tipo 1 y de grado par. b) Si 0 es de Tipo 2 y de grado impar, tiee ua raíz 1 y es divisible por 1; siedo el cociete, la ecuació 0 es de Tipo 1 y de grado par. c) Si 0 es de Tipo 2 y de grado par, tiee ua raíz 1 y ua raíz 1; es decir, es divisible por 1 y, siedo el cociete, resulta 0 ua ecuació recíproca de Tipo 1 y de grado par. E cosecuecia, toda ecuació recíproca es de Tipo 1 y de grado par o puede reducirse a esta forma; la cual puede cosiderarse como la forma geeral de las ecuacioes recíprocas. Propiedad 2.4. Toda ecuació recíproca de la forma geeral puede ser reducida a ua ecuació de grado mitad. 24

7 3. Ecuacioes Cosideremos ahora ecuacioes de coeficietes reales que o se modifica al sustituir por ([1]). Defiició 3.1. Ua ecuació poliómica 0 de grado, co atural, se dice semirrecíproca sii se matiee ivariate al reemplazar la variable por. Ejemplo 3.1. Ua ecuació semirrecíproca de cuarto grado es Ejemplo 3.2. Obsérvese que igua de las ecuacioes siguietes es semirrecíproca: , , Así la siguiete propiedad dice: Propiedad 3.1. Las ecuacioes semirrecíprocas so de grado par. E efecto, si 0 es ua ecuació semirrecíproca, admite simultáeamete las raíces y : si estas so diferetes 25

8 será divisible por el producto de segudo grado. La ecuació 0 será de grado impar úicamete si existe la raíz que sea recíproca y de sigo cotrario de sí misma; pero implica 1 y. Ahora bie, como toda ecuació de coeficietes reales tiee sus raíces complejas e pares de complejas cojugadas, si 0 admite la raíz tambié deberá admitir la raíz y e tal caso será divisible por 1. Propiedad 3.2. Cosideremos la ecuació semirrecíproca 0 Y la que se obtiee de ella sustituyedo por, y elimiado deomiadores 1 0. que Siedo estas ecuacioes iguales por defiició, teemos,,.,,,. De la última igualdad obteemos 1; o bie 1; y por lo tato, existe dos tipos de ecuacioes semirrecíprocas. 26

9 Tipo 1.. Etoces teemos si 2 y si 2 ; es decir, los coeficietes de los térmios equidistates de los extremos, de orde par, so iguales y los coeficietes de los térmios equidistates de los extremos, de orde impar so opuestos. Tipo 2.. Etoces resulta si 2 y si 2 ; es decir, los coeficietes de los térmios equidistates de los extremos, de orde par, so opuestos y los de orde impar so iguales. Ejemplo 3.3: Ua ecuació semirrecíproca de Tipo 1 es la siguiete: Ejemplo 3.4: Ua ecuació semirrecíproca de Tipo 2 es la siguiete: Por la codició que la defie, e este tipo 2 el térmio cetral es ulo. Al igual que e las recíprocas es imediato el euciado siguiete: 27

10 Propiedad 3.3. Las ecuacioes semirrecíprocas o admite la raíz 0. Respecto a que la paridad del grado es siempre par, distiguimos so casos, si es múltiplo de cuatro o o, defiiedo el cocepto de orde como la mitad del grado e las ecuacioes semirrecíprocas, y para ello se preseta el euciado: Propiedad 3.4. Puesto que ua ecuació semirrecíproca es de grado par, si desigamos ese grado co 2 diremos que la ecuació es de orde. a) Si 0 es ua ecuació semirrecíproca de Tipo 1 y orde impar, admite ua raíz y ua raíz y es divisible por 1. Si es el cociete, etoces 0 es ua ecuació semirrecíproca de Tipo 1 y orde par. b) Si 0 es ua ecuació semirrecíproca de Tipo 2 y orde par, tiee las raíces y y es divisible por 1. Si es el cociete resulta 0 semirrecíproca de Tipo 2 y orde impar. E cosecuecia, toda ecuació semirrecíproca es de Tipo 1 y orde par, o de Tipo 2 y orde impar, o puede reducirse a ua de estas formas que puede cosiderarse las formas geerales de las ecuacioes semirrecíprocas. 28

11 Ejemplo 3.5: la siguiete: Ua ecuació semirrecíproca de Tipo 1 y orde impar es La aturaleza de la trasformació hace que siga siedo válido este euciado de las recíprocas. Propiedad 3.5. Toda ecuació semirrecíproca de ua de las formas geerales puede ser reducida a ua ecuació de grado mitad. 4. Ecuacioes e Diferecias Dada ua sucesió { x } cuyos primeros térmios so x 0, x1, x2,..., presetamos como Ecuació e Diferecias a toda ecuació que relacioa térmios de esa sucesió ([4], [5], [6]). Ejemplo 4.1: Las siguietes so ecuacioes e diferecias: 2 x 5 x + x 2 [4.1] = x x 5x + 4x 0 [4.2] = x+ 2 + cos( x ) = 2 [4.3] 3 1 x ( x ) = 2 [4.4] 29

12 Formalmete se preseta la siguiete defiició: Defiició 4.1: Sea el úmero atural, tal que el termio -ésimo de ua sucesió es fució de, es decir x = x(), dode los térmios siguietes x x, , + 2 existe, etoces llamamos Ecuació e Diferecias a toda ecuació que relacioa al térmio x de la sucesió, la sucesió icógita x = x() y térmios siguietes de la sucesió, represetada por la forma F, x, x, x,...) 0 [4.5] ( = Defiició 4.2: El orde de ua ecuació e diferecias es la diferecia etre el argumeto más grade y el más pequeño que aparece e ella. Ejemplo 4.2: Las ecuacioes [4.1] y [4.2] del ejemplo 4.1., so de orde dos y tres respectivamete. La ecuació [4.3] es de segudo orde, obsérvese que o tiee el térmio correspodiete x + 1. Además la ecuació [4.4] represeta a ua ecuació de primer orde. 30

13 Defiició 4.3: Ua ecuació e diferecias se dice lieal de orde k, sii tiee la forma: a ( ) x a1( ) x a0 ( ) x R( ) [4.6] k k = dode los coeficietes a ( ), a 0 ( k ) so o ulos, y R() es ua fució de. Cuado la sucesió icógita se ecuetra e ua fució o lieal, la ecuació se llama o lieal. Ejemplo 4.3: De las ecuacioes e diferecias dadas e el ejemplo 4.1, so lieales las dos primeras. Defiició 4.4: Ua ecuació e diferecias lieal de orde k se dice homogéea sii R() es ula. Caso cotrario se dice o homogéea. Ejemplo 4.4: De las ecuacioes e diferecias del ejemplo 4.1, sólo la ecuació [4.2] es homogéea. Así, dada ua ecuació e diferecias, la icógita es la sucesió solució que satisface tal igualdad, o sea: 31

14 Defiició 4.5: Ua solució de ua ecuació e diferecias será ua sucesió de valores para los cuáles se satisface la ecuació. Nos dedicaremos e este trabajo sólo a las ecuacioes e diferecias homogéeas lieales co coeficietes costates. Así dada ua ecuació e diferecias lieal de orde k homogéea co coeficietes costates de la forma: x + a 1 x a1x a0x = 0 [4.7] + k k k Dode el coeficiete a 0 0, la solució se obtiee a partir de la siguiete ecuació algebraica asociada de grado deomiada ecuació característica k k 1 ρ + a 1 ρ a1ρ + a0 = 0 [4.8] k Las solucioes de tal ecuació se deomia raíces características, y por ser de grado k hay k solucioes o ecesariamete distitas etre sí. Por lo tato si todas so distitas las podemos idicar como, 1,2,,. Ua raíz puede ser múltiple r veces y las restates k-r puede ser distitas todas etre sí. E el caso de raíces complejas estas aparece de a pares, cada ua co su cojugada. De ésta maera la sucesió solució de la ecuació e diferecias [4.7] está dada por ua suma de productos de potecias eésimas de las raíces características multiplicada por ua costate cada ua si las raíces so todas distitas etre sí, de la forma: 32

15 Mietras que si ua raíz tiee multiplicidad r y las restates veces es distitas todas etre sí, la sucesió solució se expresa como: Dode represeta las r raíces múltiples. Ejemplo 4.5: Hallar la solució de las siguietes ecuacioes e diferecias: a) x 5x 0 b) x + 3x = + 1 = Solució: Aplicado el euciado aterior se trata de ecuacioes de primer orde por lo que la ecuació característica es de la forma 0 cuya úica solució es. De allí que la sucesió solució es. E cosecuecia: a) La sucesió solució es x = C5 b) La sucesió solució es x = C( 3) Ejemplo 4.6.: Resolver la ecuació x x + 10x = 33

16 Solució: 2 La ecuació característica es: ρ 7ρ + 10 = 0, cuyas raíces so: ρ 1=2 y ρ 2 =5. Siedo éstas reales y distitas se tiee que la sucesió solució es: x = C1 2 + C2 5 Ejemplo 4.7.: Resolver la ecuació x 2 8x x = 0 + Solució: 2 La ecuació característica es: ρ 8ρ + 16 = 0, cuyas raíces so reales e iguales a 4, así la sucesió solució es: ( C C ) x = Ejemplo 4.8: Resolver la ecuació e diferecias lieal x 3 2x+ 2 5x x = 0 + Solució: La ecuació es lieal de tercer orde, por lo que costruimos la ecuació característica correspodiete: ρ 3 2ρ 2 5ρ + 6 = 0 34

17 Las raíces características so: 1, 2 y 3, es decir reales y distitas, etoces aplicamos la expresió correspodiete, y la sucesió solució es: x = C1 1 + C2 ( 2) + C33 Ejemplo 4.9: Resolver la ecuació e diferecias lieal x 4 7x x x+ 1 18x = 0 + Solució: cuarto grado: Las raíces características de la ecuació característica de ρ 7 ρ + 13 ρ + 3ρ 18 = 0 so 1, 2 y 3, esta última de multiplicidad dos, etoces aplicaremos la expresió dada ates; por lo tato la sucesió solució toma la forma: x = C1 ( 1) + C2 2 + ( C3 + C4) 3 Ejemplo 4.10: Resolver la ecuació e diferecias lieal siguiete x 4 5x x+ 2 5x x = 0 + Solució: Las raíces características so i, i, 2 y 3, aquí aplicaremos la expresió correspodiete a raíces complejas, 35

18 dode las dos primeras so cojugadas etre sí. Estas permite deotar e forma trigoométrica: ρ = cos 90 + se 90 y ρ = cos90 se 90 1 i 2 i Por lo tato la sucesió solució es * x = C cos( 90 ) + C se(90 ) + C3 2 + C4 3 dode los coeficietes y, resulta de agrupar partes reales e imagiarias de los desarrollo de las potecias eésimas de los ρ i, aplicado la otació de DeMoivre oportuamete. Estas costates expresa ifiitas solucioes, para cada valor particular se tiee ua solució distita. Ua forma de obteer ua solució úica es icorporar a ua ecuació e diferecia de orde k la misma catidad de valores iiciales, esto se deomia Problemas Discretos co Valores Iiciales. 5. Ecuacioes e Diferecias Reciprocas y Al resolver ua ecuació e diferecias lieal homogéea co coeficietes costates, vimos como depedemos de la ecuació característica, que es algebraica, y por lo tato podemos aquí usar las ecuacioes recíprocas y semirrecíprocas. E cosecuecia presetamos formalmete a las siguietes de esta maera: 36

19 Defiició 5.1.: Ua ecuació e diferecias lieal homogéea co coeficietes costates es recíproca sii la ecuació característica asociada lo es. Defiició 5.2.: Ua ecuació e diferecias lieal homogéea co coeficietes costates es semirrecíproca sii la ecuació característica asociada lo es. Podemos dar las mismas clasificacioes de ecuacioes de Tipo 1 y 2 dadas ates para las ecuacioes algebraicas recíprocas y semirrecíprocas; y además para las recíprocas asociar los térmios simétricos y hemisimétricos. E cuato a las semirrecíprocas dar el cocepto de orde par e impar. A cotiuació asociamos a cada ejemplo citado ates las ecuacioes e diferecias co su clasificació. 5 0 Ecuació Recíproca Tipo 1 Simétrica Ecuació Recíproca Tipo 1 Simétrica Ecuació Recíproca Tipo 2 Hemisimétrica Ecuació Recíproca Tipo 2 Hemisimétrica 37

20 5 5 0 Ecuació Recíproca Tipo 2 Hemisimétrica Ecuació Semirrecíproca Tipo 1 Orde par Ecuació Semirrecíproca Tipo 1 Orde par Ecuació Semirrecíproca Tipo 2 Orde par 0 Ecuació Semirrecíproca Tipo 2 Orde impar 6. Estabilidad e Ecuacioes e Diferecias Reciprocas y A cotiuació vamos a presetar e orde creciete las ecuacioes e diferecias a fi de hallar la factibilidad de obteer codicioes respecto de las clasificacioes de ecuacioes recíprocas y semirrecíprocas como así de cada uo de los tipos de ellas e cada caso ([4]). 38

21 1. Comecemos co las ecuacioes e diferecias de primer orde homogéeas de la forma 0. La ecuació característica es 0, ésta es recíproca sii 1, siedo simétrica e el caso a =1 y hemisimétrica cuado 1. Para la ecuació recíproca simétrica la sucesió oscila etre dos valores que depede del valor iicial y su opuesto, por lo tato es oscilate. Para la ecuació recíproca hemisimétrica la sucesió es costate e el valor iicial. El valor de equilibrio de ua ecuació e diferecias se deota por x es:, e el caso de las ecuacioes de primer orde b x = 1 + a Por lo que el valor de equilibrio para ua ecuació e diferecias simétrica es ulo y para ua hemisimétrica o está defiida. No olvidemos que las semirrecíprocas so de grado par por lo que o existe EED de primer orde semirrecíprocas. 2. Sea ahora la ecuació e diferecia homogéea de segudo orde 0. La ecuació característica es recíproca y simétrica sii 1, mietras que co 1 y 0, es recíproca pero hemisimétrica. 39

22 E cuato a la estabilidad de la sucesió debe teerse e cueta que el valor de equilibrio e las ecuacioes e diferecias de segudo orde está dado por x p = d 1 + a + b. Por lo que el valor de equilibrio para la recíproca simétrica es ulo y para la recíproca hemisimétrica o está defiida. Para la sucesió recíproca simétrica 0, los térmios varía detro de u rago costate mostrado ua oscilació, o habiedo por lo tato estabilidad, tal rago es 2 2, segú el euciado dado más abajo. Para la sucesió cuado la ecuació es recíproca hemisimétrica 0, sólo tiee dos valores que so los valores iiciales, si estos so distitos oscila etre ellos y si so iguales es ua costate, y además se repite alteradamete cada cuatro pasos a partir de los dos valores iiciales. Mietras que la ecuació es semirrecíproca cuado a es ulo y 1, o sea 0, es de tipo 1, mietras que co 1, cualquiera sea a se tiee 0 es semirrecíproca tipo 2. Para el tipo 1 la sucesió tiee solo cuatro valores, los dados por los dos valores iiciales, y sus opuestos obteidos al aplicar la ecuació e diferecias. Si los valores iiciales so iguales la sucesió oscila etre los dos úicos valores, el de los primeros dados y luego los opuestos. 40

23 Para el tipo 2, la sucesió queda 0, la estabilidad e ella o ocurre pues la codició de estabilidad para ua EED de segudo orde está dada por el euciado: Teorema: El valor de equilibrio de ua ecuació e diferecias x 2 + ax + + bx d es estable sii los coeficietes de la ecuació + 1 = característica satisface la relació: a 1 < b < 1. E cosecuecia o es estable y muestra oscilacioes que diverge co a positivo y crece idefiidamete co a egativo. U claro ejemplo de las semirrecíprocas de Tipo 2, so las Progresioes Geométricas de Oro [5]. Así las deomiamos a las ecuacioes e diferecias de segudo orde homogéeas co 1, que para valores iiciales particulares defie a las sucesioes de Fiboacci y la de Lucas. 3. Para las ecuacioes e diferecias de orde superior siempre debemos recordar que las semirrecíprocas so posibles si el orde es par. El estudio de la estabilidad de la solució x de la ecuació e diferecias lieal o homogéea, se reduce mediate la sustitució y al estudio de la estabilidad de la solució = x x ula de la ecuació homogéea: y + k + a1 y+ k ak y = 0 Para el estudio de la estabilidad de la solució geeral de la ecuació homogéea, se aplica las siguietes reglas: 41

24 i) Si todas las raíces de la ecuació características so e valor absoluto meor que la uidad, etoces la sucesió solució es asitóticamete estable. ii) Si al meos raíz ua de la ecuació característica es e valor absoluto mayor que la uidad, etoces la sucesió solució es iestable. iii) Si la ecuació característica tiee raíces simples co los módulos iguales a uo, mietras que los módulos de las demás raíces, si tales existe, so meores que la uidad, etoces la sucesió solució es estable, pero o asitóticamete. iv) Si la ecuació característica tiee al meos ua raíz múltiple co el módulo igual a la uidad, etoces la sucesió solució es iestable. De ésta maera el estudio de la estabilidad de la sucesió solució se reduce al de coocer el valor de los módulos de las raíces de la ecuació característica. 6. Coclusioes Siedo 0 ua ecuació e diferecias lieal homogéea co coeficiete costate de orde k, dode 0 42

25 es la ecuació característica asociada a tal ecuació, así llamado, 1,2,, a las raíces características, etoces el coeficiete es el producto de las raíces, segú el Teorema de Cardao- Viète-Ferádez, que formalmete se expresa: Si co 1 etoces y 1 dode es la i-ésima raíz del poliomio. E térmios de las tales raíces, la ecuació e diferecias de orde k es: Recíproca sii siedo h ua raíz etoces tambié es raíz. Semirrecíproca sii siedo h ua raíz etoces tambié es raíz. Como vimos u requisito es que 1 segú sea de Tipo 1 ó Tipo 2. Como la codició de estabilidad de las ecuacioes e diferecias de orde k e térmios de sus raíces dice que si la raíz de mayor valor absoluto es egativa o compleja la sucesió es estable. Por lo tato las ecuacioes e diferecias semirrecíprocas o so estables. E cuato a los coeficietes de la ecuació e diferecias, el criterio dice que si 1 la sucesió oscila alrededor del puto de equilibrio, lo cual dado podrá ocurrir e uestro tipo de ecuacioes. Por cada solució existe otro cuyo producto es uo si es recíproca o meos uo si es semirrecíproca, resulta así que el producto de todas las raíces tiee valor absoluto uo, es decir oscila, pero o coverge a tal puto de equilibrio. 43

26 E particular cuado la ecuació e diferecias es de primer orde y resulta costate o ecesariamete es el valor de equilibrio que, o es cero o bie o existe. 44

27 7. Referecias [1] Costa, Homero A. (1988). Ecuacioes semirrecíprocas. Edició del autor. [2] Ferádez Terá, Ricardo. (2011). Fudametos del Álgebra de Poliomios. Uiversidad Simó Bolívar. [3] Hall, H. S.; Kight, S. R. (1982). Algebra Superior. Uió Tipográfica Editorial. México. [4] Juarez, G. A.; Navarro, S. I. (2005). Ecuacioes e diferecias. Editorial Sarquis. Catamarca. [5] Juarez, G. A.; Navarro, S. I. (2012). Progresioes Geométricas de Oro. Revista Aportes Cietíficos e Phymath. Número 2. Facultad de Ciecias Exactas y Naturales. Uiversidad Nacioal de Catamarca. [6] Juarez, G. A.; Navarro, S. I. (2011). Problemas Discretos co Valores Iiciales. Revista e Educació Matemática. Uió Matemática Argetia. Número 26. Volume 2. Pps [7] Osi, Luis. (1966). Itroducció al Aálisis Matemático. Ed. Kapelusz. 45