Programación MATLAB: Ecuaciones, polinomios, regresión e interpolación.

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1 Programación MATLAB: Ecuaciones, polinomios, regresión e interpolación. Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: web: Universidad: ITESM CEM

2 Tópicos 1 Raíces de ecuaciones y polinomios Raíces de la ecuación algebraica y no lineal Raíces de polinomios Raíces de la ecuación de segundo grado 2 Ajuste de curvas: regresión con MATLAB 3 Interpolación con MATLAB

3 Tópicos 1 Raíces de ecuaciones y polinomios Raíces de la ecuación algebraica y no lineal Raíces de polinomios Raíces de la ecuación de segundo grado 2 Ajuste de curvas: regresión con MATLAB 3 Interpolación con MATLAB

4 MATLAB MATLAB es capaz de localizar raíces en ecuaciones algebraicas y trascendentes, MATLAB es excelente para la manipulación y localización de raíces en los polinomios, MATLAB es capaz de ajustar curvas mediante polinomios.

5 MATLAB MATLAB es capaz de localizar raíces en ecuaciones algebraicas y trascendentes, MATLAB es excelente para la manipulación y localización de raíces en los polinomios, MATLAB es capaz de ajustar curvas mediante polinomios.

6 MATLAB MATLAB es capaz de localizar raíces en ecuaciones algebraicas y trascendentes, MATLAB es excelente para la manipulación y localización de raíces en los polinomios, MATLAB es capaz de ajustar curvas mediante polinomios.

7 MATLAB Función fzero roots poly polyval polyvalm residue polyder conv deconv Descripción Raíz de una sola función Encuentra raíces de polinomios Construye polinomios con raíces específicas Evalúa un polinomio Evalúa un polinomio con argumento matricial Expansión de la fracción-parcial (residuos) Diferenciación polinomial Multiplicación de polinomios División de polinomios

8 Raíces de la ecuación algebraica y no lineal Función fzero x = fzero( funcion, x0) funcion función de una variable (cadena de caracteres), x 0 intervalo, x raíz.

9 Raíces de la ecuación algebraica y no lineal Función fzero x = fzero( funcion, x0) funcion función de una variable (cadena de caracteres), x 0 intervalo, x raíz.

10 Raíces de la ecuación algebraica y no lineal Ejemplo: Solución de una ecuación algebraica Utilice la función fzero de MATLAB para encontrar las raíces de f(x) = x 10 1.

11 Raíces de la ecuación algebraica y no lineal Solución para la raíz positiva >> x0 = [ ] ; >> x = fzero ( xˆ10 1, x0 ) x = 1

12 Raíces de la ecuación algebraica y no lineal Solución para la raíz negativa >> x0 = [ ] ; >> x = fzero ( xˆ10 1, x0 ) x = 1

13 Raíces de la ecuación algebraica y no lineal Ejemplo: Solución de una ecuación no lineal Utilice la función fzero de MATLAB para encontrar las raíces de f(x) = x e x 0.2.

14 Raíces de la ecuación algebraica y no lineal Solución clear ; clc ; f p l o t ( x exp( x ) 0.2, [0 8 ] ), grid x1 = fzero ( x exp( x ) 0.2, [0 2 ] ) x2 = fzero ( x exp( x ) 0.2, [2 7 ] )

15 Raíces de la ecuación algebraica y no lineal Solución

16 Raíces de la ecuación algebraica y no lineal Solución x1 = x2 =

17 Raíces de polinomios Función roots x = roots(p) x vector columna con las raíces del polinomio, p vector fila con los coeficientes del polinomio, f n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, p = [a n a n 1... a 1 a 0 ].

18 Raíces de polinomios Función roots x = roots(p) x vector columna con las raíces del polinomio, p vector fila con los coeficientes del polinomio, f n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, p = [a n a n 1... a 1 a 0 ].

19 Raíces de polinomios Ejemplo: Polinomios Analicemos cómo se emplea MATLAB para manipular y determinar las raíces de polinomios. Use la siguiente ecuación: f 5 (x) = x x x x x

20 Raíces de polinomios >> a = [ ] a = >> polyval ( a, 1 ) ans = >> polyder ( a ) ans = >> roots ( a ) ans = i i

21 Raíces de la ecuación de segundo grado Ecuación f (x) = a x 2 + b x + c = 0 Esta ecuación tiene solución exacta. Solución x 1 = b + b 2 4ac 2a x 2 = b b 2 4ac 2a

22 Raíces de la ecuación de segundo grado Ecuación f (x) = a x 2 + b x + c = 0 Esta ecuación tiene solución exacta. Solución x 1 = b + b 2 4ac 2a x 2 = b b 2 4ac 2a

23 Raíces de la ecuación de segundo grado Ecuación f (x) = a x 2 + b x + c = 0 Esta ecuación tiene solución exacta. Solución x 1 = b + b 2 4ac 2a x 2 = b b 2 4ac 2a

24 Raíces de la ecuación de segundo grado Solución de la ecuación con MATLAB >> syms a b c x; >> solve(a xˆ2 + b x + c) ans = (b + (b 2 4 a c)ˆ(1/2))/(2 a) (b (b 2 4 a c)ˆ(1/2))/(2 a)

25 Raíces de la ecuación de segundo grado Solución de la ecuación con MATLAB >> syms x; >> a = 1; b = 3; c = 2; >> solve(a xˆ2 + b x + c) ans = 1 2

26 Raíces de la ecuación de segundo grado Function en MATLAB function [x] = fun(a, b, c) x(1) = ( b + sqrt(bˆ2 4 a c))/2/a; x(2) = ( b sqrt(bˆ2 4 a c))/2/a; end M-file en MATLAB a = input( Deme el valor de a = ); b = input( Deme el valor de b = ); c = input( Deme el valor de c = ); x = fun(a, b, c); R = [ Las raices son: x1=,num2str(x(1)), y x2=,num2str(x(2))]; disp(r)

27 Raíces de la ecuación de segundo grado Function en MATLAB function [x] = fun(a, b, c) x(1) = ( b + sqrt(bˆ2 4 a c))/2/a; x(2) = ( b sqrt(bˆ2 4 a c))/2/a; end M-file en MATLAB a = input( Deme el valor de a = ); b = input( Deme el valor de b = ); c = input( Deme el valor de c = ); x = fun(a, b, c); R = [ Las raices son: x1=,num2str(x(1)), y x2=,num2str(x(2))]; disp(r)

28 Raíces de la ecuación de segundo grado Solución de la ecuación con MATLAB Deme el valor de a = 1 Deme el valor de b = 3 Deme el valor de c = 2 Las raices son: x1 = 2 y x2 = 1

29 Tópicos 1 Raíces de ecuaciones y polinomios Raíces de la ecuación algebraica y no lineal Raíces de polinomios Raíces de la ecuación de segundo grado 2 Ajuste de curvas: regresión con MATLAB 3 Interpolación con MATLAB

30 Función MATLAB polyfit clear ; clc ; x =[ ] ; y= [ ] ; n=6 %2, 3, 4, 5, 6,.... p= p o l y f i t ( x, y, n ) xp=linspace ( min ( x ),max( x ),100) ; yp=polyval ( p, xp ) ; plot ( x, y, o, xp, yp ) grid on xlabel ( x ) ylabel ( y )

31 Raı ces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresio n con MATLAB Interpolacio n con MATLAB Ejemplo: n = 1

32 Raı ces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresio n con MATLAB Interpolacio n con MATLAB Ejemplo: n = 2

33 Raı ces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresio n con MATLAB Interpolacio n con MATLAB Ejemplo: n = 3

34 Raı ces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresio n con MATLAB Interpolacio n con MATLAB Ejemplo: n = 4

35 Raı ces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresio n con MATLAB Interpolacio n con MATLAB Ejemplo: n = 5

36 Raı ces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresio n con MATLAB Interpolacio n con MATLAB Ejemplo: n = 6

37 Tópicos 1 Raíces de ecuaciones y polinomios Raíces de la ecuación algebraica y no lineal Raíces de polinomios Raíces de la ecuación de segundo grado 2 Ajuste de curvas: regresión con MATLAB 3 Interpolación con MATLAB

38 Función MATLAB polyfit clear ; clc ; x =[1 4 6 ] ; y= [ ]; n=2 p= p o l y f i t ( x, y, n ) xp=linspace ( min ( x ),max( x ),100) ; yp=polyval ( p, xp ) ; yp2=log ( xp ) ; plot ( x, y, o, xp, yp, xp, yp2, : ) grid on xlabel ( x ) ylabel ( y )

39 Raı ces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresio n con MATLAB Interpolacio n con MATLAB Ejemplo: n = 2 x0 = 1 x1 = 4 x2 = 6 f (x0 ) = 0 f (x1 ) = f (x2 ) =

40 Raı ces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresio n con MATLAB Interpolacio n con MATLAB Ejemplo: n = 3 x0 x1 x2 x3 =1 =4 =5 =6 f (x0 ) = 0 f (x1 ) = f (x2 ) = f (x3 ) =

41 Función MATLAB interp1 clear ; clc ; x =[1 4 6 ] ; y= [ ]; xx=2 y i =interp1 ( x, y, xx ) Salida y i =

42 Función MATLAB spline clear ; clc ; x =[1 4 6 ] ; y= [ ]; xx=2 y i =spline ( x, y, xx ) Salida y i =

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