AlumnosA N AlumnosB AlumnosC

Transcripción

1 Ejercicios de matrices como expresiones de tablas y grafos: Ejemplo. Sean los grafos siguientes: a) Escriba la matriz de adyacencia asociada a los grafos y de la figura anterior. b) Si las matrices y D unen los nodos numerados con las etiquetas,,, represente los grafos asociados a dichas matrices de adyacencia. D c) Realice la siguiente operación matricial: D D Ejemplo. En un instituto I hay alumnos de tres pueblos,, y. La distancia entre y es 6 km, la de a es 7 km, la de a es km y la de a I es 8 km. Una empresa de transporte escolar hace dos rutas: la ruta parte de y recorre sucesivamente, e I; la ruta parte de y recorre sucesivamente, e I.. Determine la matriz M, x, que expresa los kilómetros que recorren los alumnos de cada pueblo por cada ruta.. El número de alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo es: ueblo : alumnos la ruta y 9 alumnos la ruta. ueblo : 5 alumnos la ruta y 8 alumnos la ruta. ueblo : 5 alumnos la ruta y 9 alumnos la ruta. Determine la matriz N, x, que indique los alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo.. Si la empresa cobra céntimos por Km a cada persona, determine la matriz =. M N, e interprete cada uno de sus elementos. Ruta Ruta Ejemplo. Ruta M Ruta lumnos N lumnos lumnos En una empresa de fabricación de móviles hay categorías de empleados:, y y se fabrican dos tipos de móviles: M y. Diariamente cada empleado de la categoría fabrica móviles del tipo M y del tipo, mientras que cada uno de la categoría fabrica 5 móviles del tipo M y del tipo, y cada uno de la categoría fabrica 6 móviles del tipo M y 5 móviles del

2 tipo. ara fabricar cada móvil del tipo M se necesitan dos chips y conexiones y para fabricar cada móvil del tipo chips y 6 conexiones. a) Escriba una matriz X, x, que describa el número de móviles de cada tipo y otra matriz Y, de orden, que exprese el número de chips y conexiones de cada tipo de móvil. b) Realice el producto de matrices X Y e indique qué expresa dicho producto. Ejemplo. Un proveedor que suministra materia prima a fábricas, F, G y H, transporta una parte de sus envíos a cada fábrica por carretera y la otra parte por tren, según se indica en la matriz T, cuyos elementos son las toneladas de materia prima que recibe cada fábrica por cada vía de transporte. Los precios del transporte de cada tonelada de materia prima son euros por carretera y 8 euros por tren, como indica la matriz = (, 8). Explique qué operación debe efectuarse con estas matrices para determinar una nueva matriz cuyos elementos sean los costes de llevar este material a la fábrica. Ejemplo 5. Una persona tiene que comprar kg de manzanas, kg de ciruelas y.5 kg de plátanos y otra necesita.5 kg de manzanas,.5 de ciruelas y de plátanos. En la frutería, los precios de las manzanas son.8 euros/kg, los de las ciruelas. y los de los plátanos.9 y en la frutería son.7,. y.75 respectivamente. Se escriben las matrices a) Determine M N e indique qué representa cada uno de los elementos de la matriz producto. b) En qué frutería le conviene a cada persona hacer la compra? Ejemplo 6. Un fabricante de productos lácteos, que vende tipos de productos, leche, queso y nata, a dos supermercados, S y H, ha anotado en la matriz los pesos en kg de cada producto que vende a cada supermercado y, en la matriz, las ganancias que obtiene en cada supermercado por cada kg de esos productos Realiza el producto t e indica el significado de los elementos de la diagonal principal. Ejemplo 7. Una empresa de productos congelados tiene dos factorías, X e Y, y cuatro almacenes,,,, y. ada factoría suministra semanalmente sus productos a los almacenes, tal como indica el grafo de la figura.

3 El reparto semanal que realizan los cuatro almacenes a tres establecimientos,, y, viene dado por el grafo de la figura. Figura Figura a) Escribe las matrices de adyacencia de ambos grafos. b) alcula la matriz E, que proporciona el número de entregas semanales que cada factoría realiza a los tres establecimientos. c) uántas entregas semanales efectúa la factoría X al establecimiento. Solución: a) M Ejemplo 8. X, N b) E c) La factoría X Y realiza entregas semanales al establecimiento Una pequeña empresa de proyectos ecológicos desea mejorar el rendimiento de sus empleados,,, D y E. ara ello, realiza un estudio acerca de la opinión que cada uno de ellos tiene sobre la capacidad de los demás y recoge los resultados en la siguiente matriz: E El en la posición ij significa que la persona i no cree que la persona j esté especialmente capacitada para su trabajo, y el significa que la persona i cree muy capacitada a la persona j. a) Representa el grafo asociado a la matriz. b) La dirección quiere formar un grupo de trabajo de tres personas. Qué empleados deberá escoger? uál es el menos valorado por sus compañeros? Solución: a) D D E b) Las personas que el grupo considera más capacitadas son, y D porque son los que tienen mejor valoración de sus compañeros (suma de las puntuaciones por columnas). Los empleados menos valorados por sus compañeros son E y, ya que E no es valorado por nadie y solo se valora él mismo.

4 Marca Ejemplo 9. Dos tiendas de una misma cadena poseen el siguiente stock de pantalones vaqueros: TIEND TIEND Talla a b c 6 d a) Expresa matricialmente las tablas anteriores e indica lo que representan las filas y columnas de ambas matrices. b) alcula la matriz del stock disponible por la cadena. c) La ganancia en cada marca y cualquier talla es de 7, 6, 9 y euros respectivamente. Si se venden todas las existencias, cuál es la matriz que da las ganancias por talla? Solución a) 6, Las filas representan las diferentes marcas y las columnas las diferentes tallas b), c) Ejemplo. En una academia de idiomas se imparte inglés y alemán en cuatro niveles y dos modalidades: grupos 6 8 normales y grupos reducidos. La matriz expresa el número de personas por grupo, donde 6 la primera columna corresponde a los cursos de inglés, la segunda a los de alemán y las filas, a los niveles de primero, segundo, tercero y cuarto, respectivamente. Las columnas de la matriz,, 5,, 75 reflejan el porcentaje de estudiantes (común para ambos idiomas) que sigue, 8, 75, 6, 5 curso reducido (primera fila) y curso normal (segunda fila) para cada uno de los niveles. a) Obténgase la matriz que proporciona el número de estudiantes por modalidad e idioma. b) Sabiendo que la academia cobra euros por persona en grupos reducidos y 5 euros por persona en grupo normal, halla la cantidad en cada uno de los idiomas. 5 9 Solución: a), b) Ejemplo. Una fábrica decide distribuir sus excedentes en tres productos alimenticios, y a cuatro países de África,, y según se muestra en la matriz M (cantidades en toneladas). La fábrica ha recibido presupuesto de dos empresas de transporte E y E, como se indica en la matriz T (en euros por tonelada) M T E E

5 Efectúa el producto de ambas matrices y responde: a)) Qué representa el elementoa de la matriz producto? Qué elementos de esta matriz nos indican lo que nos cuesta transportar el producto con la empresa E? b) Interpreta la matriz producto e indica qué elementos de esa matriz te permite decidir la empresa que resulta más barata? Solución T M a) El elemento a de la matriz T.M representa el presupuesto de transporte por la empresa E del producto alimenticio. El elemento a. b) La matriz T.M nos da los presupuestos de transporte de los productos alimenticios, Y por las empresas E y E. La suma de los elementos a i, a i y a i con i =,