I.E. CÁRDENAS CENTRO MÓDULO DE ESTADÍSTICA CICLO V GRADO DÉCIMO

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2 I.E. CÁRDENAS CENTRO MÓDULO DE ESTADÍSTICA CICLO V GRADO DÉCIMO 2

3 TABLA DE CONTENIDO pág. UNIDAD 1 1. POBLACIÓN, MUESTRA, VARIABLE ESTADÍSTICA: CUALITATIVA Y CUANTITATIVA POBLACIÓN LA MUESTRA VARIABLE CUALITATIVA VARIABLE CUANTITATIVA 4 2. ELABORACIÓN DE TABLAS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA CON DATOS AGRUPADOS 4 3. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS: HISTOGRAMA, POLÍGONO DE FRECUENCIAS, OJIVA HISTOGRAMA POLÍGONO DE FRECUENCIAS OJIVA 5 UNIDAD 2 1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON DATOS AGRUPADOS: MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS 8 2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN: RANGO, DESVIACIÓN MEDIA, VARIANZA, DESVIACIÓN TÍPICA O ESTANDAR RANGO Rango para datos no agrupados Rango para datos agrupados Propiedades del Rango o Recorrido DESVIACIÓN MEDIA Propiedades DESVIACIÓN TÍPICA Cálculo de la desviación típica para datos no agrupados en clases Cálculo de la desviación típica para datos agrupados en clases y agrupados por frecuencias Propiedades VARIANZA Varianza para datos agrupados Varianza para datos NO agrupados Propiedades ANÁLISIS DE RESULTADOS DE ENCUESTAS NÚMERO ÍNDICE APLICACIONES DE LOS NÚMEROS ÍNDICES VENTAJAS DE LOS NÚMEROS ÍNDICES 15 EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS 16 UNIDAD 3 1. TÉNICAS DE CONTEO DIAGRAMA DE ÁRBOL 17 3

4 1.2. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN COMBINACIONES Y PERMUTACIONES Combinaciones Permutaciones 18 EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS 19 UNIDAD 4 1. CONCEPTO DE PROBABILIDAD ESPACIOS MUESTRALES CÁLCULO DE PROBABILIDADES INDEPENDENCIA DE EVENTOS Sucesos Excluyentes Sucesos Independientes Sucesos Dependientes 21 EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS 22 BIBLIOGRAFÍA 24 4

5 UNIDAD 1 1. POBLACIÓN, MUESTRA, VARIABLE ESTADÍSTICA: CUALITATIVA Y CUANTITATIVA 1.1. POBLACIÓN Es el conjunto de individuos, con alguna característica común, sobre el que se hace un estudio estadístico LA MUESTRA número de hermanos, número de discos vendidos, número de pulsaciones. Una variable estadística cuantitativa es continua cuando puede tomar todos los valores posibles de un intervalo (es decir, se puede medir). Por ejemplo: peso, talla, medida del salto de longitud. Es un subconjunto de la población, seleccionada de modo que ponga de manifiesto las características de la misma, de ahí que la propiedad más importante de las muestras es su representatividad. El proceso seguido en la extracción de la muestra se llama muestreo. Cada uno de los aspectos que se desea conocer acerca de la población se denomina variable estadística. Las variables estadísticas pueden ser: 2. ELABORACIÓN DE TABLAS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA CON DATOS AGRUPADOS 1.3. VARIABLE CUALITATIVA Si se pueden observar o leer, pero no se pueden contar o medir. Por ejemplo: color de pelo, lugar de nacimiento, profesión VARIABLE CUANTITATIVA Si se pueden contar o medir. Por ejemplo: número de hermanos, peso, número de discos vendidos, talla. Las variables estadísticas cuantitativas pueden ser discretas o continuas: Una variable estadística cuantitativa es discreta cuando sólo toma un número finito de valores aislados (es decir, se puede contar). Por ejemplo: Es aquella distribución en la que la disposición tabular de los datos estadísticos se encuentran ordenados en clases y con la frecuencia de cada clase; es decir, los datos originales de varios valores adyacentes del conjunto se combinan para formar un intervalo de clase. No existen normas establecidas para determinar cuándo es apropiado utilizar datos agrupados o datos no agrupados; sin embargo, se sugiere que cuando el número total de datos (N) es igual o superior a 50 y además el rango o recorrido de la serie de datos es mayor de 20, entonces, se utilizará la distribución de frecuencia para datos agrupados, también se utilizará este tipo de distribución cuando se requiera elaborar gráficos lineales como el histograma, el polígono de frecuencia o la ojiva. 5

6 La razón fundamental para utilizar la distribución de frecuencia de clases es proporcionar mejor comunicación cación acerca del patrón establecido en los datos y facilitar la manipulación de los mismos. Los datos se agrupan en clases con el fin de sintetizar, resumir, condensar o hacer que la información obtenida de una investigación sea manejable con mayor facilidad. Ejemplo: Ejemplo, la siguiente tabla muestra las notas que se sacaron 45 alumnos de un curso en su última prueba: sobre el eje OX, este será la base del rectángulo que se dibuja sobre él con altura igual o proporcional a su frecuencia absoluta. Como los intervalos son consecutivos, los rectángulos quedan adosados. Si se utilizaran rectángulos de amplitud diferente, el área del rectángulo es la que tendría que ser proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente a ese intervalo. Se utiliza el histograma acumulativo, si se utiliza la frecuencia absoluta acumulativa. Observa que en este caso las clases son las notas y las frecuencias de clase son la cantidad de alumnos POLÍGONO DE FRECUENCIAS 3. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS: S: HISTOGRAMA, POLÍGONO DE FRECUENCIAS, OJIVA Representación gráfica de datos estadísticos. Las tablas estadísticas representan toda la información de modo esquemático y están preparadas para los cálculos posteriores. Los gráficos estadísticos nos transmiten esa información de modo más expresivo, nos van a permitir, con un sólo golpe de vista, entender de que se nos habla, observar sus características más importantes, incluso sacar alguna conclusión sobre el comportamiento de la muestra donde se está realizando ando el estudio. Se utilizan para variables estadísticas cuantitativas, discretas o continuas. Para una variable discreta, el polígono de frecuencias se obtiene uniendo por una poligonal, los extremos superiores de las barras. Para una variable continua, el polígono de frecuencias se obtiene uniendo por una poligonal los puntos medios de la base superior de los polígonos del histograma. Las escalas utilizadas para representar los polígonos de frecuencias influyen mucho por el impacto visual de los mismos. Los gráficos estadísticos son muy útiles para comparar distintas tablas de frecuencia. Los gráficos estadísticos más usuales son: 3.1. HISTOGRAMA Se utiliza para la representación de variables cuantitativas continuas, cada intervalo se representa 3.3. OJIVA Su objetivo, al igual que el histograma y el polígono de frecuencias es representar distribuciones de 6

7 frecuencias de variables cuantitativas continuas, pero sólo para frecuencias acumuladas. No se utilizan barras en su confección, sino segmentos de recta, por ello no sólo es útil para representar una distribución de frecuencias sino también cuando se quiere mostrar más de una distribución o una clasificación cruzada de una variable cuantitativa continua con una cualitativa o cuantitativa discreta. La diferencia con el polígono de frecuencia es que la frecuencia acumulada no se plotea sobre el punto medio de la clase, sino al final de la misma, ya que representa el número de individuos acumulados hasta esa clase. Como el valor de la frecuencia acumulada es mayor a medida que avanzamos en la distribución, la poligonal que se obtiene siempre va a ser creciente y esa forma particular de la misma es la que ha hecho que se le dé también el nombre de ojiva. ACTIVIDAD Se ha realizado una encuesta a 20 personas sobre el número de veces, que en la semana, van al cine y se han obtenido las siguientes respuestas: Nº días (xi) fr. absoluta (ni) Total 20 Realiza el diagrama de barras, el polígono de frecuencias y el diagrama de sectores correspondiente. 7

8 UNIDAD 2 1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON DATOS AGRUPADOS: MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA Cuando se trabaja con datos que han sido agrupados en una distribución de frecuencias, no se sabe con certeza los valores individuales de cada dato. Por lo que se utilizan métodos alternos para aproximar los valores de las medidas descriptivas MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS Al calcular la media para datos agrupados, se supone que las observaciones en cada clase son iguales al punto medio de la clase: 1.2. MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS Primero se encuentra la clase mediana, la cual es la clase cuya frecuencia acumulada es mayor o igual a n/2 y puede determinarse mediante la siguiente fórmula: 8

9 1.3. LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS Es la observación que ocurre con mayor frecuencia, por lo que es necesario identificar la clase modal, esta se localiza encontrando la clase que tenga más frecuencia. 2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN: RANGO, DESVIACIÓN MEDIA, VARIANZA, DESVIACIÓN TÍPICA O ESTANDAR Con las medidas de centralización y posición podemos conocer los valores centrales de un conjunto de datos y la distribución de éstos. Uno de los objetivos de las medidas de tendencia central es la de sintetizar la información de los datos, pero estas medidas por sí solas no bastan para ver su grado de significación, veámoslo con un ejemplo. Consideremos las notas de dos grupos de 50 alumnos, en el primero 25 alumnos obtienen un 10 y 25 un 4, en el segundo los 50 alumnos obtienen un 7. Si calculamos la media en ambos conjuntos es la misma (7), si sólo nos fijamos en la media podemos afirmar que los dos grupos de alumnos son bastantes buenos, pero lo cierto es que en el primer grupo hay 25 alumnos que han obtenido una nota excelente y 25 con mala nota, mientras que en el segundo todos los alumnos han sacado una buena nota. La media para el primer grupo es menos representativa que para el segundo. Hemos visto un ejemplo, bastante exagerado para comprobar que las medidas de tendencia central necesitan un complemento, una medida que nos permita otorgar mayor o menor representatividad estas medidas RANGO Es la medida de variabilidad más fácil de calcular. Para datos finitos o sin agrupar, el rango se define como la diferencia entre el valor más alto (Xn ó Xmax.) y el más bajo (X1 ó Xmin) en un conjunto de datos Rango para datos no agrupados R = Xmáx.-Xmín = Xn-X1 Ejemplo: Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de Ier año, a saber: 18,23, 27,34 y 25., para calcular la media aritmética (promedio de las edades, se tiene que: R = Xn-X1 ) = = 16 años Con datos agrupados no se saben los valores máximos y mínimos. Si no hay intervalos de clases abiertos podemos aproximar el rango mediante el uso de los límites de clases. Se aproxima el rango tomando el límite superior de la última clase menos el límite inferior de la primera clase Rango para datos agrupados R= (lim. Sup. de la clase n lim. Inf. De la clase 1) Ejemplo: Si se toman los datos del ejemplo resuelto al construir la tabla de distribución de frecuencia de 9

10 las cuentas por cobrar de Cabrera s y Asociados que fueron los siguientes: Clases P.M. Xi fi fr fa fa fra fra Total XXX XXX XX X XX X XXX El rango de la distribución de frecuencias se calcula así: R= (lim. Sup. de la clase n lim. Inf. De la clase 1) = ( ) = Propiedades del Rango o Recorrido: El recorrido es la medida de dispersión más sencilla de calcular e interpretar puesto que simplemente es la distancia entre los valores extremos (máximo y mínimo) en una distribución Puesto que el recorrido se basa en los valores extremos éste tiende s ser errático. No es extraño que en una distribución de datos económicos o comerciales incluya a unos pocos valores en extremo pequeños o grandes. Cuando tal cosa sucede, entonces el recorrido solamente mide la dispersión con respecto a esos valores anormales, ignorando a los demás valores de la variable. La principal desventaja del recorrido es que sólo está influenciado por los valores extremos,, puesto que no cuenta con los demás valores de la variable. Por tal razón, siempre existe el peligro de que el recorrido ofrezca una descripción distorsionada de la dispersión. En el control de la calidad se hace un uso extenso del recorrido cuando la distribución a utilizarse no la distorsionan y cuando el ahorro del tiempo al hacer los cálculos es un factor de importancia DESVIACIÓN MEDIA En teoría, la desviación puede referirse a cada una de las medidas de tendencia central: media, mediana o moda; pero el interés se suele centrar en la medida de la desviación con respecto a la media, que llamaremos desviación media. Puede definirse como la media aritmética de las desviaciones de cada uno de los valores con respecto a la media aritmética de la distribución, y de indica así: Nótese que se toman las desviaciones en valor absoluto, es decir, que la fórmula no distingue si la diferencia de cada valor de la variable con la media es en más o en menos. Ya se habrá advertido que esta expresión sirve para calcular la desviación media en el caso de datos sin agrupar. Veamos un ejemplo: Se tiene los valores 2, 2, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8. Averiguar la desviación media de estos valores. x x x x DM = 1,8 10

11 Veamos ahora cómo se calcula la desviación media en el caso de datos agrupados en intervalos. Donde observamos que ahora las desviaciones van multiplicadas por las frecuencias de los intervalos correspondientes. Además, las desviaciones son de cada centro, o marca de clase, a la media aritmética. Es decir, Ejemplo: Para hallar la desviación media de la siguiente tabla referida a las edades de los 100 empleados de una cierta empresa: Clase n i Veamos cómo se procede: Clase n i x m n i x m x x n i x x ,72 33, La desviación media viene a indicar el grado de concentración o de dispersión de los valores de la variable. Si es muy alta, indica gran dispersión; si es muy baja refleja un buen agrupamiento y que los valores son parecidos entre sí. La desviación media se puede utilizar como medida de dispersión en todas aquellas distribuciones en las que la medida de tendencia central más significativas haya sido la media Propiedades Nos da la media de la dispersión de los datos. Intervienen para su cálculo todos los datos. Cada vez que insertemos un dato nuevo se modificará. Al intervenir un valor absoluto los cálculos son complicados. A mayor concentración de los datos entorno a la media menor será su valor. DM es no negativa DM=0 si y sólo si todos los valores son coincidentes DESVIACIÓN TÍPICA Con la varianza se elevan al cuadrado las unidades de medida, sería interesante tener una medida de dispersión con las mismas unidades de la media y los datos, esto lo podemos conseguir haciendo la raíz cuadrada positiva de la varianza, a la que llamaremos desviación típica. Es sin duda la medida de dispersión más importante, ya que además sirve como medida previa al cálculo de otros valores estadísticos. La desviación típica se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las desviaciones con respecto a la media de la distribución. Es decir, Para datos sin agrupar DM = 6,09 11

12 Donde: Para datos agrupados Cálculo de la desviación típica para datos no agrupados en clases. Veamos la fórmula anterior aplicada a un caso concreto. Hallar la desviación típica de la serie: 5, 8, 10, 12, 16. x x x x x 2 5-5,2 27,04 8-2,2 4, ,2 0, ,8 3, ,8 33,64 Primero hallamos x = 10,2 Luego S = 13,76 = 3, Cálculo de la desviación típica para datos agrupados en clases y agrupados por frecuencias. Método largo: Se aplica la siguiente fórmula Donde cada intervalo. fx S = N x = x x y f es la frecuencia absoluta de m Método abreviado o corto: La fórmula a utilizar es: S 2 fd = I N 2 fd N 2 I: amplitud de la clase D: distancia en clases desde cada una en concreto a la clase que contiene a la media supuesta A. Ejemplo: Las alturas en cm de un grupo de 103 personas se distribuyen así: Clases f Resp: S = 9, Propiedades Tiene la misma unidad que los datos y que la media. Siempre es positiva, será cero si y sólo si todos los datos son coincidentes. Es la medida de dispersión más usada. Es invariante ante cambios de origen. Si se produce un cambio de escala la nueva desviación típica es igual a la anterior multiplicada por el cambio. Si se produce simultáneamente un cambio de origen y escala en los datos, sólo el cambio de escala afectará a la desviación típica VARIANZA La desviación media es una medida de dispersión de datos correcta pero presenta un inconveniente y es la complejidad de manipulación al intervenir valores absolutos. Sería conveniente encontrar otra medida que no presente el problema inicial (que no se compensen las dispersiones negativas con las positivas) y cuyo manejo se hace más sencillo. Otra forma de evitar la compensación de dispersiones es elevar al cuadrado la diferencia y es más sencillo trabajar con cuadrados que con valores absolutos, 12

13 teniendo en cuenta esta consideración introduciremos el concepto de varianza. La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. La varianza se representa por Varianza para datos agrupados Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores Varianza para datos NO agrupados Ejemplo: Calcular la varianza de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 13

14 Propiedades Como sumamos cuadrados la varianza siempre es positiva y será nula cuando todos los valores de la variable sean coincidentes y por tanto iguales a la varianza. Al elevar al cuadrado elevamos la unidad de medida de las observaciones al cuadrado. Al elevarse al cuadrado las desviaciones aquellos valores más alejados de la media afectarán mucho a la varianza. Es invariante ante cambios de origen. Si se produce un cambio de escala la nueva varianza es igual a la anterior multiplicada por el cuadrado del cambio. Si se produce simultáneamente un cambio de origen y escala en los datos, sólo el cambio de escala afectará a la varianza. EJERCICIOS 1) Sumando 5 a cada número del conjunto 3, 6, 2, 1, 7, 5, obtenemos 8, 11, 7, 6, 12, 10. Probar que ambos conjuntos de números tienen la misma desviación típica pero diferentes medias cómo están relacionadas las medias?. 2) Multiplicando cada número 3, 6, 2, 1, 7 y 5 por 2 y sumando entonces 5, obtenemos el conjunto 11, 17, 9 7, Cuál es la relación entre la desviación típica de ambos conjuntos? Y entre las medias? 3) Tenemos una variable X de la que sabemos que: CV = 0,5 y que Sx = 3. Cuál es el valor de la media de X?. 4) Tenemos dos variables X e Y con el mismo recorrido y media, siendo sus varianzas 4 y 9 respectivamente. Para cual de las dos variables el valor de la media es más representativo? 5) La distribución de edades del Censo Electoral de Residentes a 1 de enero de para 2 comunidades autónomas X y Y, en tantos por cien es la siguiente: Edades X Y a) Representa sobre los mismos ejes de coordenadas los histogramas de la distribución de la edad para las dos CC.AA. (emplea distinto trazo o distintos colores). Qué conclusiones obtienes a la vista de los histogramas? b) Calcula la edad mediana para las dos comunidades. Compáralas. Qué indican estos resultados? c) Qué comunidad tiene mayor variabilidad en la distribución de su edad? 14

15 3. ANÁLISIS DE RESULTADOS DE ENCUESTAS implica la capacidad de generalización de los resultados obtenidos. Una vez concluidas las etapas de colección y procesamiento de datos se inicia con una de las más importantes fases de una investigación: el análisis de datos. En esta etapa se determina como analizar los datos y que herramientas de análisis estadístico son adecuadas para éste propósito. El tipo de análisis de los datos depende al menos de los siguientes factores. a) El nivel de medición de las variables (los niveles de medición fueron explicados en la sección 2.4 del capítulo II). b) El tipo de hipótesis formulada (ver sección 2.2, capítulo II). c) El diseño de investigación utilizado indica el tipo de análisis requerido para la comprobación de hipótesis. El análisis de datos es el precedente para la actividad de interpretación. La interpretación se realiza en términos de los resultados de la investigación. Esta actividad consiste en establecer inferencias sobre las relaciones entre las variables estudiadas para extraer conclusiones y recomendaciones (Kerlinger, 1982). La interpretación se realiza en dos etapas: a) Interpretación de las relaciones entre las variables y los datos que las sustentan con fundamento en algún nivel de significancia estadística. b) Establecer un significado más amplio de la investigación, es decir, determinar el grado de generalización de los resultados de la investigación. Las dos anteriores etapas se sustentan en el grado de validez y confiabilidad de la investigación. Ello Analizar significa establecer categorías, ordenar, manipular y resumir los datos, (Kerlinger, 1982, p. 96). En esta etapa del proceso de investigación se procede a racionalizar los datos colectados a fin de explicar e interpretar las posibles relaciones que expresan las variables estudiadas. El diseño de tablas estadísticas permite aplicar técnicas de análisis complejas facilitando este proceso. El análisis debe expresarse de manera clara y simple utilizando lógica tanto inductiva como deductiva. Los resultados de una investigación basados en datos muestrales requieren de una aproximación al verdadero valor de la población (Zorrilla, 1994). Para lograr lo anterior se requiere de una serie de técnicas estadísticas. Estas técnicas se derivan tanto de la estadística paramétrica como de la estadística no paramétrica. La primera tiene como supuestos que la población estudiada posee una distribución normal y que los datos obtenidos se midieron en una escala de intervalo y de razón. La segunda no establece supuestos acerca de la distribución de la población sin embargo requiere que las variables estudiadas se midan a nivel nominal u ordinal (ver Weiers, 1993). Las tablas diseñadas para el análisis de datos se incluyen en el reporte final y pueden ser útiles para analizar una o más variables. En virtud de éste último criterio el análisis de datos puede ser univariado, bivariado o trivariado dependiendo de la cantidad de variables que se analizan. 4. NÚMERO ÍNDICE Un número índice es una medida estadística que permite caracterizar la evolución de una magnitud (simple, como el precio del pan, o compuesta, como el PIB) en dos instantes o períodos de tiempo distintos 0 y t. Se suelen representar mediante una letra afectada por un subíndice (que indica el instante o período que se toma como base o referencia) y un superíndice (que indica el otro 15

16 instante o período de tiempo al que se refiere el número índice). Un Número índice es un valor representativo que indica las variaciones de una o más variables en un periodo dado con respecto a un periodo base. Ejemplo: un comerciante ha registrado las siguientes ventas anuales. Tomando como base el año 1980 Año Ventas ($) Cálculo de un índice de ventas Año Razón Cambio de un decimal Índice multiplicado x / / / / / APLICACIONES DE LOS NÚMEROS ÍNDICES Los números índices son muy versátiles, lo que los hace aplicable a cualquier ciencia o campo de estudio. Esencialmente se usan para hacer comparaciones. En educación se pueden usar los números índices para comparar la inteligencia relativa de estudiantes en sitios diferentes o en años diferentes. Los gerentes se valen de los números índices como parte de un cálculo intermedio para entender mejor otra información. Los índices estaciónales sirven para modificar o mejorar las estimaciones del futuro. En el campo donde los números índices son de mayor utilidad es, en la economía, ya que esta se vale de indicadores económicos, para estudiar las situaciones presentes y tratar de predecir las futuras, dichos indicadores económicos en esencia son números índices, ejemplo de ello son IPC, PNI, deflactor implícito del PNI, entre muchos otros VENTAJAS DE LOS NÚMEROS ÍNDICES Un índice muestra el cambio en porcentajes del año base. Si no existiera cambio alguno, el numerador y el denominador serian iguales. Un número índice puede representar cambios en muchas cantidades. Un número índice facilita comparar los cambios en diferentes tipos de información. Como los números índices muestran cambios en porcentaje, más bien que cambios aritméticos, el tamaño de la información y las unidades de medición no son importantes. ANALIZA 2 situaciones en las que pueden ser útil el número índice. Relaciona los ejemplos. 16

17 EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS 1. Qué son los fenómenos aleatorios a) Los que no sabemos lo que va a resultar b) Un conjunto de posibles resultados. c) Los que sabemos lo que va a resultar a priori d) Un conjunto total de fenómenos 2. Qué es probabilidad a) Es el resultado de un suceso aleatorio b) Es dar la medida al resultado de un suceso aleatorio c) Es la medida del resultado de un suceso simple d) Es el resultado de un suceso simple. 3. Una permutación es: a) La cuasi varianza de un suceso normal y creciente. b) Un elemento cuya varianza es infinito c) Un conjunto de n elementos que se pueden ordenar d) La cuasi varianza de un suceso aleatorio 4. La varianza nos mide: a) Alrededor de la cuasi varianza b) Nos mide la exactitud de la muestra c) La variabilidad de la variable alrededor de la media d) Nos mide la linealidad del espacio muestral. 5. En un espacio muestral la moda será: a) El valor medio de todos los datos b) El valor que más veces se repita c) El valor situado en la mitad de la muestra d) La media entre el primer y el último valor. 6. Las medidas de posición son: a) Varianza, moda y cuasi varianza b) Moda, varianza y mediana c) Moda, media y mediana d) Media, mediana y desviación típica. 7. Quién nos medirá la simetría de una distribución? a) El 1er coeficiente de Ficher b) Las medidas de dispersión c) Los cuartiles. d) El 2º coeficiente de Ficher 8. En las medidas de dispersión si la variabilidad es muy grande: a) La media no tiene trascendencia b) Los datos están ordenados de forma creciente c) La media es siempre cero d) El espacio muestral es infinito no numerable. 9. Qué otro nombre recibe la curva normal de media?: a) Curva de Laplace b) Curva Normal c) Curva de Gauss d) Curva de Tipificación. 10. En una variable tipificada: a) La media es la mitad de la varianza. b) La media es cero c) La varianza es cero d) La media es la unidad 11. Cómo definirías la mediana: a) El valor cuadrado de la moda b) El valor de la variable que hace que la frecuencia condicionada sea 0.5 c) Ajustar la moda al valor 0.5. d) Tipificar una variable aleatoria 12. Qué es lo que mide la relación entre las variables?: a) Coeficiente de determinación b) Correlación c) Coeficiente de correlación lineal. d) Regresión 13. Qué estudia la correlación?: a) La dependencia al exponencial de las variables. b) La relación lineal de las variables c) La interdependencia de las variables d) La recta de regresión de las variables 17

18 UNIDAD 3 1. TÉNICAS DE CONTEO. Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados. Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc. Para facilitar esta tarea existen las técnicas de conteo 1.1. DIAGRAMA DE ÁRBOL Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Ejemplo: Se lanza una moneda, si sale águila se lanza un dado y si sale sol se lanza la moneda de nuevo. EJERCICIO Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como máximo, él empieza a jugar con un dólar, apuesta cada vez un dólar y puede ganar o perder en cada juego un dólar, él se va a retirar de jugar si pierde todo su dinero, si gana tres dólares (esto es si completa un total de cuatro dólares) o si completa los cinco juegos PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas. En términos de fórmula. Número total de arreglos = m x n Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o: Número total de arreglos = m x n x o Ejemplo: Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor? Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin). Número total de arreglos = 3 x 2 No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo: Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48 18

19 1.3. COMBINACIONES Y PERMUTACIONES Combinaciones. Las combinaciones son muy parecidas a los arreglos, con la diferencia de que en los conjuntos que se forman no importa el orden de manera que {,, } y {,, }. El número de combinaciones de an elementos que puedo hacer de un total de m elementos será: C m n Ejemplo: m! = n! i m n! ( ) Si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes: Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB Combinaciones: AB, AC, BC Permutaciones. La técnica de la permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo un grupo de objetos. Ejemplo: Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres componentes? Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son las siguientes: T D C D T C C D T T C D D C T C T D Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es: n P r = n! (n r )! Donde: npr es el número de permutaciones posible n es el número total de objetos r es el número de objetos utilizados en un mismo momento n P r = n! = 3! = 3 x 2 = 6 (n r )! ( 3 3 )! RESUELVE Juanita invito a sus amigos a cenar. Juanita tiene 10 amigos, pero solo tiene 6 lugares en la mesa. a) De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados. b) De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados. c) Dos de sus amigos son un feliz matrimonio, Juanita decidió sentarlos a la mesa juntos. De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás. d) De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados los demás. e) Dos de sus amigos son enemigos, Juanita no los quiere sentar juntos a la mesa. De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás. f) De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados los demás. 19

20 EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS 1. Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles? 2. El profesor quiere saber cuántas series de 2 letras se pueden formar con las letras A, B, C, si se permite la repetición? 3. En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto? 4. En una escuela primaria de la ciudad, imparte clase la maestra Bety. Ella es feliz enseñando al grupo de tercer grado, que está compuesto por 15 niñas y 12 niños. Bety propone a los niños formar una mesa directiva del grupo formada por cinco de ellos. La mesa directiva estaría formada por un presidente, un secretario, un tesorero, y dos vocales. a) De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos. b) Bety piensa que como hay más niñas que niños la mesa directiva debe integrarse por 3 niñas y 2 niños. De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos. c) La maestra Susana (la de cuarto) le sugiere que solo el puesto de presidente sea para niñas y los otros 4 puestos sean para niños. De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los otros puestos. d) El profesor de educación física ( Ramón ) dice que todos los puestos deben de ser para niños, pero podría dársele el puesto de secretaria a una niña. De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si le importa como queden asignados los otros puestos. e) En el grupo de tercer grado hay 4 reprobados (3 niños y una niña) y la maestra Bety decidió que ellos no pueden formar parte de la mesa directiva. De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos. f) Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puras niñas? Sin importar como queden asignados los puestos. g) Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puros niños? Sin importar como queden asignados los puestos. h) Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, el presidente, secretario y tesorero sean niños y las dos vocales niñas? Sin importar como queden asignados los puestos. 20

21 UNIDAD 4 1. CONCEPTO DE PROBABILIDAD La probabilidad nos sirve para medir la frecuencia con que ocurre un resultado de entre todos los posibles en algún experimento. 2. ESPACIOS MUESTRALES El espacio muestral (lo abreviamos simplemente como S) es un conjunto formado por todos los resultados posibles de algún experimento, por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire (a esto llamamos experimento), existen solo 2 posibilidades, que salga cara o que salga sello. Por lo tanto el espacio muestral en este caso es un conjunto de dos elementos. Smoneda = {que salga cara, que salga sello} Si en lugar de una moneda, lanzamos un dado entonces el espacio muestral tendrá seis elementos, uno correspondiente a cada cara del dado: Sdado = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Y si lanzamos el dado y la moneda al mismo tiempo el espacio muestral estará conformado por pares ordenados de la forma: Smoneda+dado = (cara; 1); (cara; 2); (cara; 3); (cara; 4); (cara; 5); (cara; 6); (sello; 1); (sello; 2); (sello; 3); (sello; 4); (sello; 5); (sello; 6) 3. CÁLCULO DE PROBABILIDADES La probabilidad de ocurrencia de un determinado suceso podría definirse como la proporción de veces que ocurriría dicho suceso si se repitiese un experimento o una observación en un número grande de ocasiones bajo condiciones similares. Por definición, entonces, la probabilidad se mide por un número entre cero y uno: si un suceso no ocurre nunca, su probabilidad asociada es cero, mientras que si ocurriese siempre su probabilidad sería igual a uno. Así, las probabilidades suelen venir expresadas como decimales, fracciones o porcentajes. El método más utilizado en probabilidad es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles. salga el dos), mientras que los casos posibles (n) son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto: (o lo que es lo mismo, 16,6%) b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables (f) son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles (n) siguen siendo seis. Por lo tanto: (o lo que es lo mismo, 50%) Ejemplos: a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable (f) es tan sólo uno (que Condiciones importantes Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos: 21

22 a) El número de resultados posibles (sucesoso eventos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables dividido por casos posibles" el cociente siempre sería cero. b) Todos los sucesos o eventos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla. A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades. Cuando se realiza un experimento aleatorio un número muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades INDEPENDENCIA DE EVENTOS Existen relaciones entre los sucesos: Sucesos Excluyentes. Dos o más sucesos serán excluyentes si solo uno de ellos puede ocurrir en un experimento, por ejemplo al lanzar una moneda, si sale cara entonces no puede salir sello y viceversa, por lo tanto estos sucesos son excluyentes Sucesos Independientes. Dos o más sucesos son independientes cuando la ocurrencia de uno, no afecta la ocurrencia del o los otros. Por ejemplo en el lanzamiento del dado y la moneda si sale cara o sale sello, no afecta en ninguna medida el número que salga en el dado, por lo tanto estos sucesos son independientes Sucesos Dependientes. Dos o más sucesos son dependientes cuando la ocurrencia de alguno de ellos sí afecta la ocurrencia de los otros. Por ejemplo si tengo un saco con 2 bolas negras y una bola roja, el suceso de sacar la bola roja me impedirá sacar una bola roja en el siguiente intento pues en el saco solo hay 2 bolas negras, en este caso esos sucesos son dependientes. 22

23 1. El siguiente gráfico circular muestra como Jorge ganó $ durante sus vacaciones: EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS Cuál es la medida del ángulo central de la sección que lleva por nombre quehaceres? a) 30º b) 60º c) 90º d) 120º 2. El diagrama de Venn muestra los resultados de una encuesta en la que les preguntaron a 100 personas si se informan de las noticias leyendo los periódicos o mirando televisión. Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar de esta encuesta no elija a la televisión como una fuente de información de las noticias? a) 15 c) b) 35 d) Los puntos del gráfico indican la cantidad de cajas de cierto fármaco vendidas durante los seis primeros meses de un año. Cuál es la cantidad promedio de cajas vendidas durante ese período? 4. Una familia necesitó $ para hacer un paseo. La mitad se gastó en carne y lo que quedó se repartió de esta forma: a) la mitad en vinos y bebidas, b) un cuarto en frutas y c) el resto en verduras. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones se desprende(n) de la información dada?. I) El gasto de carne fue equivalente al doble de lo ocupado en vinos y bebidas. II) En frutas y verduras se gastó lo mismo que para vinos y bebidas. III) El 25% del total se ocupó en las frutas y verduras. a) Sólo II. c) I y II. e) I y III. b) II y III d) I, II y III. 5. En un equipo de A jugadores (con pelo negro y rubio) B de ellos son rubios. Entonces el porcentaje que tiene pelo negro es: a) b) c) 100 (A + B) % d) e) Ninguna de las anteriores. 6. Una persona que participa en un concurso, debe responder Verdadero o Falso a una afirmación que se le hace en cada una de seis etapas. Si la persona responde al azar, la 23

24 probabilidad de que acierte en las seis etapas es de: a) b) c) d) e) Se lanzan dos dados, uno a continuación del otro. Sabiendo que la suma de los puntos obtenidos es 6, la probabilidad de que en un dado aparezca un 2 es: a) b) c) En la figura d) 1 3 e) 1 6 I) La probabilidad de que la flecha caiga en el 1 número 1 es 2. II) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 es 1 4. III) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 ó en el 3 es 2 3 a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) Sólo I y III 9. De una tómbola se saca una de 30 bolitas numeradas de 1 a 30. Cuál es la probabilidad de que el número de la bolita extraída sea múltiplo de 4? a) b) c) d) 30 7 e) se tiene una ruleta en que la flecha puede indicar cualquiera de los 4 sectores y ella nunca cae en los límites de dichos sectores. Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? 24

25 BIBLIOGRAFÍA PAREDES NUÑEZ, Pamela; RAMÍREZ PANATT Manuel. Apuntes de Preparación para la Prueba de Selección Universitaria Matemática.Chile