PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS

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3 ESTADÍSTICA BÁSICA PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS Javier Gorgas García Nicolás Cardiel López Jaime Zamorano Calvo Departamento de Astrofísica y Ciencias de la Atmósfera Facultad de Ciencias Físicas Universidad Complutense de Madrid

4 Versión 23 de febrero de 2009 c Javier Gorgas, Nicolás Cardiel y Jaime Zamorano

5 No confíes en lo que la estadística te dice hasta haber considerado con cuidado qué es lo que no dice William W Watt

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7 Índice general Prefacio 1 1 Introducción 3 11 La Estadística como ciencia 3 12 Para qué sirve la Estadística 4 13 El método científico 4 14 El proceso experimental 5 15 Bibliografía complementaria 7 I ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 9 2 Fundamentos de Estadística Descriptiva Variables estadísticas Población y muestra Caracteres cuantitativos o cualitativos Variable estadística Distribuciones de frecuencias Tabla de frecuencias de una variable discreta Agrupamiento en intervalos de clase Representaciones gráficas Representaciones gráficas para datos sin agrupar Representaciones gráficas para datos agrupados Representaciones gráficas para variables cualitativas 19 3 Medidas características de una distribución Medidas de centralización Media aritmética Medias geométrica, armónica y cuadrática Mediana Moda Cuartiles, deciles y percentiles Medidas de dispersión Recorridos Desviación media Varianza y desviación típica Coeficientes de variación Momentos 34 i

8 ii ÍNDICE GENERAL 331 Momentos respecto al origen Momentos respecto a la media Asimetría y curtosis Coeficientes de asimetría Coeficiente de curtosis 37 4 Variables estadísticas bidimensionales Distribuciones de frecuencias de una variable bidimensional Tabla de frecuencias de doble entrada Distribuciones marginales Distribuciones condicionadas Representaciones gráficas 43 II DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 45 5 Leyes de probabilidad Sucesos aleatorios Definición y propiedades de la probabilidad Concepto clásico de probabilidad Definición axiomática de la probabilidad Propiedades de la probabilidad Probabilidad condicionada Definición de probabilidad condicionada Sucesos dependientes e independientes Teorema de la probabilidad total Teorema de Bayes Análisis combinatorio Variaciones Permutaciones Combinaciones 60 6 Variables aleatorias Descripción de las variables aleatorias Concepto de variable aleatoria Variable aleatoria discreta Variable aleatoria continua Medidas características de una variable aleatoria Media o esperanza matemática Varianza y desviación típica Momentos Variable aleatoria bidimensional Distribución de probabilidad conjunta y marginal Distribución condicionada e independencia estadística Medias, varianzas y covarianza Teorema de Chebyshev 76

9 ÍNDICE GENERAL iii 7 Distribuciones discretas de probabilidad Distribución discreta uniforme Distribución binomial Distribución de Poisson 83 8 Distribuciones continuas de probabilidad Distribución continua uniforme Distribución normal Definición y propiedades Distribución normal tipificada Relación con otras distribuciones Distribución χ 2 de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher 99 III INFERENCIA ESTADÍSTICA Teoría elemental del muestreo Conceptos básicos Media muestral Distribución muestral de la media Distribución muestral de una proporción Distribución muestral de la diferencia de medias Varianza muestral Distribución muestral de la varianza Distribución muestral de (n 1)S 2 /σ El estadístico t Distribución muestral de la razón de varianzas Estimación puntual de parámetros La estimación de parámetros Principales estimadores puntuales El método de máxima verosimilitud Estimación por intervalos de confianza Intervalos de confianza para la media Intervalos de confianza para la diferencia de medias Intervalos de confianza para la varianza Intervalos de confianza para la razón de varianzas Intervalos de confianza para datos apareados Determinación del tamaño de la muestra 135 IV CONTRASTE DE HIPÓTESIS Contrastes de hipótesis Ensayos de hipótesis Tipos de errores y significación 140

10 iv ÍNDICE GENERAL 123 Contrastes bilaterales y unilaterales Fases de un contraste de hipótesis Contrastes de hipótesis para una población Contraste de la media de una población normal Varianza σ 2 conocida Varianza σ 2 desconocida y n > Varianza σ 2 desconocida y n Contraste de una proporción Contraste de varianza de una población normal Contrastes de hipótesis para dos poblaciones Contraste de la igualdad de medias de poblaciones normales Varianzas conocidas Varianzas desconocidas y n 1 + n 2 > 30 (n 1 n 2 ) Varianzas desconocidas y σ 1 = σ 2 (n 1 + n 2 30) Varianzas desconocidas con σ 1 σ 2 (n 1 + n 2 30) Contraste de la igualdad entre dos proporciones Contraste de la igualdad de varianzas de poblaciones normales Contraste de la igualdad de medias para datos apareados Aplicaciones de la distribución χ Prueba de la bondad del ajuste Contraste de la independencia de caracteres Contraste de la homogeneidad de muestras Análisis de varianza Análisis con un factor de variación Análisis con dos factores de variación 178 V REGRESIÓN LINEAL Regresión lineal Regresión lineal simple Ajuste de una recta de regresión Covarianza y coeficientes de regresión Correlación lineal Coeficiente de correlación lineal y varianza residual Interpretación del coeficiente de correlación Inferencia estadística sobre la regresión Fundamentos Coeficientes de la recta Distribuciones de probabilidad Intervalos de confianza y contraste de hipótesis Predicción Intervalo de confianza para el valor medio µ Y x0 en x = x Intervalo de confianza para un valor individual y 0 en x = x 0 203

11 ÍNDICE GENERAL v 184 Correlación Apéndice A: Distribuciones de Probabilidad A 3 20Apéndice B: Tablas con Intervalos de Confianza A 29 21Apéndice C: Tablas con Contrastes de Hipótesis A 33

12 vi ÍNDICE GENERAL

13 Prefacio Este libro recoge el material didáctico utilizado por los autores para la impartición de la asignatura Estadística en la Facultad de CC Físicas de la Universidad Complutense de Madrid Esta asignatura se introdujo en el Plan de Estudios del año 1995 y desde entonces ha demostrado aportar un conocimiento esencial para la formación de los estudiantes de la Licenciatura en Física Estamos convencidos de que este tipo de conocimiento es básico para cualquier estudiante de ciencias Aunque la bibliografía en este campo es extensa, hemos considerado oportuno redactar un libro restringido a los contenidos específicos que se incluyen en un curso introductorio de Estadística Pretendemos así delimitar, y en lo posible simplificar, el trabajo del estudiante, mostrándole de forma precisa los conceptos más fundamentales Una vez consolidados estos conceptos, esperamos que los estudiantes de ciencias encuentren menos dificultades para aprender y profundizar en las técnicas estadísticas más avanzadas que son de uso común en el trabajo diario de un científico Queremos agradecer a los diferentes profesores que durante estos años han dedicado su esfuerzo a enseñar Estadística en la Facultad de CC Físicas El temario que finalmente se plasma en este libro ha evolucionado y se ha enriquecido de las conversaciones mantenidas con ellos: Natalia Calvo Fernández, Andrés Javier Cenarro Lagunas, Manuel Cornide Castro-Piñeiro, Jesús Fidel González Rouco, Ricardo García Herrera, Gregorio Maqueda Burgos, M a Luisa Montoya Redondo, M a Belén Rodríguez de Fonseca, Encarnación Serrano Mendoza y, de forma muy especial y con todo el afecto, nuestro agradecimiento a Elvira Zurita García Una excelente profesora y mejor persona, para quien la calidad de la enseñanza fue siempre una prioridad constante Siempre la recordaremos con cariño Los autores Madrid, febrero de

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15 Capítulo 1 Introducción 11 La Estadística como ciencia La Ciencia es más una forma de pensar que una rama del conocimiento Carl Sagan ( ) La Estadística es la ciencia que se encarga de recoger, organizar e interpretar los datos Es la ciencia de los datos En la vida diaria somos bombardeados continuamente por datos estadísticos: encuestas electorales, economía, deportes, datos meteorológicos, calidad de los productos, audiencias de TV Necesitamos una formación básica en Estadística para evaluar toda esta información Pero la utilidad de la Estadística va mucho más allá de estos ejemplos La Estadística es fundamental para muchas ramas de la ciencia desde la medicina a la economía Pero sobre todo, y en lo que a nosotros importa, es esencial para interpretar los datos que se obtienen de la investigación científica Es necesario leer e interpretar datos, producirlos, extraer conclusiones, en resumen saber el significado de los datos Es por lo tanto una herramienta de trabajo profesional Se recomienda leer la Introducción de Estadística: modelos y métodos de Daniel Peña, para conocer el desarrollo histórico de la Estadística La Estadística (del latín, Status o ciencia del estado) se ocupaba sobre todo de la descripción de los datos fundamentalmente sociológicos: datos demográficos y económicos ( censos de población, producciones agrícolas, riquezas, etc), principalmente por razones fiscales En el siglo XVII el cálculo de probabilidades se consolida como disciplina independiente aplicándose sobre todo a los juegos de azar Posteriormente (s XVIII) su uso se extiende a problemas físicos (principalmente de Astronomía) y actuariales (seguros marítimos) Posteriormente se hace imprescindible en la investigación científica y es ésta la que la hace avanzar Finalmente, en el siglo XIX, nace la Estadística como ciencia que une ambas disciplinas El objetivo fundamental de la estadística es obtener conclusiones de la investigación empírica usando modelos matemáticos A partir de los datos reales se construye un modelo que se confronta con estos datos por medio de la Estadística Esta proporciona los métodos de evaluación de las discrepancias entre ambos Por eso es necesaria para toda ciencia que requiere análisis de datos y diseño de experimentos 3

16 4 Introducción 12 Para qué sirve la Estadística Ya hemos visto que la Estadística se encuentra ligada a nuestras actividades cotidianas Sirve tanto para pronosticar el resultado de unas elecciones, como para determinar el número de ballenas que viven en nuestros océanos, para descubrir leyes fundamentales de la Física o para estudiar cómo ganar a la ruleta La Estadística resuelve multitud de problemas que se plantean en ciencia: Análisis de muestras Se elige una muestra de una población para hacer inferencias respecto a esa población a partir de lo observado en la muestra (sondeos de opinión, control de calidad, etc) Descripción de datos Procedimientos para resumir la información contenida en un conjunto (amplio) de datos Contraste de hipótesis Metodología estadística para diseñar experimentos que garanticen que las conclusiones que se extraigan sean válidas Sirve para comparar las predicciones resultantes de las hipótesis con los datos observados (medicina eficaz, diferencias entre poblaciones, etc) Medición de relaciones entre variables estadísticas (contenido de gas hidrógeno neutro en galaxias y la tasa de formación de estrellas, etc) Predicción Prever la evolución de una variable estudiando su historia y/o relación con otras variables 13 El método científico Citando a Martin Gardner: La ciencia es una búsqueda de conocimientos fidedignos acerca del mundo: cómo se estructura y cómo funciona el universo (incluyendo los seres vivos) La informacion que maneja la ciencia es amplia, al ser amplio su ámbito Pero se suele reunir en tres apartados: los hechos, las leyes y las teorías No es una partición estanca, aunque podemos entender aquí nos referimos con algún ejemplo Los hechos se refiere a casos específicos y/o únicos Por ejemplo la Tierra tiene una luna (satélite natural) La primera ley de Kepler (ya que estamos con planetas) es un buen ejemplo de ley: los planetas describen orbitas elípticas en torno al Sol, que ocupa uno de los focos de la elipse Como se ve, frente al hecho, concreto y único, la ley se refiere a muchos casos, como lo son los planetas que orbitan en torno al Sol La generalización de la ley de Kepler permite aplicarla a cualquier par de cuerpos ligados por la gravedad Una teoría es una abstracción, con entidades inobservables, que explica hechos y leyes Por ejemplo la teoría newtoniana de la gravitación En ella se habla de fuerzas (o de campos gravitatorios) que no son entes observables, pero esta teoría explica hechos y leyes Sucede que el conocimiento científico no es completamente seguro en ninguna de las precedentes categorías Podría existir otra luna en torno a la Tierra O, como sabemos, la teoría newtoniana de la gravitación no es completa, porque no da cuenta de algunos fenómenos De ahí vino su evolución a nuevas teorías de la gravitación No hay así un conocimiento completamente seguro: los enunciados absolutamente ciertos sólo existen en el ámbito de las matemáticas o la lógica Pero la ciencia usa una correspondencia con estas dos disciplinas La matemática y la lógica aplicadas a las ciencias facilitan poder establecer hechos, leyes y teorías con coherencia interna y con un alto grado de certeza Y la Estadística proporciona una herramienta para poder evaluar esta certeza, o proporcionar pautas para realizar inferencias a partir de lo que se conoce

17 14 El proceso experimental 5 Lo que distingue a una teoría científica es que ésta, a diferencia de la que no lo es, puede ser refutada: puede existir un conjunto de circunstancias que si son observadas demuestran que la teoría está equivocada A continuación se ofrece una visión simplificada del método científico Hacemos observaciones en la naturaleza y a través de un proceso creativo generamos una hipótesis de cómo funciona cierto aspecto de la naturaleza (modelos) Basándonos en esa hipótesis diseñamos un experimento que consiste en que un conjunto de observaciones deben tener lugar, bajo ciertas condiciones, si la hipótesis es cierta En el caso de que estas observaciones no ocurran nos enfrentamos a varias posibilidades: nuestras hipótesis necesitan ser revisadas, el experimento se llevó a cabo de forma incorrecta, o nos hemos equivocado en el análisis de los resultados del experimento Hace algunos cientos de años se estableció un método para encontrar respuestas a los interrogantes que nos planteamos al contemplar la naturaleza Este método, conocido como método científico, se basa en tres pilares fundamentales: observación, razonamiento y experimentación El método científico no es una simple receta, sino que es un proceso exigente que requiere, entre otros ingredientes, juicio crítico De forma resumida, el método científico incorpora las siguientes facetas: Observación: aplicación atenta de los sentidos a un objeto o a un fenómeno, para estudiarlos tal como se presentan en realidad Descripción: las mediciones deben ser fiables, es decir, deben poder repetirse Las observaciones únicas e irrepetibles no permiten predecir futuros resultados En este sentido la Cosmología se enfrenta, a priori, a un grave problema El Universo es único y no podemos volver a repetirlo modificando las condiciones iniciales Predicción: las predicciones de cualquier fenómeno deben ser válidas tanto para observaciones pasadas, como presentes y futuras Control: capacidad de modificar las condiciones del experimento para estudiar el impacto de los diferentes parámetros participantes Esto se opone a la aceptación pasiva de datos, que puede conducir a un importante sesgo (bias) empírico Falsabilidad o eliminación de alternativas plausibles: Este es un proceso gradual que requiere la repetición de los experimentos (preferiblemente por investigadores independientes, quienes deben ser capaces de replicar los resultados iniciales con la intención de corroborarlos) Todas las hipótesis y teorías deben estar sujetas a la posibilidad de ser refutadas En este sentido, a medida que un área de conocimiento crece y las hipótesis o teorías sobre la que se sustenta van realizando predicciones comprobables, aumenta la confianza en dichas hipótesis o teorías (uno de los defensores fundamentales del criterio de falsabilidad es Karl Popper ( ); ver, por ejemplo, La lógica de la investigación científica en Popper 1935) Explicación causal: los siguientes requisitos son normalmente exigibles para admitir una explicación como científica: Identificación de las causas Las causas identificadas deben correlacionarse con los observables Las causas deben preceder temporalmente a los efectos medidos 14 El proceso experimental La experimentación está lejos de estar carente de dificultades Algunas técnicas experimentales exigen un aprendizaje largo y, en muchas ocasiones, el volumen de datos a manejar puede ser tan grande que sea necesario un trabajo de análisis intenso La paciencia y la perseverancia son grandes aliadas en este sentido Las razones para realizar un experimento son diversas y de alcance muy variable Preguntas típicas son, por ejemplo: Cómo de aplicable es una teoría particular? Es posible mejorar una técnica de medida? A qué temperatura debe fundir una nueva aleación? Qué ocurre con las propiedades magnéticas de un material al someterlo a temperaturas de trabajo muy bajas? Se ven alteradas las propiedades de un semiconductor debido al bombardeo por radiación nuclear? De una forma esquemática, el proceso experimental suele desarrollarse siguiendo el siguiente esquema: 1 Definir la pregunta o problema a resolver Cuanto más claro y definido sea el objetivo del experimento, mucho más fácil será realizar su planificación y ejecución

18 6 Introducción 2 Obtener información y recursos Una vez definido el objetivo del experimento, es necesario elaborar un plan de trabajo para poder alcanzarlo Hay que identificar qué equipos son necesarios, qué cantidades hay que medir, y de qué manera se va a realizar el experimento 3 Formular hipótesis, acerca de los resultados de nuestro experimento Hacerlo antes de su ejecución evita el sesgo personal de identificar los resultados que ya se conocen como objetivos iniciales (no debemos engañarnos a nosotros mismos) 4 Realizar el experimento y obtener las medidas Esta tarea se subdivide en varios pasos: Preparación: el equipo debe ser puesto a punto para su utilización Si el experimento requiere la utilización de aparatos con los que no estamos familiarizados, es necesario leer atentamente los manuales de utilización, e incluso consultar a experimentadores con experiencia previa en su manejo Todo ello evita perder tiempo y cometer errores de bulto, a la vez que preserva la integridad del equipo ( y la nuestra!) Experimentación preliminar: suele ser muy aconsejable realizar una pequeña experimentación de prueba antes de iniciar la toma definitiva de medidas Esto facilita el uso correcto del equipo instrumental, permitiendo identificar los aspectos más difíciles o en los que resulta más fácil cometer errores Toma de datos: el trabajo cuidadoso y detallado son fundamentales en todo proceso experimental Ejecutar dicha labor siguiendo un plan de trabajo bien definido resulta básico No hay nada más frustrante que descubir, tras largas horas de medidas, que hemos olvidado anotar algún parámetro esencial o sus unidades En este sentido resulta imprescindible tener presentes varias cuestiones Cuáles son las unidades asociadas a cada medida? Cuál es la incertidumbre asociada? Qué variabilidad presentan las medidas? Cómo puedo tener una idea del orden de magnitud de una medida antes de realizarla y saber así que los resultados que se van obteniendo son razonables? Qué información debe ser incluida en la tabla de datos? Comprobación de la repitibilidad: siempre que sea posible, todo experimento debería repetirse varias veces para comprobar que los resultados obtenidos son repetibles y representativos Y aunque, obviamente, la repetición de un experimento no proporciona exactamente los mismos números, discrepancias muy grandes deben alertarnos acerca de la existencia de efectos sistemáticos que pueden estar distorsionando el experimento 5 Analizar los datos: una vez obtenidas las medidas es necesario su tratamiento estadístico para poder obtener magnitudes (e incertidumbres asociadas) representativas del objeto de nuestro estudio 6 Interpretar los datos y extraer conclusiones que sirvan como punto de partida para nuevas hipótesis El éxito de esta interpretación dependerá, básicamente, de la calidad de las medidas y de su análisis Las herramientas estadísticas que se describen en este libro nos permitirán tomar decisiones de manera objetiva 7 Publicar los resultados Los resultados de cualquier proceso experimental deben ser comunicados de manera clara y concisa Esto incluye desde un sencillo informe de laboratorio, como el que se exigirá en los diversos laboratorios en los que se trabajará durante la licenciatura de Físicas, hasta la publicación de un artículo científico en una revista reconocida

19 15 Bibliografía complementaria 7 No es extraño que, aunque la pregunta inicial a responder haya sido establecida de una forma clara, tras el desarrollo del experimento y el análisis de los resultados, se descubran fenómenos no previstos que obliguen a modificar y repetir el proceso descrito De hecho, si el resultado de un experimento fuera completamente predecible, tendría poco sentido llevarlo a cabo Por ello, de forma práctica el esquema anterior se ejecuta siguiendo un proceso iterativo entre los puntos 3 y 6 Una vez obtenido un conocimiento significativo, éste ha de ser explicado en una publicación, permitiendo a nuevos investigadores corroborar o refutar las conclusiones 15 Bibliografía complementaria La consulta de libros es necesaria para conocer diferentes enfoques y, desde luego, se hace imprescindible para ampliar la colección de ejemplos y ejercicios, ya que la Estadística es una disciplina eminentemente práctica A continuación se enumeran algunos de los textos en castellano más frecuentes en las bibliotecas de las Facultades de Ciencias, con una pequeña descripción en relación a los contenidos cubiertos por este libro: Curso y ejercicios de estadística, Quesada, Isidoro & Lopez, Alhambra 1988 Cubre casi todos los temas Buen formalismo matemático Amplia colección de problemas Probabilidad y Estadística, Walpole & Myers, McGraw-Hill 1992 Muy bien explicado Con multitud de ejemplos Es más amplio De carácter práctico Válido para todos los temas excepto el primero Probabilidad y Estadística, Spiegel, McGraw-Hill 1991 Con muchos problemas La teoría se encuentra muy resumida Vale para todos los temas excepto el primero Este tema se desarrola en otro libro de Spiegel: Estadística (Teoría y Problemas) Métodos Estadísticos, Viedma, Ediciones del Castillo 1990 Muy sencillo Cubre todos los temas, aunque algunos no de forma completa

20 8 Introducción

21 Tema I ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 9

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23 Capítulo 2 Fundamentos de Estadística Descriptiva Se cometen muchos menos errores usando datos inadecuados que cuando no se utilizan datos Charles Babbage ( ) La aplicación del tratamiento estadístico tiene dos fases fundamentales: 1 Organización y análisis inicial de los datos recogidos 2 Extracción de conclusiones válidas y toma de decisiones razonables a partir de ellos Los objetivos de la Estadística Descriptiva son los que se abordan en la primera de estas fases Es decir, su misión es ordenar, describir y sintetizar la información recogida En este proceso será necesario establecer medidas cuantitativas que reduzcan a un número manejable de parámetros el conjunto (en general grande) de datos obtenidos La realización de gráficas (visualización de los datos en diagramas) también forma parte de la Estadística Descriptiva dado que proporciona una manera visual directa de organizar la información La finalidad de la Estadística Descriptiva no es, entonces, extraer conclusiones generales sobre el fenómeno que ha producido los datos bajo estudio, sino solamente su descripción (de ahí el nombre) 21 Variables estadísticas El concepto de variable estadística es, sin duda, uno de los más importantes en Estadística Pero antes de abordar su definición, es necesario introducir anteriormente diversos conceptos básicos 211 Población y muestra Se denomina población al conjunto completo de elementos, con alguna característica común, que es el objeto de nuestro estudio Esta definición incluye, por ejemplo, a todos los sucesos en que podría concretarse un fenómeno o experimento cualesquiera Una población puede ser finita o infinita 11

24 12 Fundamentos de Estadística Descriptiva Ejemplo I 1 Ejemplo I 2 Los habitantes de un país, los planetas del Sistema Solar, las estrellas en la Vía Láctea, son elementos de una población finita Sin embargo, el número de posibles medidas que se puedan hacer de la velocidad de la luz, o de tiradas de un dado, forman poblaciones infinitas Cuando, aunque la población sea finita, su número de elementos es elevado, es necesario trabajar con solo una parte de dicha población A un subconjunto de elementos de la población se le conoce como muestra Si se quiere estudiar las propiedades de las estrellas en nuestra Galaxia, no tendremos la oportunidad de observarlas todas; tendremos que conformarnos con una muestra representativa Obviamente, elegir de forma representativa los elementos de una muestra es algo muy importante De hecho existe un grave problema, conocido como efecto de selección, que puede condicionar el resultado de un estudio si uno no realiza una selección correcta de los elementos que forman parte de una muestra Al número de elementos de la muestra se le llama tamaño de la muestra Es fácil adelantar que para que los resultados de nuestro estudio estadístico sean fiables es necesario que la muestra tenga un tamaño mínimo El caso particular de una muestra que incluye a todos los elementos de la población es conocido como censo 212 Caracteres cuantitativos o cualitativos El objeto de nuestra medida pueden ser caracteres de tipos muy diversos De ahí que normalmente se clasifiquen en: caracteres cuantitativos: aquellos que toman valores numéricos Por ejemplo la altura o la velocidad de un móvil caracteres cualitativos: también llamados atributos, son aquellos que no podemos representar numéricamente y describen cualidades Por ejemplo, un color o el estado civil Aunque existen algunas diferencias, el tratamiento para ambos casos es similar, pudiéndose asignar, en muchas ocasiones, valores numéricos a los diferentes caracteres cualitativos Ejemplo I 3 Ejemplo I Variable estadística Se entiende por variable estadística al símbolo que representa al dato o carácter objeto de nuestro estudio de los elementos de la muestra y que puede tomar un conjunto de valores En el caso de que estemos tratando con caracteres cuantitativos, la variables estadísticas pueden clasificarse en: discretas, cuando solo pueden tomar una cantidad (finita o infinita) numerable de valores, y continuas, cuando pueden tomar teóricamente infinitos valores entre dos valores dados Es la diferencia básica que existe entre contar y medir El número de electrones de un átomo es una variable discreta La velocidad o la altura de un móvil son variables continuas Por otra parte, las variables se pueden así mismo clasificar en unidimensionales, cuando solo se mida un carácter o dato de los elementos de la muestra, o bidimensionales, tridimensionales, y en general n dimensionales, cuando se estudien simultáneamente varios caracteres de cada elemento La temperatura o la presión atmosférica (por separado), son variables monodimensionales La temperatura y la presión atmosférica (estudiadas conjuntamente), o la longitud y el peso de una barra conductora, son ejemplos de variables bidimensionales La velocidad, carga eléctrica y masa de un ión es tridimensional

25 22 Distribuciones de frecuencias Distribuciones de frecuencias El primer paso para el estudio estadístico de una muestra es su ordenación y presentación en una tabla de frecuencias 221 Tabla de frecuencias de una variable discreta Supongamos que tenemos una muestra de tamaño N, donde la variable estadística x toma los valores distintos x 1, x 2,,x k En primer lugar hay que ordenar los diferentes valores que toma la variable estadística en orden (normalmente creciente) La diferencia entre el valor mayor y menor que toma la variable se conoce como recorrido, o rango En el caso de variables discretas, generalmente, un mismo valor de la variable aparecerá repetido más de una vez (es decir k < N) De forma que el siguiente paso es la construcción de una tabla en la que se indiquen los valores posibles de la variable y su frecuencia de aparición Esta es la tabla de frecuencias de una variable discreta: Valores de la Frecuencias Frecuencias Frecuencias Frecuencias variable absolutas relativas absolutas relativas estadística acumuladas acumuladas x i n i f i N i F i x 1 n 1 f 1 N 1 F 1 x 2 n 2 f 2 N 2 F 2 x k n k f k N k F k En la primera columna de esta tabla se escriben los distintos valores de la variable, x i, ordenados de mayor a menor Es posible hacer también una tabla de frecuencias de una variable cualitativa En ese caso, en la primera columna se escribirán las diferentes cualidades o atributos que puede tomar la variable En las siguientes columnas se escriben para cada valor de la variable: Frecuencia absoluta n i : Definida como el número de veces que aparece repetido el valor en cuestión de la variable estadística en el conjunto de las observaciones realizadas Si N es el número de observaciones (o tamaño de la muestra), las frecuencias absolutas cumplen las propiedades 0 n i N ; k n i = N La frecuencia absoluta, aunque nos dice el número de veces que se repite un dato, no nos informa de la importancia de éste Para ello se realiza la siguiente definición Frecuencia relativa f i : Cociente entre la frecuencia absoluta y el número de observaciones realizadas N Es decir cumpliéndose las propiedades f i = n i N, (21) 0 f i 1 ; k f i = k k n i N = n i N = 1

26 14 Fundamentos de Estadística Descriptiva Esta frecuencia relativa se puede expresar también en tantos por cientos del tamaño de la muestra, para lo cual basta con multiplicar por 100 (%) xi = 100xf i Por ejemplo, si f i = 025, ésto quiere decir que la variable x i se repite en el 25% de la muestra Frecuencia absoluta acumulada N i : Suma de las frecuencias absolutas de los valores inferiores o igual a x i, o número de medidas por debajo, o igual, que x i Evidentemente la frecuencia absoluta acumulada de un valor se puede calcular a partir de la correspondiente al anterior como N i = N i 1 + n i y N 1 = n 1 (22) Además la frecuencia absoluta acumulada del último valor será N k = N Frecuencia relativa acumulada F i : Cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y el número de observaciones Coincide además con la suma de las frecuencias relativas de los valores inferiores o iguales a x i F i = N i i N = j=1 n j N y la frecuencia relativa acumulada del último valor es 1 = i n j i N = f i, (23) j=1 j=1 F k = 1 Se puede expresar asimismo como un porcentaje (multiplicando por 100) y su significado será el tanto por ciento de medidas con valores por debajo o igual que x i Ejemplo I 5 Supongamos que el número de hijos de una muestra de 20 familias es el siguiente: El tamaño de la muestra es N = 20, el número de valores posibles k = 5, y el recorrido es 5 1 = 4 x i n i f i N i F i n i/20 i 1 nj i 1 fj Agrupamiento en intervalos de clase Cuando el número de valores distintos que toma la variable estadística es demasiado grande o la variable es continua no es útil elaborar una tabla de frecuencias como la vista anteriormente En estos casos se realiza un agrupamiento de los datos en intervalos y se hace un recuento del número de observaciones que caen dentro de cada uno de ellos Dichos intervalos se denominan intervalos de clase, y al valor de

27 22 Distribuciones de frecuencias 15 la variable en el centro de cada intervalo se le llama marca de clase De esta forma se sustituye cada medida por la marca de clase del intervalo a que corresponda A la diferencia entre el extremo superior e inferior de cada intervalo se le llama amplitud del intervalo Normalmente se trabajará con intervalos de amplitud constante La tabla de frecuencias resultante es similar a la vista anteriormente En el caso de una distribución en k intervalos ésta sería: Intervalos Marcas de Frecuencias Frecuencias Frecuencias Frecuencias de clase clase absolutas relativas absolutas relativas acumuladas acumuladas a i a i+1 c i n i f i = n i /N N i F i = N i /N a 1 a 2 c 1 n 1 f 1 N 1 F 1 a 2 a 3 c 2 n 2 f 2 N 2 F 2 a k a k+1 c k n k f k N k F k El realizar el estudio mediante el agrupamiento en intervalos de clase simplifica el trabajo, pero también supone una pérdida de información, ya que no se tiene en cuenta cómo se distribuyen los datos dentro de cada intervalo Para que dicha pérdida sea mínima es necesario elegir con cuidado los intervalos Aunque no existen ningunas reglas estrictas para la elección de los intervalos, los pasos a seguir son: 1 Determinar el recorrido, o rango, de los datos Esto es, la diferencia entre el mayor y el menor de los valores que toma la variable 2 Decidir el número k de intervalos de clase en que se van a agrupar los datos Dicho número se debe situar normalmente entre 5 y 20, dependiendo del caso En general el número será más grande cuanto más datos tenga la muestra Una regla que a veces se sigue es elegir k como el entero más próximo a N, donde N es el número total de medidas 3 Dividir el recorrido entre el número de intervalos para determinar la amplitud (constante) de cada intervalo Dicha amplitud no es necesario que sea exactamente el resultado de esa división, sino que normalmente se puede redondear hacia un número algo mayor 4 Determinar los extremos de los intervalos de clase Evidentemente el extremo superior de cada intervalo ha de coincidir con el extremo inferior del siguiente Es importante que ninguna observación coincida con alguno de los extremos, para evitar así una ambiguedad en la clasificación de este dato Una forma de conseguir ésto es asignar a los extremos de los intervalos una cifra decimal más que las medidas de la muestra Por ejemplo, si la variable estadística toma valores enteros: 10, 11, 12,, los intervalos se podrían elegir: , , 5 Calcular las marcas de clase de cada intervalo como el valor medio entre los límites inferior y superior de cada intervalo de clase Otra consideración a tomar en cuenta a la hora de elegir los intervalos es intentar que las marcas de clase coincidan con medidas de la muestra, disminuyéndose así la pérdida de información debida al agrupamiento Una vez determinados los intervalos se debe hacer un recuento cuidadoso del número de observaciones que caen dentro de cada intervalo, para construir así la tabla de frecuencias

28 16 Fundamentos de Estadística Descriptiva Ejemplo I 6 En la tabla siguiente se listan los datos medidos por James Short en 1763 sobre la paralaje del Sol en segundos de arco La paralaje es el ángulo subtendido por la Tierra vista desde el Sol Se midió observando tránsitos de Venus desde diferentes posiciones y permitió la primera medida de la distancia Tierra-Sol, que es la unidad básica de la escala de distancias en el Sistema Solar (la unidad astronómica) Datos (en segundos de arco): Recorrido: máximo mínimo= = Número de intervalos: k = 21 = 453 k = 5 Como se redondea por exceso, la amplitud del intervalo multiplicada por el número de intervalos será mayor que el recorrido y no tendremos problemas en los extremos 3 Amplitud del intervalo: 333/5 = Extremos de los intervalos Para evitar coincidencias se toma un decimal más El primer extremo se toma algo menor que el valor mínimo, pero calculándolo de forma que el último extremo sea algo mayor que el valor máximo Si tomamos a 1 = 7405 se verifica que es < 747 (mínimo), y el último extremo será = que resulta ser > 1080 (máximo) Ahora ya podemos calcular los extremos para cada intervalo de clase y las marcas de clase correspondientes 5 Recuento y construcción de la tabla a i a i+1 c i n i f i N i F i Suma Representaciones gráficas Después de construir la tabla de frecuencias correspondiente es conveniente la representación gráfica de la distribución de los datos en un diagrama Estas representaciones gráficas permiten una visualización rápida de la información recogida Veamos los diferentes tipos de diagramas 231 Representaciones gráficas para datos sin agrupar El diagrama principal para representar datos de variables discretas sin agrupar es el diagrama de barras En éste se representan en el eje de abcisas los distintos valores de la variable y sobre cada uno de ellos se levanta una barra de longitud igual a la frecuencia correspondiente Pueden representarse tanto las frecuencias absolutas n i como las relativas f i En la práctica se puede graduar simultáneamente el eje de ordenadas tanto en frecuencias absolutas como en relativas en tantos por ciento Un diagrama similar es el polígono de frecuencias Este se obtiene uniendo con rectas los extremos superiores de las barras del diagrama anterior De la misma forma, pueden representarse frecuencias absolutas,

29 1FUNDAMENTOS 8 23 Representaciones gráficas 17 Figura1:DiagramadebarrasypolgonodefrecuenciasSehanusadolosdatosdelnumero dehijosporfamiliadelejemplo5 dediagramas EldiagramaprincipalpararepresentardatosdevariablesdiscretassinagrupareseldiagramadebarrasEnesteserepresentanenelejedeabcisaslosdistintosvaloresdela 131Representacionesgracasparadatossinagrupar absolutascomoenrelativasentantosporciento fienlapracticasepuedegraduarsimultaneamenteelejedeordenadastantoenfrecuencias correspondientepuedenrepresentarsetantolasfrecuenciasabsolutasnicomolasrelativas variableysobrecadaunodeellosselevantaunabarradelongitudigualalafrecuencia 1FUNDAMENTOS 9 representarsefrecuenciasabsolutas,relativas,oambasalavez losextremossuperioresdelasbarrasdeldiagramaanteriordelamismaforma,pueden UndiagramasimilareselpolgonodefrecuenciasEsteseobtieneuniendoconrectas diagramadefrecuenciasacumuladasestegraco,enformadeescalera,seconstruye representandoenabcisaslosdistintosvaloresdelavariableylevantandosobrecadaxiuna perpendicularcuyalongitudseralafrecuenciaacumulada(niofi)deesevalorlospuntos Pararepresentarlasfrecuencias,tantoabsolutascomorelativas,acumuladasseusael laescaleraresultantehadesersiempreascendente seunencontramoshorizontalesyverticalescomosemuestraenlaguraevidentemente Figura 21: Diagrama de barras y polígono de frecuencias Se han usado los datos del ejemplo I 5 Figura2:DiagramadefrecuenciasacumuladasSehanusadolosdatosdelnumerodehijos porfamiliadelejemplo5 132Representacionesgracasparadatosagrupados Larepresentaciongracamasusadaparadatosagrupadoseselhistogramadefrecuencias (absolutasorelativas)unhistogramaesunconjuntoderectangulosadyacentes,cadauno laamplituddelintervaloesdecir,elcentrodelabasedecadarectangulohadecorresponder deloscualesrepresentaunintervalodeclaselasbasedecadarectanguloesproporcionala aunamarcadeclaselaalturasesueledeterminarparaqueelareadecadarectangulo rectangulosepuedecalcularcomoelcocienteentrelafrecuencia(absolutaorelativa)yla seaigualalafrecuenciadelamarcadeclasecorrespondienteportanto,laalturadecada Figura 22: Diagrama de frecuencias acumuladas Se han usado los datos del ejemplo I 5

30 1FUNDAMENTOS Fundamentos de Estadística Descriptiva ejemplo6lasalturasdelosrectangulosseobtienencomohi=ni=,siendoenestecasola Figura3:HistogramaypolgonodefrecuenciasdelasmedidasdelaparalajedelSoldel amplituddelintervalo=0:7notesequeelhistogramatienelamismaformasilasalturas paraelextremoinferiordelprimerintervaloevidentemente,laalturaquesealcanzaalnal sehacenproporcionalesalasfrecuencias delpolgonoesn,parafrecuenciasabsolutas,o1,parafrecuenciasrelativas escaladeordenadas)puededeterminarseelnumerodeobservacionesmayoresomenoresque frecuenciasacumuladascorrespondientes),inclusoaunqueesosvaloresnoseanmarcasde unvalordado,oinclusoelnumerodedatoscomprendidosentredosvalores(restandolas Mediantelainterpolacionenelpolgonodefrecuenciasacumuladas(oleyendosobrela clase adescribirunicamentelasdosmasusadaseldiagramaderectangulosessimilaral Existeunagranvariedadderepresentacionesparavariablescualitativas,delascualesvamos 133Representacionesgracasparavariablescualitativas dichocaracter enelejedeabcisaslosdiferentescaracterescualitativosylevantarsobrecadaunodeellos diagramadebarrasyelhistogramaparalasvariablescuantitativasconsisteenrepresentar unrectangulo(deformanosolapada)cuyaalturasealafrecuencia(absolutaorelativa)de Undiagramamuyusadoeseldiagramadesectores(tambienllamadodiagramade Figura 23: Histograma y polígono de frecuencias de las medidas de la paralaje del Sol del ejemplo I 6 Las alturas de los rectángulos se obtienen como h i = n i/, siendo en este caso la amplitud del intervalo = 07 Nótese que el histograma tiene la misma forma si las alturas se hacen proporcionales a las frecuencias relativas, o ambas a la vez Ver Figura 21 Para representar las frecuencias, tanto absolutas como relativas, acumuladas se usa el diagrama de frecuencias acumuladas Este gráfico, en forma de escalera (ver Figura 22), se construye representando en abcisas los distintos valores de la variable y levantando sobre cada x i una perpendicular cuya longitud será la frecuencia acumulada (N i o F i ) de ese valor Los puntos se unen con tramos horizontales y verticales como se muestra en la figura Evidentemente la escalera resultante ha de ser siempre ascendente 232 Representaciones gráficas para datos agrupados La representación gráfica más usada para datos agrupados es el histograma de frecuencias absolutas o relativas (ver Figura 23) Un histograma es un conjunto de rectángulos adyacentes, cada uno de los cuales representa un intervalo de clase Las base de cada rectángulo es proporcional a la amplitud del intervalo Es decir, el centro de la base de cada rectángulo ha de corresponder a una marca de clase La altura se suele determinar para que el área de cada rectángulo sea igual a la frecuencia de la marca de clase correspondiente Por tanto, la altura de cada rectángulo se puede calcular como el cociente entre la frecuencia (absoluta o relativa) y la amplitud del intervalo En el caso de que la amplitud de los intervalos sea constante, la representación es equivalente a usar como altura la frecuencia de cada marca de clase, siendo este método más sencillo para dibujar rápidamente un histograma Al igual que en las variables no agrupadas, otro tipo de representación es el polígono de frecuencias Este se obtiene uniendo por líneas rectas los puntos medios de cada segmento superior de los rectángulos en el histograma Ver Figura 24 El polígono de frecuencias acumuladas sirve para representar las frecuencias acumuladas de datos agrupados por intervalos En abcisas se representan los diferentes intervalos de clase Sobre el extremo superior de cada intervalo se levanta una línea vertical de altura la frecuencia (absoluta o relativa) acumulada de ese intervalo A continuación se unen por segmentos rectos los extremos de las líneas anteriores El polígono parte de una altura cero para el extremo inferior del primer intervalo Evidentemente, la altura que se alcanza al final del polígono es N, para frecuencias absolutas, o 1, para frecuencias relativas

31 1FUNDAMENTOS Representaciones gráficas 19 altasenelhistograma Figura4:PolgonodefrecuenciasacumuladasdelasmedidasdelaparalajedelSoldel ejemplo6laszonasdemayorpendienteenestediagramacorrespondenalaszonasmas tarta)enelserepresentaelvalordecadacaractercualitativocomounsectordeuncrculo decadasectorlafrecuenciacorrespondienteestetipodediagramaproporcionaunaidea multiplicadoporlafrecuenciarelativaesademascostumbreescribirdentro,oaunlado, alafrecuenciadelcaracterencuestiondeformapractica,cadaarcosecalculacomo360o completo,siendoelareadecadasector,o,loqueeslomismo,elarcosubtendido,proporcional Ejemplo7LasnotasdelaasignaturadeEstadsticadelcurso95/96sedistribuyendeacuerdoala visualmuyclaradecualessonloscaracteresquemasserepiten siguientetablaparalosalumnospresentadosenjunio, Nota Suspenso Aprobado Notable ni fi Ni Fi Sobresaliente MatrculadeHonor Figura 24: Polígono de frecuencias acumuladas de las medidas de la paralaje del Sol del ejemplo I 6 Las zonas de mayor pendiente en este diagrama corresponden a las zonas más altas en el histograma (ver figura anterior) Mediante la interpolación en el polígono de frecuencias acumuladas (o leyendo sobre la escala de ordenadas) puede determinarse el número de observaciones mayores o menores que un valor dado, o incluso el número de datos comprendidos entre dos valores (restando las frecuencias acumuladas correspondientes), incluso aunque esos valores no sean marcas de clase 233 Representaciones gráficas para variables cualitativas Existe una gran variedad de representaciones para variables cualitativas, de las cuales vamos a describir únicamente las dos más usadas El diagrama de rectángulos es similar al diagrama de barras y el histograma para las variables cuantitativas Consiste en representar en el eje de abcisas los diferentes caracteres cualitativos y levantar sobre cada uno de ellos un rectángulo (de forma no solapada) cuya altura sea la frecuencia (absoluta o relativa) de dicho caracter Un diagrama muy usado es el diagrama de sectores (también llamado diagrama de tarta) En él se representa el valor de cada caracter cualitativo como un sector de un círculo completo, siendo el area de cada sector, o, lo que es lo mismo, el arco subtendido, proporcional a la frecuencia del caracter en cuestión De forma práctica, cada arco se calcula como multiplicado por la frecuencia relativa Es además costumbre escribir dentro, o a un lado, de cada sector la frecuencia correspondiente Este tipo de diagrama proporciona una idea visual muy clara de cuáles son los caracteres que más se repiten Ejemplo I 7 Las notas de una asignatura de Físicas (en la UCM) del curso académico 95/96 se distribuyeron de acuerdo a la siguiente tabla para los alumnos presentados en junio: Nota n i f i N i F i α i Suspenso (SS) Aprobado (AP) Notable (NT) Sobresaliente (SB) Matrícula de Honor (MH) Los diagramas de rectángulos y de sectores correspondientes se muestran en la Figura 25

32 20 Fundamentos de Estadística Descriptiva 2MEDIDASCARACTERISTICASDEUNADISTRIBUCION 12 2MEDIDASCARACTERISTICASDEUNADISTRIBUCION 12 i=fi360o estandadasentantosporcientolosangulosdecadasectorcircularsedeterminancomo Figura5:Diagramaderectangulosydesectoresparalasnotasdelejemplo7Lasfrecuencias 2 MEDIDASCARACTERISTICASDEUNADISsentaciongraca,elsiguientepasoparallevaracabounestudiopreliminardelosdatos Despuesdehaberconstrudolatabladefrecuenciasyhaberrealizadoalgunarepre- TRIBUCION recogidoseselcalculodediferentesmagnitudescaractersticasdeladistribucionsedenen peque~nonumerodevaloresestasmedidasresumenvanapermitircompararnuestramuestraconotrasydarunaidearapidadecomosedistribuyenlosdatosesevidentequetodas 21 estasmedidassolopuedendenirseparavariablescuantitativas entoncesdiversasmedidasqueserancapacesderesumirtodalainformacionrecogidaaun Entrelamedidascaractersticasdeunadistribuciondestacanlasllamadasmedidasdecentralizacion,quenosindicaranelvalorpromediodelosdatos,oentornoaquevalorse MEDIDASDECENTRALIZACION distribuyenestos Figura5:Diagramaderectangulosydesectoresparalasnotasdelejemplo7Lasfrecuencias estandadasentantosporcientolosangulosdecadasectorcircularsedeterminancomo i=fi360o 2 MEDIDASCARACTERISTICASDEUNADISsentaciongraca,elsiguientepasoparallevaracabounestudiopreliminardelosdatos Despuesdehaberconstrudolatabladefrecuenciasyhaberrealizadoalgunarepre- TRIBUCION entoncesdiversasmedidasqueserancapacesderesumirtodalainformacionrecogidaaun traconotrasydarunaidearapidadecomosedistribuyenlosdatosesevidentequetodas peque~nonumerodevaloresestasmedidasresumenvanapermitircompararnuestramues- recogidoseselcalculodediferentesmagnitudescaractersticasdeladistribucionsedenen 21 estasmedidassolopuedendenirseparavariablescuantitativas tralizacion,quenosindicaranelvalorpromediodelosdatos,oentornoaquevalorse Entrelamedidascaractersticasdeunadistribuciondestacanlasllamadasmedidasdecen- MEDIDASDECENTRALIZACION distribuyenestos Figura 25: Diagrama de rectángulos (izquierda) y de sectores (derecha) para las notas del ejemplo I 7 Las frecuencias relativas están dadas en tanto por ciento Los ángulos de cada sector circular se determinan como α i = f i 360 (grados)

33 Capítulo 3 Medidas características de una distribución La percepción, sin comprobación ni fundamento, no es garantía suficiente de verdad Bertrand Russell ( ) Después de haber aprendido en el capítulo anterior a construir tablas de frecuencias y haber realizado alguna representación gráfica, el siguiente paso para llevar a cabo un estudio preliminar de los datos recogidos es el cálculo de diferentes magnitudes características de la distribución Se definen entonces diversas medidas que serán capaces de resumir toda la información recogida a un pequeño número de valores Estas medidas resumen van a permitir comparar nuestra muestra con otras y dar una idea rápida de cómo se distribuyen los datos Es evidente que todas estas medidas solo pueden definirse para variables cuantitativas 31 Medidas de centralización Entre las medidas características de una distribución destacan las llamadas medidas de centralización, que nos indicarán el valor promedio de los datos, o en torno a qué valor se distribuyen éstos 311 Media aritmética Supongamos que tenemos una muestra de tamaño N, donde la variable estadística x toma los valores x 1, x 2,, x N Se define la media aritmética x, o simplemente media, de la muestra como x = N x i N (31) Es decir, la media se calcula sencillamente sumando los distintos valores de x y dividiendo por el número de datos En el caso de que los diferentes valores de x aparezcan repetidos, tomando entonces los valores x 1, x 2,, x k, con frecuencias absolutas n 1, n 2,, n k, la media se determina como x = k x in i, (32) N 21

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