SOLUCIONES TRIGONOMETRÍA19

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1 SOLUCIONES EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA Ejercicio nº 1.- Halla las razones trigonométricas de los ángulos y del triángulo ABC sabiendo que es rectángulo. Sea x la longitud de la hipotenusa; por el teorema de Pitágoras: 1,96 17,8 x x 466,56 x 1,6 cm Calculamos las razones trigonométricas de y : 1,96 17,8 1,96 sen 0,6 cos 0,8 tg 0,75 1,6 1,6 17,8 17,8 1,96 17,8 sen 0,8 cos 0,6 tg 1, 1,6 1,6 1,96 Ejercicio nº.- Sin hacer uso de la calculadora, halla el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan o del ángulo, sabiendo que 0 90:

2 Ejercicio nº.- Sabiendo que es un ángulo agudo y que el cos 1/5, calcula sen y tg Como cos sen sen sen 5 5 sen 6 5 sen 6 1 Luego, tg 6 tg 6 cos 5 5 Ejercicio nº 4.- Si sen 5 y Cuánto valen cos y tg? Si sen cos 1 cos 1 cos 1 cos cos donde elegimos el signo por ser 90 < < 180. sen Así, tg : tg cos

3 Ejercicio nº 5.- Calcula las razones trigonométricas de 40 dibujando previamente este ángulo en la circunferencia goniométrica. En el dibujo se observa que: sen 40 sen 60 sen 40 1 cos 40 cos 60 cos 40 sen 40 1 Luego: tg 40 : tg 40 cos 40 Ejercicio nº 6.- Calcula la altura de una casa sabiendo que al tender un cable de 9 m desde el tejado, este forma con el suelo un ángulo de 60. A qué distancia de la casa cae el cable? Llamamos h a la altura de la casa; como conocemos la longitud del cable, que es la hipotenusa, y tenemos que hallar el cateto opuesto al ángulo que nos dan, debemos usar el seno como razón trigonométrica:

4 h 9 sen 60 h 9 sen 60 7,79 m 9 La altura de la casa es de 7,79 m. Sea x distancia entre el pie de la casa y el cable sujeto al suelo por un extremo. En este caso, el coseno es la razón trigonométrica que debemos usar: x 1 cos 60 x 9 cos ,5 m 9 El cable está sujeto al suelo a 4,5 m de distancia de la casa. Ejercicio nº 7.- Dos ambulancias, distanciadas 8 km en línea recta, reciben una llamada de urgencia de una casa. Observa la figura y calcula la distancia que separa a cada ambulancia de la casa: Trazando la altura desde la casa al lado AB, conseguimos dos triángulos rectángulos: CHA y CHB. Del dibujo deducimos:

5 h tg 45 h x tg 45 x h tg 4 h 8 x tg 4 8 x x tg 45 8 x tg 4 x 8 x 0,9 x 7, 0,9x 1,9 x 7, x,79 km, luego h,79 km De este modo hemos calculado el valor de los catetos en ambos triángulos rectángulos. Aplicando el teorema de Pitágoras, obtendremos la hipotenusa en cada caso: b h x,79,79 5,6 km a h 8 x,79 4,1 5,66 km La ambulancia A está a 5,6 km de la casa, y la ambulancia B, a 5,66 km. Ejercicio nº 8.- a Calcula x e y en el triángulo: b Halla el seno, el coseno y la tangente de los ángulos y. a Calculamos y aplicando el teorema de Pitágoras: 5 y 5 9 y 16 y y 4 cm Calculamos x sabiendo que la longitud de los catetos del triángulo BDC miden cm y cm: x 8 x 9 64 x 7 x 8,54 cm

6 b Calculamos las razones trigonométricas de y : 4 4 sen 0,8 cos 0,6 tg 1, sen 0,5 cos 0,94 tg 0,75 8,54 8,54 8 Ejercicio nº 9.- Completa la tabla sin usar calculadora 0 90: 0 sen 1/ cos 0 tg sen 0 1/ 1 cos 1 0 tg 0 1 NO EXISTE Ejercicio nº 10.- Completa la siguiente tabla haciendo uso de las relaciones fundamentales y sabiendo que es un ángulo agudo: sen cos 0,5 tg 0,6 Si cos 0,5 0,5 sen 1 sen 0,975

7 0,97 Luego, sen 0,97 y tg,88. 0,5 Si tg 0,6 sen 0,6 cos 0,6 cos cos 1 0,6 cos cos 1 1,6 cos 1 cos 0,74 cos 0,86 Luego, sen 0,6 0,86 0,5 y la tabla queda: sen 0,97 0,5 cos 0,5 0,86 tg,88 0,6 Ejercicio nº 11.- De un ángulo sabemos que la tg 4 y que Calcula sen y cos sen Como tg sen cos 4 cos 4 4 sen sen cos 4 cos cos cos cos cos cos por estar en el tercer cuadrante Asi, sen sen Ejercicio nº 1.- Sitúa sobre la circunferencia goniométrica, el ángulo de 15 y calcula sus razones trigonométricas relacionándolo con uno del primer cuadrante.

8 Se observa en la circunferencia goniométrica que: sen 15 sen 45 sen 15 cos 15 cos 45 cos 15 Luego, tg Ejercicio nº 1.- Un tronco de 6, m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de 55. a A qué altura de la pared se encuentra apoyado? b Calcula la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared. h altura que alcanza el tronco apoyado en la pared. x distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared. La hipotenusa del triángulo que se forma mide 6, m, y un ángulo agudo, 55. Así: h a sen 55 h 6, sen 55 6, 0,8 5,08 m 6, El tronco se encuentra apoyado en la pared a 5,08 m del suelo.

9 x b cos 55 x 6, cos 55 6, 0,57,5 m 6, La distancia entre el extremo inferior del tronco y la pared es de,5 m. Ejercicio nº 14.- Se quiere medir la altura de una estatua colocada en el centro de un lago circular. Para ello, se mide la visual al extremo superior de la estatua desde el borde del lago y resulta ser de 50; nos alejamos 45 dm y volvemos a medir la visual, obteniendo un ángulo de 5. Averigua la altura de la estatua y la superficie del lago. Hacemos una representación. Llamamos: h altura de la estatua x radio del lago h tg 50 h x tg 50 x h tg 5 h x 45 tg 5 x 45 x tg 50 x 45 tg 5 x 1,19 x 45 0,7 1,19 x 0,7x 1,5 0,49 x 1,5 x 64,9 dm Luego h 64,9 1,19 76,51 dm 7,65 m Calculamos la superficie del lago circular: ACIRCULO x,14 64,9 1978,6 dm 19,78 m La superficie del lago es de 19,78 m. Ejercicio nº 15.- Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo en el que uno de sus catetos mide,5 cm y la hipotenusa, 6,5 cm.

10 Llamamos x a la longitud del otro cateto y calculamos su valor aplicando el teorema de Pitágoras: x,5 6,5 x 6,5 4,5 x 6 Luego x 6 cm es la longitud del otro cateto. Calculamos las razones trigonométricas de : 6 sen 0,9 6,5,5 cos 0,8 6,5 6 tg,4,5 Calculamos las razones trigonométricas de :,5 sen 0,8 6,5 6 cos 0,9 6,5,5 tg 0,4 6 Ejercicio nº16.- Sin usar calculadora, completa la siguiente tabla 0 90:

11 Ejercicio nº 17.- Sabiendo que 0 < < 90, completa la siguiente tabla usando las relaciones fundamentales: sen Si tg 0,75 0,75 sen 0,75 cos cos sen cos 1 0,75 cos cos 1 0,565cos cos 1 1,565cos 1 cos 0,64 cos 0,8 Luego, sen 0,75 0,8 0,6. Si sen 0,8 sen cos 1 0,8 cos 1 0,64 cos 1 cos 0,6 cos 0,6

12 0,8 Luego, tg 1,. 0,6 Completamos la tabla: Ejercicio18.- Si cos y 70 60calcula sen y tg En el cuarto cuadrante, sen < 0 y tg < sen cos 1 sen 1 sen 1 sen sen tg : tg cos Ejercicio nº 19.- Representa en la circunferencia goniométrica sen 150, cos 150 y tg 150. Calcula el valor de cada una de ellas relacionando el ángulo de 150 con un ángulo del primer cuadrante.

13 En la circunferencia goniométrica observamos: 1 sen 150 sen 0 sen 150 cos 150 cos 0 cos 150 tg 150 tg 0 tg 150 Ejercicio nº 0.- Halla la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la parte superior de la antena bajo un ángulo de 0. Llamamos h a la altura de la antena. Como datos tenemos un ángulo y el cateto contiguo; nos piden el cateto opuesto al ángulo, luego la tangente será la razón trigonométrica a usar: h tg 0 h 18 tg ,9 m 18 La altura de la antena es de 10,9 m.

14 Ejercicio nº 1.- La base de un triángulo isósceles mide 64 cm, y el ángulo que se forma entre los lados iguales es de 40. Calcula el perímetro y el área del triángulo. Trazamos la altura sobre la base para conseguir dos triángulos rectángulos. Para calcular el perímetro y el área, necesitamos conocer el valor de la altura, h, y del otro lado, x. En cada triángulo conocemos el ángulo de 0 y el cateto opuesto a este ángulo que mide 64 cm. sen 0 x 94,1 cm x sen 0 0,4 h h cos 0 cos 0 h 94,1 cos 0 x 94,1 h 94,1 0,94 88,47 cm Luego: Perímetro 64 94,1 5,4 cm 64 88,47 Área 81,04 cm Ejercicio nº.- Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo siguiente:

15 Llamamos x a la longitud del otro cateto y calculamos su valor usando el teorema de Pitágoras: x 1, 1, x 1,44 1,69 x 0,5 x 0,5 m Calculamos las razones trigonométricas de y : 0,5 1, 0,5 sen 0,8 cos 0,9 tg 0,4 1, 1, 1, 1, 0,5 1, sen 0,9 cos 0,8 tg,4 1, 1, 0,5 Ejercicio nº.- Completa la tabla sin usar calculadora 0 90:

16 Ejercicio nº Calcula sen y cos de un ángulo agudo,, sabiendo que la tg. Si 4 sen 4 4 tg sen cos cos 4 16 sen cos 1 cos 1 1 cos cos cos cos 1 cos cos Luego, 4 4 sen sen 5 5 Ejercicio nº 5.- Calcula sen y cos sabiendo que la tg 5 y º cuadrante. Como tg 5 sen 5 cos sen cos 1 5 cos cos cos 1 cos cos, por estar en el º cuadrante. 6 0 Así, sen

17 La solución es: cos 6 0 y sen 6 6 Ejercicio nº 6.- Expresa, con valores comprendidos entre 0 y 60, el ángulo de 10. Calcula sus razones trigonométricas dibujándolo previamente en la circunferencia goniométrica y relacionándolo con un ángulo del primer cuadrante , luego calcular las razones trigonométricas de 10 equivale a calcular las razones trigonométricas de 0. sen 10 sen 0 sen 0 cos 10 cos 0 cos 0 Así: 1 sen 10 ; cos 10 ; tg 10 Ejercicio nº 7.- El ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra de un árbol con la parte superior del árbol es de 40. Calcula la longitud de la sombra sabiendo que el árbol mide 15 m de altura. Sea x la longitud de la sombra del árbol.

18 Como datos tenemos un ángulo y el cateto opuesto a ese ángulo; nos piden el cateto contiguo, luego la tangente es la razón trigonométrica a usar: tg 40 x 17,86 m x tg 40 0,84 La sombra del árbol mide 17,86 m. Ejercicio nº8.- Antonio está descansando en la orilla de un río mientras observa un árbol que está en la orilla opuesta. Mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 5; retrocede 5 m y mide el nuevo ángulo, obteniendo en este caso un ángulo de 5. Calcula la altura del árbol y la anchura de río. Hacemos una representación del problema y llamamos: h altura del árbol x anchura del río h tg 5 h x tg 5 x h tg 5 h x 5 tg 5 x 5 x tg 5 x 5 tg 5 0,7x x 5 0,47 0,7x 0,47 x,5 0, x,5 x 10, m h 10, 0,7 7,15 m

19 La altura del árbol es de 7,15 m, y la anchura del río, de 10, m.

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