SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

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1 7 Pág. Págin 66 PRTI Rzones trigonométris de un ángulo gudo Hll ls rzones trigonométris del ángulo en d uno de estos triángulos: ) ) ), m, m,6 m 8, m m 8, m ) sen, 0, os 0, 0,89 tg 0, 0,, 0,89 ) tg,6, L ipotenus es:,6 + 8,, 8, sen,6 0,8 os 8, 0,8,, ) os 0,8 sen (0,8) 0,7 tg 0,7 0,69 8, 0,8 Midiendo los ldos, ll ls rzones trigonométris de en d so: ), mm 0 mm ) mm 6 mm 8 mm 8 mm ) sen 8 0,8 ) sen 0,, 8 os 0 0,8 os 6 0,9, 8 tg 8, tg 0,6 0 6 lul ls rzones trigonométris de β: onstruye un triángulo trzndo un perpendiulr uno de los ldos. β Unidd 7. Trigonometrí

2 7 Pág. sen β 0,6 os β, 0,79 tg β 0,77, β mm, mm mm Prue, on el teorem de Pitágors, que los triángulos y D son retángulos. Hll sen en los dos triángulos (el verde y el totl) y omprue que otienes el mismo vlor. m m 0 m 9 m D 6 m Triángulo : 0 + es un triángulo retángulo. Triángulo D: D es un triángulo retángulo. En : sen ^ 0,6 En D: sen ^ 0, lul ls rzones trigonométris de los ángulos y, D y D. m m D, m sen ^ os ^ ( ) 9 / tg ^ / tg ^ 0,8 sen ^ 0,8 sen ^ 0,8 os ^, os ^ (sen ^) +(os ^) (0,8 os ^) +(os ^) os ^ 0,9 sen ^ 0,8 0,9 0, Unidd 7. Trigonometrí

3 7 Pág. Llmmos D: os (sen ) +(os ) (sen ) + ( ) (sen ) tg sen / os / (sen ) sen 9 Llmmos β D: tg β,, sen β, sen β, os β os β (sen β) +(os β) (, os β) +(os β) os β 0, sen β, os β, 0, 0,9 9 Reliones fundmentles 6 Si sen /, lul os y tg utilizndo ls reliones fundmentles ( < 90 ). sen ( < 90 ) 9 os (sen ) os ( ) 6 tg sen / tg os / 7 Hll el vlor eto (on rdiles) de sen y os siendo que tg ( < 90 ). tg ( < 90 ) sen os sen os sen + os (os ) +(os ) 0os 0 os os sen Unidd 7. Trigonometrí

4 7 Pág. 8 omplet est tl: En todos los sos solo tomremos vlores positivos. sen 0,9 os (0,9) 0,9 tg 0,9, 0,9 tg 0,7 sen 0,7 sen 0,7 os os (sen ) +(os ) (0,7 os ) +(os ) (os ) 0,6 os 0,8 sen 0,7 0,8 0,6 os 0, sen (0,) 0,99 tg 0,99 8,7 0, tg sen os tg sen sen os os (sen ) +(os ) (os ) +(os ) 9 (os ) (os ) os 9 sen 0,9 0,6 0,99 / 0, / 0,9 0,8 0, / 0,98 /, 0,7 8,7 / 0, sen 0, os 0, 0,98 tg 0, 0, 0,98 os sen ( ) sen tg / / Unidd 7. Trigonometrí

5 7 Pág. 9 lul el vlor eto (utilizndo rdiles) de ls rzones trigonométris que fltn y el ángulo ( < 90 ). sen os tg / 7 / ( )/ ( )/ / / / 7/ 9 8' 6'' 6 ' 8'' 6 6' 6'' sen > 0 omo < 90 os > 0 sen os ( ) 8 9 / tg / 9,7 9 8' 6'' os sen 7 ( ) 7 9 7/ tg 7 / 6,87 6 ' 8'' tg sen sen os os (sen ) +(os ) (os ) +(os ) os sen ; 6, 6 6' 6'' Resoluión de triángulos retángulos 0 Hll l medid de los ldos y ángulos desonoidos en los siguientes triángulos retángulos ( 90 ): ) m m lul, y ) m ) 7 m d) m lul, y lul, y lul, y ) + 69 m sen ^,6 ^ 7' '' ^ 90,6 67,8 67 ' 8'' m m Unidd 7. Trigonometrí

6 7 Pág. 6 ) ^ 90 7 os ^ os 7, m m os tg ^ tg 7,06 m 6 ) ^ 90 9 os ^ 7 7 0,67 m os 9 sen ^ 0,67 sen ^ 8,0 m 0,67 7 m 9 d) ^ sen 6 os 6 sen 6, m os 6, m En un triángulo retángulo,, on el ángulo reto en, onoemos 0 y el teto 7 m. lul, y. os ^ 7 7 0,89 0,89 m os 0 tg ^ 7 tg ^ 8, 8, m 7 ^ ^ 0 Págin 67 m lul l ltur de un torre siendo que su somr mide m undo los ryos del sol formn un ángulo de 0 on el suelo. 0 7 m tg 0 tg 0,9 m 0 m L torre mide,9 m de ltur. De un triángulo retángulo se se que un ángulo mide y uno de sus tetos m. uánto miden el otro teto, l ipotenus y el otro ángulo gudo? Unidd 7. Trigonometrí

7 7 Pág. 7 tg m + 7, m; 90 El otro teto mide m, l ipotenus 7, m y el ángulo. Un esler de m está poyd ontr l pred. uál será su inlinión si su se dist m de l pred? m os 60 m L inlinión de l esler es de 60 respeto del suelo. lul los ángulos de un romo uys digonles miden m y 8 m, respetivmente. uánto mide el ldo del romo? tg 6 6, β 90 6,,7 l β Los ángulos del romo son: 6 ^ 6,,6 ; ^,7 67, l , m El ldo del romo mide 7, m. 6 En el triángulo : ) Trz l ltur sore y ll su longitud. ) lul el áre del triángulo. ) sen 0 sen 0 9,9 m ) Áre 9,9 0,68 m m 0 m 7 lul el áre de este triángulo: l trzr l ltur se formn dos triángulos retángulos. Hll sus tetos. 0 m T Unidd 7. Trigonometrí

8 7 Pág. 8 sen 0 0 sen,7 m os 0 0 os 6,8 m Áre de T 6,8,7 9,9 m Áre totl 9,9 87,88 m Rzones trigonométris de ángulos ulesquier 8 Di en qué udrnte se enuentrn los siguientes ángulos e indi el signo de sus rzones trigonométris. ) 8 ) 98 ) 87 d) 98 e) 8 f) 0 ompruélo on l luldor. ÁNGULO UDRNTE SIGNO SENO SIGNO OSENO SIGNO TNGENTE 8 - o positivo negtivo negtivo 98 - o negtivo negtivo positivo 87 - o positivo positivo positivo 98 - o positivo negtivo negtivo 8 - o negtivo positivo negtivo 0 - o negtivo positivo negtivo 9 omplet est tl sin usr l luldor: sen os tg En d uno de estos írulos está indido el signo de ls rzones trigonométris de, según el udrnte en el que esté. uál orresponde sen, uál os y uál tg? ) ) ) ) orresponde os. ) orresponde sen. ) orresponde tg. (ESTÁ RESUELTO EN EL LIRO). Unidd 7. Trigonometrí

9 7 Pág. 9 Diuj dos ángulos uyo seno se / y ll su oseno. sen ' '' os (sen ) ( ) ' sen ' ' 6 ' 8'' os ' Diuj un ángulo menor que 80 uyo oseno se y ll su seno y su tngente. os el ángulo es 8' 7'' sen (os ) 9 9 / tg sen os / Siendo que tg y < 80, ll sen y os. Por ser tg < 0 y < 80, el ángulo - o udrnte os < 0. tg sen sen os os (sen ) +(os ) ( os ) +(os ) sen (os ) os sen > 0 y Págin 68 PIENS Y RESUELVE Un líne de lt tensión ps por dos trnsformdores, T y T'. Este es un plno de l líne: lul ls longitudes de los tres trmos de le. T 00 m 60 0 T' 00 m Unidd 7. Trigonometrí

10 7 Pág. 0 sen , m sen m os , m os Longitud totl: ,7 m 6 Un estrutur metáli tiene l form y dimensiones de l figur. Hll l longitud de los postes y E y l medid de los ángulos,, ED y. Por el teorem de Pitágors: + ( + ) , m E + + 6,7 m tg ^ ^ 0, 6 ) 67,8 ' " 6 ^ ^ ' " m ' m m m E m D m 80 ^ ^ 80 67,8,6 7' " tg ^' ^' 6,7 ^' 6 ' " ED ^', 8' " 7 Los espeleólogos utilizn un rrete pr medir l profundidd. Sueltn ilo del rrete y miden l longitud y el ángulo que form on l orizontl. Hll l profundidd del punto. sen 0 sen L profundidd es: 8 sen 0 9 m 0 sen 70 8,9 m ,9 67,9 m ENTRD 0 m 8 m 0 m 0 m 70 Unidd 7. Trigonometrí

11 7 Pág. 8 Un señl de peligro en un rreter nos dvierte que l pendiente es del %. Qué ángulo form ese trmo de rreter on l orizontl? uántos metros emos desendido después de reorrer 7 km por es rreter? 00 m m tg 0, 6,8 6 0' " 00 7 km Si son los metros que emos desendido: sen sen (6 0' ") 8 m Hemos desendido 8 m. 9 En un rut de montñ un señl indi un ltitud de 78 m. Tres kilómetros más delnte, l ltitud es de 06 m. Hll l pendiente medi de es rut y el ángulo que form on l orizontl sen ,09, ' 9" 000 os 000 os, ,9 m Pendiente: ,7 986,9 00 L pendiente es del 9,7%. 0 Los rzos de un ompás, que miden m, formn un ángulo de 60. uál es el rdio de l irunfereni que puede trzrse on es ertur? sen 0 r/ r sen 0 r m El rdio de l irunfereni que puede trzrse es de m. m 60 r m Unidd 7. Trigonometrí

12 7 Pág. lul l ltur de l luz de un fro sore un ntildo uy se es inesile, si desde un ro se tomn ls siguientes medids: El ángulo que form l visul i l luz on l líne de orizonte es de. Nos lejmos 00 metros y el ángulo que form or di visul es de 0. tg tg ,6 0, m 0,6 + 0,7 0,6 + 0,7 0,9 7, m 0,9 0,6 7,,9 m L ltur de l luz del fro es de,9 m. Resuelve el siguiente triángulo ; es deir, verigu ls medids de sus elementos desonoidos. Empiez por trzr l ltur H. ^ os ^ H H H tg H H H H sen 0 H os 0 H H H 6 H 0 Elementos del triángulo: Ángulos: ^ 0 ^ 0 ^ 6 +,9 Ldos:,8 Unidd 7. Trigonometrí

13 7 Pág. Desde l torre de ontrol de un eropuerto se estlee omuniión on un vión que v terrizr. En ese momento el vión se enuentr un ltur de 00 metros y el ángulo de oservión desde l torre (ángulo que form l visul i el vión on l orizontl) es de 0. qué distni está el vión del pie de l torre si est mide 0 m de ltur? 00 m D 0 0 m tg d , m d tg 0 Utilizndo el teorem de Pitágors: d D ( 00) + ( 009,) 0, m L distni del vión l pie de l torre es de 0, m. Desde el lugr donde me enuentro, l visul de l torre form un ángulo de on l orizontl. Si me ero m, el ángulo es de 0. uál es l ltur de l torre? tg + tg 0 0,6 +,9 9, + 0,6,9 9, + 0,6,9 9, 0,7 6, 6,,9 9, L ltur de l torre es de 9, m. Unidd 7. Trigonometrí

14 7 Pág. Págin 69 Oserv ls medids que tomdo Jun pr lulr l nur del río. Reliz los álulos que de er Jun pr llr l nur del río. tg tg 0,, 0,9 0,9 0, 0,9, 0,7 m,, 0,7 6,7 L nur del río es de 6,7 m. 0 m 6 Dos edifiios distn entre sí 0 metros. Desde un punto que está entre los dos edifiios, vemos que ls visules los puntos más ltos de estos formn on l orizontl ángulos de y 0. uál es l ltur de los edifiios, si semos que los dos miden lo mismo? tg 0 0,6 tg 0, m 0,6 0 0,7 0 0,7 0,6, ,0 m 0,6 99,0,66 m L ltur de los dos edifiios es de,66 m. 7 lul el áre de un romo uyo ldo mide 6 m y uno de sus ángulos, 0. sen 7 6 sen 7,8 m 6 6 m os 7 6 os 7, m Áre,8, 7,98 8 El áre del romo es de 8 m Unidd 7. Trigonometrí

15 7 Pág. 8 Ls tngentes un irunfereni de entro O, trzds desde un punto eterior P, formn un ángulo de 0. Hll l distni PO siendo que el rdio de l irunfereni es, m. sen, OP, m P OP, sen 9, m L distni de P O es de 9, m. 9 El diámetro de un moned de mide, m. verigu el ángulo que formn sus tngentes trzds desde un distni de,8 m del entro, omo indi l figur., m,8 m sen,,09 ' '',8 0,9 0 ' '' 0 lul los vlores de, y, z, t en l siguiente figur: tg y +,8 t + 9,8 z ( + ) z,7 t y z (ESTÁ RESUELTO EN EL LIRO). En dos omisrís de polií, y, se esu l lrm de un no. on los dtos de l figur, lul l distni del no d un de ls omisrís. d D 7 km Unidd 7. Trigonometrí

16 7 Pág. 6 tg 7 0, 0, tg 0,7, 0,7 0,, 0,7,,,89 km 0,,89,7 km sen 7 d,7, km d sen 7 sen D,7,6 km D sen Págin 70 Desde el fro F se oserv el ro jo un ángulo de on respeto l líne de l ost; y el ro, jo un ángulo de. El ro está km de l ost y el km. lul l distni entre los ros. lulmos F y F: sen F 7, km F sen sen F 8,7 km F sen F km d km Pr lulr d utilizmos el triángulo de l dere: sen 7, 7, sen,7 km F os 7, 7, os 6,8 km 7, km 8,7 km y d y 8,7 y 8,7 6,8,7 km Utilizndo el teorem de Pitágors: d + y,7 +,7,6 km L distni entre y es de,6 km. Unidd 7. Trigonometrí

17 7 Pág. 7 Pr lulr l ltur del edifiio, PQ, emos medido los ángulos que indi l figur. Semos que y un funiulr pr ir de S Q, uy longitud es de 0 m. Hll PQ. lulmos SR y RQ on el triángulo SQR: os 0 SR SR 0 os 0 6, m 0 sen 0 RQ RQ 0 sen 0 m 0 lulmos RP on el triángulo SPR: tg 0 RP RP SR 6, tg 0 8,66 m Luego, PQ RP RQ 8,66 6,66 m. L ltur del edifiio es de 6,66 m. Si QR m, uál es l ltur de l torre, PQ? S lulmos SR y SQ on el triángulo RSQ: os 0 SR SR os 0 m sen 0 SQ SQ sen 0 7, m lulmos SP on el triángulo RPS: tg 0 SP SP tg 0, m SR Entones: PQ SP + SQ, + 7, m L ltur de l torre es de m. Unidd 7. Trigonometrí

18 7 Pág. 8 REFLEXION SORE L TEORÍ 6 Oserv el triángulo retángulo MPN, y en ls siguientes igulddes, sustituye los puntos suspensivos por sen, os o tg. M n p P m N ) M m ) N m p p ) M d) N n e) N n p m f) M ) sen M^ m ) os N^ m p p ) tg M^ d) sen N^ n e) tg N^ n p m f) os M^ 7 Eiste lgún ángulo tl que sen y tg? Si sen os ± ± ( ) Tommos el resultdo positivo os Entones tg / / No eiste un ángulo tl que sen y tg. 8 En un triángulo retángulo uno de los tetos mide el dole que el otro. ) Llm l teto menor y epres en funión de el otro teto y l ipotenus. ) Hll ls rzones trigonométris del ángulo menor. ) uánto miden los ángulos de ese triángulo? ) teto menor β teto myor Hipotenus: +( ) ) sen sen os os tg tg ) tg 6 ' "; β 90 6,6 6, 6 6' 6" m n n p m n n p Unidd 7. Trigonometrí

19 7 Pág. 9 9 El seno de un ángulo es igul l mitd de su oseno. lul sen, os y tg. sen os sen tg 6 ' " os sen os (sen ) + (os ) (sen ) + ( sen ) (sen ) sen ± ± Tommos el resultdo positivo: sen os ; tg 0 En el triángulo retángulo, sen. uánto vlen ls siguientes reliones entre sus ldos?,,, Si sen ^ os ^ os ^ ± ( ) ± ± 8 9 Tommos l prte positiv: os ^ tg ^ ; tg ^ sen ^ / os ^ / sen ^ Usndo ls reliones fundmentles, simplifi: (sen + os ) + (sen os ) (sen + os ) + (sen os ) (sen ) + sen os + (os ) + + (sen ) sen os + (os ) + Unidd 7. Trigonometrí

20 7 Pág. 0 Págin 7 Usndo ls reliones fundmentles, demuestr que: ) (sen ) + sen (os ) ) (sen ) + sen (os ) tg sen os ) + (tg ) (os ) ) (sen ) + sen (os ) sen Smos ftor omún sen : sen [(sen ) +(os ) ] sen (sen ) + (os ) ) (sen ) + sen (os ) tg os Smos ftor omún sen : sen [(sen ) +(os ) ] sen sen tg os os os ) + (tg ) (os ) Usndo l iguldd sen tg : os sen os (os ) +(sen ) (os ) + (tg ) + ( ) (os ) Puede eistir un ángulo uyo seno se igul? Y uno uyo oseno se igul /? Rzon ls respuests. No puede ourrir ningun de ls dos oss. En un triángulo retángulo lo vemos lrmente: Semos que l ipotenus es myor que ulquier de los dos tetos, es deir: > y >, omo sen y os, entones: si > sen < si > os < Y esto ps pr ulquier triángulo retángulo. Unidd 7. Trigonometrí

21 7 Pág. Diuj un triángulo retángulo en el que l tngente de uno de sus ángulos gudos vlg dos. uánto vle l tngente del otro ángulo gudo? β sen (90 ) os os (90 ) sen tg 6 6',8"; β 90 tg β sen β os β sen sen β os os β tg β sen β os os β sen tg L tngente del otro ángulo, β, vle tg β. Indi, en d so, en qué udrnte está el ángulo : ) sen > 0, os < 0 ) sen < 0, os > 0 ) tg > 0, sen < 0 d) tg > 0, sen > 0 ) - o udrnte ) - o udrnte ) er udrnte d) er udrnte PROFUNDIZ 6 Los dos ángulos gudos de un triángulo retángulo se llmn omplementrios porque su sum es un reto. ómo se podrín lulr ls rzones trigonométris de un ángulo si onoemos ls de su omplementrio? Oserv l figur, omplet l tl y epres simólimente lo que otienes: sen / / os / / tg / / sen (90 ) os os (90 ) sen tg (90 ) tg 7 Sore l irunfereni goniométri señlmos un ángulo en el primer udrnte y prtir de él diujmos los ángulos 80 ; 80 + ; 60 us l relión que eiste entre: ) sen (80 ) y sen os (80 ) y os tg (80 ) y tg 80 Unidd 7. Trigonometrí

22 7 Pág. ) sen (80 + ) y sen os (80 + ) y os tg (80 + ) y tg 80 + ) sen (60 ) y sen os (60 ) y os tg (60 ) y tg 60 ) sen (80 ) sen os (80 ) os tg (80 ) tg ) sen (80 + ) sen os (80 + ) os tg (80 + ) tg ) sen (60 ) sen os (60 ) os tg (60 ) tg 8 on yud de l luldor, ll dos ángulos omprendidos entre 0 y 60 tles que: ) Su seno se 0,7. ) Su oseno se 0,. ) Su tngente se,. d) Su seno se 0,. e) Su oseno se /. f) Su tngente se. ) sen 0,7 ' 7" β 80 ' " ) os 0, 7 8' 9" β 7 8' 9" 0 ' " ) tg, 6 8' " β ' " d)sen 0, 7 7' 7" ' " β ' 7" e) os 8' 7" β 60 8 ' " f)tg 6 6' 6" 96 ' " β ' " Unidd 7. Trigonometrí

23 7 Pág. 9 Reuerd ls rzones de 0, y 60 y omplet l tl sin usr l luldor: sen / / / / / / / / os / / / / / / / / tg / / / 60 (ESTÁ RESUELTO EN EL LIRO). 6 Resuelve ls siguientes euiones siendo que ) (sen ) sen 0 ) (os ) os 0 ) tg + 0 d) (sen ) 0 e) (os ) os 0 ) (sen ) sen 0 sen (sen ) 0 0 sen 0 80 sen 90 ) (os ) os 0 os ( os ) 0 ) tg + 0 tg os 0 os / d) (sen ) 0 (sen ) e) (os ) os 0 os ± + 8 ± sen sen os 0 os Unidd 7. Trigonometrí

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