EJERCICIOS ÁREAS DE REGIONES PLANAS

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1 EJERCICIOS ÁREAS DE REGIONES PLANAS 1. En un triángulo equilátero se inscribe una circunferencia de radio R y otra de radio r tangente a dos de los lados y a la primera circunferencia, hallar el área que se encuentra adentro del triangulo y afuera de las circunferencias, en función de R. 2. Para cada caso calcular el área sombreada.

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3 3. Hallar el área sombreada en función de l. 4. Hallar el área sombreada en función de l. 5. ABCD es un paralelogramo, E y F son los puntos medios de los lados AB y BC respectivamente. AB = 18 cm. y la altura CH = 12. Halle el área de DEBF. 6. En un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5cm. Se inscribe una circunferencia. Halle el área del círculo. 7. Sobre cada lado de un hexágono regular se construyen exteriormente cuadrados y se unen en forma consecutiva los doce vértices resultantes. Halle el área del dodecágono resultante, y el área de los triángulos resultantes, en función del radio R del hexágono. 8. Hallar el área sombreada en función de l. 9. Hallar el área sombreada en función de l.

4 10. ABCD es un cuadrilátero. Si DE es perpendicular a AC y BF a AC. Encuentre el área de ABCD en función de DE, BF y AC. 11. Los radios de dos circunferencias concéntricas están en relación 1:2. Si la cuerda AB es tangente a la circunferencia interior, determine el área de la región circular limitada por la secante y la circunferencia exterior. 12. Hallar el área del ovoide de la figura en función de a. Si el radio de la circunferencia con centro en O es a. Los arcos BM y AN tienen centro en A y B respectivamente; y el arco MN tiene centro en D. 13. Hallar el área sombreada en función de R. 14. Hallar el área sombreada en función de D. 15. En un trapecio ABCD, AB paralela a CD, los ángulos adyacentes a una de las bases de longitud 27 cm. son 45º y 120º y el lado adyacente al ángulo de 45º mide 12 cm. Encuentre el área del trapecio. 16. Se inscribe una circunferencia y se circunscribe otra a un triángulo equilátero de lado a. Halle el área de la región circular exterior a la circunferencia inscrita e interior a la circunscrita.

5 17. En la figura el ángulo XOY es recto el arco AO tiene radio a y el arco MN radio a, con centro en M y O. Halle el área de la región circular MPA. 18. Hallar el área sombreada en función de l. 19.Hallar el área sombreada en función de R. 20. Encuentre el área de un triángulo si: a. Dos de sus lados miden 18 y 15cm. y la altura relativa al tercer lado mide 12cm. b. Sus lados miden 5, 12 y 15cm. 21. Los vértices de un triángulo equilátero de lado a son centros de arcos de circunferencias de radio a/2, hallar el área de la región circular común a los tres arcos.

6 22. En la figura AB y CD son diámetros, C(O,R) y C(A,X). Encuentre el área sombreada en función de R. 23. Hallar el área sombreada en función de l. 24. Hallar el área sombreada en función de R. 25. Halle el área de un paralelogramo ABCD, si los lados del rectángulo que se forma al unir los puntos medios de sus lados están en relación de 2:3 y su perímetro es 100cm. 26. ABC es un triángulo rectángulo en A, e isósceles, con centro en A y radio igual a la altura AH, se traza el arco de circunferencia DE. Halle el área de la región circular exterior al arco e interior al triángulo.

7 27. ABC equilátero de lado a, O 1, O 2, O 3 centros de los arcos O 1 A=O 1 C=O 2 B=O 2 C=O 3 A=O 3 B. Halle el área sombreada en función de a. 28. Hallar el área sombreada en función de l. 29. Hallar el área sombreada en función de R. 30. En un rombo encuentre: a. Una diagonal si la otra mide 14cm y el área es de 42cm 2 b. El lado, si el área es 54m 2 y las diagonales son entre sí como 4:3 31. Dos circunferencias concéntricas tienen radio r y 2r. Halle el radio del circulo de área igual a la corona circular. 32. Encontrar el área de un trapecio en función de a y b donde la base menor es a y la base mayor b y los ángulos adyacentes a la base mayor son de 30º y 45º.

8 33. Hallar el área sombreada en función de l. 34. Demostrar que T = N + M, si AB es Perpendicular a BC 35. M, N y P son respectivamente los puntos medios de los lados AB, BC y CD del cuadrilátero ABCD. Si MN = 39cm, NP = 41cm y PM = 50cm. Halle el área de ABCD. 36. ABCD es un cuadrilátero cuyas diagonales forman entre sí en ángulo de 60º. Demuestre que el área del cuadrilátero ABCD = AC. BD 37. En la gráfica OA = OB = OD = AD = r, CD y BC tangentes. Halle el área CDB en función de r.

9 38. Hallar el área sombreada en función de R. 39. Hallar el área sombreada en función de D. 40. ABCD es un trapecio isósceles con AB paralelo a CD, AD = DC = CB = a y el ángulo A mide 60º. Encuentre el área del trapecio ABCD. 41. Dos circunferencias congruentes de radio R son secantes y una pasa por el centro de la otra. Halle el área de la región circular común. 42. En la figura el ángulo A es recto, con centro en A ce traza el arco CB de radio a, M y N son los centros de los arcos AC y AB. Halle el área de la región PCB.

10 43. Demuestre que P 1 = P Hallar el área sombreada en función de l. 45. M y N son los puntos medios de los lados AD y CB del trapecio ABCD y P es un punto sobre la base AB tal que PN es paralelo a AD. Demuestre la siguiente relación entre las areas APD = PBCD = ABCD 46. En un triángulo ABC, CE y BD son alturas, los ángulos A y B miden 60º y 45º respectivamente, AE = a. Halle el área del triángulo en función de a. 47. AB es el lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio R y AB es el diámetro de la circunferencia con centro en O. Halle el área de la región sombreada en función de R.

11 48. Hallar el área sombreada en función de l. 49. Hallar el área sombreada en función de l. 50. En un trapecio isósceles ABCD, AD = CB = 3, AC = 4, AC perpendicular a BC y BD a AD. Halle el área ABCD. 51. Los radios de dos circunferencias tangentes están en relación de 3:1; se traza una tangente a ambas circunferencias en puntos diferentes (no la tangente común). Halle el área entre la tangente y el exterior de las circunferencias. 52. En la gráfica AC perpendicular a BD y se cortan en su punto medio; en cada segmento como diámetro se trazan las circunferencias iguales para formar la roseta. Halle el área sombreada en función del radio R de las circunferencias.

12 53. Hallar el área sombreada en función de l 54. AB = a, AC perpendicular a BC. Demuestre que el el área sombreado sobre la hipotenusa es igual a l la suma de las áreas sobre los catetos. 55. Las áreas de dos triángulos semejantes están en relación de 25 a 16, encuentre: a. El lado del mayor si su correspondiente del menor es 50cm. b. Una mediana del mayor si su correspondiente del menor es 10cm. c. El perímetro del menor si el del mayor es 125cm. 56. Hallar el área de un trapecio ABCD si: AB paralelo a CD, AB=80, CD=29, AD=20 y CB= En un paralelogramo ABCD se traza la diagonal BD; por un punto cualquiera O de la diagonal BD se trazan los segmentos EOF Y GOH paralelos a los lados del paralelogramo y con A-G-B, B-F-C, C-H-D y D-E-A, probar que las áreas de los paralelogramos AGOE y FOHC son iguales. 58. Hallar el área sombreada en función de l. 59. Hallar el área sombreada en función de R.

13 60. Por los vértices de un cuadrilátero se trazan paralelas a sus diagonales. Demuestre que la figuara resultante es un paralelogramo de área igual al doble del cuadrilátero inicial. 61. En un triángulo ABC, O es el baricentro, AD y BE son las medianas. Demueste que el área EODC es igual al área del triángulo AOB. 62. ABC es un triángulo equilátero de lado a, con centro en cada vértice se trazan arcos de radio igual al lado. Halle el área de la región ABC.

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