1. Cómo sabemos que un cuerpo se está moviendo?

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1 EL MOVIMIENTO. CONCEPTOS INICIALES I.E.S. La Magdalena. Avilé. Aturia A la hora de etudiar el movimiento de un cuerpo el primer problema con que no encontramo etá en determinar, preciamente, i e etá moviendo o no. Aunque la cuetión e, aparentemente, de fácil repueta realmente no e aí:. Cómo abemo que un cuerpo e etá moviendo? Para determinar el movimiento de un objeto hemo de tomar un itema de referencia (que podemo coniderar fijo) y obervar la poición del cuerpo repecto de dicho itema de referencia. Si u poición cambia con el tiempo, decimo que ee objeto e mueve repecto del itema de referencia tomado. En la imagen de la derecha, un obervador concluye que el avión e mueve repecto del itema de referencia (que upone fijo) formado por la caa ituada a la izquierda. Pero la coa no on tan encilla como pueden parecerlo en un principio. La pareja que obervamo en la imagen de la izquierda, etá ituada en el interior de un vagón de tren (laboratorio) y concluye que etán en repoo, ya que i toman como referencia el interior de u vagón, u poición no cambia con el tiempo. Sin embargo, un obervador ituado fuera podría obervar como lo ocupante del vagón e mueven repecto de otro itema de referencia ituado en el exterior (árbole ituado al fondo) De lo dicutido hata aquí podemo concluir que el movimiento e imple relativo. Un cuerpo e mueve o permanece en repoo repecto del itema de referencia tomado. En el univero e impoible eleccionar un itema de referencia que eté abolutamente en repoo (la Tierra e mueve alrededor del Sol, éte alrededor del centro de la Vía Láctea, nuetra galaxia también e mueve alrededor del llamado cúmulo de Virgo... etc.), luego el repoo aboluto no exite.

2 . Cómo e mueve un cuerpo? El movimiento del cuerpo también depende del itema de referencia dede el cual e oberve. Si obervamo la caída de un cuerpo dede el interior del laboratorio motrado en la figura de la derecha obervaremo que la trayectoria e en línea recta hacia abajo y con velocidad creciente. Si realizamo la mima obervación dede un itema de referencia ituado en el exterior, repecto del cual el laboratorio e mueva, el reultado de la obervación erá el que e muetra en la figura de abajo (donde e han pueto una a continuación de otra lo que podrían er fotografía del laboratorio tomada a intervalo regulare de tiempo), ya que ahora a la vez que el objeto cae, e deplaza hacia la derecha. Su trayectoria erá ahora una parábola (línea de punto). Amba decripcione on correcta. 3. Cómo medir la rapidez con la que un cuerpo e mueve? Para medir lo rápido que un cuerpo e mueve dividimo la ditancia recorrida entre el tiempo empleado en recorrerla. A la rapidez e le denomina, en la vida diaria, velocidad: t = t = t = e = m e = m La velocidad no mide la rapidez con que e recorre el epacio. v = e t Epacio recorrido medido obre la trayectoria. Tiempo empleado en recorrer el epacio coniderado. La velocidad aí definida etá incompleta ya que para definirla correctamente hemo de decir, ademá de u valor, en que dirección y entido e mueve el cuerpo. La velocidad e una magnitud vectorial. La unidad de velocidad en el S.I. e el m/, aunque en la vida diaria e utiliza mucho el km/h. Para paar de una unidad a otra podemo utilizar factore de converión. Paar km/h a m/: Paar 5 m/ a km/h: Valor de la velocidad o rapidez. También e llama módulo. La dirección e marca con una línea. km m h m = 7, 78 h km 3 6 m km 5 m v= 5 m/ 3 6 km = 8 h h Una dirección (línea) puede tener do entido de recorrido que e indican con una punta de flecha.

3 MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME I.E.S. Juan A. Suanze. Avilé. Aturia > La trayectoria e una línea recta. > Su velocidad e contante Ecuacione: v = cte = + v t ( da la ditancia al origen) = Origen de ditancia Origen de tiempo v Oberva que el epacio recorrido por el móvil e iempre el mimo para un periodo de tiempo dado (en la imagen ) t = t = t = t = 3 Se denomina epacio inicial,, a la ditancia al origen cuando e empieza a contar el tiempo La gráfica /t e una línea recta. La inclinación (pendiente) no da la velocidad. El punto de corte con el eje vertical da (m) El punto de corte con el eje S, no da la poición inicial del móvil o = m. Velocidad poitiva (m) 3 Velocidad negativa. o = 3 m Recta que paa por el origen ( =). Intante en que paa por el origen t() t() v ( m/) La gráfica v/t e una recta paralela al eje t t() Movimiento con velocidad negativa

4 Para ecribir la ecuación correpondiente a un movimiento rectilíneo y uniforme: Determina el valor de. Determina el valor de la velocidad Adapta la ecuacione generale del movimiento al cao particular que etudia poniendo lo valore de y v. Ejemplo. Un cuerpo que e mueve con velocidad contante de 3 m/, e encuentra ituado a 5 m a la derecha del origen cuando comienza a contare el tiempo. Ecribe la ecuacione que decriben u movimiento: Ecuacione generale para el movimiento. rectilíneo y uniforme: v = cte. = + v t Valore de y v para ete cao: = 5 m ; v = 3 m/ Ecuacione particulare para ete movimiento: v = 3 = t Ejemplo. Un cuerpo e mueve hacia el origen con velocidad contante de,3 m/. Si inicialmente e encuentra a una ditancia de m de éte cuánto tiempo tardará en paar por él? Equema del movimiento: Origen m Ecuacione generale para el mov. rectilíneo y uniforme: v = cte. = + v t Valore de y v para ete cao: = m ; v = -,3 m/ Ecuacione particulare para ete movimiento: v = -, 3 =,3 t Cuando paa por el origen =, luego: =,3 t ; t = =,3 43,5

5 Ejemplo 3. Se ha etudiado el movimiento de un cuerpo obteniéndoe como reultado la gráfica que e muetra. a. Cuále on la ecuacione que decriben u movimiento? b. A qué ditancia del origen e encuentra cuando paen 5,4? (m) t () Ecuacione generale para el mov. rectilíneo y uniforme: v = cte. = + v t Valore de y v para ete cao: = m (leído en la gráfica: punto de corte con el eje vertical) Para aber el valor de la velocidad e calcula la pendiente de la recta. Para ello e toma do punto de lectura fácil (ver gráfica) y e calcula la pendiente de la iguiente manera: ( ) m m 6,67 (,5 v = = (m) t () Ecuacione particulare para ete movimiento: v = 6,7 = + 6,7 t Valor de cuando t = 5,4 : ( t =5,4) = + 6,7. 5,4 = 46, m 3

6 MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME- MENTE ACELERADO I.E.S La Magdalena. Avilé. Aturia > La trayectoria e una recta > La aceleración e contante La aceleración mide la rapidez con la que varía la velocidad. Se mide en m/. Aí una aceleración de 5 m/ indica que la velocidad aumenta a razón de 5 m/ cada egundo. Ecuacione: v = v + a t = + v t + ½ a t Donde: v = velocidad cuando t = = ditancia al origen cuando t = = ditancia al origen (puede que no coincida con el epacio recorrido) t =, ignifica cuando empieza a contare el tiempo o cuando e aprieta el cronómetro Oberva que en el mimo intervalo de tiempo ( ) cada vez recorre má epacio, ya que la velocidad va aumentando m 4 m 9 m 6 m 5 m 36 m m/ 4 m/ 6 m/ 8 m/ m/ m/ La velocidad aumenta iempre lo mimo en. La aceleración e contante. La velocidad aumenta linealmente con el tiempo. v v La gráfica v - t e una recta. La inclinación de la recta depende de la aceleración. Para calcular v determinar el punto de corte de la recta con el eje v v= v v v t= t t a = v t Para calcular la aceleración del movimiento, calcular la pendiente de la recta a a t t t a > a La gráfica /t e una parábola. La aceleración e poitiva i la parábola e abre hacia arriba y negativa i lo hace hacia abajo. Cuanto má cerrada ea la parábola, mayor aceleración El deplazamiento inicial e determina viendo el punto de corte con el eje = t

7 Para ecribir la ecuacione de un movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado: Fija el origen a partir del cual e va a medir la ditancia. Fija el entido al que e le aigna igno poitivo Determina el valor de la contante del movimiento: a,, v Adapta la ecuacione generale al cao particular utituyendo lo valore de a,, v para el cao coniderado. Ten en cuenta que aunque no uemo lo elemento matemático la magnitude que etá uando: ditancia al origen, velocidad, aceleración, on lo que e llaman vectore (muy a menudo lo vectore e repreentan por flecha). Lo vectore ademá de un valor (el número) tienen una dirección y un entido. Pue bien, el igno no indica el entido del vector (hacia adonde apunta la flecha) Ejemplo. Ecribe la ecuacione que decriben el movimiento del punto de la figura v= m/ t = m a = 5 m/ Ecuacione generale para el movimiento: v = v + a t = + v t + ½ a t Se toma como origen de ditancia la línea vertical. Sentido poitivo hacia la derecha. Determinación de : A qué ditancia del origen etá el punto cuando t =? = m Determinación de v : Cuál e la velocidad del punto cuando t =? v = m/ Determinación de la aceleración: a = - 5 m/ (igno meno, ya que apunta hacia la izquierda). Ecuacione particulare para ete movimiento: v = - 5 t = + t -,5 t Una vez ecrita la ecuacione e pueden reolver prácticamente toda la cuetione que e quieran plantear. Solamente hay que traducir de nuetro lenguaje al lenguaje de la ecuación que olamente abe de valore de, v ó t. Ejemplo: Cuánto tarda en frenar el punto del ejemplo anterior?. Traducción al lenguaje ecuación: Qué valor toma t cuando v =? Si v = ; = 5 t ; t = = 4 5 Cuál e u velocidad al cabo de 5,3? Traducción al lenguaje ecuación: Qué valor toma v cuando t = 5,3? Si t = 5,3 ; v = 5. 5,3 = - 6,5 m / (el igno meno indica que e deplaza hacia la izquierda. Depué de frenar ha dado la vuelta)

8 Ejemplo Ejemplo 3 Un cuerpo parte del repoo y comienza a movere. Lo dato tomado e recogen en la tabla adjunta. Indicar qué tipo de movimiento tiene y determinar la ecuacione para el mimo. Como e oberva en la tabla adjunta el epacio recorrido no varía linealmente con el tiempo. Eto e: en el intervalo de un egundo recorre cada vez má epacio. Eto indica que u velocidad va aumentando. Si e trata de un movimiento uniformemente acelerado el aumento de velocidad, o lo que e lo mimo, u aceleración, erá contante. t( ) ( m) Si el movimiento e uniformemente acelerado deberá cumplir la ecuación: = + v t + ½ a t. Como en ete cao v =, la ecuación quedará: = + ½ a t. Depejando a : a t ( ) = ; a = t Uando la ecuación anterior vamo probando con dato correpondiente de t y comprobamo i el valor de a e contante: ( ) 3 m m a = = 6 ; ( ) ( ) m m 37 m m a = = 6 ; a = = 6 3 m Por tanto etamo ante un movimiento uniformemente acelerado con a = 6 Para obtener la ecuacione determinamo el valor de v y : v =, ya que no lo dicen en el enunciado = m, ya que e el valor de cuando t = (ver tabla). Ecuacione: Una piedra e lanzada verticalmente y hacia arriba con una velocidad de 5 m/. Determinar: a) Ecuacione del movimiento. b) Altura máxima alcanzada. c) Valor de la velocidad cuando t =,8 y t =,3. Comentar Equema: m g = m v = 5 v = 6 t = + 3 t Origen : el uelo (punto de lanzamiento) Sentido poitivo : hacia arriba Determinación de v : Cuál e la velocidad cuando t =? El tiempo empieza a contar cuando la piedra ale de la mano. Luego v = 5 m/ Determinación de : A qué ditancia del origen etá la piedra cuando t =? Cuando e lanza la piedra etá en el punto de lanzamiento (origen). Luego = Determinación del valor de a : a = g = - m /.. El igno meno e debe a que la aceleración apunta hacia abajo y hemo coniderado entido poitivo hacia arriba. a ) Ecuacione: b) Cuál e la altura máxima alcanzada? v = 5 t = 5 t 5 t Traducción al lenguaje ecuación: Para que valor de t, v =? (ya que en el punto de altura máxima la piedra e detiene durante un intante) 3

9 Si v = ; = 5 t ; 5 t = =,5. Tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima Ejemplo 4. Para calcular la altura máxima alcanzada calculamo la ditancia a la que e encuentra del origen cuando t =,5 : = h max = 5.,5 5.,5 =,5 m. c) Valore de la velocidad: v (t =,8) = 5.,8 = 7 m/ v (t =,3) = 5.,3 = - 8 m/ Como e puede obervar al cabo de,8 del lanzamiento la piedra aún etá en la fae acendente, ya que el igno de la velocidad e poitivo (entido poitivo: hacia arriba). Como e ve u velocidad va diminuyendo, debido a que durante el tramo de aceno la aceleración lleva entido contrario a la velocidad (movimiento decelerado) Al cabo de,3 la piedra e mueve hacia abajo. El igno e negativo: entido hacia abajo. Efectivamente, a lo,5 alcanza la altura máxima y como la aceleración continúa actuando, comienza u carrera de deceno, pero eta vez al tener el mimo entido aceleración y velocidad, éta aumenta. La gráfica de la izquierda e ha obtenido tra etudiar el movimiento de un cuerpo. a) Qué tipo de movimiento tiene? b) Cuále on u ecuacione? c) Qué ucede para t = 5? v (m/) 4 5 t () a) La gráfica v t e una recta con pendiente negativa. Eto no indica que la velocidad diminuye con el tiempo pero de forma lineal (la mima cantidad en ). Luego el movimiento e uniformemente acelerado (con aceleración negativa. También e llama decelerado). Para calcular la aceleración (deceleración) calculamo la pendiente de la recta v t: m ( 4 v ) v m Pendiente = a = = = 8. t t 5 ( ) Oberva lo valore tomado: t = v = 4 ; t = 5 v = b) Como no no dan dato, podemo tomar para cualquier valor. Tomaremo = v = 4 m/ (leído en la gráfica) a = - 8 m/ (calculado) Ecuacione: v = 4 8 t = 4 t 4 t c) En la gráfica e puede leer que cuando t = 5, v =. Luego al cabo de 5 e detiene (e un movimiento decelerado). Si t e mayor de 5, oberva que la línea en la gráfica v t rebaa el eje horizontal empezando la velocidad (valore del eje Y) a tomar valore negativo cómo interpreta éto? 4

10 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME I.E.S La Magdalena. Avilé. Aturia > La trayectoria e una circunferencia. > La velocidad e contante R ϕ Si e conidera un punto girando en una circunferencia e fácil concluir que e mucho má encillo medir el ángulo girado en un intervalo de tiempo que el arco recorrido (epacio). Por eto e define la velocidad angular ω como la rapidez con que e decribe el ángulo (ϕ): ϕ ω = t ϕ ϕ ϕ t t t ω = = Entre la velocidad lineal y la angular exite la iguiente relación: v = ω. R El ángulo (ϕ), debe medire en radiane: longitud arco (m) ϕ (rad) = = radio circunferencia (m) R Según eta definición: vuelta = 36 = π radiane ½ vuelta = 8 = π radiane ¼ de vuelta = 9 = π / radiane Para convertir vuelta o grado a radiane: 3 π rad 8,9 vuelta π = 6 rad π rad vuelta =,8 π rad En el Sitema Internacional (S.I.) la velocidad angular e mide en rad o en = (el radian no tiene dimenione) Otra unidade ( no S.I.) on: vuelta revolucione ; = r.p.m min El movimiento circular uniforme e un movimiento periódico, ya que e repite a intervalo regulare de tiempo. Se denomina periodo ( T ) al tiempo que el punto tarda en dar una vuelta (el movimiento vuelve a repetire). Se denomina frecuencia ( f ) al número de vuelta que el punto da en un egundo. Periodo y frecuencia on magnitude inveramente proporcionale: T = ; f f = ; T. f = T El periodo e mide en egundo () La frecuencia e mide en o Hz (hertzio) De la definición de velocidad angular e deduce la relación entre la velocidad angular ω y el ángulo girado ϕ: ϕ = ω. t Si cuando empieza a contare el tiempo (t = ) el punto ya ha decrito un ángulo ϕ, entonce el ángulo girado en un tiempo t erá: ϕ = ϕ + ω. t. Teniendo en cuenta la definicione de periodo, frecuencia y velocidad angular, e puede poner: π ω = = π = π f T T

11 Ejemplo Un punto decribe una trayectoria circular tardando 3,5 en dar cinco vuelta. Calcular: a) La velocidad angular en r.p.m y en rad/ b) El periodo y la frecuencia del movimiento c) El ángulo girado al cabo de,65 de iniciado el movimiento. a) 5 vuelta 6 vuelta ω = = 85,3 = 85,3 r.p.m. 3,5 min min 5 vuelta rad ω = 3,5 vuelta π rad =,84 π =,84 π b) 3,5 T = =,74 5 T,74 f = = =,4 =,4 Hz c) ϕ = ω. t =,84 π.,65 =,85 π rad 5,8 rad Ejemplo En el laboratorio e etudia el movimiento de un dico, de radio cm, que gira con velocidad contante, midiéndoe el tiempo que tarda en dar cinco vuelta. Lo valore obtenido e dan en la tabla adjunta. t (). Cinco Medida vuelta 4,5 4,35 3 4, 4 4,4 5 4,96 a) Calcular la velocidad angular del dico. π π rad ω = = =,35π 7,38 = 7,38 T,85 b) Determinar la velocidad lineal de un punto de u periferia y de otro ituado a 3 cm del centro. c) Cuánto tardará en girar? a) Calculamo el periodo del movimiento (tiempo que tarda en dar una vuelta), hallando la media de lo valore obtenido y dividiendo por cinco: t med = 4,58 ; T =,85. Cálculo de la velocidad angular : b) Un punto ituado en la periferia del dico decribirá una circunferencia de radio cm =, m v = ω. R =,35 π -., m =,35 π -,74 m. - =,74 m/ Par el punto ituado a 3 cm del centro : R = 3 cm =,3 m: v = ω. R =,35 π -.,3m =,75 π -, m. - =, m/ Como e deduce del cálculo ambo punto giran con idéntica velocidad angular (ω), ya que recorren el mimo ángulo, pero la velocidad lineal aumenta a medida que no deplazamo hacia la periferia. π rad c) Paamo lo grado a radiane: 8 ϕ ϕ,67π ω = ; t = = =,83 t ω,35π =,67π rad

12 Ejemplo 3 Un punto recorre una trayectoria circular de radio 36 cm con una frecuencia de,5 -. a) Calcular el periodo del movimiento. b) Calcular la velocidad angular y la lineal. c) Determinar el ángulo girado en,54. a) T = 4 f =,5 = b) ω = π f = π,5 - =,5 π -,57 - v = ω R =,5 π -,36 m =,8 π m - =,8 π m/,57 m/ c) ϕ = ω t =,5 π -,54 =,77 π rad Ejemplo 4,77 π rad 8 π rad = 38,6 Un punto gira decribiendo círculo con velocidad contante de forma tal que decribe un ángulo de 8 en,543. ϕ = a) Calcular u velocidad angular t = b) Determinar el periodo y la frecuencia del movimiento c) Suponiendo que lo ángulo empiezan a contare a partir del punto má alto de la trayectoria y el cronómetro e pone en marcha cuando el punto etá formando un ángulo de 3 con la vertical (ver equema) en qué poición e encuentra el punto cuando trancurran,5? 3 a) ω = π rad rad =,65 π =,65 π,543 b) Tarda,543 en dar media vuelta (8 ), luego tardará : x,543 = 3,86 en dar una vuelta completa. Por tanto: T = 3,86. f = = =,3 T 3,86 c) 3 π rad 8 π = 6 rad π ϕ = ϕ + ωt = +,65 π π,5 = +,65 π = π ( +,65 ) =,79 π rad 6 6 6,79 π rad 8 π rad = 3, 3

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