Clase 5. Anexo. Geometría: cuerpos

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1 Clase 5. Anexo. Geometría: cuerpos Descripción, representación y construcción de cuerpo Introducción La geometría tiene un origen práctico. Se desarrolló a partir de mediciones astronómicas, representaciones y distribuciones de terrenos, cálculos para realizar construcciones. Después de esta primera etapa experimental, los seres humanos tuvieron necesidad de predecir algunos resultados al enfrentar distintas situaciones, sin hacerlas de manera efectiva sino imaginándolas. Fueron los matemáticos griegos quienes dieron otra mirada sobre estos conocimientos, reconociendo ciertos elementos más allá de los objetos físicos que ellos pueden evocar. Así, por ejemplo, un camino recto o un palo se pueden asociar a una recta, la punta de un lápiz o el cruce de dos líneas se pueden asociar con un punto, un cajón y una habitación con un prisma. La recta, el punto y el prisma son ideas que pueden representarse con distintos dibujos u objetos. También establecieron que si se consideran ciertas afirmaciones que llamaron axiomas como conocimiento seguro sobre esos elementos, se pueden deducir de ellos otras afirmaciones que llamaron propiedades. Es decir, tomaron la decisión de probar otras propiedades a partir de lo que ya sabían, realizando deducciones. Muchos autores consideran que esta nueva mirada fue un paso fundamental no sólo para la geometría sino para toda la matemática. Cuerpos geométricos Si se necesita comunicar la forma y dimensiones de un terreno, de una silla o de una obra de arte es conveniente, y a veces imprescindible, hacer una descripción oral o dibujada en la que intervienen nociones geométricas. En el caso de los dibujos de la imagen, las formas tienen características comunes, pueden ser asociadas a una misma idea geométrica, por ejemplo, la de prisma rectangular.

2 Un cuerpo geométrico es una forma en el espacio matemático de tres dimensiones limitado por superficies. Descripción de cuerpos geométricos Para identificar un cuerpo es necesario distinguir aquellos aspectos que lo caracterizan y lo diferencian de otros. Una de las características que se pueden tener en cuenta es si tienen o no agujeros, y otra es la forma de las caras o superficies que lo limitan. También las relaciones que se establecen entre ellas: si son planas o no, si son cuadriláteros u otro polígono, si las caras son congruentes entre sí, si entre ellas son paralelas. Los cuerpos son ideas igual que los números, conceptos abstractos. Los dibujos sirven para analizar y estudiar algunas regularidades, para encontrar argumentos, pero no sirven para demostrar propiedades. Cuando se estudian las propiedades de un tipo de cuerpos, las relaciones entre sus distintos elementos, aunque se razone sobre una representación particular, se pueden

3 obtener conclusiones que valen para todos los cuerpos de ese tipo, cualesquiera que sean sus dimensiones. Poliedro y cilindro con agujero Poliedros Los cuerpos que poseen todas sus caras planas se denominan poliedros. Esta palabra deriva del griego polys que significa muchos, y edra caras. Además, los poliedros poseen aristas, que son los segmentos comunes a dos caras, y vértices, que son los puntos donde concurren más de dos caras. Poliedros regulares Los poliedros cuyas caras son polígonos regulares congruentes se llaman poliedros regulares. En estos cuerpos, cada vértice está rodeado por un mismo número de caras. Euclides demostró que sólo existen cinco cuerpos con estas características.

4 Prismas rectangulares Los poliedros que tienen caras laterales rectangulares se denominan prismas. Tienen dos bases y la distancia entre ellas es la altura del prisma. También existen prismas cuyas caras no son rectangulares, sino que se trata de paralelogramos; en estos casos se denominan prismas oblicuos. Pirámides Los poliedros que tienen caras laterales triangulares se denominan pirámides. Tienen una base y la distancia entre ella y la cúspide es la altura de la pirámide.

5 Cuerpos redondos Entre los cuerpos sin agujeros y que no tienen todas sus caras planas, denominados cuerpos redondos, algunos reciben nombres particulares. Cilindro: tiene dos caras planas paralelas y circulares, llamadas bases. Cono: tiene una base plana y circular. Esfera: no tiene bases ni vértices. Representación plana de cuerpos El espacio en donde se desarrollan las actividades humanas es un espacio de tres dimensiones, que se puede relacionar con tres direcciones: arriba-abajo, adelante-atrás y derecha-izquierda.

6 Muchas de las representaciones que se hacen del espacio y de los objetos son planas. En revistas, hojas de carpeta, el pizarrón y hasta la pantalla del televisor se muestra una realidad en dos dimensiones. Tanto las fotos como un mapa de una ciudad están sobre superficies. Aunque correspondan al mismo espacio físico, muestran distintos aspectos, son distintas representaciones, y su elección depende de la información que se quiera transmitir. Por ejemplo, estas son distintas representaciones de un cubo, teniendo en cuenta distintas vistas: Otra posibilidad de representación plana es el desarrollo del cuerpo. En el caso del cubo: Construcción de cuerpos Si se desarma un envase de cartón de algún medicamento, de alimentos, etc. y no se toman en cuenta las aletas que sirven para pegar sus caras, se obtiene un molde o patrón como los siguientes:

7 Esta manera de representar un cuerpo en el plano recibe el nombre de desarrollo. Para realizarlo se distribuyen las caras de un cuerpo en una sola pieza. Al plegarlo por las líneas interiores es posible volver a armar el cuerpo. El presente anexo es una adaptación del material teórico que acompaña el libro de texto Matemática 7 (2004) de Chemello y otros, Editorial Longseller, Buenos Aires.