Interpretación gráfica
|
|
- Carla San Segundo Ríos
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Interpretación gráfica En la introducción de la sección Sistemas de Ecuaciones Lineales se presentó la interpretación gráfica (o geométrica) de la solución de un S.E.L.. Este tema está relacionado con la Interpretación Gráfica de las Funciones Lineales, donde se estudia el concepto de función. Una ecuación lineal con dos variables puede escribirse en forma de una función. Por ejemplo, consideremos: a x + b y = k Podemos fácilmente despejar la variable y y reescribir la ecuación en forma de una función: y = k a x b Esta función nos ayuda a calcular un valor de y una vez que nosotros conozcamos un valor de x. Entonces, para graficar la ecuación a x + b y = k podemos expresarla como una función: y = k a x b y a partir de ésta, encontrar las coordenadas de dos de sus puntos, y trazar la recta que pasa por éstos. Grafica cada una de las ecuaciones del siguiente S.E.L.: x + y = 11 Ejemplo 1 Para graficar las ecuaciones, primero debemos despejar y: y = x y = 11 x Ahora necesitamos encontrar dos puntos para cada una de las rectas. Primero encontramos dos puntos (A y B) para la primera recta y después otros dos (C y D) para la segunda. Para esto, vamos a sustituir valores para x y calculamos el valor de y que le corresponde. Después de tener los puntos por donde pasa cada recta, las graficamos: Punto x y A 0 B 7 5 C 1 5 D y (1, 5) (, 0) (5, 3) (7, 5) (7, ) x 1/6
2 Nosotros ya resolvimos este S.E.L. utilizando el método de igualación. Así que podemos ver que la solución es correcta, de acuerdo a aquel procedimiento. Este S.E.L. tiene solución única, porque al graficar las ecuaciones, obtenemos dos rectas que no son paralelas. Cuando debamos resolver un S.E.L. de dos ecuaciones y dos variables, y al graficar las ecuaciones en un plano cartesiano, si esas dos rectas no son paralelas, tendremos dos rectas que se cortan en algún punto del plano. Ese punto, representa la solución del S.E.L. Esto es así porque el punto pertenece simultáneamente a ambas rectas, y por tanto, satisface ambas ecuaciones. Esa es precisamente la definición de la solución del S.E.L. Otro será el caso cuando tengamos dos rectas paralelas y distintas. Ejemplo Resuelve el siguiente S.E.L.: x y = 0 Para resolverlo, vamos a encontrar el determinante principal del S.E.L.: p = 1 1 = (1)( ) ( 1)() = ( ) ( ) = 0 Hasta ahora sabemos que el S.E.L. no tiene solución única, dado que p = 0. Para saber si se trata de un S.E.L. con un número infinito de soluciones o no tiene solución, vamos a graficar las ecuaciones que forman el S.E.L.: Igual que en el ejemplo anterior, empezamos encontrando dos puntos para cada ecuación. Después graficamos las rectas: y (7, 7) Punto x y A 0 B 7 5 C 1 1 D (7, 5) (1, 1) (, 0) x De la gráfica se hace evidente que este S.E.L. no tiene solución, porque se trata de dos rectas paralelas. /6
3 Para saber si tiene un número infinito de soluciones o no tiene solución, utilizando el método de los determinantes, necesitamos encontrar los determinantes auxiliares y ver cómo se comportan en este caso: x = 1 0 = ()( ) ( 1)(0) = ( 4) (0) = 4 y = 1 0 = (1)(0) ()() = (0) (4) = 4 Observa que ni x, ni y son iguales a cero 1. Esto nos indica que las rectas son paralelas, y por tanto, que el S.E.L. no tiene solución. Ahora vamos a resolver un S.E.L. con un número infinito de soluciones para verificar que al menos uno de los determinantes auxiliares se hace cero. Resuelve el siguiente S.E.L.: x y = 4 Ejemplo 3 De nuevo, calculamos el determinante principal del S.E.L.: p = 1 1 = (1)( ) ( 1)() = ( ) ( ) = 0 Hasta ahora sabemos que el S.E.L. no tiene solución única, dado que p = 0. Para saber si se trata de un S.E.L. con un número infinito de soluciones o no tiene solución, vamos a graficar las ecuaciones que forman el S.E.L.: Igual que en el ejemplo anterior, empezamos encontrando dos puntos para cada ecuación: y Punto x y A 0 B 7 5 C 0 D (, 0) (7, 5) x De la gráfica se hace evidente que este S.E.L. no tiene solución, porque se trata de dos rectas paralelas, que además son la misma recta. 1 Si al menos uno de los dos es distinto de cero, concluimos que el S.E.L. no tiene solución. 3/6
4 Ahora vamos a estudiar cómo se comportan los determinantes auxiliares: x = 1 4 = ()( ) ( 1)(4) = ( 4) ( 4) = 0 y = 1 4 = (1)(4) ()() = (4) (4) = 0 Observa que: x = 0, y también y = 0. Esto nos indica que las rectas son paralelas, y además, la misma, y finalmente, que el S.E.L. no tiene solución. Si consideramos el S.E.L. siguiente: α 1 x + β 1 y = κ 1 α x + β y = κ y suponemos que p = α 1 β α β 1 = 0, se sigue que: α 1 β = α β 1 α 1 = β 1 = ρ α β Aquí, existe la posibilidad de que el cociente ρ sea igual o diferente al cociente κ 1 /κ. Si se cumple la igualdad: α 1 α = β 1 β = κ 1 κ Entonces, los tres determinantes, p, x y y serán iguales a cero, y a la vez, las ecuaciones del S.E.L. son equivalentes, pues podemos obtener una multiplicando (o dividiendo) la otra por ρ, y por eso tenemos un número infinito de soluciones. Si un punto está sobre la primera recta, también está sobre la segunda, pues geométricamente son la misma recta. El otro caso, en el cual: α 1 α = β 1 β = κ 1 κ Se trata del caso en el que las rectas son paralelas y diferentes. Por eso el S.E.L. no tiene solución. Aquí, solamente p = 0. Los determinantes auxiliares x, y pueden ser distintos de cero 3. Una forma muy sencilla de notar si el S.E.L. tiene un número infinito de soluciones o no tiene soluciones consiste en buscar un número que multiplicado por una ecuación dé igual a la otra ecuación. En el ejemplo anterior, si multiplicamos la primera ecuación por, obtenemos exactamente la segunda ecuación. Esto indica que las dos ecuaciones son la misma. Si al multiplicar obtenemos el término independiente distinto, pero el resto de la ecuación igual a la otra, entonces tenemos dos rectas paralelas. Verifica que esto es verdad calculando los tres determinantes. 3 Uno de ellos puede ser igual a cero, pero no ambos. 4/6
5 Verifica si el S.E.L.: tiene o no tiene soluciones. x y = 0 Ejemplo 4 Ya resolvimos este S.E.L.. Lo que ahora vamos a hacer es buscar un número que multiplicado por la primera ecuación nos resulte la segunda ecuación. Evidentemente, podemos multiplicar la primera ecuación por y obtenemos: x y = 4 x y = 0 x y = 0 Vemos que el nuevo S.E.L. equivalente al original no tiene soluciones, porque se trata de dos rectas paralelas. Puedes concluir esto al ver que 4 = 0. Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Albert Einstein Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: de agosto de 010. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México /6
6 Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: efrain@aprendematematicas.org.mx 6/6
Funciones crecientes y decrecientes
Funciones crecientes y decrecientes Ahora estudiaremos el comportamiento de la función a partir de la derivada. Hasta ahora hemos calculado máximos y mínimos de funciones. También sabemos que cuando f
Más detallesForma pendiente-ordenada al origen
Forma pendiente-ordenada al origen Si una recta corta el eje de las ordenadas (eje y) en el punto B(0, b), entonces decimos que la ordenada al origen de la recta es b. Conociendo este punto es muy sencillo
Más detallesReglas del producto y del cociente
Reglas del producto y del cociente Al igual que la regla de la potencia, ya calculamos las fórmulas para calcular la derivada de un producto de dos funciones en la página?? y del cociente de dos funciones
Más detallesLa derivada como razón de cambio instantánea
La derivada como razón de cambio instantánea Observa que la razón de cambio instantánea es un límite: y(t + t) y(t) lim lim t 0 t t 0 t Cuando calculamos la razón de cambio promedio, geométricamente estamos
Más detallesS.E.L.: 3 ecuaciones con 3 incógnitas
1 S.E.L.: 3 ecuaciones con 3 incógnitas Ahora vamos a generalizar el procedimiento que hemos utilizado para resolver sistemas de una ecuación con una incógnita y de 2 ecuaciones con dos incógnitas. Para
Más detallesEcuación general de la circunferencia
Ecuación general de la circunferencia Hasta aquí hemos calculado la ecuación de la circunferencia dejándola como la suma de binomios al cuadrado igualada a una constante positiva. Ahora vamos a ir un paso
Más detallesResolución de Ecuaciones de Segundo Grado
Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado Ecuación de Segundo Grado Es una ecuación que se puede escribir de la forma: a x 2 + b x + c = 0 () donde a, b, c R, y a = 0. A la ecuación de segundo grado también
Más detallesDiferenciabilidad en un intervalo
Diferenciabilidad en un intervalo Ahora que conocemos cómo calcular la derivada de una función en un punto conviene hacer la pregunta más general: «Cómo podemos saber si una derivada se puede derivar en
Más detallesMétodo de Sustitución
Método de Sustitución El nombre de este método nos indica qué es lo que vamos a hacer: para resolver el S.E.L. de dos ecuaciones con dos incógnitas vamos a «despejar» una de las incógnitas de una de las
Más detallesDistancia entre un punto y una recta
Distancia entre un punto una recta Frecuentemente en geometría nos encontramos con el problema de calcular la distancia desde un punto a una recta. Distancia de un punto a una recta La fórmula para calcular
Más detallesDenominadores con factores lineales
Denominadores con factores lineales uando al sumar dos fracciones algebraica obtenemos una nueva fracción con denominador que se puede factorizar hasta tener factores lineales, significa que los denominadores
Más detallesEcuaciones exponenciales y logaritmicas
Ecuaciones exponenciales y logaritmicas Cuando hacemos preguntas relacionadas a funciones exponenciales o logaritmicas generalmente obtendremos una ecuación logarimica o exponencial. Elevé el número 3
Más detallesEcuaciones de la tangente y la normal
Ecuaciones de la tangente la normal Ahora que sabemos cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una curva dada su ecuación, independientemente de que ésta sea una función o no lo sea, podemos
Más detallesEcuaciones ordinarias de la parábola
Ecuaciones ordinarias de la parábola En la sección anterior dedujimos la ecuación de la parábola en su forma ordinaria. Ahora vamos a utilizar la ecuación. Empezaremos estudiando las parábolas con vértice
Más detallesEcuación ordinaria de la hipérbola
Ecuación ordinaria de la hipérbola Empezamos estudiando la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, que es la ecuación que se deduce anteriormente. Ahora vamos a utilizarla para calcular ecuaciones
Más detallesConstante de integración
Constante de integración Cuando impongamos una condición que deba satisfacer la antiderivada de la función dada, por ejemplo, que pase por un punto dado, tendremos la posibilidad de reducir toda una familia
Más detallesTeoremas de los límites
Teoremas de los límites Empezamos esta sección dando la definición de límite. Límite Sea y = f (x una función. Si podemos formar la sucesión x 1, x 2,, x n de valores de la variable x tales que cada uno
Más detallesCentro fuera del origen
Centro fuera del origen Ya conoces la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen. Si trasladamos el centro de la circunferencia h unidades a la derecha k unidades hacia arriba, obtenemos
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Forma normal
Forma normal Todavía nos falta una última forma de la ecuación de la recta que nos ayudará a estudiar el último tema de esta unidad. Ecuación de la recta en su forma normal La ecuación de la recta en su
Más detallesTécnicas de integración. Cambio de variable
Técnicas de integración En matemáticas, cada tipo de problema sugiere un tipo de solución. Para calcular la derivada de una función, en general, el problema es muy sencillo, pues solamente se requiere
Más detallesCircunferencia que pasa por tres puntos
Circunferencia que pasa por tres puntos En la sección Ecuaciones de las rectas notables del triángulo calculamos el punto donde se intersectan las tres mediatrices de los lados de un triángulo. Este punto,
Más detallesSolución de un sistema de desigualdades
Solución de un sistema de desigualdades En la sección anterior tuvimos oportunidad de resolver desigualdades de dos variables. En el último ejemplo vimos nuestro primer sistema de desigualdades, que aunque
Más detallesÁngulos formados por dos rectas paralelas y una secante
Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una tercer recta que no es paralela a ellas, se forman varios ángulos de interés. La secante a una curva
Más detallesMáximos y mínimos usando la segunda derivada
Máimos mínimos usando la segunda derivada Ahora que sabemos que la segunda derivada nos da información acerca de la primera derivada, vamos a utilizarla para calcular los máimos mínimos de funciones. Ya
Más detallesParábolas con vértice fuera del origen
Parábolas con vértice fuera del origen En este apartado vamos a etender lo que estudiamos en la sección anterior. Ahora vamos a considerar parábolas con vértices fuera del origen. En estos casos, tendremos
Más detallesIntegración de funciones trigonométricas
Integración de funciones trigonométricas Ya vimos las reglas para calcular integrales de funciones trigonométricas. Ahora vamos a considerar productos de funciones trigonométricas y potencias. Para este
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Variación inversa. entonces,
Variación inversa La función racional más sencilla es: Esta función en palabras nos dice que cuando x crece el valor de y decrece en la misma proporción. Por ejemplo, si el valor de x crece al doble, el
Más detallesLa derivada. Razón de cambio promedio e instantánea
La derivada En esta sección empezamos con el estudio del concepto más importante de este curso. La derivada, la cual vamos a definir más adelante, es una herramienta poderosísima que ayuda a ingenieros,
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Función logarítmica
Función logarítmica Ya hemos definido la función eponencial. Supongamos que sabemos que =, deseamos conocer qué valor debe tener para que la igualdad sea verdadera. En otras palabras, deseamos conocer
Más detallesDefinición y Clasificación de Polígonos. Definición
Definición y Clasificación de Polígonos Además del triángulo hay una gran cantidad de otras figuras geométricas delimitadas por segmentos de recta que son importantes en geometría. Definición Polígono
Más detallesDerivadas de orden superior
Derivadas de orden superior Ya habrás observado que al derivar una función obtenemos otra nueva función. Por ejemplo, la derivada de la función y = x 2 es y = 2 x. Observa que y es otra función, generalmente
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Lugares geométricos
Lugares geométricos En esta sección estudiaremos el concepto de lugar geométrico, concepto clave para el desarrollo del estudio de los conceptos de este semestre. Lugar geométrico El conjunto de todos
Más detallesIntegral indefinida de funciones algebraicas
Integral indefinida de funciones algebraicas En esta sección vamos a empezar a practicar el cálculo de integrales indefinidas de funciones. ( 1) d Ejemplo 1 Empezamos aplicando la regla (i) para separar
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Método de despeje
Método de despeje Cuando tenemos una ecuación cuadrática incompleta es muy buena idea hacer un despeje para resolverla. Este método es el más sencillo para este tipo de ecuaciones. Resuelve la siguiente
Más detallesInterpretación geométrica de la derivada
Interpretación geométrica de la derivada Ya estudiamos una interpretación geométrica de la razón de cambio instantánea. Ahora vamos a profundizar un poco más en este concepto recordando que la derivada
Más detallesCoordenadas de un punto
Coordenadas de un punto En esta sección iniciamos con las definiciones de algunos conceptos básicos sobre los cuales descansan todos los demás conceptos que utilizaremos a lo largo del curso. Ejes Coordenados
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Forma general
Forma general La forma general de la ecuación de la recta es la que considera todos los casos de las rectas: horizontales, verticales e inclinadas. En otros casos no siempre es posible escribir la ecuación
Más detallesMétodo de Igualación
Método de Igualación Ya vimos que la solución del S.E.L. debe ser tal que cuando sustituyamos los valores de las variables en cada ecuación obtengamos una igualdad verdadera. Entonces, el valor de x que
Más detallesProblemas geométricos y algebraicos. Reglas de los exponentes
Problemas geométricos y algebraicos Aquí empezamos a estudiar los conceptos que más vamos a utilizar en los cursos de matemáticas. Los temas de esta unidad son los conceptos de álgebra que no debes olvidar.
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Rectas. Podemos determinar de una manera única a una recta de varias formas:
Rectas Podemos determinar de una manera única a una recta de varias formas: a partir de su ecuación, a partir de dos de sus puntos a partir del ángulo que forma con uno de los ejes su distancia al origen,
Más detallesMétodo de fórmula general
Método de fórmula general Ahora vamos a utilizar el método infalible. La siguiente fórmula, que llamaremos «fórmula general» nos ayudará a resolver cualquier ecuación cuadrática. Fórmula General La fórmula
Más detallesLímites de funciones
Límites de funciones Gracias a las propiedades de los límites podemos resolver problemas de una manera más sencilla. Límites de funciones polinomiales y racionales 2 + 2 2 4 Ejemplo Sin el apoyo de las
Más detallesConversión de la forma general a la forma ordinaria
Conversión de la forma general a la forma ordinaria Ahora que ya conocemos las formas ordinaria y general de la ecuación de la circunferencia y que ya hemos hecho conversiones de la forma ordinaria a la
Más detallesCongruencia de triángulos
Congruencia de triángulos Como habrás observado, la idea de que dos segmentos o dos ángulos tienen la misma medida sirve mucho para demostrar teoremas en geometría. Igualmente, cuando dos triángulos tienen
Más detalles1 Razones y proporciones
1 Razones y proporciones Es muy importante que el estudiante comprenda por qué deben realizarse de esa manera los procedimientos. Por ejemplo, frecuentemente se explica la regla de tres cuando estudiamos
Más detalles1 Ecuaciones y propiedades de la recta
Ecuaciones propiedades de la recta Ecuaciones propiedades de la recta En esta sección estudiaremos la caracterización de la recta desde el punto de vista algebraico. A partir del concepto de pendiente
Más detallesLa diferencial como aproximación al incremento
La diferencial como aproximación al incremento Ahora vamos a utilizar la diferencial para hacer aproximaciones. Esta aproximación está basada en la interpretación geométrica que acabamos de dar de la diferencial.
Más detallesOperaciones con polinomios
1 Operaciones básicas Operaciones con polinomios Cuando realizamos la suma de dos o más polinomios sumamos términos semejantes con términos semejantes. El estudiante al escuchar esto puede causarle confusión
Más detallesInt. indefinida de funciones exponenciales
Int. indefinida de funciones exponenciales Ahora vamos a calcular integrales indefinidas de funciones exponenciales de la forma: y = e v y y = a v Para este fin, vamos a estar utilizando las reglas de
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Polígonos
Polígonos En esta sección vamos a utlizar las fórmulas que a conocemos para calcular perímetros áreas de polígonos. Para esto es una buena idea recordar las fórmulas de áreas de los polígonos. alcula el
Más detallesDesigualdades con una incógnita
Desigualdades con una incógnita Nosotros utilizaremos las propiedades de las desigualdades para epresarlas de la manera más simple posible. Resuelve la desigualdad: 5 1 > 24 Ejemplo 1 Empezamos sumando
Más detallesSeries y sucesión lineal
Series y sucesión lineal En la naturaleza muchas veces aparecen las sucesiones de números. Por ejemplo, cuando el hombre tuvo la necesidad de contar, tuvo que inventar un conjunto de números que le sirviera
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Productos notables
Productos notables Cuando realizamos operaciones entre polinomios con el fin de resolver problemas, es muy frecuente encontrar algunas operaciones que por su naturaleza, aparecen en muchos fenómenos. Debido
Más detallesTriangulación de polígonos. Perímetros y áreas
Triangulación de polígonos Para calcular el área de un polígono de n lados nos apoyaremos en la fórmula para calcular el área de un triángulo. Empezamos dibujando n diagonales que partan de un mismo vértice:
Más detallesDesigualdades de dos variables
Desigualdades de dos variables Ahora vamos a estudiar un caso más general. Cuando graficamos la ecuación: obtenemos una recta en al plano. + = 0 Cada punto que está sobre la recta satisface la ecuación.
Más detallesTriángulos. Definición y clasificación
Profr. Efraín Soto polinar. Triángulos En esta sección empezamos el estudio de las figuras geométricas planas creadas de segmentos de rectas. uando la figura está formada por tres segmentos de recta y
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Suma de ángulos
Suma de ángulos En esta sección vamos a demostrar algunos teoremas que nos ayudarán a resolver problemas más adelante. La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es igual a 180 (n 2). Teorema
Más detallesClasificación y transformación de funciones
Clasificación transformación de funciones En esta sección vamos a conocer la forma en como se han clasificado las funciones para su estudio. También vamos a conocer ciertas funciones que «hacen la transformación
Más detallesAplicaciones en ciencias naturales, económico-administrativas y sociales
Aplicaciones en ciencias naturales, económico-administrativas y sociales Ya hemos resuelto algunos problemas aplicados a las ciencias naturales, así que aquí nos enfocaremos más a problemas de economía,
Más detallesFunciones especiales
Funciones especiales En esta sección estudiaremos algunas funciones que son muy importantes en el estudio del análisis matemático. Empezamos con algunos casos particulares de las funciones polinomiales.
Más detallesGráficas de las funciones racionales
Gráficas de las funciones racionales Ahora vamos a estudiar de una manera geométrica las ideas de comportamiento de los valores que toma la función cuando los valores de crecen mucho. Es importante que
Más detallesEc. rectas notables en un triángulo
Ec rectas notables en un triángulo omo recordarás del curso de geometría plana (segundo semestre), las rectas notables de un triángulo son: Medianas: Una mediana es la recta que pasa por el punto medio
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. La función racional
La función racional Ahora estudiaremos una extensión de las funciones polinomiales. Las funciones racionales se definen a partir de las funciones polinomiales. Esta generalización es semejante a la que
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Método Gráfico
Método Gráfico El último método que estudiaremos es el más sencillo. Se trata de considerar a la ecuación como una máquina que transforma los números. Para eso, crearemos una función. Función (Definición
Más detallesCASOS DE LA FUNCIÓN AFÍN
CASOS DE LA FUNCIÓN AFÍN Considera que el precio de un artículo es de Bs 80. Conocido el precio unitario (precio por unidad) es posible calcular fácilmente el precio de varios artículos con solo multiplicar
Más detallesC/ Fernando Poo 5 Madrid (Metro Delicias o Embajadores).
UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS, MADRID PRUEBA DE ACCESO PARA MAYORES DE 25 AÑOS MATEMÁTICAS II AÑO 2010 OPCIÓN A Ejercicio 1 a) (1 punto) Hallar los valores del parámetro para los que la siguiente matriz
Más detallesLa función cuadrática
La función cuadrática En primer semestre estudiamos las ecuaciones cuadráticas. También resolvimos estas ecuaciones por el método gráfico. Para esto, tuvimos que convertir la ecuación en una función igualándola
Más detallesopen green road Guía Matemática FUNCIÓN LINEAL profesor: Nicolás Melgarejo .cl
Guía Matemática FUNCIÓN LINEAL profesor: Nicolás Melgarejo.cl . Función lineal Es una función de la forma f(x) = mx con m constante real no nula Dicha función determina una proporción directa entre la
Más detallesopen green road Guía Matemática FUNCIÓN LINEAL profesor: Nicolás Melgarejo .co
Guía Matemática FUNCIÓN LINEAL profesor: Nicolás Melgarejo.co . Función lineal Es una función de la forma f(x) = mx con m constante real no nula Dicha función determina una proporción directa entre la
Más detallesMÉTODO DE IGUALACIÓN x = x
www.aulamatematica.com MÉTODO DE IGUALACIÓN x Consiste en despejar la misma incógnita en cada una de las ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas: Se le llama IGUALACIÓN pues consiste en igualar
Más detallesUna ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo: 5x 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2
Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (encadenamiento de números y letras ligados por operaciones matemáticas diversas),en la que intervienen una o más letras,
Más detallesLección 12: Sistemas de ecuaciones lineales
LECCIÓN 1 Lección 1: Sistemas de ecuaciones lineales Resolución gráfica Hemos visto que las ecuaciones lineales de dos incógnitas nos permiten describir las situaciones planteadas en distintos problemas.
Más detallesProblemas resueltos del libro de texto. Tema 8. Geometría Analítica.
Problemas resueltos del libro de texto Tema 8 Geometría Analítica Combinación lineal de vectores 9- Es evidente que sí es combinación lineal de estos dos vectores, ya que -4 y permiten escribir z como
Más detallesSe distinguen tres métodos algebraicos de resolución de sistemas:
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Se distinguen tres métodos algebraicos de resolución de sistemas: Sustitución Igualación Reducción Notas: 1) Es importante insistir en que la solución
Más detallesECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
UNIDAD OBJETIVO: Resolverá situaciones y problemas en los que se apliquen ecuaciones de primer grado con una incógnita, sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas, mediante métodos algebraicos
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIÓN DE LA RECTA. 1. Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos A 4,3
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUCIÓN DE L RECT Resuelva los siguientes ejercicios justificando su respuesta. 1. Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos 4,3 y 2, 1. 2. Calcule la pendiente
Más detallesLECCIÓN Nº 02 LA LINEA RECTA
LECCIÓN Nº 02 LA LINEA RECTA Definición En estudios anteriores de geometría plata se menciona que una recta es un conjunto de puntos del plano. En el estudio del álgebra se menciona que un conjunto tal
Más detallesMATEMÁTICAS II. Apuntes
MATEMÁTICAS II. Apuntes Curso preparatorio para el acceso a la universidad para mayores de 25 años Tema 4 Arturo de Pablo Elena Romera Open Course Ware, UCM http://ocw.ucm.es/matematicas 4 GEOMETRÍA Este
Más detallesEjercicios tipo final
Ejercicios tipo final En la primera parte pondremos los enunciados de los ejercicios, en la segunda algunas sugerencias y en la tercera se encuentran las resoluciones 1 Ejercicios 1 Si A R 3x2, B R 2x1
Más detallesSistema de ecuaciones
Sistema de ecuaciones Escribimos en lenguaje simbólico el siguiente problema: Hallar dos números sabiendo que el duplo del primero menos el triplo del segundo es 10 y que la diferencia entre el primero
Más detallesAplicaciones de la derivada
0.1 Problemas prácticos de máimos mínimos 1 Aplicaciones de la derivada En esta sección vamos a dedicarnos a calcular los máimos mínimos de funciones con diferentes propósitos. En muchas situaciones de
Más detallesRegla de la cadena. Ejemplo 1. y = f (g(x)) Como las funciones son diferenciables son suaves.
1 Regla e la caena Hasta aquí hemos erivao funciones que no son compuestas. El problema surge cuano tenemos una función que es compuesta, por ejemplo, igamos que el precio e la gasolina epene el precio
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (POSICIONES RELATIVAS)
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (POSICIONES RELATIVAS) POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Dos rectas en el espacio: (r) { A (a 1, a 2, a ) v (v 1, v 1, v ) y (s) {B (b 1, b 2, b ) u (u 1, u 2, u ) cuatro
Más detallesProblemas resueltos del Boletín 1
Boletines de problemas de Matemáticas II Problemas resueltos del Boletín Problema. Dada la curva r (t) = t [0, π], parametrizarla naturalmente. ( (cos t + t sen t), (sen t t cos t), t ), con En primer
Más detallesx = 4/9 x = 4/9 ; y = 2/9
MÉTODO DE REDUCCIÓN (Triangulación) 004 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: RESOLUCIÓN (5) x y (1 ) + y = 5x 10y + y = 9y = 9y = y = /9 x y + y = Calculamos el valor de la otra incógnita, de nuevo,
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 0 REFLEXION Y RESUELVE Resolución de sistemas Ò mediante determinantes y Resuelve, aplicando x x e y, los siguientes sistemas de ecuaciones: 3x 5y 73 a
Más detallesUNIDAD 3. La derivada. Objetivos. Al terminar la unidad, el alumno:
UNIDAD La derivada Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Calculará la derivada de funciones utilizando el álgebra de derivadas. Determinará la relación entre derivación y continuidad. Aplicará la
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción o de Gauss 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
Más detallesPOSICIONES RELATIVAS
POSICIONES RELATIVAS En muchos problemas de Álgebra se pide estudiar la posición relativa en el espacio de dos rectas, dos planos, una recta y un plano, etc y suelen generar no pocos quebraderos de cabeza,
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x
Más detallesopen green road Guía Matemática SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO profesor: Nicolás Melgarejo .cl
Guía Matemática SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO profesor: Nicolás Melgarejo.cl 1. Sistema de ecuaciones Considera que tienes dos variables v y t que se relacionan de cierta manera particular mediante
Más detallesPresentación 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES
Presentación 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES Sistemas de Ecuaciones Lineales Muchos problemas en administración y economía envuelven dos o mas ecuaciones en uno o más variables. Decimos
Más detalles3º ESO PMAR ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa ECUACIONES
º ESO PMAR ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. ECUACIONES.- ECUACIONES Una ecuación es una igualdad donde se desconoce el valor de una letra (incógnita o variable). El valor de la variable que hace
Más detallesReglas de derivación Sumas, productos y cocientes. Tema 4
Tema 4 Reglas de derivación Aclarado el concepto de derivada, su significado analítico y sus interpretaciones geométrica y física, pasamos a desarrollar las reglas básicas para el cálculo de derivadas
Más detallesMÉTODO DE SUSTITUCIÓN
www.aulamatematica.com MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Se le llama SUSTITUCIÓN ya que el objetivo final es SUSTITUIR!! Consiste en despejar UNA de las incógnitas de una de las ecuaciones (la que te parezca más sencilla)
Más detallesTema 5: Funciones. Límites de funciones
Tema 5: Funciones. Límites de funciones 1. Concepto de función Una aplicación entre dos conjuntos y es una transformación que asocia a cada elemento del conjunto un único elemento del conjunto. Una función
Más detallesEsquema conceptual: Unidad IV
Unidad IV Álgebra Esquema conceptual: Unidad IV Ecuaciones dependientes Ecuaciones independientes Ecuaciones incompletas 1. Sistemas de ecuaciones lineales 2. Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales
Más detallesSistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas tiene la siguiente forma Ax + By + C = 0 A x + B y + C (1) = 0 Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas
Más detallesMatemática 2. Clase práctica de coordenadas y cambio de base
atemática Clase práctica de coordenadas y cambio de base Nota iren este apunte por su cuenta y consulten las dudas que les surjan Ya pueden terminar la práctica Coordenadas en espacios vectoriales de dimensión
Más detalles