Fuente lineal uniforme

Transcripción

1 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS Fuente lineal unifore z R z r y x Se entiende por fuente lineal unifore un hilo etálico, alineado a lo largo del eje z, por el que circulan una corriente constante Vector de Radiación Un hilo de corriente unifore de longitud total h, situado en el eje z, tiene un vector de radiación dado por kh z h sin jk ' sin z z N = zˆ h Ie dz' zih ˆ = = zih ˆ kh z u ( u).5 F( u) u 5

2 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS Si la corriente tiene una fase progresiva lineal, el vector de radiación tiene la isa fora, pero el áxio se encuentra en una dirección diferente. I( z') = Ie sin u N = zih ˆ u ( kz β ) h u = jβ z' El áxio de radiación se tiene para u=. La orientación espacial del áxio del vector de radiación depende de la fase progresiva. cosθ = β k Capos radiados Los capos radiados estarán linealente polarizados y se obtendrán coo el producto del diagraa del dipolo eleental por el vector de radiación del hilo de corriente. jkr µ e sin u Eθ = jω Aθ = jωaz sinθ = jω Ih sinθ 4π r u ( kz + β ) h u = El hilo tiene siepre un nulo de radiación en la dirección del iso. Ejeplos de diagraas de radiación para hilos con fase constante son

3 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS 3 Diagraas plano E El plano E es el definido por la dirección de áxia radiación (θ=π/), y el capo eléctrico en dicha dirección (vector paralelo al eje z). Por lo tanto el plano E es cualquier plano φ=cte E( θ) θ E( θ) θ 3 Diagraas de radiación plano E para hilos unifores de corriente longitudes λ y λ.

4 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS 4 Diagraas plano H El plano H está definido por la dirección de áxia radiación y la orientación del capo agnético en dicha dirección. Es el plano XY. El diagraa en dicho plano es onidireccional θ 3 Diagraas de radiación de hilos de onda progresiva En este caso el áxio no se encuentra en la dirección perpendicular al hilo, sino que aparece un efecto de inclinación del haz, tal y coo se observa en las siguientes figuras, correspondientes a los diagraas de hilos de longitudes.5λ y λ.

5 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS 5 Diagraas plano E (fase progresiva) Los cortes de los diagraas anteriores en el plano E son E( θ) θ E( θ) θ 3 Ancho de haz El ancho de haz a 3 db para el hilo unifore de corriente se encuentra resolviendo la ecuación trascendente. sin u 3 = u 3

6 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS 6 La solución es u 3 =±.39 Se ha despreciado el efecto del diagraa de radiación del dipolo eleental, ya que se supone que el vector de radiación varía ucho ár rápidaente con el ángulo. Los puntos a 3 db correspondientes en el diagraa de radiación se obtienen a partir de u θ kh = (cosθ cos θ ) λ = cos ± cosθ h 3 3 ax 3 ax El ancho de haz a 3 db, en el caso de los dos puntos de caída a 3 db estén dentro del argen visible será la diferencia entre abos puntos, es decir. A λ λ = cos cosθ cos cosθ h h 3 ax ax En el caso de que la fuente lineal de corriente tenga fase unifore, el áxio se producirá en la dirección perpendicular al hilo (dirección broadside). u kh cosθ kh π = = cos ± θ El ancho de haz se obtendrá coo A A 3 3 λ = sin.443 h λ =.886 h

7 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS 7 Relación de lóbulo principal a secundario La posición de los lóbulos secundarios se obtiene a partir de los áxios del diagraa. Coo valor aproxiado se puede toar un valor interedio entre dos nulos. El áxio se obtiene en u=, el prier nulo en u=π, y el segundo en u=π. Entre abos se obtendrá un áxio secundario. El valor es 3π sin = 3π 3π 3π NLPS = log = 3.46dB La posición exacta del áxio secundario se puede obtener derivando la expresión del vector de radiación y resolviendo la ecuación resultante. El valor exacto que se obtiene (despreciando el diagraa del dipolo eleental) es u =.43π El valor exacto del nivel de lóbulo principal a secundario es 3.6 db. 3 ( ) log F( u) π u.6π

8 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS 8 Distribuciones arbitrarias de corrientes Si la distribución de corrientes no es unifore, es necesario calcular la transforada de Fourier unidiensional. Distribución Transforada Ancho haz 3 db NLPS sin ( u) I I z ' l π I cos z ' l I π λ 3 cos z ' I I Il u u sin l u ( u) π cos Il π u l sin u ( u) π 3 π u 5.6 l λ 73.4 l λ 68.8 l λ 83. l λ Se puede observar que si I(z) es una función continua (triangular, coseno), ejora el nivel de lóbulo principal a secundario. Si adeás hay continuidad de la derivada (función cos ) se ejora aún ás dicho valor. En cabio, el ancho de haz a 3dB va auentando. Se puede ver que un epeoraiento del ancho de haz supone una ejora del nivel de lóbulo principal a secundario, y viceversa.

9 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS 9 Transforadas de Fourier Escala lineal.5 Unifore( u) Triangular( u) Coseno( u) u Escala logarítica Unif( u) Triang( u) Cos( u) u

10 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS Radiación de dipolos Distribución de corrientes H Generador Línea de transisión H Supongaos un hilo de corriente situado sobre el eje z. Una antena se puede considerar coo una línea de transisión en circuito abierto. La distribución de corrientes se puede estudiar a partir de las ondas estacionarias que se foran en la línea. En el extreo abierto la condición de contorno es que la corriente sea nula, con lo que expresión de las corrientes será. Generador Línea de transisión Circuito abierto z= z=h ( ( )) I( z') = I sin k H z' La corriente en el origen toa el valor Iz () I I kh () = sin ( ).5.5 z

11 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS Vector de radiación El vector de radiación se puede calcular a partir de la transforada de Fourier de la distribución de corrientes. N = z I z e dz H jkz z ' ˆ ( ') ' H La distribución de corrientes es par, por lo que la transforada de Fourier de una función par se puede calcular coo. H N = zˆ I( z' ) cos ( kzz' ) dz' Sustituyendo la corriente por su expresión, resulta H N = zi ˆ sin k H z' cos k z' dz' ( ( )) ( z ) H N = zi ˆ sin kh kz' + k z' + sin kh kz' k z' dz' ( ( ) ( )) z z Efectuando las integrales indicadas, se obtiene el vector de radiación coskh z coskh coskh z coskh N = zi ˆ + k+ kz k kz La expresión final es cos kh z cos kh N = zˆ ki k kz Si el dipolo estuviera orientado según el eje x, los resultados serían totalente siilares. cos kh x cos kh N = xˆ ki k kx Para una orientación del dipolo sobre el eje y

12 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS cos kh y cos kh N = yˆ ki k k y Capos radiados La relación entre la frecuencia espacial k z y la dirección angular es k = kcosθ z Por lo tanto el vector de radiación, para un dipolo orientado en la dirección del eje z es N z = I cos( kh cos θ ) cos kh k sin θ El potencial vector se obtiene ultiplicando el vector de radiación por un térino de onda esférica A z e jkr µ cos( cos ) cos kh θ = I kh 4πr ksin θ Los capos radiados se obtienen a partir de las coponentes esféricas del potencial vector Aθ = A z sinθ A = φ Los capos radiados lejanos, en la región de Fraunhofer serán E = jω A ˆ j A sin ˆ θθ = ω z θθ Eθ H = ˆ φ η La polarización de la antena es lineal, coo en el dipolo eleental. El plano H es perpendicular al dipolo, y el plano E es un plano que contiene al dipolo.

13 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS 3 Diagraas de radiación H=λ/8 H=λ/4 H=λ/ Corrientes Diagraa 3D

14 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS 4 H=5λ/8 H=3λ/ H=λ Corrientes Diagraa 3D

15 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS 5 Longitud efectiva La longitud efectiva de un dipolo se puede calcular a partir del vector de radiación. l ef l ef rˆ ( rˆ N) N N rˆ rˆ N N ˆ N ˆ rad θθ + φφ = = = = I I I I ( ) ( ) ( ) ( ) I cos( khcos θ) cos kh ˆ cos( khcos θ) cos kh = θ = ˆ θ I ksinθ ksin khsinθ ( ) En la dirección noral al dipolo, la longitud efectiva se puede calcular coo l ef λ coskh = ˆ θ π sin kh O bien directaente a partir del vector de radiación particularizado en dicha dirección H H N = zˆ I z' e dz' = z I z' dz' H jkz z ' ( ) ˆ ( ) H lef = zˆ I( z' ) dz' I ( ) H H En un dipolo eleental, de longitud l, en su dirección noral l ef = lzˆ Si el dipolo tuviese distribución triangular l ef l = zˆ Para un dipolo de seibrazo H=λ/4 l ef λ = zˆ π

16 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS 6 Potencia radiada. Resistencia de radiación. La densidad de potencia radiada es P ( θφ, ) ( θ ) Eθ ηi cos khcos cos kh = = η 4π r sinθ La potencia total radiada se obtiene integrando la expresión anterior en una esfera que encierre al dipolo ( cos( kh cos ) cos kh ) π π π η θ ( ) sin π sin Wt = P θ r θdθdφ = I dθ θ La resistencia de radiación, referida al áxio de la distribución de corriente será. R r W = = 6 I t π ( cos( kh cosθ ) cos kh ) sinθ dθ La integral se puede calcular utilizando técnicas nuéricas. Una gráfica de dicha Resistencia de Radiación es RH ( ).5.5 H.5 λ

17 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS 7 La resistencia de radiación referida a la entrada es R ( ) = I W t ( ) La relación entre la corriente a la entrada y la corriente áxia se obtiene a partir de la expresión para la distribución de corrientes I I kh () = sin ( ) La resistencia a la entrada será I Rr R( ) = Rr = I sin kh ( ) Para los valores en los que se producen resonancias, la resistencia de entrada toaría valores que según el odelo indicado debería ser infinito. En la práctica estos valores son altos (kω), dado que el odelo utilizado para la distribución de corrientes no es totalente correcto. Para calcular la distribución de corrientes habría que recurrir a procediientos nuéricos, coo el étodo de los oentos. Directividad La directividad se puede calcular coo P( θ) 4πr E ( θ) ( cos( kh cos θ) coskh ) D( θ) = = = W t ηirr Rr sen θ 4πr La Directividad en la dirección perpendicular al hilo de corriente es π ( coskh ) D( ) = R r La directividad toa valores coprendidos entre.5 (dipolo corto, hasta valores áxios de 3.3 (dipolo de seibrazo 5λ/8).

18 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS D H, π.5.5. H.5 La Directividad áxia en dipolos largos se produce en la dirección donde el diagraa es áxio. Los saltos en la curva de Directividad están relacionados con la aparición de nuevos lóbulos de difracción.

19 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS 9 El dipolo resonante El dipolo de longitud total H ser estudiado por separado. = λ es un caso especial que erece La distribución de corrientes, para un dipolo resonante alineado según el eje z es ( ( )) I( z') = I sin k H z' = I cos kz' El vector de radiación se puede escribir coo π cos cosθ cos kh z cos kh N = zˆki zˆi = k kz ksin θ El capo eléctrico radiado es cos π π jkr cosθ jkr cos cosθ µ e e Eθ = jω I = j6i 4 π r ksin θ r sin θ El capo áxio se produce en la dirección perpendicular al dipolo el valor de su ódulo es E θ = I 6 r La resistencia de radiación vale 73 ohios y la directividad.64. Su longitud efectiva áxia es λ l ef = π

20 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS TABLA COMPARATIVA DE DIPOLOS Corrientes Corte Plano E Diagraa ancho D R r º.64 73Ω H=λ/ º.94 8Ω H=3λ/ º.4 99Ω 8 H=λ/ º Ω H=5λ/ º Ω H=3λ/ º.5 6Ω 8 H=λ

21 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS Teoría de las iágenes El efecto de las corrientes y cargas inducidas en planos de asa se puede analizar sustituyendo el plano de asa por las cargas y corrientes equivalentes, utilizando los resultados de estática, válidos asiiso en capos variables con el tiepo. La iagen de una carga positiva frente a un plano de asa es una carga negativa situada siétricaente. Utilizando la ecuación de continuidad, las corrientes están relacionadas con las cargas ediante J + jωρ =, Una corriente eleental se puede sustituir por dos cargas en los extreos. En la gráfica se pueden ver diversos casos de corrientes y cargas Las condiciones de contorno que se tienen que cuplir en el plano etálico son n E = n H = Se puede coprobar que las iágenes de las corrientes y cargas se verifican dichas condiciones.

22 ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS Monopolos Los onopolos son antenas por hilos y planos de asa, alientadas por una línea de transisión. Utilizando la teoría de iágenes se deuestra que equivale a un dipolo. Los onopolos tienen la isa corriente que los dipolos, los capos radiados son los isos en el seiplano superior, ientras que el capo es cero en el seiplano inferior del onopolo. La coparación entre los diversos paráetros de radiación es Paráetro Monopolo Dipolo Corriente I I Tensión V V Potencia radiada W W Resistencia de radiación R r / R r Ipedancia Z/ Z Directividad D D Área efectiva A/ A Longitud efectiva l/ l Otros ejeplos de onopolos, con cargas capacitivas son