Práctica 12. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo:

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1 PRÁCTICA APLICACIONES DE LA INTEGRAL Práctics Mtlb Práctic Objetivos Profundizr en l comprensión del concepto de integrción. Aplicr l integrl l cálculo de áres y volúmenes Comndos de Mtlb int Clcul de mner simbólic l integrl indefinid de un función. Ejemplo: syms x int(x^/(x^6-8)) rsums Aproxim l integrl de f medinte sums de Riemnn y reliz un representción gráfic de los rectángulos. Ejemplo: syms x rsums exp(-x^) Áre entre dos curvs: Considerr l región A comprid entre l prábol rect y x. x 3 y y l ) Clculr.) un proximción del áre de A medinte áres de rectángulos verticles.) el vlor del áre de l región A integrndo respecto de x b) Clculr b.) un proximción del áre de A medinte áres de rectángulos

2 PÁGINA MATLAB: APLICACIONES DE LA INTEGRAL horizontles b.) el vlor del áre de l región A integrndo respecto de y Código Mtlb ) Considerndo rectángulos verticles e integrndo respecto de x syms x =reaproximd('x-','-sqrt(3-x)',-,,6); =reaproximd('sqrt(3-x)','-sqrt(3-x)',,3,7); prox=+ %El punto de corte entre ls dos curvs es x=-, x= re_a=int((x-)+sqrt(3-x),-,)+int(sqrt(3-x)+sqrt(3-x),,3) donde se h utilizdo l función siguiente en l que se supone, por simplificr el código, que f está por encim de g en el intervlo b, function re=reaproximd(f,g,,b,n) dx=(b-)/n; re=0; for i=:n c=+(i-)*dx; h=subs(f,c); h=subs(g,c); h=h-h; re=re+dx*h; %Cre un rectángulo con un vértice en el punto (c,0) de %ncho dx y de lto h if h>0 rectngle('position',[c h dx h],'fcecolor',[ ]) xx=:0.0:b; y=subs(f,xx); y=subs(g,xx); plot(xx,y,'r','linewidth',3) plot(xx,y,'b','linewidth',3) b) Considerndo rectángulos horizontles e integrndo respecto de l vrible y syms y =reaproximdv('3-y^','y+',-,,6) %El punto de corte entre ls dos curvs es y=-, y= re_a=int((3-y^)-(y+),-,) donde se h utilizdo l función siguiente en l que se supone, por simplificr el código, que f está por encim de g en el intervlo b, function re=reaproximdv(f,g,,b,n)

3 MATLAB: PRÁCTICA PÁGINA 3 dx=(b-)/n; re=0; for i=:n c=+(i-)*dx; h=subs(f,c); h=subs(g,c); h=h-h; re=re+dx*h; %Cre un rectángulo con un vértice en el punto (c,0) de %ncho dx y de lto h if h>0 rectngle('position',[h c h dx],'fcecolor',[ ]) yy=:0.0:b; x=subs(f,yy); x=subs(g,yy); plot(x,yy,'r','linewidth',3) plot(x,yy,'b','linewidth',3) Áre de un región pln limitd por un curv definid por ecuciones prmétrics:, t, b x xt y yt ) Dibujr l lemnisct de Bernouilli de ecuciones xt y t t t t cos sen sen t cos t sen y clculr el áre encerrd por dich curv. Not: L ecución crtesin de l lemnisct es x y x y Est curv se define como el lugr geométrico de los puntos del plno cuyo producto de distncis dos puntos fijos es constnte e igul l cudrdo de l semidistnci entre dichos puntos. b) Repetir el prtdo ) considerndo l cicloide de ecuciones prmétrics: x R tsen t y R cost t Not: Est curv es l que describe un chinchet clvd en un rued de rdio R que vnz girndo sin deslizr.

4 PÁGINA 4 MATLAB: APLICACIONES DE LA INTEGRAL c) Repetir el prtdo ) considerndo l crdioide de ecuciones prmétrics: xcost cost y sen t cost t 0, Not: L ecución crtesin de l crdioide es x x y x y sio un prámetro. Est curv es l que describe un punto fijo del borde de un círculo que rued sin deslizr sobre otro del mismo rdio. Un curv dd en prmétrics es el conjunto de puntos x, y de l form x x t, y y t t b Si ls funciones x e y tiene derivd continu entonces el áre limitd por C y el eje OX es el áre limitd por C y el eje OY es b b y t x' t dt x t y' t dt Accede l págin pr ver l representción de ls curvs que se definen en este ejercicio. Observ que: se recorre tod l lemnisct cundo t 0, se recorre un ciclo de l cicloide cundo t 0, R se recorre l crdioide cundo t 0, Código Mtlb syms t %Lemnisct de Bernouilli x=*cos(t)/(sin(t)^+); y=*sin(t)*cos(t)/(sin(t)^+); lemnisct=4*int(bs(y*diff(x,t)),t,0,pi/) %Cicloide syms R

5 MATLAB: PRÁCTICA PÁGINA 5 x=r*(t-sin(t)); y=r*(-cos(t)); cicloide=simplify(int(bs(y*diff(x,t)),t,0,*pi)) %Crdioide x=*cos(t)*(+cos(t)); y=*sin(t)*(+cos(t)); crdioide=*int(bs(y*diff(x,t)),t,0,pi) El siguiente código permite representr l cicloide con Mtlb function cicloide(,k,m) % cicloide(,k,m) dibuj ciclo de l cicloide dd por ((t-sen(t),(-cos(t)) % sí como l circunferenci genertriz % cicloide(,k) dibuj k ciclos de l mism cicloide t=0:.0:*pi; if nrgin==3 x=*(t-sin(t)); y=*(-cos(t)); plot(x,y,'--r') xis equl for i=0:*pi/m:*pi xc=*cos(t)+i*; yc=*sin(t)+; plot(xc,yc) px=*(i-sin(i));py=*(-cos(i)); plot(px,py,'or') plot(i*,,'o') plot([i*, px],[,py]) puse() else for n=0:k- x=*(t-sin(t))+*pi*n*; y=*(-cos(t)); plot(x,y) xis equl hold off 3 Áres plns en coordends polres ) Clculr el áre encerrd por l crdioide de ecución polr cos sio un número rel. b) Clculr el áre de l región encerrd l vez en l crdioide y en l circunferenci sen considerndo 0. Not: Este ejercicio está resuelto nlíticmente pso pso en l págin Accede l págin

6 PÁGINA 6 MATLAB: APLICACIONES DE LA INTEGRAL pr ver l representción de ls dos curvs y como se recorren l crdioide cundo 0, se recorre l circunferenci cundo 0, ) Pr clculr el áre del sector limitdo por l curv, continu en el intervlo, y los dos rdios vectores se clcul como: A, En el cso de l crdioide será: Código Mtlb: syms phi rho=*(+cos(phi)); int(/*rho^,phi,0,*pi) 3 cos d 0 d. Puedes utilizr l función crdioide.m pr representr en Mtlb est curv. b) Clculmos los puntos de corte que son pr El áre pedid será: y / sen cos d d 0 / Código Mtlb: syms phi rho=*(+cos(phi)); rho=*sin(phi); puntos=solve(rho-rho,phi) re=int(/*rho^,phi,0,puntos())+ int(/*rho^,phi,puntos(),puntos()); pretty(simplify(re)) Pr representr l crdioide y l circunferenenci con Mtlb puedes utilizr el siguiente código: function curvsp() % Representción de l crdioide t=0:.0:*pi; r=*(+cos(t)); polr(t,r) % Bstrí considerr t entre 0 y pi % pr recorrer l circunferenci r=*sin(t); polr(t,r,'r')

7 MATLAB: PRÁCTICA PÁGINA 7 leg('r=(+cos(t)','r= sin(t)') hold off Ejercicios propuestos L superficie de un prte de un máquin es l región entre ls gráfics de y x y y 0.08x k ) Encontrr k si l prábol es tngente l gráfic de y b) Encontrr el áre de l superficie de l prte de l máquin. Demostrr, con yud de Mtlb, que: ) El áre de un circunferenci de centro, r b y rdio r es. Utilizndo coordends crtesins: Utilizndo ecuciones prmétrics x t rcost y t brsen t t0, b) El áre de un elipse de centro, y de semiejes y b es b Utilizndo coordends crtesins: Utilizndo ecuciones prmétrics cos sen 0, x t t y t b t t 3 Áres plns en coordends polres ) Clculr el áre de un ros de n pétlos de ecución cosn pr n y pr n 4. b) Clculr el áre de ls dos primers vuelts de l espirl de Arquímedes de ecución con 0 c) Clculr el áre de l región roded por un lzo de l lemnisct cos