MATEMÁTICAS. TEMA Inferencia Estadística.

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1 MATEMÁTICAS TEMA Iferecia Estadística.

2 . ÍNDICE 1. Itroducció. 2. Tabla Normal (0,1). 3. Itervalos de cofiaza Itervalo de cofiaza para la media 3.2. Itervalo de cofiaza para la proporció 4. Error y tamaño de la muestra. 5. Tipificar. 6. Ejercicios resueltos. 7. Ejercicios propuestos ANEXO (CONTRASTE DE HIPÓTESIS) 1. INTRODUCCIÓN La Estadística es, e la actualidad, la disciplia cietífica más utilizada y estudiada e diversos campos del coocimieto como igeiería, medicia, ecoomía, sociología, biología. Además de uos míimos coocimietos estadísticos, es ecesario coocer herramietas imprescidibles e la toma de decisioes relativas a determiadas poblacioes basádose e la iformació obteida por ua muestra. Es precisamete a esta cuestió a lo que se dedica esta uidad y que se basa e ua rama de la Estadística llamada Estadística Iferecial, a establecer coclusioes sobre determiados parámetros poblacioales utilizado la iformació obteida por ua muestra represetativa. Cuado ua ivestigació estadística va referida a u cojuto, colecció o colectivo de elemetos, este colectivo se llama població. Cuado ua població es muy grade, o suele hacerse ua observació exhaustiva, sio que se estudia ua parte de la misma llamada muestra, para obteer coclusioes acerca de la població. Esta muestra debe ser elegida debidamete para obteer resultados válidos para toda la població. 2

3 2. Tabla Normal (0,1) N(0,1) Ates de explicar las tablas de la distribució N(0,1) vamos a ver alguas defiicioes previas. Se llama variable aleatoria a toda fució que asocia a cada elemeto del espacio muestral E u úmero real. Ua variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores eteros. Ejemplo: el úmero de hijos de ua familia, la putuació obteida e u dado,,etc. Ua variable aleatoria cotiua es aquella que puede tomar todos los valores posibles detro de u cierto itervalo de la recta real. Ejemplo: la altura de los alumos de clase, las horas de duració de ua pila, etc. Vamos a ver ahora u modelo de distribució de probabilidad para variables cotiua, la distribució ormal. Ua variable aleatoria cotiua sigue ua distribució ormal de media μ y desviació típica σ, y se desiga por N( μ, σ ), si cumple las siguietes codicioes: a) La variable puede tomar cualquier valor : (, ) b) La fució de desidad, es la expresió e térmios de ecuació matemática de la curva de Gauss: 1 f( x) = e σ 2π 2 1 x μ 2 σ Curva de la distribució N( μ, σ ) El área del recito determiado por la fució y el eje de las abscisas es igual a 1. La curva ormal es simétrica respecto al eje que pasa por x igual a 0 5 a la izquierda de μ y otra igual a 0 5 a la derecha de μ. = μ, por tato deja u área El área bajo la curva etre dos abscisas cualesquiera a y b represeta la probabilidad de que la variable tome u valor compredido etre esas dos abscisas ( Pa ( < X< b) ) Para poder calcular probabilidades e ua distribució Normal es ecesario saber calcular el área bajo la curva de su fució desidad etre dos valores cualesquiera. 3

4 Como todas las distribucioes ormales tiee propiedades comues respecto de sus parámetros, se puede reducir ua de ellas a cualquier otra mediate u cambio de variable que ajuste los parámetros de ambas. Por tato basta teer las tablas de ua úica distribució ormal para poder calcular probabilidades de otra. Se ha elaborado las tablas de la fució de distribució de la más secilla que es la distribució N(0,1), es decir, la que tiee media 0 y desviació típica 1. LA TABLA DE LA N(0,1) (ESTA EN LA HOJA FINAL) Para buscar e la tabla miramos las uidades y décimas e la columa de la izquierda y las ceteas e la fila de arriba. Veamos los siguietes ejemplos ( mirar la tabla N(0,1)): P(Z a) P(Z 1.47) = P(Z > a) = 1 - P(Z a) P(Z > 1.47) = 1 P(Z 1.47) = = P(Z a) = 1 P(Z a) P(Z 1.47) = 1 P(Z 1.47) = =

5 P(Z > a) = P(Z a) p(z > 1.47) = p(z 1.47) = P(a < Z b ) = P(Z b) P(Z a) P( 0.45 <Z 1.47) = P(Z 1.47) P(Z 0.45) = = = P( b < Z a ) = P(a < Z b ) P( 1.47 <Z 0.45) = P( 0.45 <Z 1.47) = = P(Z 1.47) P(Z 0.45) = =

6 P( a < Z b ) = P(Z b) [ 1 P(Z a)] P(-1.47 < Z 0.45) = P(Z 0.45) [ 1 P(Z 1.47)]= = ( ) = A veces tedremos que determiar e ua distribució N(0,1) el valor de z α coocida la probabilidad. E este caso basta co buscar e la tabla N(0,1) el valor de la probabilidad, localizado su fila y su columa correspodietes. Pero sucede que la probabilidad o siempre está e la tabla; cuado esto ocurre hacemos ua iterpolació. Pz ( z ) = 0,7324 z = 0,62 α Mirar e TABLA N(0,1) E las cuadriculas de color blaco y ver a que valor correspode α Pz ( z ) = 0,9131 z = 1'36 α α Pz ( z ) = 0,995 α 0'995 esta e la tabla etre 0'9949 y Hacemos la media arítmetica de los valores que sale. 0'9949 zα = 2'57 2'57+ 2'58 zα = = 2'575 0'9951 zα = 2' Itervalos de cofiaza. E ua població cuya distribució es coocida pero descoocemos algú parámetro, podemos estimar dicho parámetro a partir de ua muestra represetativa. U estimador es u valor que puede calcularse a partir de los datos muéstrales y que proporcioa iformació sobre el valor del parámetro. Por ejemplo la media muestral es u estimador de la media poblacioal, la proporció observada e la muestra es u estimador de la proporció e la població. Ua estimació es putual cuado se obtiee u sólo valor para el parámetro. Los estimadores más probables e este caso so los estadísticos obteidos e la muestra, auque 6

7 es ecesario cuatificar el riesgo que se asume al cosiderarlos. Recordemos que la distribució muestral idica la distribució de los valores que tomará el estimador al seleccioar distitas muestras de la població. Las dos medidas fudametales de esta distribució so la media que idica el valor promedio del estimador y la desviació típica, tambié deomiada error típico de estimació, que idica la desviació promedio que podemos esperar etre el estimador y el valor del parámetro. Más útil es la estimació por itervalos e la que calculamos dos valores etre los que se ecotrará el parámetro, co u ivel de cofiaza fijado de atemao. Llamamos Itervalo de cofiaza al itervalo que co u cierto ivel de cofiaza, cotiee al parámetro que se está estimado. Nivel de cofiaza es la "probabilidad" de que el itervalo calculado cotega al verdadero valor del parámetro. Se idica por 1 α y habitualmete se da e porcetaje (1-α )100%. Hablamos de ivel de cofiaza y o de probabilidad ya que ua vez extraída la muestra, el itervalo de cofiaza cotedrá al verdadero valor del parámetro o o, lo que sabemos es que si repitiésemos el proceso co muchas muestras podríamos afirmar que el (1-α )% de los itervalos así costruidos cotedría al verdadero valor del parámetro. α recibe el ombre de ivel de sigificació. z α z α 3.1 Itervalo de cofiaza para la media Vamos a ver a cotiuació el itervalo de cofiaza para la media si la població sigue ua distribució N( μ, σ ), coocida la desviació típica σ. σ σ x zα, x+ zα dode x = media muestral σ = desviació típica = tamaño de la muestra z α = valor crítico ( se calcula mirado la tabla N(0,1) 7

8 Ejemplo: Las estaturas de ua muestra aleatoria de 50 estudiates tiee ua media de cm, y se cooce que la desviació típica de la variable estatura es de 6 9 cm. Calcula u itervalo de cofiaza del 95% para la estatura media de todos los estudiates. Solució σ σ El itervalo de cofiaza de la media poblacioal μ es x zα, x+ zα x= 174'5 cm σ = 6'9 cm 6'9 6'9 (174'5 1'96,174'5 + 1'96 ) = 50 estudiates z α = 1'96 ( mirar abajo) IC. (172'59, 176' 41) A u ivel de cofiaza del 95% le correspode u z α = 1'96 Pz ( z ) = 0,975 z = 1'96 α Mirar e α TABLA N(0,1) Teorema cetral del límite: si ua muestra aleatoria de tamaño procede de ua població co media μ y desviació típica σ, etoces e el caso de que el tamaño de la muestra sea lo suficietemete grade ( >30), la media muestral x tiee ua distribució ormal de media μ y desviació típica σ,esto es: σ X N( μ, ) 3.2 Itervalo de cofiaza para la proporció Se quiere estudiar la proporció p de ua població que tiee ua cierta característica; por ejemplo, teer o o teer caret de coducir, ser rubio o o, etc. Para estudiar la proporció de la població se elige k muestras distitas de tamaño y se obtiee valores para las proporcioes muestrales. 8

9 Distribució de las proporcioes muestrales La distribució de las proporcioes muestrales de tamaño, que se represeta por p, tiee las siguietes características: a) La media p. pq b) La desviació típica es dode q = 1 p c) Si el tamaño de la muestra es grade ( 30 ), la distribució de p se aproxima a pq ua distribució ormal, N( p, ) Itervalo de cofiaza para la proporció El itervalo de cofiaza para la proporció p, co u ivel de cofiaza 1-α, es pq p z, α p+ z α pq dode q = 1 p = tamaño de la muestra zα = valor que e ua N(0,1) cumple que P( z z z ) = 1 α α α Ejemplo: Se ha tomado la muestra de 40 ecias, y se ha cotabilizado 18 de ellas co ua efermedad de u hogo. Halla el itervalo de cofiaza para la proporció de ecias ifectadas co el hogo, co u ivel de cofiaza del 99%. Solució El itervalo de cofiaza para la proporció p pq p z, α p+ z α pq 9

10 18 p = = 0' '45 0'55 0'45 0'55 q = 1 p = 1 0'45 = 0'55 (0'45 2'575,0'45 + 2'575 ) = 40 zα = 2'575 ( mirar abajo) La proporció estará etre el 25% y el 65 %, co ua probabilidad del 99% IC. (0'25, 0'65) A u ivel de cofiaza del 99% le correspode u z α = 2'575 0'9949 z = 2'57 2'57+ 2'58 Pz ( z ) = 0,995 z = = 2'575 0'9951 2'58 2 α α 0'995 esta e la tabla etre 0'9949 y zα = α Hacemos la media arítmetica de los valores que sale. 4. Error y tamaño de la muestra. 4.1 Error del Itervalo de cofiaza para la media σ σ La precisió del itervalo de cofiaza aterior x zα, x+ zα es z σ α. Esto sigifica que al utilizar x para estimar μ cometemos u error E que es meor o igual z σ α co ua cofiaza del 100 ( 1 α) por cieto: E z σ = α. El valor de E z σ = α, depede de α y de del siguiete modo: - Cuato mayor sea el tamaño de la muestra, meor es E. - Cuato mayor sea (1 α) ( es decir, cuato más seguros queramos estar de uestra estimació), mayor es E E situacioes dode se puede cotrolar el tamaño de la muestra, es posible elegir de forma que se tega ua cofiaza del 100 (1 α) por cieto de que el error al estimar μ sea meor que el error especificado E. Despejado e la fórmula del error teemos la fórmula para : z α σ = E 2 Si o sale u úmero etero lo redodeamos al etero de sumar uo a su parte etera. 10

11 4.2 Error del Itervalo de cofiaza para la proporció Error máximo para la proporció E = z α pq Tamaño de la muestra zα = pq E 2 CUADRO RESUMEN Itervalo de cofiaza para la media Error máximo para la media Tamaño de la muestra σ σ x zα, x+ zα σ E = z α z α σ = E Itervalo de cofiaza para la proporció Error máximo para la proporció Tamaño de la muestra 2 pq p z, α p+ z α pq E = z α pq zα = p q E 2 5. Tipificar. Si ua variable aleatoria, X, sigue ua distribució ormal de media μ y desviació típica σ, para calcular probabilidades que se refiera a ella, es preciso hacer u cambio de variable, y así poder usar las tablas de la distribució N(0,1). A esto se le llama tipificar o estadarizar la variable. X μ E geeral, si X sigue ua distribució ormal N( μ, σ ), la variable Z = sigue σ ua distribució ormal N(0,1) Ejemplo : Dada la distribució N(5,3), determiar PX ( 8) X PX ( 8) = P( ) = PZ ( 1) = 0' Miramos la tabla N (0,1) 11

12 6. Ejercicios resueltos. 1. Se tiee ua població N( μ,2) y ua muestra formada por 16 datos de media 2 5. Obteer el itervalo de cofiaza del 90% para la media μ de la població. Solució σ σ El itervalo de cofiaza de la media poblacioal μ es x zα, x+ zα x = 2'5 σ = (2'5 1'645,2'5 + 1'645 ) = zα = 1'645 ( mirar abajo) I. C (1'6775, 3' 3225) Itervalo de cofiaza del 90% 0'9495 z = 1'64 1'64 + 1'65 Pz ( z ) = 0,95 z = = 1'645 0'9505 1'65 2 α α 0'95 esta e la tabla etre 0'9495 y zα = α Hacemos la media arítmetica de los valores que sale. A u ivel de cofiaza del 90% le correspode u z α = 1' E ua població, ua variable aleatoria sigue ua ley ormal de media descoocida y desviació típica 9. De qué tamaño, debe ser la muestra co la cual se estime la media poblacioal co u ivel de cofiaza del 97% y u error máximo admisible igual a 3? Solució El tamaño de la muestra: z α σ = E 2 E = 3 σ = 9 2'17 9? = E 3 zα = 2' zα σ = = = 42'3801 El tamaño de la muestra ha de ser, como míimo,

13 Pz ( z ) = 0,985 z = 2'17 α Mirar e α TABLA N(0,1) A u ivel de cofiaza del 97% le correspode u z α = 2'17 3. E ua determiada comuidad autóoma, se sabe que la desviació típica del úmero de días que dura u cotrato temporal es igual a 57 días. Diga el úmero míimo de cotratos e los que se ha de mirar su duració para que el itervalo, co u ivel de cofiaza del 95%, que da la duració media de u cotrato de ese tipo, tega ua amplitud que o sea mayor que 10 días. Solució Si la amplitud del itervalo de cofiaza para la media tiee ua amplitud meor o igual a 10, su error debe ser justamete meor igual a la mitad de la amplitud, es decir, meor o igual que 5. El tamaño de la muestra: z α σ = E 2 E = 5 σ = 57 1'96 57? = E 5 zα = 1' zα σ = = = 499'25... Se ha de mirar por lo meos 500 cotratos A u ivel de cofiaza del 99% le correspode u z α = 2' La distribució de las putuacioes de u tipo de exame de matemáticas se cosidera Normal. Aplicado este tipo de exame a ua muestra de 81 persoas adultas se obtiee ua media de 6 4 y ua desviació típica de 3. Ecuetra el itervalo de cofiaza al 98 4% para la media de las putuacioes e la població adulta. Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. 13

14 Solució σ σ El itervalo de cofiaza de la media poblacioal μ es x zα, x+ zα x = 6'4 putos σ = (6'4 2'41,6'4+ 2'41 ) = 81 persoas zα = 2'41( mirar abajo) I. C (5'6, 7'2) Teemos ua cofiaza del 98 4% de que la media de la població total esté compredida etre 5 6 y 7 2. A u ivel de cofiaza del 98 4% le correspode u z α = 2'41 Pz ( z ) = 0,992 z = 2'41 α Mirar e α TABLA N(0,1) 5. El úmero de horas semaales que los jóvees, co edades etre 14 y 18 años, dedica semaalmete a ver la televisió, es ua variable ormal de media descoocida y desviació típica 2. Ecuestados 256 de estos jóvees, la media de horas semaales dedicada a ver la televisió resulto igual a 6. a) Costruir u itervalo de cofiaza, al 99%, para la media. b) Co u ivel de cofiaza del 95 %, Cuál es el tamaño de la muestra que se ecesita ecuestar para que el error máximo de la estimació de la media sea de 0 5 horas? Solució σ σ a) El itervalo de cofiaza de la media poblacioal μ es x zα, x+ zα x = 6 horas σ = (6 2'575,6 + 2'575 ) = 256 jóvees zα = 2'575( mirar abajo) I. C (5'68, 6'32) A u ivel de cofiaza del 99% le correspode u z α = 2'575 14

15 0'9949 z = 2'57 2'57+ 2'58 Pz ( z ) = 0,995 z = = 2'575 0'9951 2'58 2 α α 0'995 esta e la tabla etre 0'9949 y zα = α Hacemos la media arítmetica de los valores que sale. b) El tamaño de la muestra: z α σ = E 2 E = 0'5 σ = 2 1'96 2? = E 0'5 zα = 1' zα σ = = = 61' El tamaño de la muestra ha de ser, como míimo, 62. Pz ( z ) = 0,975 z = 1'96 α Mirar e α TABLA N(0,1) A u ivel de cofiaza del 95% le correspode u z α = 1'96 6. De qué tamaño coviee tomar la muestra de ua líea de producció para teer ua cofiaza del 95% de que la proporció estimada o difiera de la verdadera e más de u 4%? Se sabe, por estudios previos, que la proporció de objetos defectuosos es del orde del Solució: p = 0'05 q = 1 0'05= 0'95 E = 0'04 z = 1'96 = 0,975 = 1'96 α 2 2 zα 1'96 = pq = = 0'05 0'95 = 114' E 0'04 Por tato deberíamos tomar ua muestra de 115. Pz ( z α) zα Mirar e TABLA N(0,1) 15

16 7. La media de vetas diarias de u vededor de uos grades almacees es de 950 y la desviació típica es de 200. Supoiedo que la distribució de vetas es ormal. cuál es la probabilidad de veder más de 1250 e u día? Solució: X= vetas diarias de u vededor N(950,200) Se trata de ua distribució ormal N(950,200). Por tato: X PX ( > 1250) = P( > ) = PZ ( > 1'5) = 1 PZ ( 1'5) = 1 0'9332 = 0' Miramos la tabla N (0,1) 8. Se supoe que la altura de las alumas uiversitarias de ua determiada ciudad sigue ua distribució ormal de media 1 65 m y ua desviació típica 10 cm. Se toma ua muestra al azar de 100 de estas alumas y se calcula su media. Cuál es la probabilidad de que esta media sea mayor que 1 66 m? Solució: X= altura de las alumas uiversitarias; X N(1 65,0 1) X = altura media de 100 alumas uiversitarias; σ 0'1 X N( μ, ) X N(1'65, ) X N(1'65,0'01) 100 X 1'65 1'66 1'65 PX ( > 1'66) = P( > ) = PZ ( > 1) = 1 PZ ( 1) = 1 0'8413 = 0'1587 0'01 0'01 Miramos la tabla N (0,1) 16

17 7. Ejercicios propuestos Itervalo de cofiaza para la media, coocida la desviació típica σ σ σ x zα, x+ zα x = media muestral σ = desviació típica = tamaño de la muestra z α = valor crítico ( se calcula mirado la tabla N(0,1) 1. Se supoe que el peso de las sadías de cierta variedad sigue ua distribució ormal co desviació típica de 1 kilo. Se toma ua muestra aleatoria de 100 sadías y se observa que el peso medio es de 6 kilos. Calcúlese u itervalo de cofiaza al 95% para el peso medio de esa variedad de sadía. Solució: IC. (5'804, 6'196) 2. La duració de las llamadas de teléfoo e ua oficia comercial sigue ua distribució ormal co desviació típica 10 segudos. Se hace ua ecuesta etre 50 llamadas y la media de duració obteida e esa muestra es 35 segudos. Calcular u itervalo de cofiaza al 99% para la duració media de las llamadas. Solució: IC. (31'36, 38'64) 3. Se probaro 10 automóviles escogidos aleatoriamete de ua mima marca y modelo por coductores co la misma forma de coducir y e carreteras similares. Se obtuvo que el cosumo medio de gasolia, e litros por cada 100 km, fue de 6 5. Estudios previos idica que el cosumo de gasolia tiee ua distribució ormal de desviació típica 2 litros. Determiar u itervalo de cofiaza al 95% para la media del cosumo de gasolia de estos automóviles. Solució: IC. (5'26, 7'74) 4. Se desea estudiar el gasto semaal de fotocopias, e pesetas, de los estudiates de bachillerato de Madrid. Para ello, se ha elegido ua muestra aleatoria de 9 de estos estudiates, resultado lo valores siguietes para estos gastos: Se supoe que la variable aleatoria objeto de estudio sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica igual a 12. Determia u itervalo de cofiaza del 95% para la media del gasto semaal de fotocopias por estudiate. Solució: x = 110 IC. (102'16, 117'84) 17

18 5. U grupo de 144 alumos de secudaria seleccioados al azar e ua determiada comuidad realiza ua prueba de coocimietos sobre la geografía de su Autoomía, sacado ua ota media de 6 3 putos. Las putuacioes obteidas se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 6. a. Calcula, co ua probabilidad del 98% etre qué valores se ecotrará la media de la població de los alumos de secudaria de dicha Comuidad. b. Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. Solució: a) IC. (5'135, 7'465) b) Hay ua probabilidad del 98% de que la media de la població se ecuetre e ese itervalo de cofiaza Itervalo de cofiaza para la proporció 1. E ua muestra aleatoria de 400 persoas que ha visto u programa de televisió, 100 persoas recoociero que éste les había gustado. Determia el itervalo de cofiaza, al 95%, para la proporció de persoas e las població a las que les gusta el programa. Solució IC. ( 0'21, 0'29) La proporció estará etre el 21% y el 29% 2. E ua muestra aleatoria de 400 persoas de ua població, hay 80 que tiee teléfoo móvil. Calcula el itervalo de cofiaza aproximado para la proporció poblacioal, co u ivel de cofiaza del 95% Solució IC. ( 0'16, 0'24) La proporció estará etre el 16% y el 24% 3. Cuado se ha pregutado a 100 persoas de cierta ciudad, elegidas al azar, si lee el periódico al meos ua vez a la semaa, solo 40 ha cotestado que sí. Ecuetra el itervalo de cofiaza, co ivel de cofiaza del 99%, para la proporció de persoas de esa ciudad que lee el periódico al meos ua vez a la semaa. Solució IC. ( 0'27, 0'53) La proporció estará etre el 27% y el 53% 4. De ua muestra de 60 clietes de supermercados, 24 fuero capaces de decir el precio del producto que había comprado. Determia el itervalo de cofiaza, al 95% para la proporció de clietes de la població. Solució IC. ( 0'28, 0'52) La proporció estará etre el 28% y el 52% 5. E ua cierta població cercaa a ua estació de esquí se quiere estimar co u ivel de cofiaza del 95% la població de habitates que practica esquí. Se toma ua muestra de 400 habitates de la població, de los que 240 afirma que practica ese deporte. Determia el correspodiete itervalo de cofiaza. Solució IC. ( 0'55, 0'64) La proporció estará etre el 55% y el 64% 18

19 Tamaño de la muestra σ E = z α z α σ = E 2 E = Error σ = desviació típica = tamaño de la muestra z α = valor crítico ( se calcula mirado la tabla N(0,1) 1. Se estima que el tiempo de reacció de u coductor ate u obstáculo imprevisto tiee ua distribució ormal co desviació típica 0 05 segudos. Si se quiere coseguir que el error de estimació de la media o supere los 0 01 segudos co u ivel de cofiaza del 99%, qué tamaño míimo ha de teer la muestra de tiempos de reacció? Solució : El tamaño de la muestra ha de ser mayor o igual que 166 coductores 2. Se supoe que la altura de los bebés e ua determiada població sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica 6 cm. Para estimar la altura media se quiere utilizar ua muestra de medida. Calcular el valor míimo de de modo que co u ivel de cofiaza del 99%, el error de la estimació sea meor que 1cm. Solució : El valor de debe ser, al meos, 239 bebes. 3. Ua variable aleatoria X tiee ua distribució ormal, siedo su desviació típica igual a 3. Se cosidera muestras de tamaño 16. Si se desea que la media de la muestra o se diferecie e más de 1 uidad de la media de la població, co probabilidad de 0 99, cuátos elemetos como míimo se debería tomar e la muestra? Solució : El tamaño de la muestra ha de ser mayor o igual que U fabricate de pilas alcalias sabe que la desviació típica de la duració de las pilas que fabrica es de 80 horas. Calcula el tamaño de la muestra que debe someterse a prueba para teer ua cofiaza del 95% de que, al tomar la duració media de la muestra como valor de la duració media de la població total de pilas, el error que se comete sea meor de 16 horas. Solució : El tamaño de la muestra ha de ser mayor o igual que pilas 19

20 5. Al medir el tiempo de reacció, u psicólogo estima que la desviació típica del mismo es de 0,5 segudos. Cuál será el úmero de medidas que deberá hacer para que sea del 95% la cofiaza de que el error de su estimació o excederá de 0,05 segudos? Solució : Deberá hacer, al meos, 385 medidas. 6. E ua muestra de 100 pacietes sometidos a u cierto tratamieto, se obtiee mejoría e 80 pacietes. Si se trabaja co u ivel de cofiaza del 95%: a) Cuál es el error máximo admisible? b) Cuál es el míimo úmero de pacietes que se debe tomar si co el ivel de cofiaza dado se desea que el error sea meor de 0 05? a) Solució : Error =0 08. b) Solució: Se debe tomar ua muestra de 246 pacietes Itervalos de cofiaza y tamaño de la muestra para la media. 1. Para hacer u estudio sobre el precio/día de ua habitació doble e hoteles de cuatro estrellas se elige ua muestra de 64 de estos hoteles y se obtiee u precio/día medio de 56 euros co ua desviació típica de 6 euros. Se pide: a. Determiar el itervalo de cofiaza para el precio/día medio de ua habitació doble e u hotel de cuatro estrellas co u ivel de cofiaza del 97%. b. Hallar el tamaño de la muestra que debe tomar para que el error máximo sea de 2 euros co u ivel de sigificació del 1%. Solució: a) IC. (54'37, 57'63) b) El tamaño de la muestra ha de ser mayor o igual que 60 hoteles 2. Al medir el tiempo de reacció, u psicólogo ha obteido co ua muestra de tamaño 50 u tiempo medio de 0 85 segudos. Si la variable tiempo de reacció sigue ua distribució ormal co ua desviació típica de 0 05 segudos, hallar el itervalo de cofiaza al 99%. De qué tamaño ha de tomarse la muestra para teer ua cofiaza al 95% de que el error de la estimació o supera 0 01 segudos? Solució: IC. (0'83, 0'87) El tamaño de la muestra ha de ser mayor o igual que 97 idividuos. 20

21 3. El precio de ciertos electrodomésticos puede cosiderarse ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació típica 100 euros. Los precios e euros correspodietes a ua muestra de 9 de estos electrodomésticos so: a. Costruir u itervalo de cofiaza al 98% para la media poblacioal. b. Hallar el tamaño míimo que debe teer la muestra, para que co u ivel de cofiaza del 99% el error de estimació del precio medio o supere los 50 euros. Solució: a) x = 178'88 IC. (101'38, 256'38) b) El tamaño de la muestra ha de ser mayor o igual que 27 electrodomésticos. 4. Los gastos mesuales e actividades de ocio de las persoas que vive e ua determiada ciudad sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica igual a 25 euros. a. E ua muestra de 225 persoas se obtiee que el gasto medio e dichas actividades es de 95 euros. Hallar u itervalo de cofiaza del 95% para el gasto medio mesual e actividades de ocio de la població de esa ciudad. b. Si se elige u ivel de cofiaza del 99%, qué tamaño muestral será ecesario para estimar el gasto medio mesual e actividades de ocio de la població de esa ciudad co u error máximo de 1 euro? Solució: a) IC. (91'75, 98'27) b) El tamaño de la muestra ha de ser mayor o igual que 4125 persoas. 21

22 5. El úmero de días de ausecia e el trabajo de los empleados de cierta empresa para u período de 6 meses, se puede aproximar mediate ua distribució ormal de desviació típica 1 5 días. Ua muestra aleatoria de 10 empleados ha proporcioado los siguietes datos: a. Determiar u itervalo de cofiaza del 90% para el úmero medio de días que los empleados de esa empresa ha faltado durate los últimos 6 meses. b. Qué tamaño debe teer la muestra para que el error máximo de la estimació sea de 0 5 días co el mismo ivel de cofiaza? Solució: a) x = 5 IC. (4'21, 5'78) b) El tamaño de la muestra ha de ser mayor o igual que 25 empleados. 6. La estatura de los miembros de ua població se distribuye segú la ley ormal de media descoocida y desviació típica 9 cm. Co el fi de estimar la media se toma ua muestra de 9 idividuos de la població, obteiédose para ellos ua media aritmética igual a 170 cm. a) Calcula el itervalo de cofiaza al ivel 95% para la estatura media de la població. b) Calcula el tamaño muestral ecesario para estimar la media de la població co u error máximo de 5cm y u ivel de cofiaza del 99%. Solució: a) IC. (164'12, 175'88) b) El tamaño de la muestra ha de ser mayor o igual que 22 persoas. 7. El peso de los paquetes eviados por ua determiada empresa de trasportes se distribuye segú ua ley Normal, co desviació típica de 0 9 kg. E u estudio realizado co ua muestra aleatoria de 9 paquetes se obtuviero los siguietes pesos e kg

23 a) Halla u itervalo de cofiaza, al 99%, para que el peso medio de los paquetes eviados por esa empresa. b) Calcular el tamaño míimo que debería teer ua muestra, e el caso de admitir u error máximo de 0 3 kg, co u ivel de cofiaza del 90% Solució: a) x = 11 IC. (10'2275, 11'7725) b) El tamaño de la muestra ha de ser mayor o igual que 25 paquetes. 8. Se ha tomado ua muestra aleatoria de 100 idividuos a los que se ha medido el ivel de glucosa e sagre, obteiédose ua media muestral de 110 mg/cm3. Se sabe que la desviació típica de la població es de 20 mg/cm3. a) Obté u itervalo de cofiaza, al 90%, para el ivel de glucosa e sagre e la població. Solució (106,71; 113,29) b) Qué error máximo se comete co la estimació aterior? Solució E=3,29 9. Las vetas mesuales de ua tieda de electrodomésticos se distribuye segú ua ley ormal, co desviació típica 900. E u estudio estadístico de las vetas realizadas e los últimos ueve meses, se ha ecotrado u itervalo de cofiaza para la media mesual de las vetas, cuyos extremos so y a) Cuál ha sido la media de las vetas e estos ueve meses? Solució: x = 5251 b) Cuál es el ivel de cofiaza para este itervalo? Solució: 95 % 10. La estatura de los jóvees de ua ciudad sigue ua distribució N( μ, σ ). Si el 90% de las medias de las muestras de 81 jóvees está e (173 4; 175 8), halla μ y σ. Solució: μ = 174'6 σ = 6' Se sabe que los estudiates de ua provicia duerme u úmero de horas diarias que se distribuye segú ua ley ormal de media μ horas y desviació típica 2 horas. a) A partir de ua muestra de 64 alumos se ha obteido el siguiete itervalo de cofiaza ( 7 26, 8 14) para la media de la població. Determia el ivel de cofiaza co que se ha costruido dicho itervalo. Solució: 92 '16 % b) Determia el tamaño muestral míimo ecesario para que el error que se cometa al estimar la media de la població por u itervalo de cofiaza sea, como máximo, de 0 75 horas, co u ivel de cofiaza del 98%. Solució : El tamaño muestral míimo es de 39 estudiates. 23

24 Itervalos de cofiaza y tamaño de la muestra para la proporció. 1. E ua uiversidad se toma ua muestra de 100 alumos al azar, y se ecuetra que 62 ha aprobado todas las asigaturas. a) Co u ivel de cofiaza del 95%, halla u itervalo para estimar el porcetaje de alumos que aprueba todas las asigaturas Solució: IC. (0'5249, 0' 7151) b) A la vista del resultado aterior, se pretede repetir la experiecia para coseguir ua cota de error de 0 03, co el mismo ivel de cofiaza del 95%. Cuátos idividuos ha de teer la muestra) Solució : El tamaño muestral míimo es de 1006 alumos. 2. E ua muestra de 600 persoas de ua ciudad, se observa que 30 so imigrates. a) Determia u itervalo de cofiaza de ivel 0 95 para el porcetaje de imigrates de esta ciudad. Solució: IC. (0'03, 0' 07) b) Si se quiere estimar el porcetaje de imigrates co u error máximo de 0 02, cuál es el tamaño de la muestra que habría que cosiderar si se usa u ivel de sigificació del 1%? Solució : El tamaño muestral míimo es de 791 persoas. 3. Tomada al azar ua muestra de 60 alumos de ua uiversidad, se ecotró que u tercio hablaba iglés. a) Halla, co u ivel de cofiaza del 90%, u itervalo de cofiaza para estimar la proporció de alumos que habla iglés etre los alumos de esa uiversidad. Solució: IC. (0'23, 0' 43) b) A la vista del resultado aterior, se pretede repetir la experiecia para coseguir ua cota de error del 0 01, co el mismo ivel de cofiaza del 90%. Cuátos idividuos ha de teer la muestra? Solució : El tamaño muestral míimo es de 6020 persoas. 24

25 Tipificar 1. E u servicio de ateció al cliete, el tiempo de espera hasta recibir ateció es ua variable aleatoria de media 10 miutos y desviació típica 2 miutos. Se toma muestras aleatorias del tiempo de espera de los clietes que llega e u día cocreto. Se pide: a. Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de ua muestra de 25 clietes o supere los 9 miutos? b. Cuál es la distribució de la media muestral, si se toma aleatorias de 64 clietes? Solució: 2 a) X 25 N(10, ) 25 X PX ( < 9) = P( < ) = PZ ( < 2'5) = 1 PZ ( 2'5) = 1 0'9938 = 0' Miramos la tabla N (0,1) b) σ 2 X N( μ, ) = N(10, ) = N(10,0'25) Cosidérese ua població e la que se estudia ua característica X que sigue ua distribució ormal de media 12 y desviació típica 4. Se pide: a. Probabilidad de que u elemeto de la població elegido al azar tega la característica superior a 14. b. Se cosidera ua muestra aleatoria de tamaño =9, cuál es la probabilidad de que la media muestral tega u valor superior a 14? Solució: a) X N(12, 4) X PX ( > 14) = P( > ) = PZ ( > 0'5) = 1 PZ ( 0'5) = 1 0'6915 = 0' Miramos 2 4 b) X 9 N(12, ) = N(12, ) 9 3 la tabla N (0,1) X PX ( > 14) = P( > ) = PZ ( > 1'5) = 1 PZ ( 1'5) = 1 0'9332 = 0' Miramos la tabla 3 3 N (0,1) 25

26 3. La temperatura corporal e ua cierta especie aimal es ua variable aleatoria que tiee ua distribució ormal de media 36 7ºC y desviació típica 3 8ºC. Se elige aleatoriamete ua muestra de 100 ejemplares de esa especie. Hallar la probabilidad de que la temperatura corporal media de la muestra: a. Sea meor ó igual a 36 9ºC. b. Esté compredida etre 36 5ºC y 37 3ºC. Solució: 3'8 X N(36'7,3'8) X N(36'7, ) = N(36'7, 0'38) 100 a) 100 σ X N( μ, ) X 36'7 36'9 36'7 PX ( 36'9) = P( ) = PZ ( 0'52) = 0,6985 0'38 0'38 Miramos la tabla N (0,1) b) 36'5 36'7 X 36'7 37'5 36'7 P(36'5 X 37 '3) = P( ) = P( 0'52 Z 2'10) = 0'38 0'38 0'38 = PZ ( 2'10) PZ ( 0'52) = PZ ( 2'10) [1 PZ ( 0'52)] = 0'9821 [1 0'6985] = 0'6806 Miramos la tabla N (0,1) 4. Se tiee muchos datos que sigue ua distribució ormal de media 20 y desviació típica 2. : a) Calcula la probabilidad de que los datos supere el valor de 23. Solució: b) Calcula la probabilidad de que los datos sea iferiores a 15. Solució: Se supoe que el peso de las mujeres de ua determiada regió sigue ua distribució ormal de media 64 kg y desviació típica 6 kg. Se toma ua muestra al azar de 144 de estas mujeres y se calcula su media. Cuál es la probabilidad de que esta media sea al meos de 63 kg? Solució:

27 6. La edad a la que cotrae matrimoio los hombres de Toledo es ua variable aleatoria que se puede aproximar por ua distribució ormal de media 35 años y desviació típica de 5 años. Se elige aleatoriamete ua muestra de 100 hombres de dicha ciudad. a) Cuál es la media y la desviació típica de la media? Solució: Media= 35 años Desviació típica = 0 5 años b) Cuál es la probabilidad de que la edad media de casamieto de la muestra este compredida etre 36 y 37 años? Solució: Se cooce que el úmero de días de permaecia de los efermos e u hospital sigue ua distribució ormal de media 8 1 días y desviació típica 3 días. Se elige al azar ua muestra de 100 efermos. Cuál es la distribució de la media muestral? Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de permaecia de los efermos de ese hospital esté compredida etre 8 y 10 días? Solució: X N(8'1,0'3) ; Se supoe que la altura de las alumas de segudo de Bachillerato de ua determiada ciudad sigue ua ley Normal de 165 cm de media y 11 cm de desviació típica. Se toma ua muestra al azar de 121 de estas alumas y se calcula su media. Cuál es la probabilidad de que esta media sea meor que 164 cm? Solució: Se sabe que e el último año el gasto mesual e trasporte de los estudiates de u IES sigue ua distribució ormal de media 42 euros y desviació típica 3 20 euros. a) Qué distribució seguirá las medias de las muestras de tamaño 64 alumos, obteidas por muestreo aleatorio simple? Solució: X N(42,0'4) b) Cuál es la probabilidad de que la media de ua de esas muestras de 64 alumos sea iferior o igual a euros? Solució: La media de edad de los alumos que se preseta a las pruebas de acceso a la uiversidad e ua determiada població es de 18 1 años y la desviació típica de 0 6 años. a) De los alumos ateriores se elige al azar ua muestra de 100. Cuál es la probabilidad de que la media de la edad de la muestra esté compredida etre 17 9 y 18 3 años, co ua cofiaza de 99 5%? Solució:

28 b) Qué tamaño debe teer ua muestra de dicha població para que su media esté compredida etre 17 9 y 18 3 co ua cofiaza de 99 5%? Solució: = La putuació que obtiee los iños e cierto test psicológico sigue ua distribució N (85, 15). a) Cuál es la probabilidad de que u iño elegido al azar obtega más de 100 putos? Solució: b) Cuál es la probabilidad de que la putuació media e ua muestra de 10 años sea de más de 100 putos? Solució:

29 ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR, N(0, 1) Pz ( ) z α z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 4,0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 z α 29