dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx

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1 Integrles Clculr l integrl: +e sen(+) ln (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible t = tg, hllr cos +cos sen Determinr un función f:r R sbiendo que es tres veces derivble, que f () = pr cd punto de R y que f() =, f () = y f () = () Sbiendo que F es un primitiv de un función f, hll un primitiv de f que se nule en el punto = () De un función g:r R se sbe que es dos veces derivble y tmbién que g() =, g () = y g () = 8, R Clculr un epresión lgebric de est función g L gráfic de l función derivd de f() es un rect que ps por el origen y el punto (,) Sbiendo que l gráfic de f() ps por el punto (,-), hllr l epresión nlític de l función f () y de l función f() 6 De l función f:r R se sbe que f () = ++ y que su gráfic tiene tngente horizontl en el punto P(,) Hllr l epresión de f 7 Hllr un función f:r R sbiendo que en el origen su gráfic tiene tngente horizontl, siendo un punto de infleión, y f () = 6 8 Determinr l función f:r R sbiendo que su derivd segund es constnte e igul y que l rect tngente su gráfic en el punto de bscis = es -y- = 9 () Clculr, de mner rzond, tods ls funciones R R que verificn f () = () Estudir l derivbilidd de cd un de ls funciones f hllds e,si < +, si > () Determinr rzondmente l epresión lgebric de un función continu f:r R que cumpl ls siguientes,si < condiciones: f() = ; f () =,si > () Rzon si l función f es derivble en el punto = () Esboz l gráfic de est función f 9 de enero de 6 Págin de 7

2 Integrles En l figur djunt se represent l gráfic de l función derivd f de un ciert función f:[,] R () Hllr un epresión lgebric de f sbiendo que su gráfic ps por el origen de coordends () Representr gráficmente l función f () Estudir l derivbilidd de l función f () Describe un procedimiento de integrción por prtes () Determin un función f:[,+ ) R sbiendo que su función derivd viene dd por f () = Ln[(+)(+)] y que f() = Ln(7), donde Ln represent el logritmo neperino de De tods ls primitivs de l función f:r R dd por f() = + determinr quell cuy gráfic ps por el punto (,) Clculr l integrl: (-) π tg π sen 6 π sen Siendo f() = +, clculr f() - 6 Determinr un polinomio P() de segundo grdo sbiendo que: P() = P() = y P() = 7 De l función f:r R definid por f() = +b +c+d se sbe que tiene un máimo reltivo en =, un punto de infleión en (,) y que f() = Clculr, b, c y d 8 Un locomotor sle de un estción y vij durnte un hor lo lrgo de un tryectori rectilíne L velociddde l locomotor l cbo de t hors viene dd, en km/h, por l fórmul v(t) = t -t +8t ( t ) () Clculr el espcio totl que recorre l locomotor () Determinr l velocidd máim que lcnz l locomotor y el instnte en que lo hce 9 Considerr l función f:r R definid de l form f() = + () Hllr l derivd de f () Determinr los intervlos de crecimiento y de decrecimiento de f () Clculr f() - () Definir el concepto de derivd de un función en un punto () Estudir l derivbilidd de l función f:r R definid por f() = e () Siendo f l función dd en el prtdo nterior, clculr f() 9 de enero de 6 Págin de 7

3 Integrles Se f:r R l función definid por f() = () Determinr los intervlos de crecimiento y de decrecimiento de f (b) Determinr los etremos reltivos α y β de f, con α<β, y clculr β f() α Se f:r R l función definid por f() = () Estudir su derivbilidd () Clculr π/ f() -, si sen(), si > () Estudi, según los vlores de b, l derivbilidd de l función f definid por f() = () Clculr f() -, si < - +b-,si Siendo Ln() el logritmo neperino de, considerr l función f:(-,+ ) R definid por f() = () Determinr el vlor de sbiendo que f es derivble (b) Clculr f() (-) si - < Ln() si > Dd l función f definid por f() = -, < +, () Hllr el vlor de pr que l función se continu () Estudir l derivbilidd () Clculr f() - 6 Se f:[-,] R, con >, un función continu tl que pregunts: () Es necesrimente f() = pr todo [-,]? () Es necesrimente () Es necesrimente () Cuánto vle f() =? - f(-) =? - [f() + ] -? f() = - Responde rzondmente ls siguientes 7 Sbiendo que f() =, g() =, f() = y g() =, clculr f()+g() - f()+g() 8 Se f l función definid por f() = -, pr y - () Determinr los intervlos de crecimiento y de decrecimiento de f 9 de enero de 6 Págin de 7

4 Integrles () Teniendo en cuent como es l función en el intervlo [,] demostrr, sin clculr l integrl, que se cumple: f() 9 Si un función f:[,b] R es integrble, se llm vlor medio de f en el intervlo [,b] l número m = b- b f() Pr hcer un estudio sobre l cpcidd de memorizr de un niño se utiliz el siguiente modelo: Si es su edd en ños, entonces su cpcidd de memorizr viene dd por: f() = + Ln(), donde Ln() es el logritmo neperino de () Describe el método de integrción por prtes () Encuentr, usndo el modelo descrito, el vlor medio de l cpcidd de memorizr de un niño entre su primer y tercer cumpleños Clculr l derivd de l siguiente función, sin efectur l integrl: f() = t +t- dt () Enuncir el teorem fundmentl del cálculo integrl () Aplicr dicho teorem pr clculr ls bsciss de los máimos y mínimos locles de l función f:r R, definid por f() = t -t dt, sin efectur l integrción Hllr los máimos y mínimos reltivos de l siguiente función: f() = t -t dt L figur siguiente represent l gráfic de un función f:[,7] R Se F:[,7] R l función definid por F() = f(t)dt () Clculr F() y F(7) () Dibujr l gráfic de F, eplicndo el proceso - Y 6 7 Clculr el áre del recinto limitdo por: Ls rects +y =, y =, =, = 8 L prábol y = y l rect y = L curv y = y l rect y = L curv y = +, el eje O y ls rects = y = L prábol y = - -+ y sus tngentes en l intersección de l curv con el eje O 6 L gráfic de l función y = sen entre y π y el eje O 7 Ls gráfics de ls funciones f() = + y g() = + 8 L curv y = ln, el eje O y l rect = e Consideremos F() = f(t)dt () Si f fuese l función cuy gráfic prece en el dibujo, indicr si son verdders o flss ls siguientes firmciones, rzonndo l respuest: i) F(α) = ii) F (α) = iii) F es creciente en (,α) 9 de enero de 6 Págin de 7

5 Integrles (b) Clculr F() siendo f(t) = t+ 6 Hllr el áre del recinto que prece en l figur djunt, sbiendo que l prte curv tiene como ecución y = Dibujr l región (y clculr su áre) limitd por: L rect y = -+ y l curv de ecución y = -+ L rect y = y ls gráfics de ls funciones f() = y g() = - Ls curvs de ecuciones y = - e y = - L curv de ecución y = y ls rects de ecuciones = e y = + + L curv y = + cos, los ejes de coordends y l rect = π 8 Considerr ls funciones f:r R y g:r R definids por: f() = ++ y g() = - -+ () Representr gráficmente mbs funciones () Hllr el áre de l región del plno que está formd por todos los puntos (,y) que cumplen f() y g() 9 Se f:r R l función definid por f() = e - Esbozr el recinto limitdo por l curv y = f(), los ejes coordendos y l rect = - Clculr su áre si 6 Considerr l función f:[,] R definid por f() = (+) si < < - si () Esbozr l gráfic de f () Hllr el áre del recinto limitdo por l gráfic de f y el eje de bsciss () Describir el procedimiento de integrción por prtes () Cuál es el áre de l región limitd por l gráfic de l función f:(,+ ) R definid por f() = [Ln()], el eje O y ls rects cuys ecuciones son = y = e? (Ln() denot logritmo neperino de ) () Hllr el punto de infleión de l función f:r R definid por f() = e - () Dibujr l región limitd por l gráfic de f, el eje O y l rect =b, donde b es l bscis del punto de infleión hlldo en el prtdo nterior () Clculr el áre de l región descrit en el prtdo nterior -k,si L función f:r R definid por f() = es derivble en todo su dominio, si > k () Cuánto vle k? Cuánto vle f ()? Justificr ls respuests () Pr el vlor de k hlldo en el prtdo nterior, dibujr l región limitd por l gráfic de l función f, el eje O, el eje OY y l rect = () Hllr el áre de l región descrit en el prtdo nterior Se f:r R l función definid por f() = de enero de 6 Págin de 7

6 Integrles () Hllr l ecución de l rect tngente l gráfic de l función f en su punto de infleión () Dibujr el recinto limitdo por l gráfic de l función f, l rect tngente en su punto de infleión y el eje OY () Hllr el áre del recinto descrito en el prtdo nterior () Hllr el áre del triángulo formdo por el eje O y ls rects tngente y norml l curv de ecución y = e - en el punto de bscis = - () Hllr el áre de l región limitd por l curv de ecución y = e - y el eje O, pr los vlores - < < 6 Clculr el vlor de α, positivo, pr que el áre encerrrd entre l curv y = α- y el eje de bsciss se 6 Represent l curv que se obtiene pr dicho vlor de α 7 Hllr b sbiendo que l rect y = b divide en dos prtes que tiene l mism áre l región cotd por l curv de ecución y = 9- y el eje de bsciss 8 Clculr el volumen del cuerpo engendrdo por l rotción lrededor del eje O del recinto limitdo por ls prábols y = e y = + 9 Clculr el volumen generdo l girr 6º lrededor del eje O el recinto limitdo por l prábol y = y l rect y = Soluciones c + e + c ln + c rc tg + c - cos(+) + c c 7 ln - + c + c c ln ln + c rc sen + c (-)sen - cos + c + c 6 -ln - c - + ln - - ln ln + + c rc sen + c rc tg + c ln + c 7 -+ e + c 8 - cos+ sen + c e c ln + + ln - + c - + ln c - rc tg + c ln +tg + c f() = + + () F() - F() () g() = + f() = - ; f () = 6 f() = f() = 8 f() = () f() = e, +, < (,b R) () R - {} () f() = - ++b, >, > Y, < Y () No () () f() = () () R - f() = ln ln + +, ln + F() = - -, < + -, ,,, 8 () km () v m = 8 ; t m = ln - π ln 6-9 () f () = () Creciente en R () () R-{} () () Creciente en (-,-) (b) α= -, β= - ; 9 +9b-ln () R-{} () () R, pr b = - () () - () R-{} () -(ln+) 6 No, No, Si, 7 8 Creciente en (-,) 9 ln- f () = +- máimo: = ; mínimos: =± máimo: ; mínimos: ± (), Y () () No, si, si () de enero de 6 Págin 6 de 7

7 Integrles ln π 7 - π 8 9 e- () () () e - (), - e Y () () 8+6ln () y= -+ () () () e +e () e π 9 8π 9 de enero de 6 Págin 7 de 7

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