PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO

Transcripción

1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 7 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción B Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A Reserva 3, Ejercicio 4, Opción B Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A Reserva 4, Ejercicio 4, Opción B Septiembre, Ejercicio 4, Opción A Septiembre, Ejercicio 4, Opción B

2 Considera los planos de ecuaciones: x y + z = y x + y z = a) Determina la recta que pasa por el punto A (,,3) y no corta a ninguno de los planos dados. b) Determina los puntos que equidistan de A (,, 3) y B (,, ) y pertenecen a la recta intersección de los planos dados. MATEMÁTICAS II. 7. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A a) La recta debe ser paralela a la recta intersección de los dos planos. Calculamos, por tanto, el vector director de dicha recta. i j k = i+ j+ k+ k+ j i = (,, ) x= Luego, la ecuación de la recta pedida en forma paramétrica será: y = + t z = 3 + t b) Las coordenadas de cualquier punto de la recta intersección de los dos planos, será: x= x y+ z= y= + z C (, + t, t) x+ y z= z= t Los módulos de los vectores AC = (, t, t 3) y BC= (, t, t), tienen que ser iguales, luego: + ( t ) + ( t 3) = ( ) + t + t t + t+ t + 9 6t= + t + t t= 8 9 Luego, el punto pedido es: 7 9 C,, 8 8

3 Considera los puntos A(,3, ) y B (,, 5). a) Calcula los valores de x sabiendo que el triángulo ABC de vértices A(,3, ), B (,,5) y C ( x,4,3) tiene un ángulo recto en C. b) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos (,,5) y (3,4, 3) y es paralelo a la recta x y + z = definida por las ecuaciones. x + y = 3 MATEMÁTICAS II. 7. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B a) Como el ángulo recta está en C, los vectores CA ycb, son perpendiculares, luego su producto escalar vale cero. CA = ( x,, 4) CB = ( x, 3,) CA CB= x x = x + = x=± b) Calculamos el vector director de la recta. (,, 4) (, 3, ) i j k = j+ k+ k i = (,, 3) Calculamos el vector que une los puntos (,,5) y (3, 4,3). u = (3, 4,3) (,,5) = (3, 3, ) El plano que nos piden viene definido por el punto (,,5) y los vectores u = (3, 3, ) y v = (,,3) x 3 y 3 = 9x+ 6z 3+ y + 3z 5 9y+ 9+ 4x= 3x 7y+ 9z 38= z 5 3

4 x y k z x + y z 3 Sea r la recta definida por = = y s la recta definida por = = a) Halla k sabiendo que las rectas r y s se cortan en un punto. b) Determina la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s. MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA. EJERCICIO 4.OPCIÓN A. a) Calculamos un punto y vector director de cada recta. x y k z = = A= (, k,) ; u = (3, 4,5) x+ y z 3 = = B= (,,3) ; v = (,,3) 3 Las rectas se cortan si el determinante de AB= ( 4, k,3) ; u y v vale cero, luego: k 4 = 4k+ 8= k = b) El plano viene definido por el punto B y los vectores u y v, luego, su ecuación será: x+ 3 y 4 = x 7y+ 5z 6= z 3 5 3

5 Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación x + y + 3z = que corta x = z + 4 perpendicularmente a la recta definida por en el punto(,, ). y = z + 3 MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA. EJERCICIO 4.OPCIÓN B. La ecuación de todos los planos perpendiculares a la recta que nos dan es: x+ y+ z+ D=. El que pasa por el punto (,, ), es: + + D= D= 5 x+ y+ z 5=. La recta que nos piden viene dada por la intersección del plano que nos dan y del plano que hemos calculado, luego su ecuación será: x+ y+ 3z = x+ y+ z 5=

6 x y z Considera la recta r definida por = = y el plano π de ecuación x y +β z =. α 4 Determina α y β en cada uno de los siguientes casos: a) La recta r es perpendicular al plano π. b) La recta r está contenida en el plano π. MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA. EJERCICIO 4.OPCIÓN A. a) Si la recta es perpendicular al plano, el vector director de la recta y el vector normal del plano son paralelos, luego, sus componentes son proporcionales. α 4 = = α= 8 ; β= β b) Para que la recta r esté contenida en el plano π, el punto de la recta debe pertenecer al plano y el vector director de la recta y el vector normal del plano deben ser perpendiculares, es decir, su producto escalar debe valer. Sustituimos el punto en la ecuación del plano. +β = β= El producto escalar de los vectores ( α,4,) y (,, ) debe valer cero, luego: α + 4 ( ) + ( ) = α= 4

7 Calcula la distancia del punto P (, 3,7) a su punto simétrico respecto de la recta definida por 3x y z = x + y z + 6 = MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA. EJERCICIO 4.OPCIÓN B. P M P Calculamos la ecuación del plano que pasando por el punto P es perpendicular a la recta. Como la recta es perpendicular al plano, el vector director de dicha recta y el vector normal del plano son paralelos, luego: i j k Vector normal del plano = vector director de la recta = 3 = (,,4) La ecuación de todos los planos perpendiculares a dicha recta es: x+ y+ 4z+ D=. Como nos interesa el que pasa por el punto P (, 3,7) + ( 3) D= D= 4 x+ y+ 4z 4= x+ y+ z = Calculamos las coordenadas del punto de intersección de la recta con el plano (M); para ello pasamos la recta a paramétricas y sustituimos la ecuación de la recta en la del plano: x= + t 3x y z = y= 4+ t x+ y z+ 6= z = + 4t t 4+ t+ 4+ 8t = t= luego las coordenadas del punto M son: M (,, 6) PM = (,, ) d( P, M ) = PM = 3 d( P, P ') = PM = 3 u

8 Encuentra la ecuación de la recta r que pasa por el origen de coordenadas y es paralela a los planos π de ecuación x + y + z = 3 3 y π de ecuación x + y + z =. b) Halla la distancia de la recta r al plano π. MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA 3. EJERCICIO 4.OPCIÓN A. a) El vector director de la recta es el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos, luego: i j k = (,, ) x y z por lo tanto, la ecuación de la recta pedida es: = = b) El vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano π, por lo tanto, la recta y el plano son paralelos con lo cual la distancia de la recta al plano es la distancia de cualquier punto de la recta (el origen) al plano, es decir: d( O, π ) = = 3u + +

9 x y = 5 Considera el punto P (,, ) y la recta r definida por x + y 4z = 7 a) Determina la recta perpendicular a r que pasa por P. b) Halla la distancia entre el punto P y su simétrico Q respecto de la recta r. MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA 3. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. P M Q Calculamos la ecuación del plano que pasando por el punto P es perpendicular a la recta. Como la recta es perpendicular al plano, el vector director de dicha recta y el vector normal del plano son paralelos, luego: i j k Vector normal del plano = vector director de la recta = = (4,8,4) 4 La ecuación de todos los planos perpendiculares a dicha recta es: 4x+ 8y+ 4z+ D=. Como nos interesa el que pasa por el punto P (,, ) ( ) + D= D= 4 4x+ 8y+ 4z+ 4= x+ y+ z+ = Calculamos las coordenadas del punto de intersección de la recta con el plano (M); para ello pasamos la recta a paramétricas y sustituimos la ecuación de la recta en la del plano: x= 3+ t x y= 5 y= + t x+ y 4z= 7 z = t 3+ t+ (+ t) + t+ = t= luego las coordenadas del punto M son: M (,, ) La ecuación de la recta pedida es: x y z + x y z + = = = = + b) PM = (,,) d( P, M ) = PM = 3 d( P, Q ) = PM = 3 u

10 Considera el plano π de ecuación x + y z 6 = y el punto P (,, ). a) Calcula la recta que pasa por el punto P y es perpendicular al plano π. b) Encuentra el punto simétrico de P respecto del plano π MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. P M P a) Calculamos la ecuación de la recta que pasando por el punto P es perpendicular al plano. Como la recta es perpendicular al plano, el vector director de dicha recta y el vector normal del plano son paralelos, luego: Vector normal del plano = vector director de la recta = (,, ) La ecuación paramétrica de la recta será: x= + t y = t z = t b) Calculamos las coordenadas del punto de intersección de la recta con el plano (M); para ello sustituimos la ecuación de la recta en la del plano: (+ t) + t ( t) 6= t= luego las coordenadas del punto M son: x= + = ; y= = ; z= = Como el punto M es el punto medio del segmento P P', si llamamos (a,b,c) a las coordenadas del punto P', se debe verificar que: + a b 4 + c 4 5 = ; a = ; = ; b = ; = ; c =

11 x y + z Considera el plano π de ecuación x + y z 6 = y la recta r definida por = = a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los ejes de coordenadas. b) Calcula, razonadamente, la distancia de la recta r al planoπ. MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) Pasamos la ecuación del plano a segmentaria x y z x y z x+ y z 6= + + = + + = Luego, los puntos de corte del plano con los ejes coordenados son: A(3,, ); B (,3, ) y C (,, 6) Calculamos los vectores AB= ( 3, 3, ) y AC= ( 3,, 6) y calculamos su producto vectorial: i j k 3 3 = ( 8, 8,9) 3 6 S = AB AC = = u b) La recta y el plano son paralelos ya que el vector director de la recta y el vector normal del plano son perpendiculares. Luego, calculamos la distancia de un punto de la recta (,, ) al plano. + ( ) 6 d = = u + +

12 a) Halla los dos puntos que dividen al segmento de extremos A (,,) y B (,,3) en tres partes iguales b) Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio. MATEMÁTICAS II. 7. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) A M N B Observamos la siguiente igualdad entre vectoresab= 3AM, y como AB= (,, ) y 4 5 AM = ( x, y, z ), obtenemos: (,, ) = (3x 3,3y 6,3z 3) x= ; y= ; z=, es decir el punto M es M =,, También se observa que el punto N es el punto medio del segmento MB, es decir: M + B N = =,, =,, b) El vector normal del plano es el vector AB= (,, ) luego, su ecuación será: A+ B =, y pasa por el punto (,,) x y+ z+ D= + + D= D= x y+ z = x y+ z =

13 Considera los vectores u = (,, m), v = (, m, ) y w= (, m,). a) Determina el valor de m para que los vectoresu, v y w sean linealmente dependientes. b) Para el valor de m obtenido en el apartado anterior, expresa el vector w como combinación lineal de los vectores u y v. MATEMÁTICAS II. 7. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) Para que los vectores sean linealmente dependientes su determinante tiene que ser, es decir: m m = m + m= m= m b) = a w= a u+ b v (,, ) = a (,,) + b (,, ) = a+ b a= ; b= = a b Luego, la combinación lineal es: w= u+ v