Guía Semana 4 1. RESUMEN 2. EJERCICIOS PROPUESTOS. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática

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1 . RESUMEN Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Vris Vriles 08- Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Guí Semn 4 Grdiente. Sen Ω Ê N un ierto, f : Ω Ê, x 0 Ω, con f diferencile en x 0. L derivd de f en x 0, f (x 0 es un mtriz fil de tmño N de modo que puede identificrse con un vector de Ê N, que llmmos grdiente de f en x 0 y lo denotmos por f(x 0. Identificndo los vectores de Ê N con ls mtrices column, tenemos entonces que f(x 0 = f (x 0 T y f(x 0 = x (x 0 x (x 0 x N (x 0. L dirección del grdiente f(x 0, es quell de máximo crecimiento de f prtir del punto x 0. El hiperplno tngente l grfo de f en el punto (x 0, f(x 0 es el conjunto de puntos (x, x N+ Ê N+ que stisfcen x N+ = f(x 0 + f(x 0 (x x 0. En el cso de que se trte de un conjunto de nivel N C (f = {x Ê N f(x = C} de f, y si f 0. Se define el hiperplno tngente N C (F en x 0 como el conjunto de puntos x Ê N que stisfcen f(x (x x 0 = 0. EJERCICIOS PROPUESTOS Grdiente y Plno Tngente P.- Hllr el grdiente de f en cd uno de los siguientes csos: f(x, y, z = (x ye xz, en (,,. f(x, y = x y sen y, en (π, π. c f(x = x α, x Ê n \{0}, α Ê +. En x = 0 y x 0. Hint: Sepre en los csos α < y α > pr estudir l diferenciilidd en 0. P.- Hllr l ecución pr el plno tngente cd superficie z = f(x, y en el punto indicdo: i z = x 3 + y 3 6xy en (,, 3 ii z = cosxsen y en (0, π/, Clculr, pr los siguientes csos, l dirección de myor crecimiento en (,,

2 i f(x, y, z = xy + yz + xz 3 ii f(x, y, z = x +y +z P3.- Considere l función f : Ê 3 Ê definid por: Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Encuentre f(x, y, z. f(x, y, z = exy + z + cos (xy Encuentre el plno tngente l grfo de f en el punto (x, y, z = (0, 3,. P4.- Se S l superficie: { S = (x, y, z Ê 3 : z + ( } x + y = Encuentre los plnos tngentes S en (0, +, y (0,, 0. Bosqueje( l intersección de S l plno x = 0. En el osquejo indique 0, +, y (0,, 0y diuje los vectores normles S en dichos puntos. P5.- Clculr un ecución pr el plno tngente l gráfic de: f(x, y = ex x + y en x =, y =. P6.- Encuentre l linelizción de en el punto (3,. f(x, y = x xy + y + 3 P7.- Trzr ls curvs de nivel de f(x, y = x 9y pr c = 0,, 0 Sore su trzo, diujr f en (,. Explicr.

3 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile P8.- El cpitn PF tiene dificultdes cerc del ldo soledo de Mercurio. L tempertur del csco de l nve, cundo el está en l posición (x, y, z estrá dd por: T(x, y, z = e (x +y +3z donde x, y, z están medidos en metros. Actulmente él está en (,, : En qué dirección deerá vnzr pr disminuir más rápido l tempertur?. Si l nve vij 8 metros por segundo, con qué rpidez decrecerá l tempertur?. c Desfortundmente, el metl del csco se querrá si se enfrí un ts myor que 4e grdos por segundo. Descriir el conjunto de posiles direcciones en ls que puede vnzr jndo l tempertur un ts no myor que es. Curvs prmetrizds P9.- Encuentre l derivd de f(x, y, z = xyz en l dirección del vector velocidd de l hélice en t = π 3. r(t = (cos3t, sen3t, 3t P0.- Se f : Ê Ê definid por: f(x, y = x 3 xy + cos(π(x + y Encuentre un vector norml l curv de nivel f = en el punto (,. Encuentre l ecución de l rect tngente l curv de nivel f = en el punto (,. c Encuentre un vector norml l grfo de f en el punto (,. d Encuentre el plno tngente l grfo de f en (,. P.- Considere l superficie S = {(x, y, z Ê 3 x + y z = 0}. Encuentre el plno tngente S en el punto (0, π, π. Considere l curv definid por σ(t = (t sen t, t cost, t. Muestre que σ está contenid en S y que ps por el punto (0, π, π Cuál es el vlor de t llí? Clcule el vector v, tngente l curv en (0, π, π. Hg un diujo. 3

4 3. PROBLEMAS RESUELTOS Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile P.- P3 C PRIM 07, M. Leseigneur Muestre que l ecución del plno tngente l elipsoide x + y + z c = en el punto (x 0, y 0, z 0, puede escriirse como: xx 0 + yy 0 + zz 0 c = Encuentre todos los puntos de l elipsoide x + y + z c = pr los cules el plno tngente form un ángulo de π 4 con el eje OZ. Identifique l ecución que stisfcen dichos puntos y explique su resultdo geométricmente. Solución Si definimos l función g(x, y, z = x + y + z c, entonces el vector norml l plno desedo corresponde l grdiente de g. Este es: ( x g =, y, z c Luego, l ecución del plno corresponde : g, x x 0 = 0 Es decir: x (x x 0 + y (y y 0 + z c (z z 0 = 0 Luego, utilizndo el hecho que x 0 + y 0 + z 0 c =, se otiene: xx 0 + yy 0 + zz 0 c = Necesitmos encontrr los puntos tles que l norml del plno nterior form un ángulo de π 4 con el eje OZ. Si se impone est condición: ( π cos = ( x 0, y0, z0 c, (0, 0, 4 ( x 0, y0, z0 c Esto llev : = z o c x y z x 0 + y z = = z 0 c 4 z o c 4 x 0 + y z

5 Finlmente: z 0 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile c 4 = x y 0 4 lo que corresponde elementos pertenecientes l cono de est últim ecución. P3.- (P EX OT 005, M. Leseigneur Encontrr todos los puntos de l superficie z = e x+y + sen(x y cuyo plno tngente es prlelo z = x + y. Solución Se F(x, y, z = z e x+y sen(x y, entonces el vector norml l superficie del enuncido es: F = ex+y cos(x y e x+y + cos(x y Ddo que l curv de nivel F(x, y, z = 0 coincide con l superficie del enuncido. Por otro ldo, el plno z x y = 0 tiene por vector norml: Por lo que si se quiere que el plno tngente en (x 0, y 0, z 0 se prlelo l plno pedido, deemos imponer que sus vectores normles sen prlelos, es decir: ex0+y0 cos(x 0 y 0 e x0+y0 + cos(x 0 y 0 pr lgún λ 0. Entonces: = λ λ =, e x0+y0 cos(x 0 y 0 =, e x0+y0 +cos(x 0 y 0 = Y se tienen ls siguientes ecuciones: e x0+y0 = x 0 +y 0 = ln(, cos(x 0 y 0 = 0 x 0 y 0 = kπ pr lgúnk Finlmente, los puntos son: { (x, y Ê ( k x = ln( + kπ, y = ln( } kπ 5