1. Ecuaciones de la recta en 3D

Transcripción

1 La recta y el plano en R 3 Primer taller de Geometría Analítica Vectorial 3D Indicador Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuaciones del plano en el espacio Rectas determinadas por intersección de dos planos Haces de rectas 1. Ecuaciones de la recta en 3D Abra un archivo ggb. Cree los deslizadores a, b, c, x0, y0, z0 y λ Ingrese en la barra de Entrada el punto P= (x0, y0, z0) y el vector v =( a, b, c) Mueva los deslizadores Ingrese el punto Q como Q = P + λv Objetivos Encontrar la ecuación de una recta en el espacio Encontrar la ecuación de un plano en el espacio Abra la vista 3D para visualizar los objetos:

2 2 Haga clic derecho sobre Q en la Vista Algebraica, despliegue la ventana de propiedades de Q y seleccione Activa Rastro Deslice λ y observe el rastro de Q: Clic derecho aquí Q está alineado con P en la dirección de La definición de Q puede considerarse como una función vectorial definida en R con valores en R 3 Q: R R 3 talque Q(λ) = P +λv Limpie el rastro con CRTL + F (Control + F) y vuelva a la ventana de propiedades de Q para desactivarlo. Trace la recta en la dirección de v que pasa por P, aplicando el comando Recta: En la Vista Algebraica tendrá la ecuación vectorial de la recta en términos del parámetro λ Mueva los deslizadores de v para confirmar que el alineamiento de P y Q en la dirección de v

3 3 Los valores de Qx, Qy y Qz dependen del parámetro λ se conserva Ingrese en Qx expresión componente x0 +λ*a Igualmente para Qy = y0 +λ*b y Qz = z0 +λ*c Compare los valores de Qx, Qy y Qz con las coordenadas de Q Comennt tari iioss al ll tuut t tori iial ll Ha evidenciado que dos puntos P y Q determinan una recta en la dirección de un vector equipolente a Q P, generando la Ecuación vectorial de la recta r. Para la ecuación vectorial de r se requiere conocer: Un punto de posición P(xo,y0,z0) que pertenece a r Un vector director ( ) Todo punto X =(x, y, z) r satisface:

4 4 (x, y, z) = (x0, y0, z0) + ( ), con R En notación conjuntista tendrá: r = { X R 3 : X = P + λ, R} El vector X es la suma del vector posición y el vector λ (dependiente de ) según el valor del parámetro λ Para cualquier valor de λ, X estará en la recta r i.e. X r Si λ1 λ2 entonces X1 X2 y se dice que los puntos están alineados. Si λ = 0, entonces X = P Igualando coordenadas de X con las de ( ) tendremos: x = x0 + λa y = y0 + λb, z = z0 + λc x x0 = λa y y0 = λb z z0 = λc Este sistema de ecuaciones define las ecuaciones paramétricas de la recta r Despejando λ e igualando se obtiene la ecuación simétrica o continua:

5 5 En Cálculo Vectorial se considera X como función definida en con valores en 3 Si en la ecuación simétrica un denominador es cero, por ejemplo a = 0, la recta está incluida en el plano YX Dos puntos P = (x0, y0. z0) y Q = (x1,,y1, z1) determinan una recta, cuyo vector director es Q P. Si P = O, la recta es un subespacio unidimensional de R 3 (También es llamada recta afín, si P 0 la recta se denomina variedad) Rectas paralelas tienen el mismo vector director Fundamentalmente se presentan dos tipos de problemas vinculados al paralelismo: o Dada una recta r y un punto P exterior, encontrar la paralela s a r que pasa por P : o el problema se resuelve fácilmente ya que s tiene el mismo vector director de r Dadas dos rectas r y s, averiguar si son paralelas: el problema se resuelve según: Ecuaciones Condición de paralelismo r: s: El paralelismo es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las rectas de 3 (Por la relación de equipolencia entre vectores)

6 6 La clase de equivalencia [ r ] de la recta r se llama dirección de r, y se toma como representante de clase a la recta r que pasa por O (subespacio de dimensión 1) P Tenemos como representante de clase a la recta r: X =, cuya clase de equivalencia es [ r ]= {s 3 : s } s ssi s:x = P + con 2. Ecuaciones del plano 3D Abra un archivo ggb Defina los deslizadores λ μ Cree dos vectores de posición u, v y un punto P Introduzca en la barra de Entrada el punto X = P + λu + μv Abra la vista 3D para visualizar los objetos : El vector de posición, definido por X es combinación lineal de y

7 7 Al deslizar λ se observa que X traza una recta en la dirección de Active el rastro de X y mueva el deslizador λ: El nuevo trazo define puntos de una recta en la dirección de Deslice μ y observe el rastro: La región trazada por X está

8 8 contenida en plano Π Con otros deslizamientos se trazará el contorno de una región plana: Sintaxis del comando Plano a aplicar: Desactive el trazo de X Trace las dos rectas r, s que pasan por el origen P en la dirección de u y v:

9 9 Ubique un punto A cualquiera en la recta s Asigne a la variable Π el comando Plano tomando como argumentos al punto A y la recta r La ecuación del plano Π es lineal en tres variables Tratará otra ecuación equivalente del plano Π En Vista Algebraica aparece la ecuación del plano Π, como ecuación lineal en tres variables: Mueva los deslizadores y rote la Vista 3D El punto X siempre pertenece al plano Π

10 10 El producto vectorial de u y v es un vector w perpendicular al plano Π Abra la vista CAS Con el comando ProductoVectortial la variable W igual al producto cruz de u y v La salida W es un punto y debe asignarlo a un objeto vector w Deposite W en w en la barra de Entrada Vuelva a CAS y asigne el comando PlanoPerpendicular a la variable Π1, tomando como argumentos el punto P y el vector w: Las constantes de la nueva ecuación Π1 difieren de las constantes de la ecuación Π, pero se trata del mismo plano porque son proporcionales El vector w es perpendicular al plano Considere a X un punto cualquiera del plano de componentes (x, y, z) Ingrese en la lista f1 las componentes de X P: Otra expresión para la ecuación del plano será tratada a continuación La diferencia X P corresponde al vector de componentes: x 3, y 4, z 8 Igualmente las listas f2 y f3 para las coordenadas de u y v respectivamente:

11 11 Asigne las listas en la lista M Asigne a Δ el determinante de M En la variable П2 deposite la ecuación Δ = 0 Ecuación general de la forma Ax + By + Cz + D= 0 Los coeficientes de la ecuación Δ = 0 también son proporcionales a los de П

12 12 Una última expresión para la ecuación de П El producto escalar de X P y w igual a cero, (X P)*w = 0, indica que los vectores son perpendiculares Asigne la ecuación (X P) w = 0 la variable П3 Compare gráficamente todas las ecuaciones encontradas. Son proporcionales? (Previsto los truncamientos en la aproximación decimal) Mueva los deslizadores y confirme que los puntos X, P y A siempre pertenecen al plano. Comennt tari iioss al ll tuut t tori iial ll Para encontrar la ecuación vectorial del plano Π en R 3 se requiere conocer: Un punto P(x0,y0,z0) que le pertenecen Dos vectores directores y Los puntos P(x0, y0, z0) y X = (x, y, z) determinan los vectores posición: ( ) ( ) Siendo el vector combinación lineal de los vectores directores del plano y

13 13 Dados el punto P(x0, y0, z0) y los vectores ( ) y ( ) determinan la ecuación vectorial del plano Π: ( ) ( ) + λ ( ) + μ ( ) En notación conjuntista: Π = {X R 3 : X = P + λ + μ, R} Desarrollado la ecuación vectorial se obtienen las ecuaciones paramétricas: x = x0 + λux + μvx y = y0 + λuy + μvy x = x0 + λuz + μvz Este sistema de ecuaciones en λ, μ puede escribirse matricialmente: ( ) ( ) ( ) Desde que el vector ( ) es linealmente dependiente de los vectores ( ) y ( ) el determinante det (, ) es nulo:

14 14 Calculando el determinante e igualando a 0 se obtiene la ecuación general o cartesiana del plano, ecuación lineal en tres variables: Π : Ax +By +Cz+D = 0 A partir de la ecuación general pueden encontrar un punto y los vectores directores del plano: Si A 0 entonces con lo cual: ( ) ( ) Desarrollando: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Haciendo y = λ z = μ se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) para cualquier R P Si D 0 i.e. que el plano Π no pasa por el origen, al dividir la ecuación general por D se obtiene la ecuación canónica del plano:

15 15 Siendo La orientación del plano Π está dada por todo vector ortogonal al mismo, en particular el vector determinado por el producto vectorial x Planos con orientaciones equivalentes son paralelos: Igualmente al paralelismo entre rectas, el paralelismo entre planos o planos y rectas presenta dos tipos de problema: o Dados dos planos o un plano y una rectas, averiguar si son paralelos, este problema según: Ecuaciones Plano plano Π1 : A1 x +B1 y +C1 z + D1 = 0 Π2 : A2 x +B2 y +C2 z + D2 = 0 Condición de paralelismo Plano recta r: Π1 : A1 x +B1 y +C1 z + D1 = 0 El producto escalar del vector director de r y el vector normal de Π1 es cero: a1a1+ b1b1+c1c1 = 0

16 16 o Dados un plano y punto exterior, encontrar el plano o recta paralela que pasa por P, se resuelve fácilmente. La ecuación general del plano Π quedaría determinado si usted conoce un vector normal =(A, B, C) y un punto P = (x0, y0, z0) ya que (X P) no es más que la ecuación lineal en tres variables Ax +By + Cz + D = 0 Cuando D = 0 el plano pasa por el origen y es un subespacio vectorial de R 3 de dimensión 2 3. Recta determinada por la intersección de dos planos Abra un nuevo archivo ggb. Abra la vista CAS Ingrese las ecuaciones de dos planos П1 y П2 en las variables e1 y e2 respectivamente Se dibujarán ambos planos en la Vista 3D Asigne a la variable sist el sistema de las dos ecuaciones

17 17 Si la matriz M del sistema es: M= ( ) la matriz aumentada M* es Siendo el sistema compatible indeterminado, admite un grado de libertad, por ejemplo la variable z, quedando en términos de las variables x, y: ( ) Es de rango 2, entonces el sistema es compatible indeterminado y tendrá infinitas soluciones Resuelva el sistema en las variables x, y: Determine una solución particular del sistema asignando a un z valor arbitrario: Cada solución particular del sistema se encuentra dando valores a z Calcule otra solución particular: GeoGebra asigna automáticamente la solución a la variable d

18 18 Ingrese en la barra de Entrada el comando Recta para trazar la recta que pasa por P y Q Confirme en la Vista 3D que la recta es la intersección de los planos: Los coeficientes de las variables en la ecuación del plano son las coordenadas de un vector normal al mismo. Trace los vectores normales a ambos planos introduciendo sus coordenadas la barra de Entrada: El vector Q P es dependiente del producto vectorial de los vectores normales y de los planos En Vista 3D tendrá:

19 19 En la siguiente celda de CAS calcule el producto vectorial de n1 y n2 Confirme que el vector director dr2 de la recta a es dependiente de dr1 Comennt tari iioss al ll tuut t tori iial ll Dados dos planos Π1: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 y П2: A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 en R 3 tales que: Entonces sus vectores normales = (A1, B1, C1) y = (A2, B2, C2) son l.i. Esto significa que el sistema formado por las dos ecuaciones lineales de tres variables, Π1 y Π2, tiene un grado de libertad. En términos matriciales, si M es la matriz del sistema y M*, su matriz ampliada: ( )

20 20 ( ) Entonces rang(m) = rang(m*) = 2, por tanto es compatible indeterdo con una variable libre, ( es usual tomar z) y tiene infinitas soluciones. La solución general del sistema es una línea recta y las soluciones particulares (para valores de z dados) son puntos de la recta El vector, director de la recta es dependiente del vector x La ecuación implícita de la recta r es el sistema lineal: Π1: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 П2: A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

21 21 4. Haz de planos por una recta Abra un nuevo archivo ggb Abra los deslizadores a, b, c, d, e, f Cambie los valores iniciales de los deslizadores Ingrese los puntos A = (a, b, c) y B= (c, d, e) en la barra de Entrada Ingrese en la barra de Entrada los puntos arbitrarios, C, D, E, F Con el comando apropiado trace la recta r que pasa por A y B Con el comando apropiado trace los planos que pasan por los puntos exteriores a la recta r: Mueva los deslizadores y observe la posición de los planos

22 22 Comennt tari iioss al ll tuut t tori iial ll Si usted tiene la ecuación una la recta como la intersección de dos planos, puede obtener una expresión que determina todos los planos que contengan a la recta. El conjunto de planos que contienen a una recta r se llama haz de planos de r Sea la ecuación implícita de la recta r: r: Π1: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 П2: A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 Los vectores normales asociados a los planos = (A1, B1, C1) y = (A2, B2, C2) son l.i. y cualquier vector normal de un plano Пk del haz, por el hecho de ser perpendicular a la recta, puede escribirse como c.l. de y : ( ) ( ) ( ) ( ) es el vector normal asociado a cualquier plano Пk del haz, por tanto la ecuación general de este plano es de la forma: Пk : ( )x + ( )y + ( )z + Dk = 0 Desarrollando y agrupando términos obtendrá: Пk: ( ) + ( ) = 0 El término independiente Dk se encuentra sustituyendo en la expresión anterior las ecuaciones de Π1 y Π2: A1 x + B1 y + C1 z = D1 A2 x + B2 y + C2 z = D2 Пk: ( ) + ( ) = 0 De donde +