Lección 4. Ecuaciones diferenciales. 4. Propiedades algebraicas de las soluciones. Fórmulas de Abel y Liouville.

Transcripción

1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO Proiedades algebraias de las soluiones. Fórmulas de Abel y Liouville. A lo largo de esta seión suondremos que P, Q y R son funiones ontinuas en un intervalo I. La linealidad de la euaión y + Pxy + Qxy = Rx nos ermite haer un análisis de la estrutura de sus soluiones. Reordemos que la euaión y + P y + Q y = 0 se llama euaión homogénea asoiada a y + Pxy + Qxy = Rx, que llamaremos euaión omleta. Emezaremos analizando la euaión homogénea y + P y + Q y = 0. PROPOSICIÓN. Si y ( x e y ( x son dos soluiones de la euaión homogénea y,, entones yx = y + y también es una soluión de la euaión homogénea. DEM. Sabemos que y = y + y, y = y + y. De esta forma, si x I, tenemos que + + = + + ( + + Qx ( y + y ( ( y Pxy Qxyx y y Px y y = y + Pxy + Qxy + y + Pxy + Qxy = 0. Hemos omentado que la soluión general de una euaión lineal de segundo orden debería deender de dos onstantes. Esto nos india que el esaio vetorial de las soluiones de la euaión homogénea debería tener dimensión. Veremos que esto es así y emezaremos dando un riterio que nos dirá uándo dos elementos de este esaio vetorial son linealmente indeendientes. DEFINICIÓN. Se die que dos funiones y ( x e y x son linealmente deendientes en un intervalo I si una de ellas es un múltilo de la otra. En aso ontrario, se die que son linealmente indeendientes. n Al igual que ourre on el oneto de deendenia lineal ara vetores en, que dos funiones y ( x e y ( x sean linealmente deendientes es equivalente a que existan dos onstantes y, al menos una de ellas no nula, tales que y + y = 0 ara todo x I. DEFINICIÓN. Sean y ( x e y x dos funiones derivables. Se define su determinante wronskiano y y omo la funión W: = det = y y y y. y y OBSERVACIÓN. Si y ( x e y ( x son una un múltilo de la otra, or ejemlo, y = y ara ierta onstante y todo x I, entones se verifia que su determinante wronskiano es ero ya que y y y y W: = det = det = 0 y y y y ara todo x I. Veremos a ontinuaión que el reíroo de este resultado es ierto; es deir, si el determinante wronskiano de dos soluiones de

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. una euaión diferenial es ero, entones las dos soluiones son linealmente deendientes y, or tanto, una soluión es un múltilo de la otra. PROPOSICIÓN (INDEPENDENCIA LINEAL. Dos soluiones de la euaión homogénea son linealmente deendientes en el intervalo I si, y sólo si, su determinante wronskiano es idéntiamente ero en I. DEM. Ya sabemos que si dos soluiones son linealmente deendientes su determinante wronskiano es idéntiamente ero en I. Reíroamente, suongamos que el determinante wronskiano de dos soluiones y ( x e y x es idéntiamente ero en I. Sea a I un unto ualqueira y onsideremos el sistema de euaiones on inógnitas α y β. Puesto que el determi- αy( a + βy( a = 0, αy ( a + βy ( a = 0 nante de la matriz del sistema es ero, el sistema tiene una soluión y no nula. Consideremos la funión y = y + y, que es soluión de la euaión lineal homogénea on valores iniiales nulos. Por la uniidad de la soluión de un roblema de valores iniiales se tiene que la funión yx es idéntiamente ero. Es deir, y ( x e y x son linealmente deendientes. EJEMPLO. Es fáil omrobar que las funiones y = sen x e y osx = son soluiones de la euaión diferenial lineal homogénea y + y = 0. Su determinante wronskiano es sen x os x W x x x os x sen x = det = sen os = 0 Por tanto, las funiones y = sen x e y osx = son linealmente indeendientes. En el siguiente resultado veremos que dos soluiones linealmente indeendientes de una euaión diferenial lineal de segundo orden homogénea generan ualquier otra soluión mediante una ombinaión lineal de éstas. Antes de ello veamos que siemre existen dos soluiones linealmente indeendientes. OBSERVACIÓN (EXISTENCIA DE SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES. Consideremos una soluión y x del roblema de valores iniiales y + P ( x y + Q ( x y = 0, on ya = e y ( a = 0, siendo a I. Sea y ( x una soluión del roblema de valores iniiales y + P y + Q y = 0, on ya = 0 e y ( a =. El teorema de existenia y uniidad garantiza la existenia de estas dos soluiones. Su determinante wronskiano, en el unto a, es dos soluiones son linealmente indeendientes. 0 W( a = det =. 0 Por tanto, estas TEOREMA. Sean y ( x e y x dos soluiones linealmente indeendientes de la euaión homogénea y + P y + Q y = 0. Entones y + y es la soluión general de diha euaión, es deir, si y( x es otra soluión de la euaión homogénea, existen dos onstantes y tales yx = y + y. que DEM. Tomemos una soluión yx de la euaión homogénea. Comrobemos entones que existen dos onstantes, tales que yx = y + y. Consideremos el sistema de euaiones

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. αy( a + βy( a = y( a, Puesto que el determinante de la matriz del sistema es no nulo (ya que αy ( a + βy ( a = y ( a. las dos soluiones y ( x e y x son linealmente indeendientes, éste tiene que tener una únia soluión y. Tenemos que ver que la funión yx oinide on y + y en todos los untos del intervalo. Puesto que yx ( y + y es soluión de la euaión lineal homogénea on valores iniiales nulos, el teorema de existenia y uniidad nos muestra que la fun- yx y + y es idéntiamente nula. ión EJEMPLO. Sabemos que las funiones y = sen x e y osx = son dos soluiones linealmente indeendientes de la euaión y + y = 0. Por el teorema anterior, todas las soluiones de esta euaión son de la forma yx = sen x+ osxara iertas onstantes,. Con lo visto hasta ahora, tenemos desrita la estrutura del onjunto de las soluiones de una euaión diferenial lineal homogénea. Qué ourre on la euaión omleta? La resuesta nos la rooriona el siguiente resultado. TEOREMA. Sean y ( x e y x dos soluiones linealmente indeendientes de la euaión homogénea y + P y + Q y = 0 y sea y ( x una soluión artiular de la euaión omleta y + P y + Q y = R. Entones y + y + y es la soluión general de diha euaión, es deir, ara ada soluión yx de la euaión omleta, existen, tales que yx = y + y + y. DEM. Sea y( x una soluión ualquiera de la euaión omleta y + Pxy + Qxy = Rx. Entones, ara la funión diferenia y y se verifia que ( ( y y + P y y + Q y y = y + Pxy + Qxyx y + Pxy + Qxy = Rx Rx = 0. Es deir, la diferenia de las dos soluiones y( x e y ( x es una soluión de la euaión homogénea y + P y + Q y = 0. Por tanto, el teorema anterior asegura que existen dos onstantes y tales que y y = y + y. Para terminar, basta desejar y( x. EJEMPLO. Ya sabemos que la soluión general de la euaión diferenial y + y = 0 viene dada or sen x+ os x. Paras obtener la soluión general de la euaión y + y = x, será sufiiente obtener una soluión artiular. Observemos que ésta uede ser, or ejemlo, la funión y = x. De esta forma la soluión general de la euaión omleta es y = x+ sen x+ os x. Fórmulas de Abel y Liouville. De auerdo on lo exuesto anteriormente, ara resolver la euaión omleta y + Pxy + Qxy = Rx neesitamos hallar dos soluiones linealmente indeendientes de la euaión homogénea y + P y + Q y = 0 y una soluión artiular de la omleta. 3

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. En general no es osible obtener tales soluiones de forma exlíita. Sin embargo, en algunos asos artiulares odemos obtener dihas soluiones. Las fórmulas de Abel y Liouville nos muestran ómo haerlo. PROPOSICIÓN (ABEL. El determinante wronskiano W( x de dos soluiones y ( x e y ( x de la euaión homogénea y + P y + Q y = 0 es una soluión de la euaión lineal de rimer orden W + P W = 0. Por tanto, existe una onstante tal que W = e P x dx. DEM. Puesto que W = y y y y, se tiene que W = y y + y y y y y y = y y y y. De esta forma, obtenemos que W + P W = y y y y + P y y y y = y ( y + P y y ( y + P y = y Q y y Q y = 0. Tenemos así que el determinante wronskiano verifia la euaión W + P W = 0. Como sabemos, la soluión de esta euaión lineal de rimer orden es W = e P x dx. OBSERVACIÓN. Como hemos omentado, en general no existe un roedimiento ara alular dos soluiones linealmente indeendientes de la euaión homogénea y + P y + Q y = 0. No obstante, si onoemos una soluión no nula de la euaión homogénea, digamos y, x la fórmula de Abel asegura que y y y y = e P x dx. Por tanto, resolviendo esta euaión diferenial lineal de rimer orden es osible obtener otra soluión y x de la euaión homogénea de forma que ambas funiones y ( x e y x son linealmente indeendientes, uesto que su wronskiano es no nulo. En algunos asos es fáil obtener una soluión artiular no nula de la euaión homogénea. En estos asos se uede reduir el orden de la euaión, obteniéndose una euaión diferenial lineal de rimer orden uyas soluiones son soluiones de la euaión diferenial de segundo orden linealmente indeendientes de la soluión artiular ya onoida. Vamos a mostrar otro amino que ermite llegar a la misma onlusión sin haer uso exlíito de la fórmula de Abel. FÓRMULA DE LIOUVILLE. Sea y x una soluión no nula de la euaión y + P ( x y + Q ( x y = 0. Si la funión y es no nula, existirá un unto x 0 tal que y( x0 0. De la ontinuidad de la funión y se dedue que existe un intervalo I entrado en el unto x 0 de forma que y 0 ara todo x I. En este intervalo I es en el que trabajaremos ara realizar la onstruión que sigue. Busamos otra soluión y x de la euaión on la roiedad de que ambas sean linealmente indeendientes en I. Para ello, enontraremos una funión vx tal que la funión y = v y es soluión de la euaión lineal homogénea. Para las derivadas de esta funión tenemos que y = v ( xy + vxy e y = v ( xy + vxy + v ( xy. Puesto que la funión y x tiene que ser soluión de la euaión diferenial se tiene que umlir 4

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. 0 = y + P y + Q y = v y v y v y P v y v y Q v y = ( ( + + = v ( y + P y + Q y + v y + v ( y + P y = v y + v ( y + Pxy De esta forma v x y x v x ( y x P x y x + + = 0. Esta euaión es de variables searadas, P( xdx on funión inógnita v. Su soluión viene dada or v = e. Por tanto, tenemos y P dx que vx = e dx. Obtenemos así la segunda soluión de la euaión diferenial que y P dx viene dada or y = e dx y. Además las dos soluiones son linealmente indeendientes. Para ello, basta omrobar que su determinante wronskiano es distinto de ero. En y efeto, W = y y y y = v y = e P x dx 0. La exresión P dx y = e dx y se onoe omo fórmula de Liouville. y x y xy + y = 0. Es fáil omrobar que la funión y x = es una soluión. Por tanto, si aliamos la fórmula de Liouville obtenemos otra soluión linealmente indeendiente. En efeto, EJEMPLO. Consideremos la euaión diferenial x log dx x x x y x = e dx x = e dx x = dx x = x + x = + x. x x x x Obtenemos así que la soluión general de la euaión es y x = x+ ( + x. 5